1.2.2 向量的减法课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1章　平面向量及其应用 1.2　向量的加法 1.2.2　向量的减法 湘教版 数学 必修第二册 课 标 要 求 1.借助实例掌握平面向量减法的概念. 2.借助平面向量的几何表示掌握向量减法的运算法则,理解其几何意义. 基础落实•必备知识全过关 重难探究•能力素养全提升 目录索引 成果验收•课堂达标检测 基础落实•必备知识全过关 知识点　向量的减法 定义:已知两个向量a,b,求x满足a+x=b,这样的运算叫作向量的减法,记为________,x称为b与a之差.  实质是向量加法的逆运算,利用相反向量的定义,b-a=b+(-a) x=b-a 名师点睛 1.与向量的和一样,向量的差仍然是一个向量. 3.在用三角形法则作两个向量的差向量时,只要记住“连接两向量终点,箭头指向被减向量”即可. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若a+b=0,则a,b互为相反向量,反之也成立.(　　) (2)若a-b=a,则b=0.(　　) (3)若a-b=-b,则a=0.(　　) (4)若a=b,则a-b=0.(　　) (5)当向量a,b起点重合时,向量a-b可以看作从向量b的终点指向向量a的终点的向量.(　　) √ √ √ × √ 2.[人教A版教材习题]填空: 重难探究•能力素养全提升 探究点一 向量的减法运算 【例1】 化简下列各向量的表达式: 变式训练1化简下列向量表达式: 规律方法　向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和; (2)起点相同且为差. 做题时要注意观察是否有这两种形式,同时要注意逆向应用. 探究点二 向量减法运算的几何意义 【例2】 如图,四边形ABCD是平行四边形, (2)当向量a,b满足什么条件时,四边形ABCD是矩形? (3)当向量a,b满足什么条件时,四边形ABCD是菱形? 规律方法　要熟练掌握在三角形、平行四边形等常见图形中,各边对应向量以及对角线对应向量之间的关系,能够运用向量的加法与减法进行正确表示,同时还要熟悉常见平面图形的几何性质,能够从向量的角度,运用向量语言进行表示. 变式训练2[北师大版教材例题]如图,点O是▱ABCD外一点,试用 探究点三 向量的和与差的模 B 解析　如图,根据平行四边形法则可知,当|a|=|b|=1时,平行四边形ABDC为菱形. 规律方法　解决向量模的问题的两种方法 (1)依据图形特点,适当运用三角形法则和平行四边形法则进行转化,要注意相关知识间的联系; (2)利用向量形式的三角不等式,即||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|求解.用此法求解时,一定要注意等号成立的条件. 10,5 利用向量证明几何问题 所以以AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等,所以此平行四边形为矩形,所以AB⊥AC, 所以△ABC是直角三角形. 规律方法　1.用向量法解决平面几何问题的步骤 (1)将平面几何问题中的量抽象成向量. (2)化归为向量问题,进行向量运算. (3)将向量问题还原为平面几何问题. 2.用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键 (1)利用向量证明线段平行且相等从而证明四边形为平行四边形,只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可. (2)根据图形灵活应用向量的运算法则,找到向量之间的关系是解决此类问题的关键. 成果验收•课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 级 必备知识基础练 B 解析 根据向量减法运算,可知B正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A.a+b B.b-a C.c-b D.b-c D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [3,17] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a+c-B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 平行四边形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)a-b; (2)a-b+c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 级 关键能力提升练 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 充分而不必要 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.作法:在平面内任取一点O,作=a,=b,则向量a-b=,如图所示. 4.如图,作=a,=b,以AB,AD为邻边作平行四边形ABCD,则=a+b,=a-b(=b-a),这一结论在以后应用非常广泛,应该加强理解并牢记. =________;  =________;  =________;  =________;  =________.  (1); (2)()-(); (3)()-(). 解 (1). (2)()-()=()-()==0. (3)()-()=()-()==0. (1); (2)()+(). 解(1). (2)()+()= +()=+0=. 设=a,=b. (1)试用a,b表示. 解 (1)=a+b,=b-a. (2)因为对角线相等的平行四边形是矩形,所以要使四边形ABCD是矩形,应满足||=||,即|a+b|=|b-a|. (3)因为邻边相等的平行四边形是菱形,所以要使四边形ABCD是菱形,应满足||=||,即|a|=|b|. 表示. 解 由于,因此只需将表示. 而, 故+()=. 【例3】 已知|a|=|b|=1,|a+b|=1,则|a-b|=(　　) A.1 B. C. D.2 又||=|a+b|=1,∴△ABD为正三角形,∴∠ABD=60°. 容易得出|a-b|=||=2||=2=2×. 变式训练3已知||=a,||=b且a>b,||的取值范围是[5,15],则a,b的值分别为________.  解析　由,得||=||.∵a>b,即||>||, ∴||-||≤||≤||+||, 即a-b≤||≤b+a. ∵||∈[5,15],∴解得 【典例】 若O是△ABC所在平面内一点,且满足||=||,证明△ABC是直角三角形. 证明 因为 , 又因为||=||, 所以||=||, 1.若O,E,F是不共线的任意三点,则以下各式成立的是(　　) A. B. C.=- D.=- 2.[2023河南南阳高一]在五边形ABCDE中(如图),下列运算结果为的是(　　) A. B. C. D. 3.如图,已知六边形ABCDEF是一个正六边形,O是它的中心,其中=a, =b,=c,则=(　　) 解析 =b-c. 4.(多选题)[2023江苏淮安高一]对于菱形ABCD,给出下列各式,其中结论正确的为(　　) A. B.||=|| C.||=|| D.||=|| 解析 菱形中向量的方向是不同的,但它们的模是相等的,故B正确,A错误; 因为||=||=2||,||=2||,且||=||, 所以||=||,故C正确; ||=||=||,||=||=||,故D正确.故选BCD. 5.已知||=10,||=7,则||的取值范围为________. 解析 因为,所以||=||. 又|||-|||≤||≤||+||,所以3≤||≤17,即3≤||≤17. 6.如图,已知O为平行四边形ABCD内一点,=a,=b,=c,则= ________. 解析 由已知得,则=a+c-b. 7.已知O为四边形ABCD所在平面内的一点,且向量满足,则四边形ABCD的形状为____________. 解析 ∵, ∴. ∴.∴||=||,且DA∥CB. ∴四边形ABCD是平行四边形. 8.如图,已知正方形ABCD的边长等于1,=a,=b,=c,试作向量: 8.解(1)在正方形ABCD中,a-b=.连接BD,箭头指向B,即可作出a-b. (2)过B作BF∥AC,交DC的延长线于F,连接AF,则四边形ABFC为平行四边形, ∴a+c=. 在△ADF中,=a+c-b=a-b+c, ∴即为所求. 9.平面上有三点A,B,C,设m=,n=,若m,n的长度恰好相等,则有(　　) A.A,B,C三点必在同一条直线上 B.△ABC必为等腰三角形,且∠ABC为顶角 C.△ABC必为直角三角形,且∠ABC=90° D.△ABC必为等腰直角三角形 10.已知平面内三个不同的点A,B,C,则“A,B,C是一个三角形的三个顶点”是“=0”的_____________条件.(填“充分而不必要”“必要而不充分”或“充要”) 充分性:若A,B,C是一个三角形的三个顶点,由平面向量加法的三角形法则可得出=0,充分性成立;必要性:若A,B,C三点共线,则=0成立,此时A,B,C不能构成三角形,必要性不成立. 因此,“A,B,C是一个三角形的三个顶点”是“=0”的充分而不必要条件. 11.如图,在四边形ABCD中,,对角线AC与BD交于点O,设=a,=b,用a和b表示 和 . 解∵, ∴四边形ABCD是平行四边形, ∴点O是DB的中点,也是AC的中点, ∴=b-a, =-=-b-a. 12.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,且||=||=1,=0,cos∠DAB=,求||与||. 解∵=0, ∴. ∴四边形ABCD为平行四边形. 又||=||=1,∴▱ABCD为菱形. ∵cos∠DAB=,∠DAB∈(0,π), ∴∠DAB=,∴△ABD为正三角形. ∴||=||=||=2||=,||=||=||=1. $$