1.4.2 向量线性运算的坐标表示课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1章　平面向量及其应用 1.4.2　向量线性运算的坐标表示 湘教版 数学 必修第二册 课 标 要 求 1.会用坐标表示平面向量加法、减法与数乘运算. 2.能用坐标表示平面向量共线的条件. 基础落实•必备知识全过关 重难探究•能力素养全提升 目录索引 成果验收•课堂达标检测 基础落实•必备知识全过关 知识点　平面上向量的运算与坐标的关系 1.向量加法与减法运算的坐标表示 两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的和(或差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(或差),即a±b=(x1,y1)±(x2,y2)=(x1±x2,y1±y2). 2.向量数乘运算的坐标表示 一个实数λ与向量a=(x,y)的积的坐标等于这个数乘以向量相应的坐标,即λa=λ(x,y)=________.  3.向量坐标公式 (λx,λy) (x2-x1,y2-y1) 4.向量共线的坐标表示 (x1,y1)∥(x2,y2)⇔______________.  x1y2-y1x2=0 名师点睛 描述两向量共线的三种方法 (1)几何表示法:若两向量a与b共线,则存在实数λ,使得b=λa或a=λb.它体现了向量a与b的大小及方向之间的关系. (2)代数表示法:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则当a与b共线时x2y1=x1y2.用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数λ,从而减少了未知数的个数,而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同.(　　) (2)两向量差的坐标与两向量的顺序无关.(　　) × × A 3.若a=(3,-2),b=(-1,4),则2a+3b=________.  (3,8) 解析　2a+3b=2(3,-2)+3(-1,4)=(6,-4)+(-3,12)=(3,8). (2,10) (-2,-10) 重难探究•能力素养全提升 探究点一 向量的坐标运算 规律方法　向量坐标运算要注意的问题 (1)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,同时要注意三角形法则及平行四边形法则的应用. (2)若已给出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则. (3)向量线性运算的坐标表示可完全类比数的运算进行. 变式训练1[北师大版教材习题]已知a=(2,4),b=(-1,1),求2a-3b,4a+2b的坐标. 解2a-3b=(4,8)-(-3,3)=(7,5); 4a+2b=(8,16)+(-2,2)=(6,18). 探究点二 向量坐标运算的应用 规律方法　平面向量坐标运算应用技巧 (1)坐标形式下向量相等的条件:相等向量的对应坐标相等;对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值. (2)利用坐标运算求向量在一组基下的表示,一般先求基和被表示向量的坐标,再利用待定系数法.设c=xa+yb,在求解时要运用相等向量坐标相同的关系列方程(组)求出x,y的值. 探究点三共线向量的判断与证明 探究点四 根据向量共线求参数值 【例4】 已知向量a=(-1,x),b=(x-2,-3),若向量2a+b与向量3a-2b共线,求实数x的值. 解 因为a=(-1,x),b=(x-2,-3), 所以2a+b=(x-4,2x-3),3a-2b=(-2x+1,3x+6). 因为向量2a+b与向量3a-2b共线, 所以(x-4)(3x+6)=(2x-3)(-2x+1), 整理得x2-2x-3=0, 解得x=3或x=-1. 故实数x的值是3或-1. 变式探究本例中,若已知“向量a=(-1,x),b=(x-2,-3)反向”,如何求实数x的值? 解 (方法1)由题意可知向量a=(-1,x),b=(x-2,-3)共线,则有(-1)×(-3)=x(x-2),即x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1. 当x=3时,a=(-1,3),b=(1,-3),这时a=-b,a与b反向; 当x=-1时,a=(-1,-1),b=(-3,-3),这时3a=b,a与b同向,故实数x的值为3. (方法2)因为向量a=(-1,x),b=(x-2,-3)反向, 所以设a=λb(λ<0),即(-1,x)=λ(x-2,-3), 规律方法　根据向量共线求参数值的方法 根据向量共线的条件求参数值的问题,一般有两种处理思路,一是利用共线向量基本定理列方程组求解,二是利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0 或 (y1y2≠0)直接求解. 探究点五 利用共线向量证明三点共线 规律方法　三点共线的实质与证明步骤 (1)实质:三点共线问题的实质是向量共线问题.两个向量共线只需满足方向相同或相反. (2)证明步骤:①证明向量平行;②证明两个向量有公共点. C 成果验收•课堂达标检测 1 2 3 4 5 1.已知a=(-3,2),b=(2,3),则2a-3b等于(　　) A.(-12,5) B.(12,5) C.(-12,-5) D.(12,-5) C 解析　2a-3b=2(-3,2)-3(2,3)=(-6,4)-(6,9)=(-12,-5). 1 2 3 4 5 2.(多选题)下列各组向量中,不能组成基的是(　　) A.e1=(0,0),e2=(1,1) B.e1=(1,2),e2=(-2,1) D.e1=(2,6),e2=(-1,-3) ACD 解析　A,C,D中向量e1与e2共线,不能组成基;B中e1,e2不共线,所以可组成一组基. 1 2 3 4 5 3.已知向量a=(1,2),b=(m,m+3),若a∥b,则m=(　　) A.-7 B.-3 C.3 D.7 C 解析　∵a∥b,∴m+3-2m=0,解得m=3.故选C. 1 2 3 4 5 (1,-1) 1 2 3 4 5 5.[人教A版教材习题]已知|a|=3,b=(1,2),且a∥b,求a的坐标. 在平面直角坐标系中,向量的坐标等于终点Q的坐标(x2,y2)减去起点P的坐标(x1,y1),即=________________.  (3)比例形式表示法:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则当a与b共线时,(x2,y2≠0).这种形式不易出现搭配错误,但有x2,y2≠0的限制. 2.已知向量a=(8,x),b=(x,1),其中x>0,若(a-2b)∥(2a+b),则x的值为(　　) A.4 B.8 C.0 D.2 解析　a-2b=,2a+b=(16+x,x+1),由已知(a-2b)∥(2a+b), 得(16+x)·=(8-2x)(x+1),即x2=16,又x>0,∴x=4. 4.在平面直角坐标系中,若M(1,-6),N(3,4),则向量的坐标是________,向量的坐标是________.  解析　=(3,4)-(1,-6)=(2,10),=(1,-6)-(3,4)=(-2,-10). 【例1】 (1)已知向量a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),试求a+3b,3a-2b+c. 解 因为a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6), 所以a+3b=(1,2)+3(3,-4)=(1,2)+(9,-12)=(10,-10), 3a-2b+c=3(1,2)-2(3,-4)+(-2,6)=(3,6)-(6,-8)+(-1,3)=(-4,17). (2)已知平面上三个点A(4,6),B(7,5),C(1,8),求,2. 解 ∵A(4,6),B(7,5),C(1,8), ∴=(7,5)-(4,6)=(3,-1); =(1,8)-(4,6)=(-3,2). ∴=(3,-1)+(-3,2)=(0,1), =(3,-1)-(-3,2)=(6,-3), 2=2(3,-1)+(-3,2)=. 【例2】 (1)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且=3=2,求点M,N的坐标. 解 (方法1)∵A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4), ∴=(-2,4)-(-3,-4)=(1,8),=(3,-1)-(-3,-4)=(6,3).∵=3=2, ∴=3(1,8)=(3,24),=2(6,3)=(12,6). 设M(x1,y1),N(x2,y2),则=(x1+3,y1+4)=(3,24), =(x2+3,y2+4)=(12,6), ∴解得 ∴点M,N的坐标分别为M(0,20),N(9,2). (方法2)设O为坐标原点,则由=3=2,可得=3(),=2(), ∴=3-2=2, ∴=3(-2,4)-2(-3,-4)=(0,20), =2(3,-1)-(-3,-4)=(9,2), ∴点M,N的坐标分别为M(0,20),N(9,2). (2)已知A(1,-2),B(2,1),C(3,2),D(6,9),试用 表示 . 解 由已知可得=(1,3),=(2,4),=(5,11). 设=x+y, 则(5,11)=x(1,3)+y(2,4), 即(5,11)=(x+2y,3x+4y), ∴解得+2. 变式训练2[人教A版教材习题]已知点A(1,1),B(-1,5),且 =2=-,求点C,D,E的坐标. 解 设O为坐标原点, 则=(1,1),=(-2,4),=(-1,2),=2=(-4,8),=-=(1,-2). 因为=(0,3),所以点C的坐标为(0,3). 因为=(-3,9),所以点D的坐标为(-3,9). 因为=(2,-1), 所以点E的坐标为(2,-1). 【例3】 已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),.求证:. 证明 设E(x1,y1),F(x2,y2). ∵=(2,2),=(-2,3),=(4,-1), ∴, ∴(x1,y1)-(-1,0)=,(x2,y2)-(3,-1)=, ∴(x1,y1)=,(x2,y2)=, ∴=(x2,y2)-(x1,y1)=. ∵4×-(-1)×=0,∴. 规律方法　若已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),且x1y2-x2y1=0,则a∥b. 变式训练3判断下列向量a与b是否平行: (1)a=,b=(-2,-3); (2)a=(0.5,4),b=(-8,64); (3)a=(2,3),b=. 解 (1)×(-3)-×(-2)=-=0,所以a∥b. (2)0.5×64-4×(-8)=32+32=64≠0,所以a与b不平行. (3)2×2-3×=4+4=8≠0,所以a与b不平行. 即解得 因为λ<0,所以取x=3,故实数x的值为3. 【例5】 若已知点A(1,-3),B,C(9,1),求证:A,B,C三点共线. 证明 由已知得=(8,4),显然有7×4=×8,所以. 又因为AB,AC有公共点A,所以A,B,C三点共线. 变式训练4已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(m+1,m-2),若点A,B,C能构成三角形,则实数m应满足的条件是(　　) A.m≠-2 B.m≠ C.m≠1 D.m≠-1 解析　=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),=(m+1,m-2)-(1,-3)=(m,m+1), 假设点A,B,C共线,则, 于是1×(m+1)-m×2=0,解得m=1.若点A,B,C能构成三角形,则点A,B,C不共线,故m≠1. C.e1=(-3,4),e2= 4.[2023江苏盐城高一期中]已知点A(3,-4)与B(-1,2),点P在直线AB上,且||=||,则点P的坐标为_____________.  解析　∵点P在直线AB上,且||=||, ∴P为线段AB的中点. ∴. 设点P的坐标为(x,y),∴(x-3,y+4)=(-1-x,2-y), ∴解得∴点P的坐标为(1,-1). 解 设a=(x,y),则 解得 所以a=或a=-,-. $$