1.2.1 向量的加法课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1章　平面向量及其应用 1.2　向量的加法 1.2.1　向量的加法 湘教版 数学 必修第二册 课 标 要 求 1.借助实例掌握平面向量加法的概念. 2.借助平面向量的几何表示掌握向量加法的运算法则及运算律,理解其几何意义. 基础落实•必备知识全过关 重难探究•能力素养全提升 目录索引 成果验收•课堂达标检测 基础落实•必备知识全过关 知识点1　向量加法的定义及求和法则 a,b的和 a+b 2.向量求和的法则 三角形法则   将两个向量表示为首尾相接的有向线段来求和的作图法则叫作向量加法的三角形法则 平行四边形法则   从同一点O出发作有向线段=a,=b,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则对角线就是a与b的和,即=________ a+b 名师点睛 对向量加法的两种法则的理解 (1)当两个向量方向既不相同也不相反时,三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的,三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.但当两个向量方向相同或相反时,平行四边形法则便不再适用. (2)向量加法的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义. 过关自诊 1.[北师大版教材习题]填空: 0 知识点2　向量加法的运算律 1.加法交换律:a+b=________.  2.加法结合律:(a+b)+c=________.  b+a a+(b+c) 名师点睛 对向量加法的运算律的理解 (1)向量的加法与实数加法类似,都满足交换律和结合律,当向量a,b中至少有一个为零向量时,交换律和结合律显然成立. (2)由于向量的加法满足交换律与结合律,因此多个向量的加法运算就可按照任意的次序与任意组合来进行.例如,(a+b)+(c+d)=(b+d)+(a+c), a+b+c+d+e=[d+(a+c)]+(b+e). 过关自诊 1.[人教A版教材习题]如图,四边形ABCD是平行四边形,点P在CD上,判断下列各式是否正确(正确的在括号内打“√”,错误的打“×”). × √ × 2.下列各式不一定成立的是(　　) A.a+b=b+a B.0+a=a D.|a+b|=|a|+|b| D 知识点3　零向量的加法性质 任意向量与零向量相加后保持不变,等于这个向量本身,即a+0=0+a=________.  a 名师点睛 若a,b为相反向量,则b=-a⇔a+b=0,另外a=-b=-(-a). 过关自诊 化简下列各式: 重难探究•能力素养全提升 探究点一 已知向量作和向量 【例1】 如图,已知向量a,b,c不共线,作向量a+b+c. 规律方法　求作和向量的方法 (1)利用三角形法则.在平面内任取一点,以该点为起点,将两向量平移到首尾相接,从该起点到另外一个终点的向量就是这两个向量的和.一定要注意首尾相接. (2)利用平行四边形法则.在平面内任取一点,从此点出发分别作两个向量等于已知向量,以这两个向量所在线段为邻边作平行四边形,以所取的点为起点的对角线所对应的向量就是这两个向量的和. 变式训练1如图,已知正方形ABCD, ,试作向量a+b+c. 探究点二 利用向量加法运算或化简 【例2】 化简下列各式: 规律方法　解决向量加法运算时应关注两点 (1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算. (2)要灵活运用向量加法运算律,注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序,特别注意勿将0写成0. 变式训练2如图,四边形ABDC为等腰梯形,AB∥CD,AC=BD,CD=2AB,E为CD的中点.化简: 探究点三 利用向量加法法则解决实际问题 【例3】 在某地抗震救灾中,一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和. 变式探究本例中,这架飞机到达C地医院后,往正南方向飞行多大距离即可由此按正西方向飞回A地? 解 如图,由点C作垂线,垂足为D, 因为∠BAC=45°,所以∠CAD=90°-35°-45°=10°, 规律方法　向量加法应用的关键及技巧 (1)三个关键:一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系;二是熟练找出图形中的相等向量;三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量. (2)应用技巧:①准确画出几何图形,将几何图形中的边转化为向量;②将所求问题转化为向量的加法运算,进而利用向量加法的几何意义进行求解. 成果验收•课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 级 必备知识基础练 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2.已知向量a与b方向相同或相反,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向(　　) A.一定与向量a的方向相同 B.一定与向量a的方向相反 C.一定与向量b的方向相同 D.不确定 解析 若a和b方向相同,则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同;若它们的方向相反,而a的模大于b的模,则它们的和的方向一定与a的方向相同. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B 级 关键能力提升练 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8.如图,在△ABC中,O为重心,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,化简下列三式: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C 级 学科素养创新练 9.已知向量a,b的模分别是|a|=4,|b|=6,求|a+b|的最大值和最小值. 37 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.定义:已知两个非零向量a,b,在平面上任取一点O,分别作=a, =b,则定义从O到B的向量为________,记作________.即a+b=_______=.求向量和的运算称为向量的加法.  (1)=________;  (2)=________.  2.如图,在平行四边形ABCD中,=________.  解析　由平行四边形法则可知. (1).(　　) (2).(　　) (3).(　　) C. (1); (2). 解 (1)=0. (2)=()+()=. 解 (方法1)如图①,在平面内作=a,=b,则=a+b;再作=c, 则=a+b+c. (方法2)如图②,在平面内作=a,=b,以OA与OB为邻边作平行四边形OADB,则=a+b;再作=c,以OD与OC为邻边作平行四边形ODEC,则=a+b+c. =a,=b,=c 解 由已知得a+b=,又=c,所以延长AC至E,使||=||, 则a+b+c=即所求,如图. (1); (2); (3); (4); (5)()+. 解 (1). (2). (3)=0. (4)=0. (5)()+. (1); (2); (3). 解 由已知得四边形ACEB,四边形ABDE均为平行四边形. (1). (2)(答案不唯一). (3) =()+()+=0. 解 如图所示,设分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km,从B地按南偏东55°的方向飞行800 km. 飞机飞行的路程指的是||+||; 两次飞行的位移的和指的是. 依题意,有||+||=800+800=1 600(km). 又α=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90°, 所以||==800(km). 其中∠BAC=45°,所以方向为北偏东35°+45°=80°. 从而飞机飞行的路程是1 600 km,两次飞行的位移和的大小为800 km,方向为北偏东80°. 在Rt△ACD中,CD=ACsin 10°=800sin 10°(km). 即往正南方向飞行800sin 10° km,即可由此按正西方向飞回A地. 1.点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点,等于(　　) A. B. C. D.0 解析 . 故选A. 3. 如图,在正六边形ABCDEF中,等于(　　) A.0 B. C. D. 解析 ∵, ∴=0. 4.向量()+()+化简后等于(　　) A. B. C. D. 解析 ()+()+. 5.化简: (1)()+=________; 解析 ()+. (2)=________. 解析 =0. 6.[2023甘肃天水高一阶段练习]在矩形ABCD中,||=2,||=4,则向量的长度为(　　) A.2 B.4 C.12 D.6 解析 因为, 所以的长度为的长度的2倍. 又||==2, 所以向量的长度为4. 故选B. 7.(多选题)设a=()+(),b是任一非零向量,则下列选项正确的有(　　) A.|a+b|=|a|+|b| B.a+b=a C.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b| 解析 ∵a=()+()==0, 又b为任一非零向量,∴A,C正确. (1); (2); (3). 解(1). (2). (3). 解 作=a,=b(图略),则=a+b. (1)当向量a,b不共线时,由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,得|||-|||<||<||+||,即2<|a+b|<10. (2)当向量a,b共线时,要分同向与反向两种情况. ①若向量a,b同向,则||=||+||=4+6=10,即|a+b|=10; ②若向量a,b反向,则||=||-||=6-4=2,即|a+b|=2.故|a+b|的最大值为10,最小值为2. $$