精品解析：江苏省南通市海安市实验中学2023-2024学年高二下学期6月学情检测模拟（月考）数学试题

实验中学2023~2024学年第二学期学情检测模拟 高二数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知，，平面的法向量为，若，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 2. 在的二项展开式中，系数最大的项是（ ） A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第5项和第6项 3. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 4. 已知表格中的数据y关于x的线性经验回归方程为， x 1 2 3 4 5 y 5 15 35 t 140 则样本点的残差为（ ） A. 9 B. 96 C. 105 D. 5. 把5名同学的数学作业摆放成一排展示，要求甲、乙两同学的作业相邻展示，甲、丙两同学的作业不相邻展示，则不同的摆放种数是（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 48 6. 若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在棱长均为1的平行六面体中，，，则（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 8. 设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，甲、乙两人首次投篮的可能性相同，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错得0分． 9. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 在正方体中，为线段（不含端点）上的动点，则（ ） A. B. 平面 C. 三棱锥的体积为定值 D. 存在，使直线与成角 11. 甲罐中有3个红球，2个白球和1个黑球，乙罐中有1个红球，2个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球，用、、表示甲罐取出红球、白球、黑球的事件；用B表示由乙罐取出红球的事件，则（ ） A. 与相互独立 B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 空间中直线l，m，平面，，命题p：若，，______，则．在横线上补充一个条件，使p成为真命题． 13. 企业生产某种零件的尺寸服从正态分布，且．现从该生产线上随机抽取个该零件，若尺寸处于到之间的零件的个数为，则的期望是______． 14. 曲线在，两点处的切线分别为，，且，则______；若，交点的横坐标为，则______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）解不等式：． 16. 为了解学生参加公益劳动的情况，随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，并绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求a； （2）现认为大于10小时的公益劳动时间为长，小于10小时的公益劳动时间为短，填写下列2×2列联表，并判断是否有95%把握认为公益劳动时间与学生性别有关； 公益劳动时间长 公益劳动时间短 合计 男 100 女 120 合计 （3）为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人．记参加公益劳动时间在内的学生人数为X，求X的分布列和期望． 附：，，． 17. 如图，为圆柱的轴截面，是圆柱异于的母线． （1）证明：平面； （2）若，，求二面角的余弦值． 18. 厂家生产一种产品，产品的质量指标服从正态分布，其中不低于85的为合格品．已知合格率为80%，厂家将合格品按100件一箱包装出厂．某经销商购进一批该产品分等级销售，质量指标高于95的贴“一等品”标签，其余贴“二等品”标签，每件“二等品”的利润是12元． （1）经销商在购进的产品中任取一件，求该产品是“一等品”的概率； （2）从一箱产品中任取3件，需要贴“一等品”标签的个数为X，求X的分布列； （3）已知一箱产品利润的期望是1800元，求每件“一等品”的利润． 19. 牛顿利用迭代思想给出了一种求高次代数方程近似解的方法，具体步骤如下： 初始步：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值； 第一步：作在点处的切线与x轴交点的横坐标为，称为r的1次近似值； 第二步：作在点处的切线与x轴交点的横坐标为，称为r的2次近似值； …… 第n步：如上操作，得到，称为r的n次近似值； 终止步：在精确度的要求下，就可取为方程的近似解． 用牛顿法求函数的大于零的零点r的近似值，取． （1）求r的2次近似值； （2）证明：①；②． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验中学2023~2024学年第二学期学情检测模拟 高二数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知，，平面的法向量为，若，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行的向量表示可得答案. 【详解】因为，， 所以，即，解得. 故选：A. 2. 在的二项展开式中，系数最大的项是（ ） A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第5项和第6项 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】的通项公式为, 根据二项式系数的性质可知，第5项和第6项的二项式系数最大， 第6项时，展开式的系数为负，因此第5项，展开式系数最大 故选：B 3. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，利用排除法进行求解即可. 【详解】因为， 所以当时，函数，因此排除D. 当时，函数，因此排除A和C， 故选：B 4. 已知表格中的数据y关于x的线性经验回归方程为， x 1 2 3 4 5 y 5 15 35 t 140 则样本点的残差为（ ） A. 9 B. 96 C. 105 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出样本中心点，代入回归方程求出的值，再根据回归方程求出时的值，然后根据残差的定义求解即可. 【详解】，， 所以，解得， 当时，， 所以样本点的残差为. 故选：A 5. 把5名同学的数学作业摆放成一排展示，要求甲、乙两同学的作业相邻展示，甲、丙两同学的作业不相邻展示，则不同的摆放种数是（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】利用乘法原理求出使得甲、乙两同学的作业相邻展示的摆放种数和使得甲、乙两同学的作业相邻且甲、丙两同学的作业相邻的摆放种数，再作差即可. 【详解】将甲、乙两同学的作业视为一个元素，利用乘法原理可得，使得甲、乙两同学的作业相邻展示的摆放种数为. 将甲、乙、丙三同学的作业绑定，利用乘法原理可得，使得甲、乙两同学的作业相邻且甲、丙两同学的作业相邻的摆放种数为. 所以满足条件的摆放种数是. 故选：C. 6. 若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数说明函数的单调性，依题意可得，解得即可. 【详解】因为，所以当或时， 即在，上单调递增， 当时，即在上单调递减， 根据题意可得，即，解得. 故选：A 7. 在棱长均为1的平行六面体中，，，则（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】D 【解析】 【分析】直接由公式即可建立方程求解. 【详解】 设，注意到， 所以，所以. 故选：D. 8. 设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，甲、乙两人首次投篮的可能性相同，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分第一次乙投进第二、三次甲均未投进第四次甲投篮，第一次甲投进第二次乙投进第三次甲未投进第四次甲投篮，第一次甲未投进第二次甲投进第三次乙投进第四次甲投篮，第一、二次甲未投进第三次甲投进第四次甲投篮四种情况求概率可得答案. 【详解】甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为，， 则甲、乙两人每次未投进篮球的概率分别为，， 根据题意，前4次中甲恰好投篮3次的情况为 第一次乙投进第二、三次甲均未投进第四次甲投篮， 其概率为； 第一次甲投进第二次乙投进第三次甲未投进第四次甲投篮， 其概率为； 第一次甲未投进第二次甲投进第三次乙投进第四次甲投篮， 其概率为； 第一、二次甲未投进第三次甲投进第四次乙投篮， 其概率为. 则前4次中甲恰好投篮3次的概率为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对前4次中甲恰好投篮3次的情况分析，然后再由互斥事件的概率加法公式求和. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错得0分． 9. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项可得,即可求解AB,利用赋值法即可求解CD. 【详解】由于，所以，所以， ，故A错误，B错误， ， 令，可得， 令，可得， 令，可得， 相加可得, 故C错误，D正确， 故选：BD 10. 在正方体中，为线段（不含端点）上的动点，则（ ） A. B. 平面 C. 三棱锥的体积为定值 D. 存在，使直线与成角 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据线面垂直的性质及判定即可判断；对于B，以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，假设正方体边长为，显然是平面的一个法向量，设点坐标为，由即可判断；对于C，由线面平行的判定可得平面，点到平面的距离为定值，再利用等体积法即可判断；对于D，根据向量夹角的坐标表示可得方程，再根据判别式即可判断. 【详解】对于A，如图①，连接，平面， 因为平面， 所以平面，平面，所以，同理， 因为平面，所以平面， 又面，所以，故A正确； 对于B，如图②，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 若正方体边长为，则，显然是平面的一个法向量， 设点坐标为且，则，所以， 所以与平面不平行，故B错误； 对于C，如图③，因为，平面，平面， 所以平面，故点到平面的距离为定值， 又为定值，所以为定值，故C正确； 对于D，由B选项知，，，所以， 假设存在，使与成角， 所以，， 因为， 所以，即， 因为，所以关于的方程无解， 所以不存在，使与成角，故D错误. 故选：AC. 11. 甲罐中有3个红球，2个白球和1个黑球，乙罐中有1个红球，2个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球，用、、表示甲罐取出红球、白球、黑球的事件；用B表示由乙罐取出红球的事件，则（ ） A. 与相互独立 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意知，是两两互斥的事件，利用相互独立的定义，即可判断A；由条件概率公式求得的值，即可判断B；由概率的乘法公式求得的值，即可判断C；由全概率公式先求得的值，再由贝叶斯公式求得的值，即可判断D. 【详解】由题意知，是两两互斥的事件， , 设，则， 因为，所以与相互独立， 故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ， ，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 空间中直线l，m，平面，，命题p：若，，______，则．在横线上补充一个条件，使p成为真命题． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线与平面垂直性质，再利用面与平面垂直的判定定理写出结果即可． 【详解】因为，， 根据直线与平面垂直的性质，如果一条直线垂直于一个平面，则和这条直线平行的直线也垂直于这个平面， 所以， 又因，则平面内一定存在一条直线n与l平行， 所以， 根据平面与平面垂直的判定定理如果一个平面经过另外一个平面的垂线，则两个面互相垂直， 所以. 故答案为： 13. 企业生产某种零件的尺寸服从正态分布，且．现从该生产线上随机抽取个该零件，若尺寸处于到之间的零件的个数为，则的期望是______． 【答案】 【解析】 【分析】由正态分布的性质得到的值，然后利用二项分布知识求出期望. 【详解】 . 所以服从二项分布，得. 故答案为：. 14. 曲线在，两点处的切线分别为，，且，则______；若，交点的横坐标为，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据对数的运算性质化简函数的解析式，结合导数的几何意义、互相垂直的两直线的斜率的关系分类讨论进行求解即可. 【详解】由， 不妨设，切线，的斜率分别为，， 当时，则有，，此时， 显然， 因此不成立，不符合题意； 当时，则有，，此时， 显然，因此不成立，不符合题意； 当时，则有，，此时， 由可得， 此时切线，的切线方程分别为：，， 两个方程联立，得， 因此， 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对数运算性质化简函数的解析式，利用两直线垂直的斜率之间的关系进行求解. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）解不等式：． 【答案】（1）极大值为，极小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的运算性质，结合极值的定义进行求解即可； （2）根据（1）的结论，结合函数的单调性进行求解即可. 【小问1详解】 函数的定义域为全体正实数， 由， 令，于是有 单调递增 单调递减 单调递增 因此，当时，有极大值，并且极大值为， 时，有极小值，并且极小值为； 【小问2详解】 由（1）可知： 函数在时单调递增，而，所以此时有， 在时单调递减，所以有， 因此要想，有，则必有， 当时，函数单调递增，而， 所以由， 因此不等式的解集为. 16. 为了解学生参加公益劳动的情况，随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，并绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求a； （2）现认为大于10小时的公益劳动时间为长，小于10小时的公益劳动时间为短，填写下列2×2列联表，并判断是否有95%把握认为公益劳动时间与学生性别有关； 公益劳动时间长 公益劳动时间短 合计 男 100 女 120 合计 （3）为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人．记参加公益劳动时间在内的学生人数为X，求X的分布列和期望． 附：，，． 【答案】（1） （2）完整2×2列联表见解析，有95%把握认为公益劳动时间与学生性别有关 （3）X的分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据频率直方图中，所有小矩形面积之和为1进行求解即可； （2）根据公益劳动时间的长短定义，结合频率直方图、卡方的计算公式进行求解即可； （3）根据分层抽样比的公式，结合古典概型运算公式、数学期望的公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为在频率直方图中，所有小矩形面积之和为1， 所以有， 解得； 【小问2详解】 由题意可知公益劳动时间长的学生人数为：， 因此公益劳动时间短的学生人数为，于是完整2×2列联表如下： 公益劳动时间长 公益劳动时间短 合计 男 100 180 280 女 100 120 220 合计 200 300 500 因为 所以有95%把握认为公益劳动时间与学生性别有关； 【小问3详解】 由频率直方图可知， 在，，三组内的学生人数之比为， 采用分层抽样的方法抽取了10人， 这10人来自这组内的学生人数分别为， 于是有， 因此有，，，， 因此X的分布列如下： 0 1 2 3 因此. 17. 如图，为圆柱的轴截面，是圆柱异于的母线． （1）证明：平面； （2）若，，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明四点共面，然后得到，，结合线面垂直的判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量即可求解. 【小问1详解】 由题意，所以是平行四边形，即四点共面， 因为为圆柱的轴截面，所以为底面圆的直径，所以， 因为平面，平面，所以， 又，，，平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由（1）知两两相互垂直， 如图，以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 若，， 则， 由题意，所以是平行四边形，即四点共面， 因为为圆柱的轴截面，所以为底面圆的直径，所以， 因为平面，平面，所以， 又，，，平面，平面， 所以平面，平面的法向量可取为. 设平面的法向量为，由，， 则有，可取， 设二面角的平面角为， 则， 由图可知为锐角，所以二面角的余弦值为. 18. 厂家生产一种产品，产品的质量指标服从正态分布，其中不低于85的为合格品．已知合格率为80%，厂家将合格品按100件一箱包装出厂．某经销商购进一批该产品分等级销售，质量指标高于95的贴“一等品”标签，其余贴“二等品”标签，每件“二等品”的利润是12元． （1）经销商在购进的产品中任取一件，求该产品是“一等品”的概率； （2）从一箱产品中任取3件，需要贴“一等品”标签的个数为X，求X的分布列； （3）已知一箱产品利润的期望是1800元，求每件“一等品”的利润． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）36元 【解析】 【分析】（1）由正态分布曲线的对称性结合条件概率即可求解； （2）的所有可能取值为，由二项分布的概率公式即可求解； （3）由二项分布的均值公式即可列方程求解. 【小问1详解】 ， 记事件为该产品为合格品，事件为该产品是一等品， ， 该产品是一等品的概率为； 【小问2详解】 的所有可能取值为， ， ， 的分布列如下： 0 1 2 3 【小问3详解】 设每件“一等品”的利润为元，而每件“二等品”的利润是12元， 每箱中“一等品”所占的比例为， 则 ，解得， 所以每件“一等品”的利润为36元. 19. 牛顿利用迭代思想给出了一种求高次代数方程近似解的方法，具体步骤如下： 初始步：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值； 第一步：作在点处的切线与x轴交点的横坐标为，称为r的1次近似值； 第二步：作在点处的切线与x轴交点的横坐标为，称为r的2次近似值； …… 第n步：如上操作，得到，称为r的n次近似值； 终止步：在精确度的要求下，就可取为方程的近似解． 用牛顿法求函数的大于零的零点r的近似值，取． （1）求r的2次近似值； （2）证明：①；②． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】(1) 根据题干中r的2次近似值的定义即可求解 (2) 求出直线的方程， 直接求横截距即可，借助第（2）问第一小问的结论，根据几何意义得到，后面再根据此不等式进行放缩得到，从而得到，从而得证. 【小问1详解】 根据题意得，所以则在切线方程为令解之得， 则在切线方程为， 令解之可得 【小问2详解】 ①，在的切线方程为， 令，可得， 所以证明①得证， ②由①知，所以， 则，有几何意义知， 所以， 即，两边同时减3得， ， 又因，所以， 则， 证明②得证 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $