第10章 整式的加减（7大题型）（42道压轴题专练）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（沪教版2024）

第10章 整式的加减（7大题型）（42道压轴题专练） 压轴题型一 代数式的值压轴题型 1．实数 满足 ，记代数式 的最大值为 ，最小值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，代数式求值，有理数的混合运算．熟练掌握绝对值的意义，代数式求值，有理数的混合运算是解题的关键． 由绝对值的意义可知，当时，的值最小为，当时，的值最小为，由，可得，，当，时，代数式 的值最小，当，时，代数式 的值最大，分别计算，，然后求和作答即可． 【详解】解：由绝对值的意义可知，当时，的值最小为， 当时，的值最小为， ∵， ∴，， 当，时，代数式 的值最小，； 当，时，代数式 的值最大，； ∴， 故选：B． 2．若，则= ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及非负数的性质，利用非负数的性质求出a与b的值，代入所求式子中拆项后，抵消即可求出值是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得： ∴ ， 故答案为：． 3．已知：如图所示，数轴上、、三点所对应的数分别为、、． (1)在数轴上表示2的点与表示6的点之间的距离为______；在数轴上表示的点与表示4的点之间的距离为______；在数轴上表示的点与表示的点之间的距离为______；由此可得数轴上点、之间的距离为______； (2)化简：； (3)若的绝对值是3，的倒数是它本身，的相反数是，求：的值． 【答案】(1)4；6；2； (2) (3) 【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式即可求解； （2）结合数轴根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可解答； （3）根据、、在数轴上的位置，结合题目条件得出，，，再将其代入化简后的代数式即可求解． 【详解】（1）解：在数轴上表示2的点与表示6的点之间的距离为； 在数轴上表示的点与表示4的点之间的距离为； 在数轴上表示的点与表示的点之间的距离为； 由此可得，数轴上点、之间的距离为； 故答案为：4；6；2；； （2）根据题意，，且， ∴，，， ∴ ； （3）根据题意，的绝对值是3，的倒数是它本身，的相反数是， ∴，，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了数轴、绝对值性质、倒数、相反数、整式的化简求值等知识，根据数轴和题目条件判断出、、的大小关系和数值是解题的关键． 4．整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）如果，求的值； （2）当时，代数式的值为，当时，求代数式的值；（用含的代数式表示） 【拓展应用】 （3）周末爸爸妈妈带着小明和妹妹在小区的休闲区运动．爸爸和小明在休闲区的环形跑道上跑步，两人相距20米，同时反向运动，小明的速度是，爸爸的速度是，经过两人第一次相遇．妈妈带着妹妹做追逐游戏，妹妹在妈妈前面，两人同时同向起跑，妹妹的速度是，妈妈的速度也是，经过，妈妈追上妹妹． ①休闲区的环形跑道周长是_____________m；（用含的代数式表示） ②起跑时，妹妹站在妈妈前面_____________m；（用含的代数式表示） ③若休闲区的环形跑道周长是，起跑时妹妹站在妈妈前面，综合上述信息求代数式的值． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②，③ 【分析】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知整式的运算法则及整体法的运用． （1）先将原式化简，再进行整体代入即可求解； （2）先根据题意得出，然后把变形后整体代入即可求解； （3）①根据小明的路程+爸爸的路程起跑时两人间的距离跑道周长即可求解； ②根据妈妈的路程妹妹的路程起跑时两人间的距离即可求解； ③先根据题意求出，，然后把原式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ ； （2）当时，代数式的值为， ∴， ∴， ∴当时， ； （3）①根据题意，得跑道周长为； ②根据题意，得妹妹站在妈妈前面； ③根据题意，得，， ∴，， ∴ ． 5．如图，数轴上点分别表示数，其中，． (1)当时，线段的中点表示的数是_______； (2)若数轴上另有一点表示数3． ①若点在线段上，且，求式子的值； ②点为线段上一动点，点为线段上一动点，当时，线段的最大长度为5，求的值． 【答案】(1)2 (2)①2033；②或 【分析】（1）利用数轴知识和线段中点的定义计算即可； （2）①点表示数3，点在线段上，且，得出，再计算代数式的值即可；②根据，得出，说明点B在点M的左侧或在点M处时，的最小值为6，不符合题意，说明点B必须在点M的右侧，然后分两种情况求出a的值即可． 【详解】（1）解：∵，， 线段的长度为 ∴线段的中点C表示的数； 故答案为：2． （2）①∵点表示数3，点在线段上，且， ∴， 整理得：， ∴； ②∵， ∴， 当点B在点M的左侧或在点M处时，，当点P在点A处，点Q在点M处时，最大， ∵， ∴此时的最大值大于5， ∵的最大值为5， ∴点B不可能在点M的左侧或M处； 当点B在点M的右侧，点P在点A处，点Q在点M处时，最大，则此时， 解得：； 当点B在点M的右侧，点P在点B处，点Q在点O处时，最大，则此时， 解得：， ∴， ∴， 综上分析可知：或． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，线段中点的有关计算用数轴上点表示有理数，数轴上的动点问题，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． 6．特殊与一般是重要的数学方法，当我们遇到复杂问题时，可以通过特殊情况下的分析尝试，积累经验再进行一般化的研究． (1)：若，则的值确定吗？若确定，求出确定的值；若不确定，说明理由； 特例分析：当时，__________；当时，__________； 一般化研究：若，则__________； (2)：若，，求的值； (3)：若，且，，，……，，这2024个数中有个正数，则的值为__________（用含的式子表示）． 【答案】(1)1，， (2)，0，2 (3) 【分析】本题考查了根据绝对值的含义化简分式： （1）将数值代入进去即可求得结果； （2）根据关系式分三种情况即可求得结果； （3）根据一般化研究可得到结果； 正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 若，则当时，，当时，， ∴若，则， 故答案为：1，，； （2）解：∵，， ∴，，， 当时，此时且， ∴， 当时，此时且， ∴， 当时，此时且， ∴， 综上的值为，0，2； （3）解：由（1）可得若，则当时，，当时，， ∵，，，……，，这2024个数中有个正数， ∴有个负数， ∴， 故答案为：． 压轴题型二 数字类规律探索压轴题 1．数据，□，，，，…是按照一定规律有序排列的，则“□”里应填的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探究，观察数据，原数据的分子部分都是质数，故所求的分子为，分母都是合数，分别为，，，，，则所求分母为，据此即可求解． 【详解】原数据为：，□，，，，… ∵原数据的分子部分都是质数，故所求的分子为，分母都是合数，分别为，，，，，则所求分母为， ∴□为 故选：A． 2．观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：． 按上述规律，回答以下问题： （1）用含的代数式表示第个等式： ． （2）计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了探寻数列规律问题； （1）首先根据前四个等式的特征，可得第个等式的分子是n+2，分母是；然后判断出后面算式的两个数的分子都是1，第一个数的分母是，第二个数的分母是，据此解答即可． （2）根据题意，把前3个等式左右两边分别相加，求出的值，再把第4，5，6，7个等式左右两边分别相加，求出的值即可解答． 【详解】解：（1）根据分析，可得用含的代数式表示第个等式： 故答案为：； （2）∵ ∴ 故答案为：． 3．观察下列各式：；；；；； (1)探索式子的规律，试写出第个等式； (2)运用上面的规律，计算； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据式子的规律，可得； （）利用（）的结论递推，得出答案即可； （）把式子乘递推得出答案即可； 本题考查了数字类变化规律，得出数字次数的变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：∵；；；；， ∴第个等式为； （2）解： ， ， ； （3）解： ， ， ． 4．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题 ；；； (1)按以上规律，第个等式为：______；第个等式为：______（用含的式子表示，为正整数）； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】（）根据已给三个等式反映出的规律写出第个等式，第个等式即可； （）利用（）的规律分别将每个分数写出差的形式，再计算即可； （）找出三个连续奇数乘积的倒数与三个奇数的倒数间的关系，再利用这种关系对每个分数进行变形，并计算即可； 本题考查了数字变化类规律探究，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，找出三个连续奇数乘积的倒数与三个奇数的倒数间的关系． 【详解】（1）解：由规律可得，第个等式为， 第个等式为， 故答案为：，； （2）解：原式 ， ， ； （3）解：∵， ∴原式 ， ， ， ， ． 5．阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题： 经过研究，这个问题的一般性结论是，其中ｎ是正整数．现在我们来研究一个类似的问题： 观察下面三个特殊的等式 将这三个等式的两边相加，可以得到 读完这段材料，请你思考后回答： (1)　　　　　； (2)　　　　　　　　； (3) ． 【答案】(1)343400 (2)26527650 (3) 【分析】本题考查的是探索规律的题目， （1）根据三个特殊等式相加的结果，代入公式进行计算即可求解； （2）先对特殊等式进行整理，从而找出规律，然后把每一个算式都写成两个两个算式的运算形式，整理即可得解； （3）根据（2）的求解规律，先对特殊等式进行整理，从而找出规律，然后把每一个算式都写成两个两个算式的运算形式，整理即可得解； 解答本题的关键是读懂题目信息，学会把乘法算式拆写成两个式子的运算形式． 【详解】（1） （2） （3） 6．【问题提出】 欧洲杯正如火如荼进行中，本次比赛支参赛球队分成个小组，小组赛每小组支球队进行单循环比赛，（任何一队都要与其他各队比赛一场且只比赛一场，不同小组之间不进行小组赛），则本次欧洲杯总计有几场小组赛比赛？ 【构建模型】 为解决上述问题，我们构建如下数学模型：如图①，我们可以在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段． （1）若某次比赛有支队伍进行单循环比赛，借助图②，我们可知一共要安排______场比赛； （2）根据以上规律，若有支足球队进行单循环比赛，则一共要安排______场比赛． 【实际应用】 （3）年欧洲杯足球赛，总计需要安排______场小组赛． （4）甬舟铁路预计年通车，届时杭州到舟山的车程将缩短至一个半小时左右，从起点杭州站出发，途经绍兴、余姚、宁波、马岙，至终点白泉站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种． 【答案】（1）． （2） （3） （4）30 【分析】本题考查了归纳总结和配对问题，涉及列代数式及其求值、有理数的运算，求出关于的关系式，再根据实际情况讨论是解题的关键． （1）根据图②线段数量进行作答． （2）当有支足球队进行单循环比赛时，即在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段，即可得求出比赛的场数． （3）根据题意可得，一个小组会有场比赛，故六个小组则共有有场比赛． （4）因为行车往返存在上车与下车，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况，即一个车站与另外个车站都可各形成一张车票，即张车票，得出六个车站一共形成了种车票． 【详解】（1）由图②可知，图中实际共有条线段， ∴根据题意，可得支队伍进行单循环比赛一共要安排场比赛． 故答案为：． （2）当有支足球队进行单循环比赛时，即在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段， 即根据以上规律，若有支足球队进行单循环比赛，则一共要安排场比赛， 故答案为：． （3）根据题意可得，欧洲杯支参赛球队分成个小组， 由上可得一个小组会有场比赛， 故六个小组则共有有场比赛， 即本次欧洲杯总计有几场小组赛比赛， 故答案为． （4）由题意可得一共有六个车站，因为行车往返存在上车与下车，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况，即每两个车站就会有两种车票， ∴一个车站与另外个车站都可各形成一张车票，即张车票， ∴这样六个车站一共形成了种车票． 故答案为． 压轴题型三 图形类规律特殊压轴题 1．汉诺塔问题是指有三根杆子和套在杆子上的若干大小不等的碟片，按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上； （1）每次只能移动1个碟片． （2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面． 如图所示，将1号杆子上所有碟片移到2号杆子上，3号杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将1号杆子上的个碟片移动到2号杆子上最少需要次，则（    ） A．31次 B．33次 C．62次 D．63次 【答案】D 【分析】本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题．根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱，然后把最大的盘子移动到3柱，再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可． 【详解】解：时，； 时，小盘柱，大盘柱，小盘从3柱柱，完成，即； 时，小盘柱，中盘柱，小盘从2柱柱，大盘柱，再用的方法转移， 即， 以此类推，， ． 故选：D． 2．将实数按图所示方式排列．若用表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之和是 ． 【答案】 【分析】 本题考查了数字的变化规律；根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第排有个数，从第一排到排共有： 个数，根据数的排列方法找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算即可，判断出所求的数是第几个数是解决本题的难点；得到相应的变化规律是解决本题的关键． 【详解】 从图示中知道，所表示的数是：； ∵第22排最后一个数的序号是：， ∴表示的是第个数， ∵由图观察规律知奇数个为负，偶数个为正， ∴所表示的数是， ∴与表示的两数之和是：． 故答案为：． 3．【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案． 【规律发现】 （1）第⑤个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； （2）第n个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； 【规律应用】 （3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为______；此时还剩下______枚棋子． 【答案】（1）15，20；（2），；（3）13，57 【分析】本题主要考查图形变化类的规律问题，解题关键在于求出黑白棋子各自的变化规律． （1）依次列出前5个图中黑子和白子的个数即可求解； （2）根据规律发现第n个图案中白子为4n个，黑子为个，然后倒序相加，即可求解； （3），解得（舍负），∴n最大为13，即可求解． 【详解】（1）解：第1图中黑子为1个， 第2个图中黑子为个， 第3个图中黑子为个， 第4个图中黑子为个， 第5个图中黑子为个； 第1图中白子为个， 第2个图中白子为个， 第3个图中白子为个， 第4个图中白子为个， 第5个图中白子为个； 故答案为：15，20． （2）解：由（1）第n个图中黑子为个， 令为①式；为②式，则①+②得：，由n个， ∴，∴第n个图案中“●”的个数为； 由（1）得第n个图案“○”的个数为， 故答案为：，． （3）解：若，解得（舍负），∴n最大为13， 那么使用白子为个，黑子为个，剩余个， 故答案为：13，57． 4．如图，用个实心圆圈，个圆圈相间组成一个圆环，然后把这样的圆环从左到右按下列差律组成圆环串； 相邻两圆环有一公共圆圈，公共圆圈从左到右以实心圆圈和空心圆圈相间排列． 圆环串中圆环的个数 实心圆圈和空心圆圈的总个数 (1)把表格补充完整： (2)设圆环串由个圆环组成，请你直接写出组成这圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数______个(用含的代数式表示)； (3)如果圆环串由这样的圆环个组成，那么实心圆圈和空心圆圈的总数有多少个? 有多少个空心圆圈? 【答案】(1)表格补充完整见解析； (2)； (3)实心圆圈和空心圆圈的总数有个，空心圆圈有个． 【分析】（）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出个，由此规律得出答案即可； （）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出个，由此规律得出答案即可； （）因为围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多个，由（）得出的规律，直接算出总数，进而即可求出空心圆圈数； 本题考查了图形类变化规律，根据图形，找到数字间的运算规律是解题的关键． 【详解】（1）解：表格补充完整如下： 圆环串中圆环的个数 实心圆圈和空心圆圈的总个数 （2）解：∵每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出个， ∴当圆环串由个圆环组成，组成圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数为个， 故答案为：； （3）解：当时，实心圆圈和空心圆圈的总数有个， ∵围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多个， ∴空心圆圈有个． 5．如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是______； (2)以下是甲，乙两位同学求的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求，； 乙同学的方法：① ② ②－①即可． 根据两位同学的方法，你认为______； (3)______； (4)计算：； (5)请借助甲，乙同学的方法，分别求出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了图形规律的探究，有理数的运算．熟练掌握图形规律的探究，有理数的运算是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）甲同学： ；乙同学：得，，计算求解即可； （3）设，则，，计算求解即可； （4）同理（3）计算求解即可； （5）甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的，依此类推，则图中阴影部分的面积为，可得一般性规律为，整理得，然后求解即可；乙同学：令，则，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：甲同学： ； 乙同学：①，② 得，， 故答案为：； （3）解：设，则， ∴， 故答案为：； （4）解：令，则， ∴， ∴； （5）解：甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的，依此类推， 则图中阴影部分的面积为， ∴可得一般性规律为：，整理得， ∴； 乙同学：令，则， ∴， 解得，， ∴的值为． 6．如图，下列图形是由边长为1个单位长度的小正方形按照一定规律摆放的“”形图形，观察图形：    (1)按此规律，图4中小正方形的数量是______个； (2)我们把图1中小正方形个数记作，图2中小正方形图个数记作，图中小正方形个数记作，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据前三个图形中小正方形数量的变化规律即可解决问题． （2）利用（1）中发现的规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 图1中小正方形的数量为：； 图2中小正方形的数量为：； 图3中小正方形的数量为：； …， 所以图n中小正方形的数量为：（个）． 当时， （个）． 即图4中小正方形的数量是个． 故答案为：． （2）解：由题知， ，，，…，， 又因为， 所以， 又因为； ； ； …， 所以， 则， 解得：（负值舍去）． 所以n的值为． 【点睛】本题考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现图n中小正方形的数量为个是解题的关键． 压轴题型四 合并同类项压轴题型 1．合并同类项的结果为（    ） A．0 B． C．m D．无法确定 【答案】B 【分析】与结合，与结合，依此类推相减结果为，得到506对，计算即可得到结果． 【详解】解： ， 故选B． 【点睛】本题考查合并同类项，根据题意弄清式子的规律是解本题的关键． 2．已知，，，且a，b，c，d均不为0，则 【答案】 【分析】 本题考查了整式的加减，代数式求值，先将拆开，然后进行合并同类项计算即可求得结果，正确计算是解题的关键． 【详解】解：由题可得， ， ， ， 代入到， 故答案为：． 3．观察下列的三行单项式 、、、、、、……① 、、、、、、……② 、、、、、、……③ (1)根据你发现的规律，第①行第8个单项式为 (2)第②行的第8个单项式为 ，第③行的第8个单项式为 (3)取每行的第9个单项式，记这三个单项式的和为，计算当时，求的值． 【答案】(1) (2)， (3)769 【分析】（1）根据题目中单项式的系数和字母的指数的变化情况寻找规律即可求解； （2）根据题目中单项式的系数和字母的指数的变化情况寻找规律即可求解； （3）根据（1）、（2）中所得规律列代数式代入值即可． 【详解】（1）解：、、、、、、……①， 可得第①行第个单项式为， ∴第①行第8个单项式为． 故答案为：； （2）、、、、、、……②， 、、、、、、……③， 可得第②行第个单项式为， 第③行第个单项式为， ∴第②行的第8个单项式为：， 第③行的第8个单项式为：． 故答案为：，； （3）根据（1）、（2）中所得规律，可得第①行第9个单项式为，第②行第9个单项式为，第③行的第9个单项式为， ∴， 当时， ． 【点睛】本题主要考查了单项式规律题、代数式求值、有理数的混合运算等知识，解题的关键是准确寻找单项式的变化规律． 4．阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是 ； (2)已知，求的值． (3)若，，则值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题考查了合并同类项，求整式的值； （1）用“整体思想”把看作整体，进行合并即可求解； （2）将整式化为，代值计算，即可求解； （3）将整式化为，代值计算，即可求解； 能根据已知条件将所求整式变形，用整体思想求解是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， 故答案：； （2）解：原式， 当时， 原式 ； （3）解：原式 当，时， 原式 ． 5．我们定义：对于有理数数和，若，则称，互为“和积友好数”． 如：因为，所以和互为“和积友好数”． (1)下列各组数中，互为“和积友好数”的是________；（填序号） ①和    ②和 (2)若和互为“和积友好数”，求的值； (3)若和互为“和积友好数”，求式子的值． 【答案】(1)②； (2)； (3)． 【分析】本题考查解一元一次方程，整式的加减—化简求值： （1）根据“和积等数对”的定义即可得到结论； （2）根据“和积等数对”的定义列方程即可得到结论； （3）将原式去括号，合并同类项进行化简，然后根据新定义内容列出等式并化简，最后代入求值． 【详解】（1）解：①∵ ∴和不是“和积友好数”； ②∵ ∴和是“和积友好数”. 故答案为：②. （2）解：∵和互为“和积友好数”， ∴ 解得：. （3）解： 6．类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于或的项是“强同类项”，例如：与是“强同类项”． (1)给出下列四个单项式：①，②，③，④．其中与是“强同类项”的是 (填写序号)； (2)若与是“强同类项”，求的值； (3)若为关于、的多项式，，当的任意两项都是“强同类项”，求的值； (4)已知、均为关于，的单项式，其中，，如果、是“强同类项”，那么的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】(1)②③④ (2)，， (3)或 (4)， 【分析】本题考查新定义，绝对值，单项式，理解新定义是解题的关键． （1）根据“强同类项”的概念判断即可； （2）根据“强同类项”的概念即可确定m的值； （3）根据“强同类项”的概念即可确定n的值； （4）根据“强同类项”的概念确定s，t的值，根据，，确定x与s，k的关系，再判断出x最大，最小时s，k的取值，即可解决问题． 【详解】（1）解：(1)∵， ∴①与不是“强同类项”， ∵，， ∴②与是“强同类项”， ∵，， ∴③与是“强同类项”， ∵，， ∴④与是“强同类项”， ∴②③④与是“强同类项”， 故答案为：②③④； （2）∵与是“强同类项”， ∴，，， ∴，，； （3）∵，当C的任意两项都是“强同类项”， 与一定是强同类项， 当和是强同类项时，、、， 当和是强同类项时  、、， ∴或； （4）∵、是“强同类项”， ∴、、，、、， ∵， ∴、1、， ∵， ∴， 当取最大，取最小值时，取得最大值，此时有最大值和最小值， 即当，时，， 解得或， ∴x的最大值为，x的最小值为． 故答案为：，． 压轴题型五 整式加减的化简求值 1．已知，则下列说法： ①若，则； ②若的值与的取值无关，则； ③当时，若，则或； ④当时，有最小值为7，则． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】①代入直接计算即可作答；②先表示出，根据的值与x的取值无关，即可知含x的项的系数为0，据此即可计算；③代入，可得，解方程即可求解；④根据有最小值为7，可得，代入，，可得，解不等式，即可求解． 【详解】解：①∵ ∴ 当时，原式，故①错误； ② ∵的取值无关， ∴ ∴，故②错误； ③ 当时， ∴或 解得：或； 故③正确； ④∵有最小值为7 ∴ 由②可得 当时， ∴ ∴ 解得：，故④正确 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多项式的加减混合运算，解绝对值方程，解一元一次不等式组等知识，掌握多项式的加减混合运算以及分类讨论的思想是解答本题的关键． 2．一般情况下，对于数a和b，（“”不等号），但是对于某些特殊的数a和b，．我们把这些特殊的数a和b，称为“理想数对”，记作．例如当，时，有，那么就是“理想数对”． （1）如果是“理想数对”，那么 ． （2）若是“理想数对”，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，整式的化简求值．理解题意，熟练掌握解一元一次方程，整式的化简求值解一元一次方程，整式的化简求值是解题的关键． （1）由题意得，，计算求解即可； （2）由题意得，，整理得，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是“理想数对” ∴， 解得，， 故答案为：； （2）解：∵是“理想数对”， ∴，整理得，， ∴ ． 3．如图所示，已知，点是的中点，，． (1)若，其中，求的值 (2)在（1）的情况下，求线段的长． 【答案】(1)22 (2)12 【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，一元一次方程的应用，线段的和差倍分关系的应用，理解题意，建立方程是解本题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，得到化简的结果，再把代入计算即可； （2）设，，再分别表示，，再建立方程求解即可； 【详解】（1）解： ， 当时，， （2）， 设，， ， ，， 点是的中点， ， ，， ， ， ， ． 4．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如： 若 ，则   ； 我们将 作为一个整体代入，则原式 ． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若 ，则 ； (2)如果 ，求 的值； (3)若 ，求 的值． 【答案】(1) (2)15 (3)36 【分析】本题主要考查了整式的加减—化简求值，正确运用整体思想是解答的关键． （1）由可得，然后将作为一个整体代入计算即可； （2）将所求代数式化为，将作为一个整体代入计算即可． （3）先将所求代数式化为，然后将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解： ∵， ∴． （3）解：∵， ∴． 5．我们定义：对于数对，若，则称为“和积等数对”．如：因为，，所以都是“和积等数对”． (1)下列数对中，是“和积等数对”的是________；（填序号） ①；②；③． (2)若是“和积等数对”，求的值； (3)若是“和积等数对”，求代数式的值． 【答案】(1)①③ (2) (3)24 【分析】本题考查解一元一次方程，整式的加减—化简求值； （1）根据“和积等数对”的定义即可得到结论； （2）根据“和积等数对”的定义列方程即可得到结论； （3）将原式去括号，合并同类项进行化简，然后根据新定义内容列出等式并化简，最后代入求值． 【详解】（1）解：∵， ∴数对是“和积等数对”， ∵， ∴不是“和积等数对”， ∵， ∴数对是“和积等数对”， 故答案为：①③； （2）∵是“和积等数对”， ∴， 解得：； （3） ， ∵是“和积等数对” ∴， ∴原式 ． 6．在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“☆”法则： ． 如：． （1）计算：　　． （2）计算：　　． （3）在，，，…，，，，，…，，这个数中： ①任取三个数作为a，b，c的值，进行“”运算，求所有计算结果中的最小值； ②若将这个数任意分成五组，每组三个数，进行“”运算，得到五个不同的结果，由于分组不同，所有五个运算的结果也不同，请直接写出五个结果之和的最大值． 【答案】（1）4；（2）3；（3）①当，，时，可取最小值为；②． 【分析】（1）根据新运算法则列式计算即可； （2）根据新运算法则列式计算即可； （3）①分类讨论，，化简求得原式的最小值； ②将，，，分别赋予和，同时赋予四个负数，最后一组，同时，为两个负数，分别进行计算，从而求解． 【详解】解：（1）根据题意： ； 故答案为：4； （2）根据题意得： ； 故答案为：3； （3）①当时， ， 当时， ， 当，，时， 可取最小值为，即的最小值为； ②当，，时，此时， ； 当，，时，此时， ； 当，，时，此时， ； 当，，时，此时， ； 当，，时，此时， ； 即五个结果的最大值为． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，整式的加减运算，理解新定义运算法则及绝对值的意义，发现当时，，当时，是解题关键． 压轴题型六 整式加减中的无关问题 1．今天是6月28日，小吴用如图①所示的三张长方形纸片分别剪出数字6、2、8（如图②③④），剪成的数字可以分割成一些相同的白色长方形和一个黑色长方形（所有长方形的宽度相等），小吴用其中一个白色长方形和数字8中的黑色长方形拼成图形⑤，将数字6中剪去的两部分（、）拼成长方形⑥，经过测量和计算，小吴发现长方形⑥的周长恰好是图形⑤的周长的2倍，则黑色长方形中长与宽的比是（    ） A．11:3 B．5:1 C．7:2 D．4:1 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减的应用；设黑色小长方形纸片的长为b，宽为a，根据已知条件长方形⑥的周长恰好是图形⑤的周长的2倍，求出比值即可． 【详解】解：设黑色小长方形纸片的长为b，宽为a，则白色长方形的长为，宽为， ∴⑤的周长为， ⑥的长为，宽为， ∴⑥的周长为， 又∵长方形⑥的周长恰好是图形⑤的周长的2倍， ∴，即， ∴黑色长方形中长与宽的比是， 故选：B． 2．如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M为“幸运数”，并把数M分解成的过程，称为“成功分解”．例如，因为，23和25的十位数字相同，个位数字之和为8；所以575是“幸运数”． （1）最小的“幸运数”是 ； （2）把一个“幸运数”M进行“成功分解”，即，A与B的和记为，A与B的差记为，若能被9整除，则M的值为 ． 【答案】 187 或或 【分析】本题考查了整式加减的应用等知识点，正确理解“幸运数”的定义是解题关键． （1）根据“幸运数”的定义进行判断即可得； （2）设两位数A和B的十位数字均为m，A的个位数字为n，则B的个位数字为，且m为1至9的自然数，从而可得，则，，得到，根据，自然数M的个位数字不为0，以及，可得n为7或6或5，然后根据能被9整除，分别求出m、n的值，由此可得． 【详解】解：（1）∵自然数M的个位数字不为0，，当两个数的和一定时，差越大积越小， ∴根据“幸运数”的定义，可得最小的“幸运数”为， 故答案为：． （2）由题意，设两位数A和B的十位数字均为m，A的个位数字为n，则B的个位数字为，且m为1至9的自然数， ∴， ∴， ， ∵，自然数M的个位数字不为0， ∴n为7、6、5或者4． ∵， ∴n为7或6或5， ∴， ∵能被9整除． ∴当时， ， 即能被9整除，因为m为1至9的自然数， 满足条件的整数m只能是5． 此时， ； 当时， ， 即能被9整除，因为m为1至9的自然数， 满足条件的整数m只能是5． 此时， ； 当时， ， 即能被9整除，因为m为1至9的自然数， 满足条件的整数m只能是5． 此时， ； 故答案为：或或． 3．【阅读材料】 材料一：对于实数x，y定义一种新运算K，规定：（其中a，b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．比如：；． 已知：；． 材料二：“已知x，y均为非负数，且满足，求的范围”，有如下解法： ∵，∴， ∵x，y是非负数，∴即，∴， ∵，∴， ∴． 【回答问题】 (1)求出a和b的值； (2)已知x，y均为非负数，，求的取值范围； (3)已知x，y，z都为非负数，，，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)最大值和最小值 【分析】（1）由新定义运算的含义结合已知条件建立方程组，再解方程组可得答案； （2）先表示，再根据，是非负数，可得且可得，而，再结合不等式的性质可得答案； （3）由新定义运算的含义可得，可得，仿照（2）的方法建立不等式组可得，再结合，再结合x的范围可得最大值与最小值； 【详解】（1）解：∵；，， ∴， ∴解方程组得：； （2）∵， ， ，是非负数， 即， ， ∵， ∴ ， ． （3）∵，，而， ∴， 解得：， ∵，，都为非负数， ∴，解得：， ∴ ； 当时，， 当时，． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，代数式的最大值与最小值的计算，新定义运算的含义，理解题意，建立合适的方程组与不等式组是解本题的关键． 4．阅读下面材料并解决问题： 两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数和比较大小，那么，当时，有；当时，有；当时，有；反过来也对，即当时，有；当时，有；当时，有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．像这样判断两数大小关系的方法叫做求差法，请你用求差的方法解决以下问题： (1)若，，则　　0，　　（填，或； (2)如图，图1长方形1的周长　　，图2长方形Ⅱ的周长　　，用求差法比较、的大小； (3)制作某产品有两种用料方案，方案一：用3块A型钢板，用5块B型钢板；方案二：用2块A型钢板，用6块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板的面积大．设A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y，从省料角度考虑，应选哪种方案？ 【答案】(1)＞，＞ (2) (3)从省料角度考虑，应选方案二 【分析】本题考查比差法及应用，涉及整式的加减，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决． （1）用减即可得到答案； （2）由长方形的周长公式得，，再作差讨论比较即可； （3）方案一所用钢板面积为：，方案二所用钢板面积为：，再作差比较即可． 【详解】（1）， ， 故答案为：，； （2）图1长方形的周长，图2长方形的周长， ， 当时，， 当时，； 当时，， 故答案为：，； （3）根据题意，方案一所用钢板面积为：，方案二所用钢板面积为：， ， 且， ， 从省料角度考虑，应选方案二． 5．若一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别为则这个三位数可记为，易得． (1)如果要用数字组成一个三位数（各数位上的数不同），那么组成的数中最大的三位数是，最小的三位数是． (2)若一个三位数各数位上的数由三个数字组成，且．那么，请说明所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被整除． 【答案】(1) (2)理由见解析 【分析】本题考查整式加减计算，有理数加减计算，解题的关键是读懂题目意思正确列式， （1）根据大数位数字越大整个数字越大，大数位数字越小整个数字越小，即可得到答案； （2）组出最大三位数与最小三位数作差化简即可得到答案； 【详解】（1）解：用数字组成一个三位数（各数位上的数不同），那么组成的数中最大的三位数是，最小的三位数是． 故答案为：； （2）(2)证明:一个三位数各数位上的数由三个数字组成,且， 所组成的最大三位数为：，最小三位数为：， 所组成的最大三位数与最小三位数之差为， ， 所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被99整除． 6．对于一个正三位数，若其百位数字与个位数字的和与十位数字的差等于3，则称这个三位数为“三三数”． 例如：，∵，∴124是“三三数”． (1)直接填空：256______“三三数”；（填“是”或“不是”） (2)若（，且为整数），试说明是“三三数”； (3)已知是“三三数”，且（，，且、均为整数），是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数，若与的和能被6整除，试求的值． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3)的值为或 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、整式的加减的应用，理解题意，正确列式计算，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）求出，再根据“三三数”的定义判断即可； （2）由题意得出的百位上的数字为，个位上的数字为，十位上的数字为，从而得出，由此即可得解； （3）分两种情况：当时，的百位数字为，十位数字为，个位数字为；当时，的百位数字为，十位数字为，个位数字为，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， 256是“三三数”， 故答案为：是； （2）解：， 的百位上的数字为，个位上的数字为，十位上的数字为， ， 是“三三数”； （3）解：（，，且、均为整数）， 当时，的百位数字为，十位数字为，个位数字为， 是“三三数”， ， ， 是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数， ，， ， 与的和能被6整除，且， ，此时，； 当时，的百位数字为，十位数字为，个位数字为， 是“三三数”， ， ， ， ， 是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数， ，， ， 与的和能被6整除，且， ，此时，； 综上所述，的值为或． 压轴题型七 整式加减的应用 1．代数式4x3–3x3y+8x2y+3x3+3x3y–8x2y–7x3的值 A．与x，y有关 B．与x有关 C．与y有关 D．与x，y无关 【答案】D 【详解】根据整式的加减—合并同类项，可知=，因此多项式与x、y均无关. 故选D. 2．已知，． （1）当时，化简： ． （2）若的值与x的值无关，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值，牢记运算顺序“先合并同类项，再代入求值”是解题关键． 【详解】解：（1） 将代入得： ． （2） 的值与x的值无关， ， 3．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，已知是，数是最大的负整数，是单项式的次数． (1)_____，_______． (2)点，，开始在数轴上运动，若点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为． ①_____，________．（用含的代数式表示） ②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． ③若点，，与三点同时开始在数轴上运动，点从原点出发以每秒4个单位长度的速度向左运动，请含的式子表示． 【答案】(1)，3 (2)①；；②不变，16；③或． 【分析】（1）根据最大的负整数是，单项式的次数是3，得到，得到，3即可． （2）①根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为，根据公式计算解答即可． ②根据题意，得，，代入，化简计算说明即可． ③根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点从原点出发以每秒4个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，点M运动路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，点M起始数为0，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为，点M表示的数是，分点M在点A的左侧和右侧两种情形解答即可． 本题考查了最大的负整数，单项式的次数，数轴上运动路程，两点间的距离，分类思想，代数式的无关问题，熟练掌握运动路程与表示数的关系，两点间的距离公式是解题的关键． 【详解】（1）根据最大的负整数是，单项式的次数是3， 得，， 故答案为：，3． （2）①根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， 故答案为：；． ②根据题意，得，， ∴． 故的值不变，这个常数是16． ③根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点从原点出发以每秒4个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，点M运动路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，点M起始数为0，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为，点M表示的数是，分点M在点A的左侧和右侧两种情形解答即可． 当在的右侧时，根据题意，得，， ∴． 当在的左侧时，根据题意，得，， ∴． 4．学校10月19日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵0.2元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元． (1)双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ (2)若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如下表： 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 单价 1元 1.5元 现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． (3)若要求购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，其中三色圆珠笔单价为a元，在总数量不变的前提之下，无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变．求此时a的值和总费用． 【答案】(1)单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元； (2)购买单色圆珠笔和三色圆珠笔各支，双色圆珠笔支 (3)此时的值为，总费用始终不变，总费用为元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式的应用，根据题意列出方程和整式是解题的关键． （1）设单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元，根据列出方程求解即可； () 设购买单色圆珠笔支，三色圆珠笔支，则双色圆珠笔支，然后分购买球珠直径、球珠直径三色圆珠笔的总费用等于列方程，解方程取符合题意的值即可； () 设购买支三色圆珠笔，则单色圆珠笔支，双色圆珠笔支，总费用为元，由题意列出方程，根据总费用始终不变，求出和的值即可． 【详解】（1）解：设单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为 元， 由题意得：， 解得， ∴， 答：单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元； （2）解：设购买单色圆珠笔支，三色圆珠笔支，则双色圆珠笔支， 当选球珠直径三色圆珠笔购买时， 则， 解得，不合题意； 当选球珠直径三色圆珠笔购买时， 则， 解得， ∴，符合题意， 答：购买单色圆珠笔和三色圆珠笔各支，双色圆珠笔支； （3）解：设购买支三色圆珠笔，则单色圆珠笔支，双色圆珠笔支，总费用为元， 由题意得： ， ∵与无关， ∴， 解得：， ∴， 答：此时的值为，总费用始终不变，总费用为元． 5．创新题：类比同类项的概念，我们规定：对于两个多项式A和B，若所含字母相同，项数相同，并且对于A中的每一项，B中都有对应的项是同类项，我们就称这两个多项式是“同类多项式”． 例如：与是“同类多项式”，与不是“同类多项式” (1)给出下列三个多项式： ①，②，③． 其中与是“同类多项式”的是 （填写序号）． (2)已知A，B，C均为关于x，y的多项式，，，，若C与是“同类多项式”，求m，n的值． (3)已知D，E为关于x的“同类多项式”，，，若是关于x的一元一次方程且有正整数解，若a为整数，求k，a的值． 【答案】(1)①③ (2)， (3)， 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，一元一次方程的定义，解一元一次方程： （1）根据“同类多项式”的定义，即可求解； （2）先求出，再根据“同类多项式”的定义，即可求解； （3）根据“同类多项式”的定义，可得，，再求出，可得，即可求解． 【详解】（1）解：与是“同类多项式”的是，． 故答案为：①③ （2）解：          因为C与是“同类多项式”， 所以，， ，． （3）解：因为D、E是“同类多项式”， 所以，． ， 因为是关于x的一元一次方程，且有正整数解， ∴是关于x的一元一次方程，且有正整数解， 所以， 所以．   所以 解得：， 因为22的正因数有1、2、11、22，a是整数， 所以，，不符合题意，舍去； ，，不符合题意，舍去； ，，符合题意； ，，不符合题意，舍去； 综上所述，． 6．已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：．      (1)求m、n的值； (2)①情境：有一个玩具火车如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为__________个单位长度； ②应用：如图1所示，当火车匀速向右运动时，若火车完全经过点M需要2秒，则火车的速度为__________个单位长度/秒． (3)在（2）的条件下，当火车匀速向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数k使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)7， (2)①3个单位长度；②个单位长度/秒 (3)存在，， 【分析】（1）根据得，计算即可． （2）①设A表示的数为, B表示的数为,小火车的长度为,根据题意，，，建立方程计算即可． ②根据①得，火车完全经过点M需要2秒，点A运动路程为单位长度，利用速度=路程÷时间计算即可． （3）设玩具火车运动的时间为t秒，则点B运动到点的距离为个单位长度，此时点表示的数是，继而得到，根据题意，得到点表示的数是，点表示的数是，继而表示，代入化简，令t的系数为零计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴． （2）①设A表示的数为, B表示的数为，小火车的长度为, 根据题意，得，，， ∴， ∴， 解得， 即玩具火车长3个单位长度， 故答案为：3． ②根据①得，火车完全经过点M需要2秒， 故点A运动路程为３单位长度， ∴玩具火车的速度为：（单位长度/秒） 故答案为：． （3）存在，，理由如下： 设玩具火车运动的时间为t秒，则点B运动到点的距离为个单位长度，此时点表示的数是， ∴， 根据题意，得到点表示的数是，点表示的数是， ∴， ∴， ∵常数k使得的值与它们的运动时间无关， ∴， 解得， 故， 故当时，常数k使得的值与它们的运动时间无关，此时值为． 【点睛】本题考查了数轴的动点问题，两点间的距离，数轴上的点与数的关系，多项式的无关计算，熟练掌握动点运动的规律和多项式的无关计算是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！54 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 整式的加减（7大题型）（42道压轴题专练） 压轴题型一 代数式的值压轴题型 1．实数 满足 ，记代数式 的最大值为 ，最小值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．若，则= ． 3．已知：如图所示，数轴上、、三点所对应的数分别为、、． (1)在数轴上表示2的点与表示6的点之间的距离为______；在数轴上表示的点与表示4的点之间的距离为______；在数轴上表示的点与表示的点之间的距离为______；由此可得数轴上点、之间的距离为______； (2)化简：； (3)若的绝对值是3，的倒数是它本身，的相反数是，求：的值． 4．整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）如果，求的值； （2）当时，代数式的值为，当时，求代数式的值；（用含的代数式表示） 【拓展应用】 （3）周末爸爸妈妈带着小明和妹妹在小区的休闲区运动．爸爸和小明在休闲区的环形跑道上跑步，两人相距20米，同时反向运动，小明的速度是，爸爸的速度是，经过两人第一次相遇．妈妈带着妹妹做追逐游戏，妹妹在妈妈前面，两人同时同向起跑，妹妹的速度是，妈妈的速度也是，经过，妈妈追上妹妹． ①休闲区的环形跑道周长是_____________m；（用含的代数式表示） ②起跑时，妹妹站在妈妈前面_____________m；（用含的代数式表示） ③若休闲区的环形跑道周长是，起跑时妹妹站在妈妈前面，综合上述信息求代数式的值． 5．如图，数轴上点分别表示数，其中，． (1)当时，线段的中点表示的数是_______； (2)若数轴上另有一点表示数3． ①若点在线段上，且，求式子的值； ②点为线段上一动点，点为线段上一动点，当时，线段的最大长度为5，求的值． 6．特殊与一般是重要的数学方法，当我们遇到复杂问题时，可以通过特殊情况下的分析尝试，积累经验再进行一般化的研究． (1)：若，则的值确定吗？若确定，求出确定的值；若不确定，说明理由； 特例分析：当时，__________；当时，__________； 一般化研究：若，则__________； (2)：若，，求的值； (3)：若，且，，，……，，这2024个数中有个正数，则的值为__________（用含的式子表示）． 压轴题型二 数字类规律探索压轴题 1．数据，□，，，，…是按照一定规律有序排列的，则“□”里应填的数是（　　） A． B． C． D． 2．观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：． 按上述规律，回答以下问题： （1）用含的代数式表示第个等式： ． （2）计算： ． 3．观察下列各式：；；；；； (1)探索式子的规律，试写出第个等式； (2)运用上面的规律，计算； (3)计算：． 4．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题 ；；； (1)按以上规律，第个等式为：______；第个等式为：______（用含的式子表示，为正整数）； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 5．阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题： 经过研究，这个问题的一般性结论是，其中ｎ是正整数．现在我们来研究一个类似的问题： 观察下面三个特殊的等式 将这三个等式的两边相加，可以得到 读完这段材料，请你思考后回答： (1)　　　　　； (2)　　　　　　　　； (3) ． 6．【问题提出】 欧洲杯正如火如荼进行中，本次比赛支参赛球队分成个小组，小组赛每小组支球队进行单循环比赛，（任何一队都要与其他各队比赛一场且只比赛一场，不同小组之间不进行小组赛），则本次欧洲杯总计有几场小组赛比赛？ 【构建模型】 为解决上述问题，我们构建如下数学模型：如图①，我们可以在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段． （1）若某次比赛有支队伍进行单循环比赛，借助图②，我们可知一共要安排______场比赛； （2）根据以上规律，若有支足球队进行单循环比赛，则一共要安排______场比赛． 【实际应用】 （3）年欧洲杯足球赛，总计需要安排______场小组赛． （4）甬舟铁路预计年通车，届时杭州到舟山的车程将缩短至一个半小时左右，从起点杭州站出发，途经绍兴、余姚、宁波、马岙，至终点白泉站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种． 压轴题型三 图形类规律特殊压轴题 1．汉诺塔问题是指有三根杆子和套在杆子上的若干大小不等的碟片，按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上； （1）每次只能移动1个碟片． （2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面． 如图所示，将1号杆子上所有碟片移到2号杆子上，3号杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将1号杆子上的个碟片移动到2号杆子上最少需要次，则（    ） A．31次 B．33次 C．62次 D．63次 2．将实数按图所示方式排列．若用表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之和是 ． 3．【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案． 【规律发现】 （1）第⑤个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； （2）第n个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； 【规律应用】 （3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为______；此时还剩下______枚棋子． 4．如图，用个实心圆圈，个圆圈相间组成一个圆环，然后把这样的圆环从左到右按下列差律组成圆环串； 相邻两圆环有一公共圆圈，公共圆圈从左到右以实心圆圈和空心圆圈相间排列． 圆环串中圆环的个数 实心圆圈和空心圆圈的总个数 (1)把表格补充完整： (2)设圆环串由个圆环组成，请你直接写出组成这圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数______个(用含的代数式表示)； (3)如果圆环串由这样的圆环个组成，那么实心圆圈和空心圆圈的总数有多少个? 有多少个空心圆圈? 5．如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是______； (2)以下是甲，乙两位同学求的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求，； 乙同学的方法：① ② ②－①即可． 根据两位同学的方法，你认为______； (3)______； (4)计算：； (5)请借助甲，乙同学的方法，分别求出的值． 6．如图，下列图形是由边长为1个单位长度的小正方形按照一定规律摆放的“”形图形，观察图形：    (1)按此规律，图4中小正方形的数量是______个； (2)我们把图1中小正方形个数记作，图2中小正方形图个数记作，图中小正方形个数记作，若，求的值． 压轴题型四 合并同类项压轴题型 1．合并同类项的结果为（    ） A．0 B． C．m D．无法确定 2．已知，，，且a，b，c，d均不为0，则 3．观察下列的三行单项式 、、、、、、……① 、、、、、、……② 、、、、、、……③ (1)根据你发现的规律，第①行第8个单项式为 (2)第②行的第8个单项式为 ，第③行的第8个单项式为 (3)取每行的第9个单项式，记这三个单项式的和为，计算当时，求的值． 4．阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是 ； (2)已知，求的值． (3)若，，则值为 ． 5．我们定义：对于有理数数和，若，则称，互为“和积友好数”． 如：因为，所以和互为“和积友好数”． (1)下列各组数中，互为“和积友好数”的是________；（填序号） ①和    ②和 (2)若和互为“和积友好数”，求的值； (3)若和互为“和积友好数”，求式子的值． 6．类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于或的项是“强同类项”，例如：与是“强同类项”． (1)给出下列四个单项式：①，②，③，④．其中与是“强同类项”的是 (填写序号)； (2)若与是“强同类项”，求的值； (3)若为关于、的多项式，，当的任意两项都是“强同类项”，求的值； (4)已知、均为关于，的单项式，其中，，如果、是“强同类项”，那么的最大值是 ，最小值是 ． 压轴题型五 整式加减的化简求值 1．已知，则下列说法： ①若，则； ②若的值与的取值无关，则； ③当时，若，则或； ④当时，有最小值为7，则． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．一般情况下，对于数a和b，（“”不等号），但是对于某些特殊的数a和b，．我们把这些特殊的数a和b，称为“理想数对”，记作．例如当，时，有，那么就是“理想数对”． （1）如果是“理想数对”，那么 ． （2）若是“理想数对”，则的值为 ． 3．如图所示，已知，点是的中点，，． (1)若，其中，求的值 (2)在（1）的情况下，求线段的长． 4．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如： 若 ，则   ； 我们将 作为一个整体代入，则原式 ． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若 ，则 ； (2)如果 ，求 的值； (3)若 ，求 的值． 5．我们定义：对于数对，若，则称为“和积等数对”．如：因为，，所以都是“和积等数对”． (1)下列数对中，是“和积等数对”的是________；（填序号） ①；②；③． (2)若是“和积等数对”，求的值； (3)若是“和积等数对”，求代数式的值． 6．在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“☆”法则： ． 如：． （1）计算：　　． （2）计算：　　． （3）在，，，…，，，，，…，，这个数中： ①任取三个数作为a，b，c的值，进行“”运算，求所有计算结果中的最小值； ②若将这个数任意分成五组，每组三个数，进行“”运算，得到五个不同的结果，由于分组不同，所有五个运算的结果也不同，请直接写出五个结果之和的最大值． 压轴题型六 整式加减中的无关问题 1．今天是6月28日，小吴用如图①所示的三张长方形纸片分别剪出数字6、2、8（如图②③④），剪成的数字可以分割成一些相同的白色长方形和一个黑色长方形（所有长方形的宽度相等），小吴用其中一个白色长方形和数字8中的黑色长方形拼成图形⑤，将数字6中剪去的两部分（、）拼成长方形⑥，经过测量和计算，小吴发现长方形⑥的周长恰好是图形⑤的周长的2倍，则黑色长方形中长与宽的比是（    ） A．11:3 B．5:1 C．7:2 D．4:1 2．如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M为“幸运数”，并把数M分解成的过程，称为“成功分解”．例如，因为，23和25的十位数字相同，个位数字之和为8；所以575是“幸运数”． （1）最小的“幸运数”是 ； （2）把一个“幸运数”M进行“成功分解”，即，A与B的和记为，A与B的差记为，若能被9整除，则M的值为 ． 3．【阅读材料】 材料一：对于实数x，y定义一种新运算K，规定：（其中a，b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．比如：；． 已知：；． 材料二：“已知x，y均为非负数，且满足，求的范围”，有如下解法： ∵，∴， ∵x，y是非负数，∴即，∴， ∵，∴， ∴． 【回答问题】 (1)求出a和b的值； (2)已知x，y均为非负数，，求的取值范围； (3)已知x，y，z都为非负数，，，求的最大值和最小值． 4．阅读下面材料并解决问题： 两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数和比较大小，那么，当时，有；当时，有；当时，有；反过来也对，即当时，有；当时，有；当时，有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．像这样判断两数大小关系的方法叫做求差法，请你用求差的方法解决以下问题： (1)若，，则　　0，　　（填，或； (2)如图，图1长方形1的周长　　，图2长方形Ⅱ的周长　　，用求差法比较、的大小； (3)制作某产品有两种用料方案，方案一：用3块A型钢板，用5块B型钢板；方案二：用2块A型钢板，用6块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板的面积大．设A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y，从省料角度考虑，应选哪种方案？ 5．若一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别为则这个三位数可记为，易得． (1)如果要用数字组成一个三位数（各数位上的数不同），那么组成的数中最大的三位数是，最小的三位数是． (2)若一个三位数各数位上的数由三个数字组成，且．那么，请说明所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被整除． 6．对于一个正三位数，若其百位数字与个位数字的和与十位数字的差等于3，则称这个三位数为“三三数”． 例如：，∵，∴124是“三三数”． (1)直接填空：256______“三三数”；（填“是”或“不是”） (2)若（，且为整数），试说明是“三三数”； (3)已知是“三三数”，且（，，且、均为整数），是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数，若与的和能被6整除，试求的值． 压轴题型七 整式加减的应用 1．代数式4x3–3x3y+8x2y+3x3+3x3y–8x2y–7x3的值 A．与x，y有关 B．与x有关 C．与y有关 D．与x，y无关 2．已知，． （1）当时，化简： ． （2）若的值与x的值无关，则代数式的值为 ． 3．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，已知是，数是最大的负整数，是单项式的次数． (1)_____，_______． (2)点，，开始在数轴上运动，若点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为． ①_____，________．（用含的代数式表示） ②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． ③若点，，与三点同时开始在数轴上运动，点从原点出发以每秒4个单位长度的速度向左运动，请含的式子表示． 4．学校10月19日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵0.2元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元． (1)双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ (2)若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如下表： 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 单价 1元 1.5元 现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． (3)若要求购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，其中三色圆珠笔单价为a元，在总数量不变的前提之下，无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变．求此时a的值和总费用． 5．创新题：类比同类项的概念，我们规定：对于两个多项式A和B，若所含字母相同，项数相同，并且对于A中的每一项，B中都有对应的项是同类项，我们就称这两个多项式是“同类多项式”． 例如：与是“同类多项式”，与不是“同类多项式” (1)给出下列三个多项式： ①，②，③． 其中与是“同类多项式”的是 （填写序号）． (2)已知A，B，C均为关于x，y的多项式，，，，若C与是“同类多项式”，求m，n的值． (3)已知D，E为关于x的“同类多项式”，，，若是关于x的一元一次方程且有正整数解，若a为整数，求k，a的值． 6．已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：．      (1)求m、n的值； (2)①情境：有一个玩具火车如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为__________个单位长度； ②应用：如图1所示，当火车匀速向右运动时，若火车完全经过点M需要2秒，则火车的速度为__________个单位长度/秒． (3)在（2）的条件下，当火车匀速向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数k使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值：若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$