精品解析：广东省惠州市大亚湾区金澳实验学校2023-2024学年八年级下学期月考数学试题

金澳学校2023-2024学年第二学期第二次知识点过关八年级数学学科试卷 （考试时间120分钟，总分120分） 一. 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 有一个三角形两边长为3和4，要使三角形为直角三角形，则第三边长为（ ） A. 5 B. C. 5或 D. 无法确定 3. 如图，一棵大树被风吹断后，树尖落在距树脚8米远，大树折断处离地面6米，则大树高（ ） A. 6米 B. 10米 C. 16米 D. 18米 4. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直且相等 6. 王老师在讲“实数”时画了一个图（如图），即“以数轴的单位长度的线段为边作一个正方形，然后以表示－1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”.则数轴上点A所表示的数是（ ） A. －1 B. －＋1 C. D. － 7. 如图，在中，连接，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形 中，对角线 ，相交于点 ，，，则 的长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形的对角线、相交于点．若，，，垂足为，则的长为（ ） A. 12 B. 14 C. D. 10. 如图，在正方形中，，点 在边上，且 点 是对角线上的一个动点，的最小值是（ ） A. 8 B. C. 9 D. 10 二. 填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算______． 12. 二次根式中，x的取值范围是___． 13. 如图，，要使四边形成为平行四边形还需要添加的条件是______．（只需写出一个即可） 14. 已知 ，则 的值是______． 15. 菱形的周长为，一条对角线长为，则另一条对角线的长为________． 16. 如图，矩形中，，，点在边上，，，则___． 三、解答题（一）（17、18题各5分，19、20题各6分，共22分） 17. 18. 如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，，求证：四边形是平行四边形． 19. 如图，在四边形中，已知，，，，． （1）求证：是直角三角形； （2）求四边形的面积． 20. 现有一长方形纸片，在剪纸过程中需要折叠．如图，将沿折叠，使点D恰好落在边上的点F处．已知，求的长． 四、解答题（二）（共3题，21题8分，22,23每题9分，共26分） 21. 观察下列等式： ①；②； ③；… 回答下列问题： （1）化简：______； （2）化简：______；（为正整数） （3）利用上面所揭示的规律计算： ． 22. 如图，已知正方形，，点M在边上，射线交于点E，交射线于点F，过点C作，交于点P． （1）求证：． （2）判断的形状，并说明理由． （3）作的中点N，连接，若，求的长． 23. 如图，在中，，延长至D，使得，过点A，D分别作，，与相交于点E．下面是两位同学的对话： 小星：由题目的已知条件，若连接，则可 证明． 小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明． （1）请你选择一位同学的说法，并进行证明； （2）连接，若，求的长． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每题12分，共24分） 24. 如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）当时，四边形是什么特殊的四边形？并说明理由； （3）若，，则四边形的面积是________． 25. 如图，在直角坐标系中，点E为线段上一动点，点C为y轴上的一动点． （1）如图（1），若，过点E作于点M，连接，设，，判断四边形的形状，请证明你的结论． （2）如图（2），过点E作交于点D，点F在线段上，设，，且点． ①若四边形为平行四边形，用含t的式子表示点C的坐标． ②若四边形为菱形，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金澳学校2023-2024学年第二学期第二次知识点过关八年级数学学科试卷 （考试时间120分钟，总分120分） 一. 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，该选项符合题意； B、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，该选项不符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，该选项不符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2. 有一个三角形两边长为3和4，要使三角形为直角三角形，则第三边长为（ ） A. 5 B. C. 5或 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，利用分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当第三边为斜边时和当第三边为直角边时，分别根据勾股定理计算即可． 【详解】解：分类讨论：当第三边为斜边时，第三边长为； 当第三边为直角边时，第三边长为． 故第三边长为5或． 故选C． 3. 如图，一棵大树被风吹断后，树尖落在距树脚8米远，大树折断处离地面6米，则大树高（ ） A. 6米 B. 10米 C. 16米 D. 18米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理求得长即可． 【详解】解： 如图，根据题意，得米，米，， 则， ∴米， ∴大树高（米）， 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法法则、乘法法则、二次根式的除法法则进行判断． 【详解】解：A．与不能合并，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项正确 ，符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的加减法法则、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． 5. 下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直且相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形．正确． B、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形．错误． C、对角线相等的四边形不一定是平行四边形．错误． D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形．错误． 故选：A． 6. 王老师在讲“实数”时画了一个图（如图），即“以数轴的单位长度的线段为边作一个正方形，然后以表示－1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”.则数轴上点A所表示的数是（ ） A. －1 B. －＋1 C. D. － 【答案】A 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出正方形的对角线长，再根据两点间的距离公式为：两点间的距离=较大的数-较小的数，便可求出-1和A之间的距离，进而可求出点A表示的数． 【详解】数轴上正方形的对角线长为：，由图中可知-1和A之间的距离为． ∴点A表示的数是-1． 故选A． 【点睛】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，本题需注意：知道数轴上两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离． 7. 如图，在中，连接，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，，由，求的值，进而可得． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 8. 如图，在矩形 中，对角线 ，相交于点 ，，，则 的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的性质以及等边三角形的判定，利用矩形的性质得出，再利用等边三角形的判定得出即可． 【详解】解：如图所示：在矩形中对角线，相交于点，，， ，则是等边三角形， 的长为． 故选：A． 9. 如图，菱形的对角线、相交于点．若，，，垂足为，则的长为（ ） A. 12 B. 14 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用菱形的性质和勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． ∵， ∴菱形的面积， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形对角线互相垂直平分是解题的关键． 10. 如图，在正方形中，，点 在边上，且 点 是对角线上的一个动点，的最小值是（ ） A. 8 B. C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，连接，交于，连接，当点在处时，最小，最小值是的长，进一步得出结果． 【详解】解：如图， 连接，交于，连接， 当点在处时，最小，最小值是的长， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 的最小值为10， 故选：D． 二. 填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式的除法计算即可． 本题考查了二次根式的除法，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：2． 12. 二次根式中，x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，即可． 【详解】解：根据题意得∶， ∴． 故答案为：． 13. 如图，，要使四边形成为平行四边形还需要添加的条件是______．（只需写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】已知，可根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形来判定，（也可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形来判定，还可通过平行线的判定定理添加角相等的条件），进而即可添加条件． 【详解】解：∵在四边形中，， ∴可添加的条件是：， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）； 故答案为：．（答案不唯一，只要符合题意即可） 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定方法，常用的平行四边形的判定方法有：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 14. 已知 ，则 的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件求得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：由题意得，， 则， 那么， 则， 故答案为：． 15. 菱形的周长为，一条对角线长为，则另一条对角线的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质，先求菱形的边长，利用勾股定理求另一条对角线的长度． 【详解】解：如图，菱形中，， ∴，， ∵菱形的周长为， ∴， ∴， ∴． 则这个菱形的另一条对角线长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形对角线互相垂直平分、菱形各边长相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求的值，是解题的关键． 16. 如图，矩形中，，，点在边上，，，则___． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，连接，利用勾股定理列式求出，再根据矩形的对角线相等且互相平分求出、，然后根据列方程求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是矩形， ，，，， ， ，， ， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 三、解答题（一）（17、18题各5分，19、20题各6分，共22分） 17. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，先算零指数幂，平方根和去绝对值，再算加减； 【详解】解：原式 18. 如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：， ，即． 四边形是平行四边形， ，． ． 在和中 ，． ． 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】先证，则，，可得，可证四边形是平行四边形． 【详解】略 19. 如图，在四边形中，已知，，，，． （1）求证：是直角三角形； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：在中，，，， ， 在中，，， ，即， ，即是直角三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，含角直角三角形的特征，勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质得到，根据跟勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，，，，， ， 的面积为：， 又的面积为：， 四边形的面积为：． 20. 现有一长方形纸片，在剪纸过程中需要折叠．如图，将沿折叠，使点D恰好落在边上的点F处．已知，求的长． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，掌握折叠的性质成为解题的关键． 设的长为x，则，由折叠的性质可得，进而得到，然后再运用勾股定理可得，即；然后再中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设的长为x，则， ∵折叠后的图形是， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得：，解得：， ∴， 在中，由勾股定理得：，即，解得． ∴的长为3． 四、解答题（二）（共3题，21题8分，22,23每题9分，共26分） 21. 观察下列等式： ①；②； ③；… 回答下列问题： （1）化简：______； （2）化简：______；（为正整数） （3）利用上面所揭示的规律计算： ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题为二次根式规律题，考查了二次根式化简与二次根式的混合计算、分母有理化运算等知识． （1）类比提供的式子，分子分母同乘以，再进行计算即可求解； （2）类比提供的式子，分子分母同乘以，再进行计算即可求解； （3）利用（1）、（2）的结论，将各式进行化简，再进行加减计算即可求解． 【小问1详解】 解：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：； 故答案为：； 【小问3详解】 解： ． 22. 如图，已知正方形，，点M在边上，射线交于点E，交射线于点F，过点C作，交于点P． （1）求证：． （2）判断的形状，并说明理由． （3）作的中点N，连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ； （2） 是等腰三角形，理由如下： 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ∴ ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （3） 【解析】 【分析】（）根据正方形的性质，利用“”证明即可； （）由全等三角形的性质可得，由余角的性质可得，从而得出结论； （）由三角形中位线定理可求，再由勾股定理计算即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接， ，，， ， ， ∵， ， 点是的中点，， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理，灵活运用这些性质是解此题的关键． 23. 如图，在中，，延长至D，使得，过点A，D分别作，，与相交于点E．下面是两位同学的对话： 小星：由题目的已知条件，若连接，则可 证明． 小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明． （1）请你选择一位同学的说法，并进行证明； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：①选择小星的说法，证明如下： 如图，连接， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 又，点D在的延长线上， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ； ②选择小红的说法，证明如下： 如图，连接，， 由①可知四边形是矩形， ， 四边形是平行四边形， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）选择小星的说法，先证四边形是平行四边形，推出，再证明四边形是矩形，即可得出；选择小红的说法，根据四边形是矩形，可得，根据四边形是平行四边形，可得，即可证明； （2）根据，可得，再用勾股定理解即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：如图，连接， ，， ， ， 在中，， ， 解得 即的长为． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形和矩形的判定方法． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每题12分，共24分） 24. 如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）当时，四边形是什么特殊的四边形？并说明理由； （3）若，，则四边形的面积是________． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴， 又∵在中，，是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形． （2） 解：四边形是正方形． 理由如下： 当时，为等腰直角三角形， ∵是的中点， ∴， ∴菱形是正方形． （3） 【解析】 【分析】（1）先根据“”证明，可得，进而根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出四边形是平行四边形，最后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案； （2）先根据等腰直角三角形的性质得出，再根据“有一个角是直角的菱形是正方形”得出答案． （3）先求解，再证明，再结合菱形的性质可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，，，为的中点， ∴， ∴， ∵四边形是菱形． ∴菱形的面积． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质和正方形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质，灵活的选择特殊平行四边形的判定定理是解题的关键． 25. 如图，在直角坐标系中，点E为线段上一动点，点C为y轴上的一动点． （1）如图（1），若，过点E作于点M，连接，设，，判断四边形的形状，请证明你的结论． （2）如图（2），过点E作交于点D，点F在线段上，设，，且点． ①若四边形为平行四边形，用含t的式子表示点C的坐标． ②若四边形为菱形，求t的值． 【答案】（1） 四边形为平行四边形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形． （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先证明，根据直角三角形得出，证明，根据平行四边形的判定得出结论即可； （2）①过点E作于点G，根据勾股定理求出，根据等积法求出，证明四边形为平行四边形，得出，即可得出结果； ②根据菱形的性质得出，，，证明，得出，求出，根据勾股定理求出，根据，得出，求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①过点E作于点G，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． ②∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据①可知，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $