4.5.1 几种简单几何体的表面积 课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第4章　立体几何初步 4.5　几种简单几何体的表面积和体积 4.5.1　几种简单几何体的表面积 湘教版 数学 必修第二册 课 程 标 准 1.通过对柱体、锥体、台体的研究,掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法. 2.掌握柱体、锥体、台体、球的侧面积计算公式;能运用柱体、锥体、台体、球的侧面积公式进行计算和解决有关实际问题. 基础落实•必备知识全过关 重难探究•能力素养全提升 目录索引 成果验收•课堂达标检测 基础落实•必备知识全过关 知识点1　几种简单几何体的表面积 几何体 图形 表面积公式 直棱柱   S直棱柱侧=_______ (C为直棱柱的底面周长,h为直棱柱的高).  S表=S侧+2S底 Ch 几何体 图形 表面积公式 正棱锥   S正棱锥侧=_______ (C为正棱锥的底面周长,h'为侧面等腰三角形的高).  S表=S侧+S底 几何体 图形 表面积公式 正棱台   S正棱台侧=_____________ (C,C'为棱台两底面的周长,h'为棱台侧面的高).  S表=S侧+S上底+S下底 名师点睛 1.将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开,其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形,侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积. 2.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和,也就是平面展开图的面积. 过关自诊 正三棱柱的底面边长为1,侧棱长为2,求它的侧面积和表面积. 知识点2　圆柱、圆锥的表面积 几何体 侧面展开图 底面积、侧面积、表面积 圆柱   底面积:S底=πR2; 侧面积:S侧=Cl=2πRl; 表面积:S=2πR2+2πRl 圆锥   底面积:S底=πR2; 侧面积:S侧=Cl=πRl; 表面积:S=πR2+πRl 名师点睛 几何体 侧面展开图 底面积、侧面积、表面积 圆台   上底面面积:=πR'2; 下底面面积:=πR2; 侧面积:S侧=(C+C')l=π(R+R')l; 表面积:S=πR2+πR'2+π(R+R')l 过关自诊 1.圆柱OO'的底面直径为4,母线长为6,则该圆柱的侧面积为__________,表面积为__________.  2.如图,圆锥的底面半径为1,顶点到底面中心的距离为 则圆锥的侧面积为__________.  24π 32π 2π 知识点3　球的表面积 若球的半径为R,则球的表面积为__________.  过关自诊 若球的半径为 ,则球的表面积为__________.  S=4πR2 20π 重难探究•能力素养全提升 探究点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 【例1】 已知正四棱台上底面边长为6,下底面边长是12,两底面之间的距离为12,求它的侧面积. 解 如图,E,E1分别是BC,B1C1的中点, O,O1分别是下、上底面正方形的中心,则O1O=12. 连接OE,O1E1, 过E1作E1H⊥OE,垂足为H, 则E1H=O1O=12,OH=O1E1=3,HE=OE-OH=6-3=3. 规律方法　空间几何体表面积(侧面积)的求法 求解空间几何体表面积或侧面积时,首先要注意题目是求侧面积还是表面积,其次观察几何体形状,根据几何体的形状求出表面积或侧面积公式中的量,利用公式准确计算相关的面积. B (2)已知四棱锥S-ABCD的棱长均为5,底面为正方形,求它的侧面积和表面积. 解 因为四棱锥S-ABCD的各棱长均为5,所以各侧面都是全等的正三角形. 设E为AB的中点,连接SE, 探究点二 圆柱、圆锥的表面积 【例2】 如图,已知直角梯形ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5,BC=16, AD=4.求以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积. 解 以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体,如图. 故该几何体的表面积为2π×5×4+π×52+π×5×13=130π. 规律方法　解决圆柱、圆锥的表面积问题,要利用好旋转体的轴截面及平面展开图,借助于平面几何知识,求得所需几何要素,代入公式求解即可,基本步骤如下: (1)得到空间几何体的平面展开图; (2)依次求出各个平面图形的面积; (3)将各平面图形的面积相加. 变式训练2(1)[2023江苏南京期末]一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆,则该圆锥的表面积为(　　) A (2)圆柱的底面面积是S,侧面展开图是正方形,那么该圆柱的侧面积为(　　) A 解析 设圆柱底面圆的半径为r,母线为l, 由已知得S=πr2, 又l=2πr,∴侧面积S'=2πrl=4π2r2=4πS. 故选A. 探究点三 组合体的表面积 【例3】 如图是一个搭建好的帐篷,它的下部是一个正六棱柱,上部是一个正六棱锥,其中帐篷的高为PO,正六棱锥的高为PO1,且PO=3PO1.当PO1=2 m,PA1=4 m时,求帐篷的表面积. 规律方法　求组合体的表面积,首先弄清它的组成,其表面有哪些底面和侧面,各个面应怎样求面积,然后根据公式求出各面的面积,最后再相加或相减. 变式训练3直角三角形的两条直角边长分别为15和20,以它的斜边为轴旋转生成的旋转体,求旋转体的表面积. 解 设此直角三角形为ABC,AC=20,BC=15,AC⊥BC,则AB=25. 过C作CO⊥AB于点O,直角三角形绕AB所在直线旋转生成的旋转体,它的上部是母线为AC=20的圆锥(1),它的下部是母线为BC=15的圆锥(2),两圆锥底面圆相同,其半径是OC,且 圆锥(1)的侧面积S1=π×12×20=240π, 圆锥(2)的侧面积S2=π×12×15=180π. 因此旋转体的表面积应为两个圆锥侧面积之和,即S=S1+S2=420π. 探究点四 球的表面积 角度1.长方体(正方体)的外接球的表面积 【例4】 如图所示,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=BC= ,体对角线AC'与平面ABCD所成的角为60°,则该正方体的外接球的表面积为_________. 16π 解析　连接AC,如图所示. 因为CC'⊥平面ABCD,所以∠C'AC为直线AC'与平面ABCD所成的角, 即∠C'AC=60°. 由于外接球的直径为AC',所以球的半径R=2,其表面积为S=4πR2=16π. 规律方法　1.求解与球有关的表面积问题,首先应求出球的半径R,利用公式S=4πR2求解. 2.常见的与长方体(正方体)有关的外接球结论: (1)若正方体的棱长为a,球的半径为R: 变式训练4已知A,B,C是球面上三点,且AB=AC=4,∠BAC=90°,若球心O到平面ABC的距离为 ,则该球的表面积为_________.  64π 角度2.正棱锥、直棱柱的外接球的表面积 【例5】(1)已知正三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直,且侧棱长为,则此三棱锥的外接球的表面积为(　　) A.π B.3π C.6π D.9π C 所以4R2=6, 外接球的表面积4πR2=6π. (2)已知正四棱锥S-ABCD的所有顶点都在球O的球面上,且SA= ,AB=2,则球O的表面积为(　　) A.3π B.9π C.12π D.16π B 规律方法　1.涉及从同一顶点出发的三条棱两两互相垂直的三棱锥的外接球,常构造长方体(或正方体)求几何体的外接球半径. 2.正棱锥(或正棱柱)的外接球的球心在高所在的直线上,可以借助球心与截面圆的圆心垂直于截面圆,构造直角三角形,利用勾股定理建立方程求半径. 变式训练5(1)已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的表面上,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=8,AC=6,则球O的表面积为(　　) A.10π B.25π C.50π D.100π D 解析 ∵三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的表面上,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,且PA=8,AC=6,∴把三棱锥P-ABC补成一个长方体,如图所示, ∴长方体的外接球即是三棱锥P-ABC的外接球. ∵PA=8,AC=6, ∴球O的表面积为4π×52=100π. 16π 成果验收•课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 级 必备知识基础练 1.已知球的表面积为16π,则它的内接正方体的表面积S的值是(　　) A.4π B.32 C.24 D.12π B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.[2023上海浦东新区校级期末]已知某圆锥体的底面半径r=2,沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为 的扇形,则该圆锥体的表面积是___________.  16π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.已知正四棱锥的高为4,侧棱长为3 ,则该棱锥的侧面积为__________.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.正四棱柱的一条体对角线长为9,表面积为144,适合这些条件的正四棱柱有____个.  2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.若一正四棱台的上底面、下底面边长分别为2,4,其表面积为80,求该四棱台的高. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.已知一个表面积为120 cm2的正方体的四个顶点在半球的球面上,四个顶点在半球的底面上,求半球的表面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 级 关键能力提升练 8.木升子是一种民间称量或盛装粮食的工具(如图所示),呈正棱台形,一般由四块梯形木和一块正方形木组成,其上口是一个正方形,下面是一个封口较小的正方形.现有一木升子(厚度忽略不计),其上口周长为52 cm,下口周长为40 cm,侧面等腰梯形腰长为8 cm,则该木升子的侧面积约为(　　)(结果精确到0.1 cm2,参考数据:≈15.72) A.90.4 cm2 B.180.8 cm2 C.361.6 cm2 D.368.0 cm2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.如图,“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成,球的半径为2,圆柱的底面半径为1,母线长为3,则该几何体的表面积为(　　) 解析 由题意得球的半径R=2,圆柱的底面半径r=1,母线l=3,则该几何体的表面积为S=2πR2+πR2+2πrl=8π+4π+2π×1×3=18π.故选A. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.(多选题)已知一个圆柱和一个圆锥的底面直径都与一个球的直径2R相等,圆柱的母线长为2R,圆锥顶点到底面的距离为2R,则下列结论正确的是 (　　) A.圆柱的侧面积为2πR2 B.圆锥的侧面积为2πR2 C.圆柱的侧面积与球的表面积相等 D.圆锥的表面积最小 CD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.已知母线长为4 的圆锥的侧面展开图为半圆. (1)求圆锥的底面积; (2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱,当圆柱的侧面积最大时,求圆柱的母线长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 级 学科素养创新练 14.已知一正四棱锥的高的2倍的平方等于它的侧面积,则该正四棱锥高的平方与底面棱长的平方的比值为 (　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Ch' (C+C')h' 解 正三棱柱底面为正三角形,侧面为三个全等的矩形,所以侧面积为3×1×2=6.又S底面面积=×1×,所以它的表面积为6+. , 则OE=AB=×12=6,O1E1=A1B1=3. 在Rt△E1HE中,E1E2=E1H2+HE2=122+32=153,所以E1E=3. 所以S侧=4××(B1C1+BC)×E1E=2×(6+12)×3=108. 变式训练1(1)[2023广东珠海高一开学考试]正四棱台的上、下底面边长分别为2 cm,3 cm,侧棱长为 cm,则棱台的侧面积为(　　) A.4 cm2 B.5 cm2 C.4 cm2 D.8 cm2 解析　由题意,正四棱台的侧面是等腰梯形,且其上、下底面边长分别为2 cm,3 cm,腰长为 cm,所以斜高h'=. 所以侧面积S=×(2+3)××4=5 cm2.故选B. 则SE⊥AB,S侧=4S△ABS=4×AB×SE=2×5×=25, S底=52=25, 所以S表面积=25+25. A. B. C. D. 解析 依题意,设圆锥底面半径为r,高为h,母线长为l=1,则l2=r2+h2=1, 底面周长为2πr=×(2π×1),则r=,∴h=, ∴该圆锥的表面积为S=πr2+πrl=.故选A. A.4πS B.2πS C.πS D.πS 解 连接O1A1,因为PO1=2 m,PA1=4 m, 所以A1B1=A1O1==2(m). 取A1B1的中点为Q,连接O1Q,PQ,易得PQ⊥A1B1. 所以A1Q=O1A1=,PQ=(m). 设帐篷上部的侧面积为S1,下部的侧面积为S2, 所以S1=6×A1B1·PQ=6(m2), S2=6A1B1·OO1=48(m2), 所以该帐篷的表面积为S1+S2=(6+48)(m2). OC==12. 因为AB=BC=, 所以AC=2,AC'==4. ①若球为正方体的外接球,则2R=a; ②若球为正方体的内切球,则2R=a; ③若球与正方体的各棱相切,则2R=a. (2)若长方体的从同一顶点出发的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=. 2 解析　因为AB=AC=4,∠BAC=90°, 所以BC为平面ABC截球所得小圆的直径.如图, 设小圆的半径为r,得2r==4, 解得r=2,又球心O到平面ABC的距离d=2, 根据球的截面圆性质,得球的半径R==4, 所以球的表面积为S=4πR2=64π. 解析 此三棱锥的外接球即是棱长为的正方体的外接球, 所以外接球的直径2R=, 解析 由题意知平面ABCD的外接圆半径r=, ∴S到平面ABCD的距离d==1<r. 若正四棱锥S-ABCD外接球O的半径为R,则R2=r2+(R-d)2, ∴2Rd=r2+d2,即R=, ∴球О的表面积S=4πR2=9π. ∴长方体的外接球的半径为r==5, (2)若正三棱柱的底面边长为,侧棱长为2,则该正三棱柱外接球的表面积为　　　　.  解析 如图所示,设正三棱柱上、下底面的中心分别为O1,O2, 则O2A=, ∴该正三棱柱外接球的半径R==2, ∴该三棱柱外接球的表面积S=4πR2=16π. 解析 设球的内接正方体的棱长为a,球的半径为R, 因为4πR2=16π,所以R=2. 因为正方体内接于球, 所以2R=, 所以3a2=16,所以a2=, 所以正方体的表面积S=6a2=32.故选B. A.12π B.12π C.8π D.10π 解析 过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的轴截面,设底面半径为r,母线长为l,因为轴截面是面积为8的正方形,所以2r=l=2,r=,所以圆柱的表面积为2πrl+2πr2=8π+4π=12π. 解析圆锥的底面积为S底=π×22=4π, 圆锥侧面展开图的弧长为2π×2=4π, 所以圆锥侧面展开图的扇形半径为=6. 所以圆锥的侧面积为S侧=×4π×6=12π, 所以圆锥的表面积为S=S底+S侧=4π+12π=16π 4 解析如图,正四棱锥P-ABCD,PO是高,M是BC中点,则PM是△PBC的高. 由已知PO=4,PC=3,则OC=. ∵四边形ABCD是正方形,∴BC=2,OM=1,PM=. 则该棱锥的侧面积S侧=4××2×=4. 解析 设底面边长为a,高为h, 由题意得这个方程组有两个解, 所以适合条件的正四棱柱有2个. 解设该正四棱台的斜高为h',高为h, 由题意得,22+42+4×=80,解得h'=5. ∴h==2. ∴该四棱台的高为2. 解如图所示为过正方体对角面的截面图.设正方体的棱长为a,半球的半径为R,由6a2=120,得a2=20. 在Rt△AOB中,AB=a,OB=a, 由勾股定理,得R2=a2+()2==30, 所以半球的表面积为S=2πR2+πR2=3πR2=3×30π=90π cm2. A.18π B.20π C. D.26π A. B. C. D. 11.已知球O的半径为R,A,B,C三点在球O的球面上,球心O到平面ABC的距离为R,AB=AC=3,∠BAC=120°,则球O的表面积为(　　) A.48π B.16π C.64π D.36π 解析 ∵在△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=120°, ∴平面ABC截球所得圆的半径(即△ABC的外接圆半径)为r=3.又球心到平面ABC的距离d=R, ∴R2=9+R2,解得R2=12. 故球O的表面积S=4πR2=48π.故选A. 解析 圆柱的侧面积为S=2πR×2R=4πR2,故A错误; 圆锥的侧面积为S=πR·πR2,故B错误; 由于圆柱的侧面积为S=4πR2,球面面积为S=4πR2,则圆柱的侧面积与球的表面积相等,故C正确; 由于圆柱的表面积为S1=4πR2+2πR2=6πR2,圆锥的表面积为S2=πR2+πR2=(+1)πR2,球的表面积为S3=4πR2,则圆锥的表面积最小,故D正确.故选CD. 解设OB=R,由题意可得2πR=4π,所以R=2, 故圆锥的底面积为S=πR2=12π. 解设圆柱的母线D1D=OO1=l,OD=r,在Rt△AOB中,AO==6. 因为△AO1D1∽△AOB,所以,即,l=6-r.S圆柱侧面积=2πrl=2πr(6-r)=-2π(r2-2r)=-2+6π, 所以当r=时,圆柱的侧面积最大,此时圆柱的母线长为3. A. B. C. D. 解析 设该正四棱锥的底面棱长为2a,高为h,如图所示, 设H为BC的中点,O为底面的中心,连接SO,OH,SH,AC, 在正四棱锥S-ABCD中,SO⊥平面ABCD,OH⊂平面ABCD,所以SO⊥OH.因为O,H分别为AC,BC的中点,所以OH=AB=a. 则由题意可得SH=. 因为正四棱锥S-ABCD的高的2倍的平方等于它的侧面积,即4××2a×=4h2, 所以整理可得h4-a2h2-a4=0,即()4-()2-1=0,解得,所以.故选B. $$