4.5.1 几种简单几何体的表面积（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

该高中数学课件聚焦立体几何初步中简单几何体的表面积，系统呈现直棱柱、正棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台及球的表面积公式，通过知识辨析问题导入，构建从公式推导到组合体、切接问题的学习支架，衔接平面与立体图形的知识脉络。 其亮点在于以数学思维引导知识辨析，如“多面体分割后表面积变化”等问题培养推理意识，通过梯形旋转体表面积计算、阳马外接球等典例，用数学语言表达空间形式，结合转化思想。学生能发展空间观念与应用意识，教师可借助系统资料提升教学效率。

　几种简单几何体的表面积 知识点 1 4.5　几种简单几何体的表面积和体积 4.5.1　几种简单几何体的表面积 必备知识 清单破 图形表示 面积公式 直棱柱   S直棱柱侧=Ch(其中,C为直棱柱 的底面周长,h为直棱柱的高) 第4章　立体几何初步 高中同步 图形表示 面积公式 正棱锥   S正棱锥侧= Ch'(其中,C为正棱 锥的底面周长,h'为侧面等腰 三角形的高) 正棱台   S正棱台侧= (C+C')h'(其中C,C' 为棱台两底面的周长,h'为棱 台侧面的高) 球 S球=4πR2 第4章　立体几何初步 高中同步 特别提醒 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积是其底面积和侧面积之和. (2)斜棱柱的侧面积等于各个侧面的面积之和,也等于其直截面(与各侧棱垂直相交的截面)的 周长与侧棱长的乘积. 第4章　立体几何初步 高中同步 　圆柱、圆锥、圆台的侧面积 知识点 2 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式 (1)S圆柱侧=Cl=2πRl,其中R是底面半径,C是底面周长,l是母线长; (2)S圆锥侧= Cl=πRl,其中R是底面半径,C是底面周长,l是母线长; (3)S圆台侧= (C+C')l=π(R+R')l,其中l为母线长,C',C分别是上、下底面周长,R',R分别是上、下底 面半径. 第4章　立体几何初步 高中同步 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系   第4章　立体几何初步 高中同步 知识辨析 1.把一个多面体分割成两个几何体,其表面积有变化吗? 2.棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的吗? 3.如果球的半径扩大为原来的2 倍,那么球的表面积是不是也扩大为原来的2倍? 4.斜三棱柱的侧面积也可以用Cl来求解吗(其中C是底面周长,l为侧棱长)? 第4章　立体几何初步 高中同步 一语破的 1.有.表面积变大了,在原表面积的基础上增加了2个截面的面积. 2.不一定.棱台的侧面不一定是等腰梯形,正棱台的侧面才是等腰梯形. 3.不是.根据球的表面积公式可知,当球的半径扩大为原来的2倍时,球的表面积扩大为原来的 4倍. 4.不可以.斜三棱柱的侧面积为直截面(与侧棱垂直的截面)的周长与侧棱长的乘积. 第4章　立体几何初步 高中同步 　计算空间几何体的表面积  关键能力 定点破 定点 1 1.求柱体、锥体、台体的表面积,先计算侧面积与底面积,再求和即可.求球的表面积,只需根 据题意找到半径,代入公式即可. 　　对于棱台和棱锥,计算侧面积时,要注意利用底面内的线段、高、斜高、侧棱构造直角 三角形、直角梯形.对于圆柱、圆锥、圆台,求表面积时要熟悉其几何特征及侧面展开图的 特征. 第4章　立体几何初步 高中同步 2.求组合体的表面积的解题策略 (1)对于由基本几何体拼接成的组合体,要注意拼接面重合对组合体表面积的影响. (2)对于从基本几何体中切掉或挖掉部分后剩余部分构成的组合体,要注意新产生的截面和 原几何体表面的变化. 第4章　立体几何初步 高中同步 典例　已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=a,BC=2a,∠DCB=60°,在平面ABCD内,过 C作l∥AB,将梯形ABCD以l为轴旋转一周,求此旋转体的表面积. 解析    如图所示,该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的.   在直角梯形ABCD中,因为AD=a,BC=2a,∠DCB=60°, 所以AB=(2a-a)tan 60°= a,DC= =2a,又DD'=2a, 所以此旋转体的表面积S=S圆柱表+S圆锥侧-S圆锥底=2π·2a· a+2π·(2a)2+π·a·2a-πa2=(9+4 )πa2. 第4章　立体几何初步 高中同步 　与球切、接相关的表面积问题  常见几何体的外接(内切)球 (1)正方体的内切球:球与正方体的六个面都相切,称球为正方体的内切球,若正方体的棱长为 a,则球的半径r1= .过在一个平面上的四个切点作截面,如图①.   定点 2 第4章　立体几何初步 高中同步 (2)长方体的外接球:长方体的八个顶点都在球面上,称球为长方体的外接球,根据球的定义可 知,长方体的体对角线是球的直径,若长方体中过同一顶点的三条棱的长分别为a,b,c,则球的 半径r2=  ,如图②. (3)正四面体的外接球:正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为R= a. 第4章　立体几何初步 高中同步 典例　《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有阳马,广 五尺,褒七尺,高八尺,问积几何?”其意思为:“今有底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱 锥,它的底面长、宽分别为7尺和5尺,高为8尺,问它的体积是多少?”若以上条件不变,则这个 四棱锥的外接球的表面积为(　    ) A.128π平方尺　　　    B.138π平方尺 C.140π平方尺　     D.142π平方尺 B 第4章　立体几何初步 高中同步 解析    将该四棱锥补成长、宽分别为7尺、5尺,高为8尺的长方体,则该四棱锥的外接球就是 该长方体的外接球, ∴该四棱锥的外接球的半径R= = 尺, ∴该四棱锥的外接球的表面积S=4πR2=4π× =138π平方尺. 第4章　立体几何初步 高中同步 $