精品解析：山东省泰安第三中学2023-2024学年高二下学期第一次质量检测数学试题

泰安三中2022级高二下学期第一次月考数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知袋中装有8个大小相同的小球，其中4个红球，3个白球，1个黄球，从袋中任意取出3个小球，则其中恰有2个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中项的系数为（ ） A. 32 B. C. 64 D. 5. 已知函数是R上单调增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则 A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 7. 已知随机变量X的分布列如表（其中为常数），则下列计算结果正确的是（ ） X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 0.4 a A. B. C. D. 8. 一个盒子里装有大小，材质均相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为，则等于的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知事件相互独立，，，则（ ） A. 0.88 B. 0.9 C. 0.7 D. 0.72 10. 根据汕头市气象灾害风险提示，5月12日～14日我市进入持续性暴雨模式，城乡积涝和质灾害风险极高，全市范围内降雨天气易涝点新增至36处.已知有包括甲乙在内的5个排水施工队前往3个指定易涝路口强排水（且每个易涝路口至少安排一个排水施工队），其中甲、乙施工队不在同个易涝路口，则不同的安排方法有（ ） A. 86 B. 100 C. 114 D. 136 11. 已知在处取得极大值，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 12. 已知函数的导函数为，函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 的极大值为，极小值为 B. 在上单调递增 C. 极小值为，极大值为 D. 在上单调递减 二、选择题：本题共5小题，每小题6分，共30分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 13. 对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据则下列结论正确是（ ） A. 若求得的经验回归方程为，则变量和之间具有正的线性相关关系 B. 若这组样本数据分别是，则其经验回归方程必过点 C. 若同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和为.同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和为，则模型1的拟合效果更好 D. 若用相关指数来刻画回归效果，回归模型3的相关指数，回归模型4的相关指数，则模型4的拟合效果更好 14. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知，，R，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 若，则 D. 若，则 16. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量Y的方差，则 B. 已知随机变量X服从二项分布，若，则 C. 若随机变量服从正态分布，，则 D. 若事件A与B相互独立，且，，则 17. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，函数在上是减函数 B. 当时，方程有实数解 C. 对任意，，存在唯一极值点 D. 对任意，，曲线过坐标原点的切线有两条 三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 18. 若“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是______． 19. 已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为______． 20. 已知函数，，则的最大值为___________. 21. 若，则函数的最小值为__________. 22. 有3台车床加工同一型专的零件，第1台加工的次品率为6%，第2､3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1､2､3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，现从加工出来的零件中任取一个零件，在取到的零件是次品的前提下，是第1台车床加工的概率为___________. 23. 如果随机变量，且，那么______． 四、解答题：本题共2小题，共30分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤． 24. 已知的展开式中各项的二项式系数之和为128． （1）求展开式中各项系数之和； （2）求展开式中二项式系数最大项． 25. 为了增强学生体质，茂名某中学体育部计划开展乒乓球比赛，为了解学生对乒乓球运动的兴趣，从该校一年级学生中随机抽取了200人进行调查，男女人数相同，其中女生对乒乓球运动有兴趣的占80%，而男生有15人表示对乒乓球运动没有兴趣． （1）完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对乒乓球运动是否有兴趣与性别有关”？ 有兴趣 没兴趣 合计 男 女 合计 （2）为了提高同学们对比赛的参与度，比赛分两个阶段进行.第一阶段的比赛赛制采取单循环方式，每场比赛采取三局二胜制，然后由积分的多少选出进入第二阶段比赛的同学，每场积分规则如下：比赛中以取胜的同学积3分，负的同学积0分；以取胜的同学积2分，负的同学积1分.其中，小强同学和小明同学的比赛倍受关注，设每局小强同学取胜的概率为，记小强同学所得积分为， 求的分布列和期望. 附表： P（K2≥k0） 0.50 0.40 0.25 0.150 0.100 0.050 k0 0.455 0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泰安三中2022级高二下学期第一次月考数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用补集和交集的运算法则求解. 【详解】由已知得， 则， 故选：C. 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】若，令，满足，但； 若，则一定成立， 所以“ ”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 已知袋中装有8个大小相同的小球，其中4个红球，3个白球，1个黄球，从袋中任意取出3个小球，则其中恰有2个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型的概率计算公式即可求得答案. 【详解】由题意得从袋中任意取出3个小球，共有种取法， 其中恰有2个红球的取法有， 故其中恰有2个红球的概率为， 故选：A 4. 的展开式中项的系数为（ ） A. 32 B. C. 64 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二项式定理求解即可 【详解】展开式的通项公式为， 所以展开式中项的系数为， 故选：B 5. 已知函数是R上的单调增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得在R上恒成立，再参变分离求最值即可. 【详解】由题意在R上恒成立，即恒成立.又，故. 故选：D 6. 已知函数，则 A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据极限的定义计算即可. 【详解】 ； 故选：B. 7. 已知随机变量X的分布列如表（其中为常数），则下列计算结果正确的是（ ） X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 0.4 a A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由，求得，再逐项判断. 【详解】解：由，解得， 则， ， ， 故选：D 8. 一个盒子里装有大小，材质均相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为，则等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件分析概率值、对应的事件，即可得结果. 【详解】由题设，2个球中没有白球的概率为，2个球中有一个白球的概率， 所以目标式表示. 故选：D 9. 已知事件相互独立，，，则（ ） A. 0.88 B. 0.9 C. 0.7 D. 0.72 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件相互独立得到，结合求出答案. 【详解】因为事件相互独立，故， 又，， 所以. 故选：C 10. 根据汕头市气象灾害风险提示，5月12日～14日我市进入持续性暴雨模式，城乡积涝和质灾害风险极高，全市范围内降雨天气易涝点新增至36处.已知有包括甲乙在内的5个排水施工队前往3个指定易涝路口强排水（且每个易涝路口至少安排一个排水施工队），其中甲、乙施工队不在同个易涝路口，则不同的安排方法有（ ） A. 86 B. 100 C. 114 D. 136 【答案】C 【解析】 【分析】先将5个施工队按照3，1，1和2，2，1两种模式分成3组，注意排除甲、乙两个施工队放在一个组的种数，然后再将分好组的施工队派往3个不同的易涝路口，即可得出答案. 【详解】解：若将5个施工队分成3组，则有如下两种情况， 第一种，按照3，1，1模式分组，则有种分组方法， 第二种，按照2，2，1模式分组，则有种分组方法， 所以将将5个施工队分成3组，共有种分组方法， 其中，如果甲、乙施工队和另外一个队构成一个组，则有种分组方法， 如果甲、乙施工队单独构成一个组，则有种分组方法， 所以将甲、乙两个施工队放在一个组，共有种分组方法， 所以将5个施工队分成3组，甲、乙两个施工队不在一个组的分组方法有种， 现将分好组的施工队派往3个不同的易涝路口，则有种安排方法， 所以符合题意的安排方法共有种. 故选：C. 11. 已知在处取得极大值，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，根据函数取值的条件即可求解. 【详解】由已知可得，， ，得， 此时，， 令，得或， 令，得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极大值，符合题意． 则的值为． 故选：B． 12. 已知函数的导函数为，函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 的极大值为，极小值为 B. 在上单调递增 C. 的极小值为，极大值为 D. 在上单调递减 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象，判断函数的导数的符号，从而可求函数的单调性及极值. 【详解】解：当时，，由图象可得， 则，为增函数，D选项错误； 当时，，由图象可得 则，为减函数，B选项错误； 当时，由图象可得， 则，为减函数； 当时，，由图象可得 则，为增函数， 所以的极大值为，极小值为，选项A正确，C选项错误. 故选：A 二、选择题：本题共5小题，每小题6分，共30分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 13. 对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据则下列结论正确的是（ ） A. 若求得的经验回归方程为，则变量和之间具有正的线性相关关系 B. 若这组样本数据分别是，则其经验回归方程必过点 C. 若同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和为.同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和为，则模型1的拟合效果更好 D. 若用相关指数来刻画回归效果，回归模型3的相关指数，回归模型4的相关指数，则模型4的拟合效果更好 【答案】ACD 【解析】 【分析】由回归分析逐一判断求解即可 【详解】对于A：因为回归方程为，，所以变量和之间具有正的线性相关关系，故A正确； 对于B：样本数据的样本中心点为，且经验回归方程必过样本中心点，但不是样本中心点，故B错误； 对于C：因为残差平方和越小的模型，其拟合效果越好，故C正确； 对于D：相关指数越接近1，说明关系越强，拟合效果越好，D正确； 故选：ACD 14. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由通项公式可判断B，由特值法可判断ACD 详解】令得，，故A正确； 因为的通项为，所以，故B正确； 令，则， 又，所以，故C错误； 令，则，故D正确； 故选：ABD 15. 已知，，R，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用不等式的性质以及函数的单调性求解. 【详解】选项A，若时，不成立，故选项A不正确； 选项B，由于函数在R上单调递增，所以，又因为， 所以，所以，故选项B正确； 选项C，因为，所以，所以， 因为，所以两边同乘得，故选项C正确； 选项D，因为， 所以，即，故选项D不正确； 故选：BC. 16. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量Y的方差，则 B. 已知随机变量X服从二项分布，若，则 C. 若随机变量服从正态分布，，则 D. 若事件A与B相互独立，且，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据方差的性质分析判断，对于B，根据二项分布的期望公式分析求解，对于C，根据正态分布的性质分析判断，对于D，根据相互独立事件的概率公式判断. 【详解】对于A，因为随机变量Y的方差，所以，所以A错误， 对于B，因为随机变量X服从二项分布，所以， 因为，所以，得，所以B正确， 对于C，因为随机变量服从正态分布，， 所以，所以C正确， 对于D，因为事件A与B相互独立，且，， 所以，所以D正确， 故选：BCD 17. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，函数在上是减函数 B. 当时，方程有实数解 C. 对任意，，存在唯一极值点 D. 对任意，，曲线过坐标原点的切线有两条 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，求导之后分类讨论，即可判断；对于B，利用导数判断函数单调性，求函数最值，根据最值情况判断函数的零点情况；对于C，求出函数导数，数形结合，判断导数正负，从而判断函数单调性，确定函数极值点；对于D，设切点为，则可得，利用导数的几何意义可得方程，结合方程的根的个数，判断切线的条数； 【详解】对于A，当时，则， 所以， 当时，若，则，则，， 所以，则单调递减； 当时，若，则，则，， 所以，则单调递减； 所以当时，函数在上是减函数，故A正确； 对于C，由已知，函数，可得， 令， 则即在R上单调递增， 令，则， 当时，做出函数的大致图像如图： 当时，做出函数的大致图像如图： 可知的图像总有一个交点，即总有一个根， 当时，；当时，， 此时存在唯一极小值点，C正确； 对于B，当时，，， 故，该函数为R上单调增函数，， 故，使得，即， 结合C的分析知，的极小值也即最小值为， 令，则，且为增函数， 当时， ，当且仅当时取等号， 故当时，，则在上单调递增， 故，令，则， 此时的最小值为，无零点，B错误； 对于D，由于，故原点不在曲线上，且， 设切点为，则， 即，即， 令，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故， 当趋向负无穷时，的值趋近于0，趋近于无穷大，故趋近于正无穷大， 当趋向正无穷时，的值趋近于正无穷大，趋近于无穷大，故趋近于正无穷大， 故在和上各有一个零点，即有两个解， 故对任意，，曲线过原点的切线有两条，D正确； 故选：ACD 【点睛】难点点睛：本题综合新较强，综合考查了导数的几何意义以及极值点、零点、最值问题，计算量较大；难点在于利用导数解决函数的零点问题时，要能构造恰当的函数，结合零点存在定理判断导数值的情况，从而判断函数的单调性，求得最值，解决零点问题. 三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 18. 若“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据特称命题的定义和一元二次不等式的恒成立问题求解. 【详解】因为“，使得”是假命题， 所以“，使得”是真命题， 所以，解得， 故答案为: . 19. 已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】设事件A：第1次抽到代数题，事件B：第2次抽到几何题，求得，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】从5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出不再放回， 设事件A：第1次抽到代数题，事件B：第2次抽到几何题， 则，， 所以在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为. 故答案为：. 20. 已知函数，，则的最大值为___________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用导数和基本不等式求出函数的单调性，即得解. 【详解】函数，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 又因为，所以， 所以在时单调递增， 其最大值为. 故答案为：1 21. 若，则函数的最小值为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】 将函数构造为，结合均值不等式即可. 【详解】解：因为，所以 所以 当且仅当即时等号成立. 故答案为：6 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 22. 有3台车床加工同一型专的零件，第1台加工的次品率为6%，第2､3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1､2､3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，现从加工出来的零件中任取一个零件，在取到的零件是次品的前提下，是第1台车床加工的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用全概率公式及条件概率的计算公式即可求解. 【详解】记为事件“零件为第（）台车床加工，为事件“任取一个零件为次品”，则 所以 所以. 故答案为：. 23. 如果随机变量，且，那么______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正态曲线的对称性进行求解. 【详解】因为随机变量，所以正态曲线关于直线对称，且， 那么 故答案为：. 四、解答题：本题共2小题，共30分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤． 24. 已知的展开式中各项的二项式系数之和为128． （1）求展开式中各项系数之和； （2）求展开式中二项式系数最大的项． 【答案】（1）1； （2），. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用二项式系数的性质求出n值，再利用赋值法求解作答. （2）确定二项式系数最大的项数，再借助二项式的展开式的通项求解作答. 【小问1详解】 依题意，，解得， 在中，令，得 所以展开式中各项系数之和为1. 小问2详解】 由（1）知，展开式的通项公式， 显然，展开式共8项，二项式系数最大的项是第4项和第5项， 所以展开式中二项式系数最大的项为，. 25. 为了增强学生体质，茂名某中学的体育部计划开展乒乓球比赛，为了解学生对乒乓球运动的兴趣，从该校一年级学生中随机抽取了200人进行调查，男女人数相同，其中女生对乒乓球运动有兴趣的占80%，而男生有15人表示对乒乓球运动没有兴趣． （1）完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对乒乓球运动是否有兴趣与性别有关”？ 有兴趣 没兴趣 合计 男 女 合计 （2）为了提高同学们对比赛的参与度，比赛分两个阶段进行.第一阶段的比赛赛制采取单循环方式，每场比赛采取三局二胜制，然后由积分的多少选出进入第二阶段比赛的同学，每场积分规则如下：比赛中以取胜的同学积3分，负的同学积0分；以取胜的同学积2分，负的同学积1分.其中，小强同学和小明同学的比赛倍受关注，设每局小强同学取胜的概率为，记小强同学所得积分为， 求的分布列和期望. 附表： P（K2≥k0） 0.50 0.40 0.25 0.150 0.100 0.050 k0 0.455 0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 【答案】（1）表格见解析，没有； （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）列出2×2列联表，计算卡方的值，从而可得出答案； （2）首先求出的所有可能取值，然后计算取各个值时的概率，从而可列出分布列及求出数学期望. 【小问1详解】 由题意得到如下的2×2列联表， 有兴趣 没兴趣 合计 男 85 15 100 女 80 20 100 合计 165 35 200 ， 由表格得到， 所以没有90%的把握认为“对乒乓球运动是否有兴趣与性别有关”. 【小问2详解】 由题意，知， ；； ；， 所以的分布为 0 1 2 3 所以期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$