第一章 直线和圆（章末重点题型复习）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册）

第一章：直线和圆章末重点题型复习 题型一 直线的倾斜角和斜率 1．（2002·北京·高考真题）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·上海黄浦·期中）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2006·北京·高考真题）若三点，，，（）共线，则的值等于 . 题型二 直线的点斜式方程 1．（2015·山东·高考真题）如下图，直线的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·山东济南·二模）过与的交点，且平行于向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）过点A(0，2)且倾斜角的正切值是的直线方程为（    ） A．3x－5y＋10＝0 B．3x－4y＋8＝0 C．3x＋5y－10＝0 D．3x＋4y－8＝0 4．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知直线l的斜率为，且过点，则直线l在y轴上的截距是 . 题型三 直线的两点式方程 1．（23-24高二上·河南开封·期中）若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，（    ） A．2 B． C． D． 2．（多选）（2024高二上·全国·专题练习）下列说法不正确的是（    ） A．过任意两点，的直线方程可以写成 B．若直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线的斜率为﹣1 C．若直线的斜率为1，则直线在x轴和y轴上的截距之和为0 D．若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1 3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则 . 4．（2016·上海普陀·模拟预测）如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有10个不同的点，，…，，记，则 ． 题型四 直线的一般式 1．（2024·陕西西安·二模）直线的倾斜角（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川·模拟预测）已知直线经过点，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．9 D． 3．（2024·福建厦门·二模）在平面直角坐标系中，点在直线上.若向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．（2004·北京·高考真题）直线（a为常实数）的倾斜角的大小是 ． 题型五 两条直线的交点坐标 1．（2024·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线．若直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数的值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．（2023·海南海口·二模）若直线与直线的交点在直线上，则实数（    ） A．4 B．2 C． D． 3．（2023·江苏徐州·模拟预测）在中，的内角平分线方程为，，，则角的正切值为 ． 4．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程. (1)过点； (2)平行于直线. 题型六 直线的平行和垂直 1．（2008·福建·高考真题）“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·河南·三模）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知直线与直线平行，则的值为（    ） A．4 B． C．2或 D．或4 4．（2023·河南·模拟预测）已知O为坐标原点，直线：上有一点Q，，若，则点Q的坐标为 ． 题型七 两点间的距离公式 1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 2．（23-24高二上·贵州贵阳·期末）点，点在轴上，则的最小值为（    ） A． B．5 C．4 D． 3．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）已知点，且，则a的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 4．（多选）（23-24高二上·江苏常州·期末）点、，过、的直线为，下列说法正确的有（    ） A．若，则直线的方程为 B．若，则直线的倾斜角为 C．任意实数，都有 D．存在两个不同的实数，能使直线在、轴上的截距互为相反数 题型八 点到直线的距离公式 1．（22-23高二下·上海·期中）点到直线的距离是 . 2．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知直线l的法向量为，且经过点，则原点O到l的距离为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ） A． B．1 C． D．2 4．（多选）（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．原点到直线的最大距离为 D．若的倾斜角分别为，且，则 题型九 两条直线之间的距离 1．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（    ） A． B． C．12 D．14 2．（23-24高二下·上海杨浦·期末）平行直线及之间的距离是 ． 3．（23-24高二下·上海·期中）设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ． 4．（22-23高二下·上海·期末）已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是 . 题型十 圆的一般方程 1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·全国·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ． 3．（23-24高二下·上海杨浦·期末）已知圆的方程是，则圆心的坐标是 ． 4．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知圆和圆，M、N分别是圆C、D上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值是 . 题型十一 圆的标准方程 1．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（2022·全国·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ． 3．（2024·天津·高考真题）圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为 ． 4．（21-22高二上·安徽安庆·阶段练习）已知圆的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切． (1)求圆的方程； (2)若过点的直线与圆交于不同的两点，且为坐标原点，求三角形的面积． 题型十二 点与圆的位置关系 1．（2023·北京房山·一模）已知直线与圆相交于M，N两点.则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．6 2．（多选）（2021·全国·高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 3．（21-22高二上·辽宁大连·阶段练习）方程表示圆，且坐标原点在该圆外，则a的取值范围是 ． 4．（20-21高二下·江苏南通·阶段练习）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数，的值域为 . 题型十三 圆的几何性质 1．（2020·全国·高考真题）已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2015·湖南·高考真题）已知点A,B,C在圆上运动，且ABBC，若点P的坐标为（2，0），则 的最大值为 A．6 B．7 C．8 D．9 3．（2019·浙江·高考真题）已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆相切于点，则 ， . 4．（23-24高二下·上海·期末）若直线是曲线的一条对称轴，则的最小值是 . 题型十四 轨迹问题-圆 1．（2024·广东·模拟预测）过圆外一点做圆的切线，切点为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．8 2．（2024·贵州贵阳·三模）过点的直线与圆相交于不同的两点M，N，则线段MN的中点的轨迹是（    ） A．一个半径为10的圆的一部分 B．一个焦距为10的椭圆的一部分 C．一条过原点的线段 D．一个半径为5的圆的一部分 3．（2014·四川·高考真题）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是 ． 4．（2024·福建莆田·三模）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数（，），则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，M是平面内一动点，且，则点M的轨迹方程为 .若点Р在圆上，则的最小值是 . 题型十五 直线与圆的位置关系 1．（2023·全国·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 2．（多选）（2021·全国·高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 3．（2021·全国·高考真题）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 4．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ． 5．（2022·全国·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ． 题型十六 圆的切线方程 1．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 2．（多选）（2024·全国·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 3．（2021·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ． 4．（2020·浙江·高考真题）设直线与圆和圆均相切，则 ；b= ． 题型十七 圆的弦长与弦心距 1．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 2．（2021·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则     A． B． C． D． 3．（2023·全国·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 4．（2022·天津·高考真题）若直线与圆相交所得的弦长为，则 ． 题型十八 圆与圆的位置关系 1．（2016·山东·高考真题）已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是 A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 2．（2014·北京·高考真题）已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为 A．7 B．6 C．5 D．4 3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 4．（2024·广西河池·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数（）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，，动点满足，若点的轨迹与圆：（）有且仅有三条公切线，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 题型十九 圆的公切线 1．（2024·河北石家庄·三模）已知圆和圆，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·山东聊城·二模）若圆与圆恰有一条公切线，则下列直线一定不经过点的是（    ） A． B． C． D． 3．（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 4．（2024·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 题型二十 圆的公共弦 1．（2024·黑龙江·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ）． A． B． C． D． 2．（多选）（2024·湖南长沙·模拟预测）若圆与圆交于A，B两点，则下列选项中正确的是（    ） A．点在圆内 B．直线的方程为 C．圆上的点到直线距离的最大值为 D．圆上存在两点P，Q，使得 3．（2007·天津·高考真题）已知两圆和相交于两点，则直线的方程是 ． 4．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知圆，直线，为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线过定点 . ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章：直线和圆章末重点题型复习 题型一 直线的倾斜角和斜率 1．（2002·北京·高考真题）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线恒过点，结合图象以及交点所在象限可得答案. 【详解】因为直线恒过点，直线与坐标轴的交点分别为; 直线的斜率，此时倾斜角为； 直线的斜率不存在，此时倾斜角为； 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：B. 2．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数单调性得到斜率的取值范围. 【详解】函数在上单调递增， 又，， 故的取值范围是. 故选：C 3．（22-23高二下·上海黄浦·期中）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】由题意知,若 a = 0  ,则倾斜角为, 若,则, ①当时，(当且仅当时，取“”)， ②当时，(当且仅当时，取“”)， ，故， 综上，， 故选：C. 4．（2006·北京·高考真题）若三点，，，（）共线，则的值等于 . 【答案】/0.5 【分析】由三点共线，利用斜率的公式可得，进而可求目标式的值. 【详解】由题知，直线的斜率存在，由三点共线可知. 由得：，即，又， ∴. 故答案为： 题型二 直线的点斜式方程 1．（2015·山东·高考真题）如下图，直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线与轴交点为求解. 【详解】由图可得直线的倾斜角为30°， 所以斜率， 所以直线与轴的交点为， 所以直线的点斜式方程可得：， 即． 故选：D 2．（2022·山东济南·二模）过与的交点，且平行于向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出两直线的交点坐标，然后再根据所求直线平行于向量，从而可求出答案. 【详解】由，得，所以交点坐标为， 又因为直线平行于向量，所以所求直线方程为， 即. 故选：C. 3．（2024高三·全国·专题练习）过点A(0，2)且倾斜角的正切值是的直线方程为（    ） A．3x－5y＋10＝0 B．3x－4y＋8＝0 C．3x＋5y－10＝0 D．3x＋4y－8＝0 【答案】A 【分析】结合条件求直线的斜率，再利用点斜式可求结论. 【详解】因为所求直线的倾斜角的正切值是， 所以所求直线的斜率为， 由点斜式可知直线方程为， 即3x－5y＋10＝0. 故选：A. 4．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知直线l的斜率为，且过点，则直线l在y轴上的截距是 . 【答案】 【分析】利用点斜式求直线方程，再转化为斜截式方程，即可得出直线在轴上的截距． 【详解】由点斜式方程得，转化为斜截式方程可得， 所以该直线在轴上的截距为. 故答案为：. 题型三 直线的两点式方程 1．（23-24高二上·河南开封·期中）若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由条件可得，再结合基本不等式即可得到当取最小值的条件，即可得到结果. 【详解】因为直线经过点，则， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值为， 此时，则. 故选：D 2．（多选）（2024高二上·全国·专题练习）下列说法不正确的是（    ） A．过任意两点，的直线方程可以写成 B．若直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线的斜率为﹣1 C．若直线的斜率为1，则直线在x轴和y轴上的截距之和为0 D．若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1 【答案】ABD 【分析】根据直线的各种位置判断A，由截距的概念、斜率的概率判断BCD． 【详解】当或时，直线方程不能写成，故A错误； 当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距相等，但斜率不一定为﹣1，故B错误； 设直线在y轴上的截距为b，则直线方程为．令， 得直线在x轴上的截距为，于是，故C正确； 若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为±1，故D错误． 故选：ABD． 3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则 . 【答案】或 【分析】利用截距的概念分类讨论计算即可. 【详解】当时，直线方程为，不符合题意， 当时，令时，令时， 依题意有：，解得：或， 综上：或， 故答案为：或. 4．（2016·上海普陀·模拟预测）如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有10个不同的点，，…，，记，则 ． 【答案】 【分析】以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，可得，，，求出直线的方程，可设，，可得，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求和． 【详解】解：以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 可得，，，， 直线的方程为， 可设，，可得，所以，， 即有， 则． 故答案为：． 题型四 直线的一般式 1．（2024·陕西西安·二模）直线的倾斜角（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方程求出斜率，再由斜率得出倾斜角即可. 【详解】由可得，， 所以直线斜率， 又，所以， 故选：A 2．（2024·四川·模拟预测）已知直线经过点，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．9 D． 【答案】B 【分析】 依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为直线经过点， 所以， 所以 ， 当且仅当，即、时取等号. 故选：B 3．（2024·福建厦门·二模）在平面直角坐标系中，点在直线上.若向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定直线的方向向量，结合数量积的运算判断出为直线的法向量，结合投影向量的含义即可求得答案. 【详解】由题意设直线的方向向量为，则， 而，则，即为直线的法向量， 又O到直线的距离为， 故在上的投影向量为，    故选：C 4．（2004·北京·高考真题）直线（a为常实数）的倾斜角的大小是 ． 【答案】/ 【分析】将直线方程化为斜截式，求出直线斜率，即可得出倾斜角. 【详解】设直线倾斜角为，直线可化为，斜率为， 则，所以. 故答案为：. 题型五 两条直线的交点坐标 1．（2024·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线．若直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数的值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】由与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，根据题意该圆过三个定点，利用割线定理求得第四个点的坐标，从而求得k的值．、 【详解】由题意易知，与坐标轴交于与 因为，所以必过于是如下图： 由割线定理得，得，即第四个交点为 所以．， 故选：A. 2．（2023·海南海口·二模）若直线与直线的交点在直线上，则实数（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】求出直线与直线的交点，再代入求解作答. 【详解】解方程组，得直线与直线的交点， 依题意，，解得， 所以实数. 故选：A 3．（2023·江苏徐州·模拟预测）在中，的内角平分线方程为，，，则角的正切值为 ． 【答案】 【分析】根据角平分线的性质，关于的内角平分线所在直线方程的对称点一定在直线上，据此可以求出点坐标，进而求出 【详解】由题意得，根据角平分线的性质，关于的对称点一定在直线上， 设关于的对称点为，记，则是中垂线，于是，解得， 故，又，故直线方程为，于是和的交点为的坐标， 由，则，故， 则，. 故答案为：    4．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程. (1)过点； (2)平行于直线. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出两条直线与的交点，利用两点式方程整理计算即可; （2）求出平行于的直线斜率，利用点斜式方程整理计算即可. 【详解】（1）由解得, 即两直线的交点坐标为. 直线经过点和，由两点式方程得，， 化简得所求直线方程为. （2）由可得直线的斜率为， 故平行于直线的直线的斜率为， 结合（1）问可得：两条直线与的交点为， 由点斜式方程得，， 化简得所求直线方程为. 题型六 直线的平行和垂直 1．（2008·福建·高考真题）“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】直线和直线互相垂直的充要条件是，即，故选C 2．（2024·河南·三模）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线垂直的充要条件即可列式得解. 【详解】直线的斜率为2，又两直线互相垂直，所以直线的斜率为， 即且，，所以. 故选：D. 3．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知直线与直线平行，则的值为（    ） A．4 B． C．2或 D．或4 【答案】B 【分析】根据两直线平行得到，求出的值，再检验即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或， 当时直线与直线重合，不符合题意； 当时直线与直线平行. 故选：B 4．（2023·河南·模拟预测）已知O为坐标原点，直线：上有一点Q，，若，则点Q的坐标为 ． 【答案】或 【分析】设，根据求解即可. 【详解】设，则， 即，解得或， 故或． 故答案为：或.      题型七 两点间的距离公式 1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】 根据两点距离公式，结合直线方程即可求解. 【详解】 ， 表示平面上点与点，的距离和， 连接，与轴交于，此时直线方程为， 令，则 的最小值为，此时 故选：C． 2．（23-24高二上·贵州贵阳·期末）点，点在轴上，则的最小值为（    ） A． B．5 C．4 D． 【答案】B 【分析】求得关于轴的对称点，根据三点共线时取到最小值，进一步计算即可求解 【详解】如图所示， 关于轴的对称点为, 则, 当三点共线时等号成立， 又, 故的最小值为5, 故选：B. 3．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）已知点，且，则a的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】AD 【分析】由两点间的距离公式求解即可. 【详解】由两点间距离公式得，所以， 所以，即，或． 故选：AD. 4．（多选）（23-24高二上·江苏常州·期末）点、，过、的直线为，下列说法正确的有（    ） A．若，则直线的方程为 B．若，则直线的倾斜角为 C．任意实数，都有 D．存在两个不同的实数，能使直线在、轴上的截距互为相反数 【答案】ABD 【分析】利用点斜式可判断A选项；利用斜率公式以及倾斜角与斜率的关系可判断B选项；利用平面内两点间的距离公式可判断C选项；利用截距式方程可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，点，又因为点，则， 此时，直线的方程为，即，A对； 对于B选项，若，则，又因为点，， 设直线的倾斜角为，则，且，则， 即直线的倾斜角为，B对； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，C错； 对于D选项，若直线过原点，则直线的斜率为， 此时，直线的方程为，即， 因为点在直线上，则，解得， 若直线不经过原点，设直线的方程为， 因为点在直线上，则，此时，直线的方程为， 因为点在直线上，则，解得. 综上所述，存在两个不同的实数，能使直线在、轴上的截距互为相反数，D对. 故选：ABD. 题型八 点到直线的距离公式 1．（22-23高二下·上海·期中）点到直线的距离是 . 【答案】2 【分析】利用点到直线的距离公式可求答案. 【详解】点到直线的距离. 故答案为：2. 2．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知直线l的法向量为，且经过点，则原点O到l的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线点法式得直线方程，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】设点为直线上一点，则，所以， 即直线的方程为，所以原点O到l的距离为. 故选：C. 3．（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先求得直线过的定点，再由点P与定点的连线与直线垂直求解. 【详解】直线l：， 整理得， 由，可得， 故直线恒过点， 点到的距离， 故； 直线l：的斜率， 故，解得 故选：B. 4．（多选）（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．原点到直线的最大距离为 D．若的倾斜角分别为，且，则 【答案】AC 【分析】根据直线垂直和平行得到关于的方程，解出即可判断AB，求出所过定点即可求出最大值，从而判断C；首先排除斜率不存在的情况，再利用二倍角的正切公式得到关于的方程，解出即可. 【详解】对A，若，则，解得，故A正确； 对B，若，则且，解得，故B错误； 对C，因为，则过定点， 所以原点到直线的距离，所以的最大值为，故C正确； 对D，的倾斜角为，若时，与轴垂直，所以， 而，所以，此时直线的斜率为， 所以，所以，与假设矛盾，所以，所以直线的斜率存在， 即，由得， 所以，得到，解得， 当，直线斜率均为负数，倾斜角都为钝角，不满足，故D错误. 故选：AC. 题型九 两条直线之间的距离 1．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（    ） A． B． C．12 D．14 【答案】BD 【分析】将直线化为，代入两平行线间距离公式分析求解. 【详解】将直线化为， 则，之间的距离， 即，解得或． 故选：BD． 2．（23-24高二下·上海杨浦·期末）平行直线及之间的距离是 ． 【答案】 【分析】直接由两平行线间的距离公式计算可得. 【详解】平行直线及之间的距离. 故答案为： 3．（23-24高二下·上海·期中）设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ． 【答案】2或 【分析】根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】由题意可得，解得或， 故答案为：2或 4．（22-23高二下·上海·期末）已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】由直线与直线互相平行，得， 则直线与直线的距离为：. 故答案为： 题型十 圆的一般方程 1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 2．（2022·全国·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ． 【答案】或或或． 【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可； 【详解】[方法一]：圆的一般方程 依题意设圆的方程为， （1）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （2）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （3）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即； 故答案为：或 或 或． [方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心） 设 （1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为， 则，所以圆的方程为； （2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为； （3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为； （4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为． 故答案为：或 或 或． 【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁； 方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解． 3．（23-24高二下·上海杨浦·期末）已知圆的方程是，则圆心的坐标是 ． 【答案】 【分析】将方程配成标准式，即可得到圆心坐标. 【详解】圆的方程是，即， 所以圆心的坐标为. 故答案为： 4．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知圆和圆，M、N分别是圆C、D上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值是 . 【答案】 【分析】先得到，当且仅当三点共线，且三点共线时，等号成立，设C关于x轴的对称点，求出的最小值，进而得到的最小值. 【详解】的圆心为，半径为1， ，圆心为，半径为2， 结合两圆位置可得，， 当且仅当三点共线，且三点共线时，等号成立， 设C关于x轴的对称点，连接，与轴交于点，此点即为所求， 此时， 故即为的最小值， 故的最小值为 故答案为： 题型十一 圆的标准方程 1．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 2．（2022·全国·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ． 【答案】 【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程. 【详解】[方法一]：三点共圆 ∵点M在直线上， ∴设点M为，又因为点和均在上， ∴点M到两点的距离相等且为半径R， ∴， ，解得， ∴，， 的方程为. 故答案为： [方法二]：圆的几何性质 由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为. 故答案为： 3．（2024·天津·高考真题）圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为 ． 【答案】/ 【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离. 【详解】圆的圆心为，故即， 由可得，故或（舍）， 故，故直线即或， 故原点到直线的距离为， 故答案为： 4．（21-22高二上·安徽安庆·阶段练习）已知圆的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切． (1)求圆的方程； (2)若过点的直线与圆交于不同的两点，且为坐标原点，求三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆心在轴正半轴注设圆心坐标为，根据直线与圆相切得到，解方程得到，然后写圆的方程即可； （2）设直线：，联立直线和圆的方程，根据韦达定理和列方程得到，然后利用几何法求弦长，利用点到直线的距离公式得到点到直线的距离，最后根据三角形面积公式求面积即可. 【详解】（1）设圆心坐标为，，所以，解得或（舍去）， 所以圆的方程为. （2） 设，，直线：， 联立得， ，解得， 所以，，， 因为，，， 所以，解得或（舍去）， 所以直线：，圆心到直线的距离， ，点到直线的距离， 所以. 题型十二 点与圆的位置关系 1．（2023·北京房山·一模）已知直线与圆相交于M，N两点.则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】先求出圆心和半径，以及直线的定点，利用圆的几何特征可得到当时，最小 【详解】由圆的方程，可知圆心，半径， 直线过定点， 因为，则定点在圆内， 则点和圆心连线的长度为， 当圆心到直线距离最大时，弦长最小，此时， 由圆的弦长公式可得， 故选：C 2．（多选）（2021·全国·高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 【答案】ABD 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解. 【详解】圆心到直线l的距离， 若点在圆C上，则，所以， 则直线l与圆C相切，故A正确； 若点在圆C内，则，所以， 则直线l与圆C相离，故B正确； 若点在圆C外，则，所以， 则直线l与圆C相交，故C错误； 若点在直线l上，则即， 所以，直线l与圆C相切，故D正确. 故选：ABD. 3．（21-22高二上·辽宁大连·阶段练习）方程表示圆，且坐标原点在该圆外，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据点和圆的位置关系列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】圆的方程可化为 ， 即 ， 所以 ，解出. 由于在圆外， 所以，解得或. 故. 故答案为： 4．（20-21高二下·江苏南通·阶段练习）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数，的值域为 . 【答案】 【分析】将函数看成两点连线的斜率，利用数形结合，计算临界值，即可求解. 【详解】， 所以函数的几何意义是连结和的直线的斜率， 点，在单位圆上，如图，   ，,，, 所以的值域为. 故答案为： 题型十三 圆的几何性质 1．（2020·全国·高考真题）已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论. 【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为， 设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时 根据弦长公式得最小值为. 故选：B. 【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题. 2．（2015·湖南·高考真题）已知点A,B,C在圆上运动，且ABBC，若点P的坐标为（2，0），则 的最大值为 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】由题意，AC为直径，所以 ,当且仅当点B为（-1，0）时，取得最大值7，故选B. 考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质 【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想. 由平面几何知识知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到．圆周角为直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键. 3．（2019·浙江·高考真题）已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆相切于点，则 ， . 【答案】 【分析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线的斜率，进一步得到其方程，将代入后求得，计算得解. 【详解】可知，把代入得，此时. 【点睛】解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质. 4．（23-24高二下·上海·期末）若直线是曲线的一条对称轴，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】先求出圆的圆心，然后由题意可知直线过圆心，则可得所以，化简后利用基本不等式可求得结果. 【详解】由，得， 所以曲线表示的是以为圆心的圆， 因为直线是曲线的一条对称轴， 所以直线过点， 所以，即 所以 （当且仅当时，等号成立） 故答案为：4 题型十四 轨迹问题-圆 1．（2024·广东·模拟预测）过圆外一点做圆的切线，切点为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】先确定动点的轨迹，再结合基本（均值）不等式或直线与圆的位置关系求最大值. 【详解】如图： 依题意，，即. 解法一：，当且仅当时等号成立，故的最大值为. 故选：B 解法二：设，由题意知直线与圆：有公共点，令，解得，故的最大值为. 故选：B 2．（2024·贵州贵阳·三模）过点的直线与圆相交于不同的两点M，N，则线段MN的中点的轨迹是（    ） A．一个半径为10的圆的一部分 B．一个焦距为10的椭圆的一部分 C．一条过原点的线段 D．一个半径为5的圆的一部分 【答案】D 【分析】设 , 根据垂径定理得到，再转化为，写出相关向量，代入化简即可. 【详解】设，根据线段的中点为，则，即， 所以，又， 所以，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆在圆内的一部分， 故选：D. 3．（2014·四川·高考真题）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是 ． 【答案】5 【详解】试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一. 【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式. 4．（2024·福建莆田·三模）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数（，），则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，M是平面内一动点，且，则点M的轨迹方程为 .若点Р在圆上，则的最小值是 . 【答案】 【分析】根据两点距离公式计算即可得第一空，设点P坐标及点，根据圆的方程与两点距离公式化简得出，根据三角形三边关系求最值即可. 【详解】设，则， 整理得（或）. 设，则， 故 . 令，则=. 故答案为：； . 【点睛】思路点睛：利用阿氏圆的定义取点，构造，转化线段和结合三角形三边关系计算即可. 题型十五 直线与圆的位置关系 1．（2023·全国·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 【答案】C 【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可. 【详解】法一：令，则， 代入原式化简得， 因为存在实数，则，即， 化简得，解得， 故 的最大值是， 法二：，整理得， 令，，其中， 则， ，所以，则，即时，取得最大值， 法三：由可得， 设，则圆心到直线的距离， 解得 故选：C. 2．（多选）（2021·全国·高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 【答案】ABD 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解. 【详解】圆心到直线l的距离， 若点在圆C上，则，所以， 则直线l与圆C相切，故A正确； 若点在圆C内，则，所以， 则直线l与圆C相离，故B正确； 若点在圆C外，则，所以， 则直线l与圆C相交，故C错误； 若点在直线l上，则即， 所以，直线l与圆C相切，故D正确. 故选：ABD. 3．（2021·全国·高考真题）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】ACD 【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误. 【详解】圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是. 4．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ． 【答案】 【分析】根据圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出． 【详解】易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，， 所以，解得：，由解得：或， 所以，解得：． 当时，同理可得． 故答案为：． 5．（2022·全国·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可； 【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上， 所以所在直线即为直线，所以直线为，即； 圆，圆心，半径， 依题意圆心到直线的距离， 即，解得，即； 故答案为： 题型十六 圆的切线方程 1．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解. 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B.      2．（多选）（2024·全国·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 【答案】ABD 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解. 【详解】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD 3．（2021·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ． 【答案】 【分析】设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得. 【详解】设直线的方程为，则点， 由于直线与圆相切，且圆心为，半径为， 则，解得或，所以， 因为，故. 故答案为：. 4．（2020·浙江·高考真题）设直线与圆和圆均相切，则 ；b= ． 【答案】 【分析】由直线与两圆相切建立关于k，b的方程组，解方程组即可. 【详解】设，，由题意，到直线的距离等于半径，即，， 所以，所以（舍）或者， 解得. 故答案为： 【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题. 题型十七 圆的弦长与弦心距 1．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时.    故选：C 2．（2021·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则     A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出 【详解】由题可得圆心为，半径为2， 则圆心到直线的距离， 则弦长为， 则当时，取得最小值为，解得. 故选：C. 3．（2023·全国·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 【答案】（中任意一个皆可以） 【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出． 【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得：或， 由，所以或，解得：或． 故答案为：（中任意一个皆可以）． 4．（2022·天津·高考真题）若直线与圆相交所得的弦长为，则 ． 【答案】 【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 由勾股定理可得，因为，解得. 故答案为：. 题型十八 圆与圆的位置关系 1．（2016·山东·高考真题）已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是 A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 【答案】B 【详解】化简圆到直线的距离 ， 又 两圆相交. 选B 2．（2014·北京·高考真题）已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为 A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【详解】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B. 考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力. 3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】A 【分析】求出两圆圆心坐标与半径，再求出圆心距与半径之和、半径之差的绝对值比较，即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径， 则，故，所以两圆内含； 故选：A 4．（2024·广西河池·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数（）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，，动点满足，若点的轨迹与圆：（）有且仅有三条公切线，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由题意计算可得点的轨迹为圆，由公切线条数可知两圆外切，借助两圆外切的性质计算即可得解. 【详解】由题意可得，化简得， 即，即动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 由：（），可得， 故圆以为圆心，为半径，由两圆有且仅有三条公切线， 故两圆外切，即有，即. 故选：D. 题型十九 圆的公切线 1．（2024·河北石家庄·三模）已知圆和圆，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据圆与圆的位置关系求两圆圆心距及两圆半径，从而可判断两圆位置关系，即可得公切线条数. 【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心，半径， 则，故两圆外切，则两圆公切线的条数为. 故选：C. 2．（2024·山东聊城·二模）若圆与圆恰有一条公切线，则下列直线一定不经过点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆公切线条数确定两圆位置关系，从而可得圆心所满足的轨迹方程，从而逐项判段直线与圆位置关系，确定直线是否过点即可. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 若圆与圆恰有一条公切线，则两圆内切， 所以，即，所以点的轨迹为圆， 对于A，圆心到直线的距离为，则该直线过点，故A不符合； 对于B，圆心到直线的距离为，则该直线过点，故B不符合； 对于C，圆心到直线的距离为，则该直线过点，故C不符合； 对于D，圆心到直线的距离为，则该直线不过点，故D符合； 故选：D. 3．（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 【答案】或或 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 4．（2024·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，由，    所以两圆相交，则. 故答案为： 题型二十 圆的公共弦 1．（2024·黑龙江·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程为，即可利用点到线的距离公式以及圆的弦长公式求解. 【详解】的圆心和半径分别为, ，故两圆相交， 将两个圆的方程作差得，即公共弦所在的直线方程为， 又知，， 则到直线的的距离， 所以公共弦长为， 故选:A． 2．（多选）（2024·湖南长沙·模拟预测）若圆与圆交于A，B两点，则下列选项中正确的是（    ） A．点在圆内 B．直线的方程为 C．圆上的点到直线距离的最大值为 D．圆上存在两点P，Q，使得 【答案】BC 【分析】对于A，将点带入圆即可；对于B，圆与圆方程相减即可；对于C，由圆心到直线的距离再加半径2即可；对于D，直线经过圆的圆心，圆中不存在比长的弦. 【详解】对于A，因为，所以点在圆外，故A错误； 对于B，圆与圆交于两点， 因为圆和圆相交，将两圆相减可得：， 即公共弦所在直线的方程为，故B正确； 对于C，圆的圆心坐标为，半径为2， 圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线距离的最大值为，故C正确； 对于D，直线经过圆的圆心， 所以线段是圆的直径，故圆中不存在比长的弦，D错误. 故选：BC. 3．（2007·天津·高考真题）已知两圆和相交于两点，则直线的方程是 ． 【答案】 【详解】试题分析：两圆为①，②，可得，所以公共弦所在直线的方程为． 考点：相交弦所在直线的方程 4．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知圆，直线，为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线过定点 . 【答案】 【分析】设出点坐标，可得以为直径的圆的方程，与圆方程作差即可得公共弦方程，即可得定点坐标. 【详解】根据题意，为直线：上的动点，设的坐标为， 过点作圆的两条切线，切点分别为，，则，， 则点、在以为直径的圆上， 又由，，则以为直径的圆的方程为， 变形可得：， 则有，可得：， 变形可得：，即直线的方程为， 则有，解可得，故直线过定点. 故答案为：. 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