压轴题08 圆锥曲线综合的5大常考类型-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教B版2019选择性必修第一册）

专题08 圆锥曲线专题训练 目录 压轴题型讲练 1 类型一、圆锥曲线的定义应用 1 类型二、圆锥曲线的离心率 3 类型三、圆锥曲线的焦点弦 5 类型四、圆锥曲线定点、定值问题 7 类型五、圆锥曲线有关证明结论问题 12 类型一、圆锥曲线的定义应用 1.（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（    ） A．10 B．16 C．20 D．12 2.（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）以下几个命题中，其中真命题的序号为（    ）. ①双曲线与椭圆有相同的焦点； ②在平面内，到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线； ③设为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线； ④过定圆上一定点作圆的动弦为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆. A．① B．①② C．①④ D．③④ 3．（23-24高二下·甘肃白银·期末）设双曲线的左，右焦点分别为,过的直线分别交双曲线左右两支于点，连接,若,则（    ） A．1 B． C． D．2 4.（23-24高二上·贵州遵义·期中）已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5.（23-24高二下·河北张家口·期中）（多选）已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（    ） A．存在点使 B．的周长为16 C．的最大面积为12 D．的最大值为 6．（23-24高二下·四川广元·期末）（多选）已知分别是椭圆C：的左､右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（      ） A．的周长为10 B．面积的最大值为25 C．的最小值为1 D．椭圆C的离心率为 7.（23-24高二下·云南昆明·期末）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的右支上，则下列说法正确的是（    ） A．若的周长为24，则的面积为48 B． C． D．若为锐角，则点的纵坐标范围是 8．（23-24高二下·广西南宁·期末）（多选）已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线右支上一点，则下列说法正确的是（    ） A．若的内切圆圆心为，直线的斜率为 B．若的内切圆圆心为的外接圆半径为 C．若且，则 D．若且，则 9.（23-24高二下·湖北武汉·期末）（多选）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点到点的距离比到直线的距离小1.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（    ） A．点的轨迹曲线是线段 B．是“最远距离直线” C．过点的直线与点的轨迹交于、两点，则以为直径的圆与轴相交 D．过点的直线与点的轨迹交于、两点，则的最小值为 10．（2024·江苏南通·模拟预测）（多选）设抛物线的焦点为，是上的一个动点，则下列结论正确的是（    ） A．点到的距离比到轴的距离大2 B．点到直线的最小距离为 C．以为直径的圆与轴相切 D．记点在的准线上的射影为，则不可能是正三角形 类型二、圆锥曲线的离心率 1．（22-23高二上·北京·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆与轴的交点，若是钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·吉林·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，上顶点为A，过作的垂线，与y轴交于点P，若，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆，为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为，则离心率e的范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·山西运城·期中）已知分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交于两点，若的最大值为8，则的离心率为（    ）. A． B． C． D． 6.（2024·海南海口·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·安徽·期末）关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆：的左焦点为F，右顶点为A，过F且垂直于x轴的直线与C的一个交点为M，过M作椭圆的切线，若切线与直线的倾斜角互补，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·贵州毕节·期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，，且椭圆过点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·云南红河·期末）已知椭圆C：，的右焦点为，过F的直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 10.（23-24高二下·广西桂林·期末）已知点是椭圆C：（）的左焦点，过原点作直线l交C于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以线段MN为直径的圆过原点，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·重庆·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上总存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二下·江西九江·期末）设双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 13．（2024·山西阳泉·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于点，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 14．（23-24高二下·山西长治·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线交的左支于两点，若，，成等差数列，且，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 15.（23-24高二下·河南南阳·期末）已知双曲线，如图，过的右焦点作直线与的两条渐近线分别交于点，与轴交于点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 类型三、圆锥曲线的焦点弦 1.（23-24高二下·重庆·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于点．直线为在点处的切线，点关于的对称点为．由椭圆的光学性质知，三点共线．若，则（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高二下·安徽亳州·期末）设分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 3.（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）（多选）已知椭圆的长轴长为4，离心率为分别为椭圆的左､右焦点，过点的直线与椭圆相交于两点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的标准方程为 B．椭圆上存在点，使得 C．是椭圆上一点，若，则 D．若的内切圆半径分别为，当时，直线的斜率 4.（23-24高二下·贵州六盘水·期末）（多选）圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的方程为 B．过点且垂直于的直线平分 C．若，则 D．若，则 5.（23-24高二上·河北沧州·期末）（多选）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，点在第一象限内，点在的准线上，则下列判断正确的是（    ） A．若与相切，则也与相切 B． C．若点在轴上，则为定值 D．若点在轴上，且满足，则直线的斜率为 6.（23-24高二上·福建福州·期末）（多选）已知抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，直线过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（    ） A．若直线的斜率为，则 B．的最小值为 C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为，则点M的横坐标为 D．若点，则的周长最小值为 7.（23-24高二下·上海长宁·期末）设、为双曲线Γ：左、右焦点，且Γ的离心率为，若点M在Γ的右支上，直线与Γ的左支相交于点N，且，则 . 8.（23-24高二下·广东茂名·期末）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，.过点的直线与轴交于点，与交于点，且，点在以为直径的圆上，则的渐近线方程为 . 类型四、圆锥曲线定点、定值问题 1.（23-24高二下·广东惠州·期中）已知椭圆：，，分别为椭圆的左顶点和右焦点，过的直线交椭圆于点，若，且当直线轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)设直线，的斜率分别为，，问是否为定值? 并证明你的结论; (3)记的面积为，求的最大值. 2.（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆经过点，且焦距为2． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的左、右焦点分别为，，若，，，四点都在椭圆上，直线与交于点，且直线，分别过点，． ①若直线和的斜率存在且分别为，，求证：为定值； ②求四边形面积的最大值． 3.（23-24高二下·北京·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过椭圆的左焦点作不与x轴重合的直线MN与椭圆相交于M，N两点，的周长为8，过点M作直线的垂线ME，E为垂足． (1)求椭圆C的标准方程； (2)证明：直线EN经过定点P，并求定点P的坐标． 4.（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）已知椭圆分别为椭圆的左顶点和右焦点，过作斜率不为的直线交椭圆于点，两点，且.当直线轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率分别为，问是否为定值?并证明你的结论； (3)直线交轴于点，若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值. 5.（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆，点是椭圆中心与该椭圆一个顶点的中点，点为椭圆与轴正半轴的交点，且离心率为，过点的直线（与轴不重合）交椭圆于，两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出这个值，若不是请说明理由； (3)若圆的方程为，直线，分别交圆于，两点，试证明：直线恒过定点. 6.（23-24高二下·陕西安康·期中）设椭圆，，分别是C的左、右焦点，C上的点到的最小距离为1，P是C上一点，且的周长为6． (1)求C的方程； (2)过点且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，过原点且与l平行的直线与C交于A，B两点，求证：为定值． 7.（23-24高二下·福建厦门·期末）已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)过原点的直线交于两点，过作直线的垂线交于点（异于点），直线与轴，轴分别交于点.设直线，的斜率分别为，. （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）求四边形面积的最大值. 8．（23-24高二下·北京东城·期末）已知椭圆，过点，，分别是的左顶点和下顶点，是右焦点，. (1)求的方程； (2)过点的直线与椭圆交于点，，直线，分别与直线交于不同的两点，.设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 9.（23-24高二下·陕西西安·期中）已知双曲线经过点，右焦点为，且成等差数列. (1)求的方程； (2)过的直线与的右支交于两点（在的上方），的中点为在直线上的射影为为坐标原点，设的面积为，直线的斜率分别为，试问是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由. 类型五、圆锥曲线有关证明结论问题 1.（23-24高二下·上海·期末）如图，已知椭圆经过点，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆上任意点轴上一点，若的最小值为，求实数的取值范围； (3)设是经过右焦点的任一弦（不经过点），直线与直线相交于点，记的斜率分别为，求证:成等差数列. 2.（2024·江苏·一模）已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，直线l：与x轴交于点M，且， (1)求C的方程； (2)B为l上的动点，过B作C的两条切线，分别交y轴于点P，Q， ①证明：直线BP，BF，BQ的斜率成等差数列； ②⊙N经过B，P，Q三点，是否存在点B，使得，？若存在，求；若不存在，请说明理由. 3.（2024·福建泉州·模拟预测）设A，B为椭圆C：的短轴端点，P为椭圆上异于A，B的任意一点，D在直线上． (1)求直线，的斜率的乘积； (2)证明：； (3)过右焦点F作x轴的垂线，E为上异于F的任意一点，直线交C于M，N两点，记直线，，的斜率分别为，，，是否存在，，的某个排列，使得这三个数成等差数列？若存在，加以证明；若不存在，请说明理由． 4.（2024·全国·二模）已知双曲线：（）经过点和，，，，分别在双曲线的左、右两支上，为双曲线左支上一点，且，，三点共线，，，三点共线，直线，的斜率分别记为，. (1)求双曲线的标准方程； (2)求证：为定值； (3)试判断直线是否过定点，若是，请求出定点坐标，若不是，请说明理由. 5.（23-24高二下·贵州黔西·期末）已知为抛物线的焦点，过点作抛物线的两条相互垂直的弦． (1)求的值； (2)过定点任意作抛物线的一条弦，均有，求的值． 6.（23-24高二下·贵州六盘水·期末）定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”． 如图，为椭圆的“共轭点对”，已知，且点在直线上，直线过原点．    (1)求直线的方程； (2)已知是椭圆上的两点，为坐标原点，且． （i）求证：线段被直线平分； （ii）若点在第二象限，直线与相交于点，点为的中点，求面积的最大值． 7.（23-24高二下·河南商丘·期末）已知是抛物线的焦点，纵坐标为的点在上，且，是上两点，直线不与轴垂直，且直线关于轴对称． (1)求的方程； (2)求证：直线过定点； (3)求的取值范围． 8．（23-24高二下·贵州铜仁·期末）已知椭圆，以的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．设为原点，直线与交于不同的两点，且与轴交于点，点满足，过点的直线与的另一个交点为． (1)求的方程及离心率； (2)若轴，证明：是等腰直角三角形． 9.（23-24高二下·广东深圳·期末）已知椭圆的焦距为，直线过点，且与椭圆相交于两点，是线段的中点，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)若梯形的顶点都在椭圆上，且，对角线和交于点，线段的中点分别为. (i)证明：四点共线； (ii)试探究直线与直线的交点是否为定点，若是，请求出该定点并证明；若不是，请说明理由. 10.（23-24高二下·重庆·期末）已知椭圆 的左右顶点为A₁，A₂， 左右焦点为F₁，F₂，过F₁，F₂分别作两条互相平行的直线l₁，l₂，其中l₁交E于A，B两点， l₂交E于C，D两点， 且点A，C位于x轴同侧， 直线A₁C与A₂A交于点P. 当l₁与x轴垂直时，△PF₁F₂是面积为1的等腰直角三角形. (1)求椭圆E的方程; (2)若直线A₁C与直线A₂A的斜率之和为1， 求直线l₁，l₂的方程; (3)求 的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 圆锥曲线专题训练 目录 压轴题型讲练 1 类型一、圆锥曲线定义的应用 3 类型二、圆锥曲线的离心率 5 类型三、圆锥曲线焦点弦 7 类型四、圆锥曲线定点、定值问题 12 类型五、圆锥曲线有关证明结论问题 17 类型一、圆锥曲线的定义应用 1.（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（    ） A．10 B．16 C．20 D．12 【答案】C 【详解】因为若是椭圆的右焦点，且，可得， 设椭圆的左焦点为，连接， 由椭圆的对称性，可得， 所以. 故选：C. 2.（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）以下几个命题中，其中真命题的序号为（    ）. ①双曲线与椭圆有相同的焦点； ②在平面内，到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线； ③设为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线； ④过定圆上一定点作圆的动弦为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆. A．① B．①② C．①④ D．③④ 【答案】A 【详解】①双曲线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为，故①正确； ②因为定点在直线上，所以到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是直线，故②错误； ③若动点的轨迹为双曲线，则要小于两个定点间的距离， 当大于或等于两个定点间的距离时动点的轨迹不是双曲线，故③错误； ④由知是线段的中点， 所以，所以在以为直径的圆上，即动点的轨迹为圆，故④错误. 故选：A. 3．（23-24高二下·甘肃白银·期末）设双曲线的左，右焦点分别为,过的直线分别交双曲线左右两支于点，连接,若,则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】 结合题意可知,设，则， 结合双曲线的定义可得，则， 又由双曲线的定义可得，则，解得， 所以，，， 在中，则余弦定理得： ， 所以，则，即. 故选：B. 4.（23-24高二上·贵州遵义·期中）已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 设点在准线上的射影为，如图，    则根据抛物线的定义可知， 求的最小值，即求的最小值， 显然当，，三点共线时取得最小值， 此时点的横坐标为，则，解得，即. 故选：D. 5.（23-24高二下·河北张家口·期中）（多选）已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（    ） A．存在点使 B．的周长为16 C．的最大面积为12 D．的最大值为 【答案】BCD 【详解】由，得. 对于A：假设存在点使得，则， 所以点的轨迹是以原点为圆心，为直径的圆，则， 因为椭圆上的任一点到原点的最小距离是短轴顶点与原点的距离，即， 由可知，圆与椭圆没有交点， 所以假设不成立，即不存在点使得，故A错误； 对于B：的周长为，故B正确； 对于C：当为椭圆短轴顶点时，点到的距离最大，则的面积最大， 所以，故C正确； 对于D： ，又，所以， 所以，故D正确. 故选：BCD. 6．（23-24高二下·四川广元·期末）（多选）已知分别是椭圆C：的左､右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（      ） A．的周长为10 B．面积的最大值为25 C．的最小值为1 D．椭圆C的离心率为 【答案】AD 【详解】由题意可知：， 则，， 对于选项A：的周长为，故A正确； 对于选项B：当P为短轴顶点时，面积取到最大值为，故B错误； 对于选项C：的最小值为，此时P为长轴顶点， 但本题取不到长轴顶点，故没有最小值，故C错误； 对于选项D：椭圆C的离心率为，故D正确； 故选：AD. 7.（23-24高二下·云南昆明·期末）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的右支上，则下列说法正确的是（    ） A．若的周长为24，则的面积为48 B． C． D．若为锐角，则点的纵坐标范围是 【答案】BC 【详解】可得， 由于点在的右支上，故， 对于A，若的周长为24，则， 进而，，故， 故的面积为，A错误， 对于B，由于，当在右顶点时等号取到， 故，故B正确， 对于C，由于双曲线一三象限的渐近线方程为， 故， 又当在右顶点时，，故，C正确， 对于D，设，， 则， 则， 解得或，故D错误. 故选：BC. 8．（23-24高二下·广西南宁·期末）（多选）已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线右支上一点，则下列说法正确的是（    ） A．若的内切圆圆心为，直线的斜率为 B．若的内切圆圆心为的外接圆半径为 C．若且，则 D．若且，则 【答案】ACD 【详解】如图1，由条件，点应在双曲线的右支上， 设圆分别与的三边切于点， 则， ，得，连接， 则， 所以，A选项正确； 同理，是直角三角形.. 由正弦定理，得选项错误； 若，则， 且，可得， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，所以 因为，即， 解得，若，即， 则 即，即，故D正确. 故选：ACD 9.（23-24高二下·湖北武汉·期末）（多选）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点到点的距离比到直线的距离小1.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（    ） A．点的轨迹曲线是线段 B．是“最远距离直线” C．过点的直线与点的轨迹交于、两点，则以为直径的圆与轴相交 D．过点的直线与点的轨迹交于、两点，则的最小值为 【答案】BC 【详解】因为点，直线，动点到点的距离比到直线的距离小1， 所以动点到点的距离等于到直线的距离， 所以点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线， 所以抛物线方程为， 对于A，点的轨迹是抛物线，所以A错误， 对于B，由，得，解得， 所以直线与抛物线相交于点， 所以是“最远距离直线”，所以B正确， 对于C，设过点的直线为，， 由，得， 所以， 所以， 所以， 所以以为直径的圆的半径为， 因为圆心到轴的距离为， 所以以为直径的圆与轴相交，所以C正确， 对于D，， 所以D错误， 故选：BC 10．（2024·江苏南通·模拟预测）（多选）设抛物线的焦点为，是上的一个动点，则下列结论正确的是（    ） A．点到的距离比到轴的距离大2 B．点到直线的最小距离为 C．以为直径的圆与轴相切 D．记点在的准线上的射影为，则不可能是正三角形 【答案】BC 【详解】由抛物线，可得焦点，准线方程为，设， 因为，因此不正确； 因为，则点到直线的距离为， 当时取等号，可得点到直线的最小距离为，因此正确； 设的中点为，则，于是以为直径的圆与轴相切， 因此正确； ，令，则，，解得， 此时，是正三角形，因此不正确． 故选：BC． 类型二、圆锥曲线的离心率 1．（22-23高二上·北京·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆与轴的交点，若是钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】    如图，因为是钝角三角形，所以， 所以，即， 则椭圆的离心率的取值范围是，故A，B，C错误. 故选：D. 2．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设椭圆的左焦点为， 因为，所以四边形为为矩形，所以， 因为， 所以，，则， 由椭圆的定义得， 所以， 因为，所以， 所以， 其中 ， 所以， 所以. 故选：A 3．（23-24高二下·吉林·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，上顶点为A，过作的垂线，与y轴交于点P，若，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则直线的斜率为， 直线的斜率为， 直线的方程为． 令，得，即． 因为， 所以，解得． 故选：B. 4．（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆，为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为，则离心率e的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，，， ， 由题意可知，，即，得， 则. 故选：B 5．（23-24高二下·山西运城·期中）已知分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交于两点，若的最大值为8，则的离心率为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由椭圆的定义，可知，    所以当最小时，最大， 由椭圆的性质得，过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短， 当直线AB垂直于轴时，取得最小值，此时， 由解得，此时的离心率. 故选：A. 6.（2024·海南海口·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过作， 由于圆O截直线的弦长为，所以， 由于，所以,结合是的中点， 所以， 故，， 化简得， 所以， 故选：A 7．（23-24高二下·安徽·期末）关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆：的左焦点为F，右顶点为A，过F且垂直于x轴的直线与C的一个交点为M，过M作椭圆的切线，若切线与直线的倾斜角互补，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：， 令代入椭圆方程可得，不妨设， 则切线，即， 可知直线的斜率，切线的斜率， 由题意可知：，即. 故选：C. 8．（23-24高二下·贵州毕节·期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，，且椭圆过点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由点在上，，即， 所以， 又椭圆过点，则 故椭圆方程为， 所以离心率， 故选：C. 9．（23-24高二下·云南红河·期末）已知椭圆C：，的右焦点为，过F的直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设 则，两式作差得：， 线段AB的中点为，故， 所以， 且直线AB过和， 则直线AB的斜率：, 故， 解得. 故选：B 10.（23-24高二下·广西桂林·期末）已知点是椭圆C：（）的左焦点，过原点作直线l交C于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以线段MN为直径的圆过原点，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令椭圆右焦点为，半焦距为c，连接，因为分别是、的中点，O为的中点， 则，由以为直径的圆过原点，得， 则有，又点A，B关于原点O对称，即四边形为平行四边形，且是矩形， 于是，有，， 因此，当且仅当时取等号， 即有，，则，而，解得. 故选：A. 11．（23-24高一下·重庆·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上总存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由椭圆性质可知，当点位于短轴端点时取得最大值， 要使椭圆上总存在点，使得，    只需满足，且， 记，则有，且， 所以，解得（舍去）或， 所以，即， 整理得，所以，所以. 故选：D. 12．（23-24高二下·江西九江·期末）设双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取为的中点，为右焦点， ， ，， 在上的投影为，， ，，， ， ，. 故选：C 13．（2024·山西阳泉·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于点，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为是线段的中点，且，所以， 又，所以是等边三角形， 设的边长为，由双曲线的定义知，，， 所以， 又，所以，即， 所以， 在中，由余弦定理知，， 所以 即，所以离心率. 故选：C 14．（23-24高二下·山西长治·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线交的左支于两点，若，，成等差数列，且，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，成等差数列， 所以，即， 又因为， 所以，所以， 设，则， 故， 在中，由余弦定理得， ， 解得（舍去）， 所以， 因为，所以， 即， 即， 整理得，所以， 即的离心率是. 故选：A. 15.（23-24高二下·河南南阳·期末）已知双曲线，如图，过的右焦点作直线与的两条渐近线分别交于点，与轴交于点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】在中，因,可设，则， 因，则,即，则， 故.由三角形相似可知，因此. 又因，所以.设，则， 故，又中，， 故得，即，从而， 故得，从而离心率为. 故选：B. 类型三、圆锥曲线的焦点弦 1.（23-24高二下·重庆·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于点．直线为在点处的切线，点关于的对称点为．由椭圆的光学性质知，三点共线．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如下图所示： 因为点关于的对称点为，则， 因为，且， 所以，， 所以，，可得， 则， 所以，，故． 故选：D 2.（23-24高二下·安徽亳州·期末）设分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以．设，则． 在中，． 在中，， 所以，整理得，． 于是． 故选：D． 3.（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）（多选）已知椭圆的长轴长为4，离心率为分别为椭圆的左､右焦点，过点的直线与椭圆相交于两点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的标准方程为 B．椭圆上存在点，使得 C．是椭圆上一点，若，则 D．若的内切圆半径分别为，当时，直线的斜率 【答案】AC 【详解】对于A，因为椭圆的长轴长为，所以，又因为椭圆的离心率， 所以，所以，所以椭圆，故A正确； 对于B，若椭圆上存在点，使得，则点在圆上， 又因为方程组无解，故B错误； 对于C，设，则，    在中，由余弦定理可得 ，因为，所以， 所以，故C正确； 对于D，显然直线斜率不为0，设直线，    由，整理得：恒成立， 所以，依题意有， 得，所以，即， 同理可得，因为，所以，又因为，所以， 因为，所以，解得， 代入到，得，解得：， 所以直线的斜率为：，故D错误. 故选：AC. 4.（23-24高二下·贵州六盘水·期末）（多选）圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的方程为 B．过点且垂直于的直线平分 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为， 所以，解得，得到双曲线的方程为，正确， 对于B，如图，由题知，，所以， 若，所以， 正确， 对于C，记，所以， 又，得到，又， 所以，又， 由，得，错误， 对于D，因为，， 由，得， 又，得到，得到， 从而有，得到， 由，得到， 从而有，解得，正确， 故选：ABD. 5.（23-24高二上·河北沧州·期末）（多选）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，点在第一象限内，点在的准线上，则下列判断正确的是（    ） A．若与相切，则也与相切 B． C．若点在轴上，则为定值 D．若点在轴上，且满足，则直线的斜率为 【答案】AB 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 对于A：设，，依题意可得过，两点的抛物线的切线不与坐标轴垂直， 不妨设过的抛物线的切线方程为：， 即， 由，有， ∴， 又，整理得，解得， ∴过的抛物线的切线方程为：，整理得， 同理可得过的抛物线的切线方程为：， 设两切线的交点为，由， 可得， 设直线的方程为：，由有， ∴，，则， ∴， 即两切线的交点在抛物线的准线上， 所以若与相切，则也与相切，故A正确； 对于B：设的中点为，由，则，则， 又，所以到准线的距离， 所以以为直径的圆与抛物线的准线相切， 又点在的准线上，所以，故B正确； 对于C：依题意可得，所以，， 所以 ，显然不是定值，故C错误； 对于D：因为 ， 所以轴为的平分线， 根据角平分线定理可得， 设直线的倾斜角为， 则，， 所以，解得，所以， 则直线的斜率为，故D错误. 故选：AB 6.（23-24高二上·福建福州·期末）（多选）已知抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，直线过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（    ） A．若直线的斜率为，则 B．的最小值为 C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为，则点M的横坐标为 D．若点，则的周长最小值为 【答案】BCD 【详解】抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且， 则第一象限内的交点的纵坐标为，代入圆方程得横坐标为1，即， 所以，，即抛物线方程为，焦点为， 对选项A，设直线方程为，由得， 设，则，， ， 直线的斜率为时，，所以，A错误； 对选项B，由抛物线定义得 ， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因此的最小值为，B正确； 对选项C，如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，取的中点，过作轴垂线，垂足为， 则，是梯形的中位线， 由抛物线定义可得， 所以， 所以以为直径的圆与轴相切， 因此为切点，所以点纵坐标为1， 又是中点，所以点纵坐标为2， 而是抛物线上的点，因此其横坐标为1，C正确；    对选项D，过作垂直于抛物线的准线，垂足为， 所以的周长为， 当且仅当点的坐标为时取等号（即与准线垂直），D正确． 故选：BCD． 7.（23-24高二下·上海长宁·期末）设、为双曲线Γ：左、右焦点，且Γ的离心率为，若点M在Γ的右支上，直线与Γ的左支相交于点N，且，则 . 【答案】3 【详解】如图，画出草图． 由的离心率为，且，可得，解得. 因为， 所以由双曲线的定义，可得. 故答案为：． 8.（23-24高二下·广东茂名·期末）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，.过点的直线与轴交于点，与交于点，且，点在以为直径的圆上，则的渐近线方程为 . 【答案】 【详解】依题意，设，则， 因为点在以为直径的圆上，则， 在Rt中，，则， 故或(舍去)，所以， 则，故， 所以在中，， 整理得，则，则，则， 故的渐近线方程为. 故答案为：. 类型四、圆锥曲线定点、定值 1.（23-24高二下·广东惠州·期中）已知椭圆：，，分别为椭圆的左顶点和右焦点，过的直线交椭圆于点，若，且当直线轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)设直线，的斜率分别为，，问是否为定值? 并证明你的结论; (3)记的面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2)为定值，证明见解析 (3) 【详解】（1）设椭圆的右焦点为，，则， 由，得， 又当直线轴时，，的横坐标为，将代入中，得， 则， 联立，解得，，， 所以椭圆的方程为. （2）为定值，证明如下： 显然直线不与轴垂直，可设的方程为， 联立椭圆方程，消去并整理得， 又设，，由韦达定理得 从而， ， 所以 ， 即，故得证． （3）由（2）知，， 所以 ． 令，， 则，设函数， 由对勾函数性质易知在上为增函数， 所以当，即时，， 此时取得最大值为． 2.（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆经过点，且焦距为2． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的左、右焦点分别为，，若，，，四点都在椭圆上，直线与交于点，且直线，分别过点，． ①若直线和的斜率存在且分别为，，求证：为定值； ②求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）①因为，，，四点都在椭圆上，直线与交于点， 所以四边形为平行四边形， 又直线，的斜率均存在， 所以设的方程，，，， 显然， 椭圆的方程，则，， 所以， 又，， ， 为定值； ②由（1）可知：椭圆的左焦点，右焦点， 当所在直线与轴垂直时，则所在直线方程为，代入，得，则，，所以，， 平行四边形的面积； 当所在直线斜率存在时，设直线方程为， 联立，得． 显然，设，，则，， ， 两条平行线间的距离， 平行四边形的面积 ， 由，，， 设，由在上单调递减， ， ， 综上，平行四边形面积的最大值为． 3.（23-24高二下·北京·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过椭圆的左焦点作不与x轴重合的直线MN与椭圆相交于M，N两点，的周长为8，过点M作直线的垂线ME，E为垂足． (1)求椭圆C的标准方程； (2)证明：直线EN经过定点P，并求定点P的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点 【详解】（1）的周长为8，，故， ，，故，所以，， 故椭圆的标准方程为； （2）， 设直线MN方程：，，，， 联立方程，得， 所以，， 所以， 又，所以直线EN方程为：， 令，则， 所以直线EN过定点． 4.（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）已知椭圆分别为椭圆的左顶点和右焦点，过作斜率不为的直线交椭圆于点，两点，且.当直线轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率分别为，问是否为定值?并证明你的结论； (3)直线交轴于点，若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值. 【答案】(1) (2)为定值，证明见解析 (3) 【详解】（1）设椭圆的右焦点为，，则， 由，得， 又当直线轴时，，的横坐标为，将代入中，解得， 则， 联立，解得，，， 所以椭圆的方程为 （2）为定值，证明如下： 显然，直线不与轴垂直，可设的方程为， 联立椭圆方程，消去并整理得， 又设，，显然，所以由韦达定理得， 从而， ， 所以 ， 即，故得证． （3）依题意直线的斜率存在且不为，设直线的方程为：， 则直线的方程为. 联立直线与椭圆的方程可得：， 由，可得， 联立直线与椭圆的方程可得：，即， 即 ， 当且仅当，即时取等号， 即的最小值为. 5.（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆，点是椭圆中心与该椭圆一个顶点的中点，点为椭圆与轴正半轴的交点，且离心率为，过点的直线（与轴不重合）交椭圆于，两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出这个值，若不是请说明理由； (3)若圆的方程为，直线，分别交圆于，两点，试证明：直线恒过定点. 【答案】(1) (2)是定值， (3)证明见解析 【详解】（1）根据题意可得，，又，则，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设过点的直线为，，，易知， 联立，消去整理得，易得， 则，， 所以 . 所以直线与直线的斜率之积为定值.    （3）设直线的斜率为，直线的斜率为，，，且， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立，消去整理得， 解得，， 同理可得，， 当直线的斜率为时，易知此时，解得，直线过点. 当直线的斜率不为时，，，所以， 所以直线过点， 综上，直线恒过定点. 6.（23-24高二下·陕西安康·期中）设椭圆，，分别是C的左、右焦点，C上的点到的最小距离为1，P是C上一点，且的周长为6． (1)求C的方程； (2)过点且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，过原点且与l平行的直线与C交于A，B两点，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意知椭圆，C上的点到的最小距离为1， P是C上一点，且的周长为6， 设椭圆的焦距为2c，则，解得， 故C的方程为； （2）证明：由题意知，故直线l的方程为， 设，联立， 得，由于直线l过椭圆焦点，必有， 故， 故， 由题意知直线的方程为，联立，得， 设，则不妨取， 故， 故，即为定值. 7.（23-24高二下·福建厦门·期末）已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)过原点的直线交于两点，过作直线的垂线交于点（异于点），直线与轴，轴分别交于点.设直线，的斜率分别为，. （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）. 【详解】（1）设，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则，即，得， 化简得：.所以的方程为. （2）设，，则. （ⅰ）因为在椭圆上，所以，， 即，， 所以， 所以为定值. （ⅱ）由题意得，直线的斜率一定存在，且不为0. 因为，所以，因为，所以. 由（ⅰ）得，所以，所以：. 令，得，所以，令，得，所以， 所以四边形的面积为. 因为， 又，即，所以， 当且仅当，时，等号成立. 所以，所以四边形的面积的最大值为. 8．（23-24高二下·北京东城·期末）已知椭圆，过点，，分别是的左顶点和下顶点，是右焦点，. (1)求的方程； (2)过点的直线与椭圆交于点，，直线，分别与直线交于不同的两点，.设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【详解】（1）由椭圆过点，得， 由，得椭圆半焦距，则长半轴长， 所以的方程为. （2）显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，， 由消去x得，显然， ，直线的方程为， 令，得点的纵坐标，同理点的纵坐标， 因此 为定值， 所以为定值. 9.（23-24高二下·陕西西安·期中）已知双曲线经过点，右焦点为，且成等差数列. (1)求的方程； (2)过的直线与的右支交于两点（在的上方），的中点为在直线上的射影为为坐标原点，设的面积为，直线的斜率分别为，试问是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由. 【答案】(1) (2)是定值，定值为 【详解】（1）因为，，成等差数列，所以， 又，所以. 将点的坐标代入C的方程得，解得， 所以，所以C的方程为. （2）依题意可设PQ：， 由，得,    设，，，则. ，， 则， 而， 所以， 所以是定值，定值为. 类型五、圆锥曲线有关证明结论问题 1.（23-24高二下·上海·期末）如图，已知椭圆经过点，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆上任意点轴上一点，若的最小值为，求实数的取值范围； (3)设是经过右焦点的任一弦（不经过点），直线与直线相交于点，记的斜率分别为，求证:成等差数列. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题意，点在椭圆上得，可得 ① 又由，所以 ② 由①②联立且，可得，，， 故椭圆的标准方程为． （2）设，， 令，对称轴为，因为， 当，即， ，故符合题意； 当，即， ， 所以，解得，不符合题意； 当，即， ，解得； 所以实数的取值范围为：. （3）由（1）知，椭圆的方程为，可得椭圆右焦点坐标， 显然直线斜率存在，设的斜率为，则直线的方程为， 联立方程组，整理得， 易知，设，，则有，， 由直线的方程为，令，可得，即， 从而，，， 又因为共线，则有，即有， 所以 ， 将，代入得， 又由，所以，即，，成等差数列． 2.（2024·江苏·一模）已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，直线l：与x轴交于点M，且， (1)求C的方程； (2)B为l上的动点，过B作C的两条切线，分别交y轴于点P，Q， ①证明：直线BP，BF，BQ的斜率成等差数列； ②⊙N经过B，P，Q三点，是否存在点B，使得，？若存在，求；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②存在， 【详解】（1）由右焦点为，得， 因为，所以， 若，则，得，无解， 若，则，得，所以，因此C的方程. （2）设，易知过B且与C相切的直线斜率存在， 设为， 联立，消去y得， 由，得， 设两条切线BP，BQ的斜率分别为，，则，. ①设BF的斜率为，则， 因为，所以BP，BF，BQ的斜率成等差数列，    ②法1：在中，令，得，所以， 同理，得，所以PQ的中垂线为， 易得BP中点为，所以BP的中垂线为， 联立，解得， 所以，， 要使，即，整理得， 而， 所以，解得，，因此， 故存在符合题意的点B，使得，此时.    法2：在中，令，得，因此， 同理可得，所以PQ的中垂线为， 因为BP中点为，所以BP的中垂线为， 联立，解得， 要使，则，所以，即， 而， 所以，解得，，因此， 故存在符合题意的点B，使得，此时.    法3：要使，即或， 从而，又，所以， 因为， 所以，解得，，所以， 故存在符合题意的点B，使得，此时.    法4：要使，即或， 从而， 在中，令，得，故， 同理可得， 因此，， 所以， 故，即， 整理得， 所以，整理得，解得或（舍去）， 因此，， 故存在符合题意的点B，使得，此时.    法5：要使，即或， 在中，令，得，故， 同理可得， 由等面积法得， 即，整理得， 所以，整理得，解得或（舍去）， 因此，， 故存在符合题意的点B，使得，此时. 3.（2024·福建泉州·模拟预测）设A，B为椭圆C：的短轴端点，P为椭圆上异于A，B的任意一点，D在直线上． (1)求直线，的斜率的乘积； (2)证明：； (3)过右焦点F作x轴的垂线，E为上异于F的任意一点，直线交C于M，N两点，记直线，，的斜率分别为，，，是否存在，，的某个排列，使得这三个数成等差数列？若存在，加以证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在；证明见解析 【详解】（1）不妨设，，设， 则直线，的斜率分别为，， 所以． 又因为，所以， 故， 即直线，的斜率的乘积为． （2）由椭圆的对称性，不妨设P位于第一象限或长轴右端点， 设直线，的倾斜角分别为，， 则． 由（1）知，，故， 从而， 当且仅当时等号成立，此时P为C的右顶点． 因为， 又因为，且， 所以． （3）设， ①当在轴上时，，不妨设，， ，，，从而； ②当不在轴上时，设，，直线：， 由得，所以． 由消去，得， 因为直线过点，则， 从而，（*）， 又 ． 将（*）式代入上式，得． 综上，可得，即，，或，，成等差数列． 4.（2024·全国·二模）已知双曲线：（）经过点和，，，，分别在双曲线的左、右两支上，为双曲线左支上一点，且，，三点共线，，，三点共线，直线，的斜率分别记为，. (1)求双曲线的标准方程； (2)求证：为定值； (3)试判断直线是否过定点，若是，请求出定点坐标，若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)过定点 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以双曲线方程为. （2）设直线的方程为， 由得， 因为直线与双曲线的左、右支分别交于点， 所以，解得， 所以 则 ， 即为定值． （3）设直线的方程为， 由得， ， 所以， 由，结合（2）可知， 由，得，即或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 当时，直线的方程为，令，则， 所以直线过定点． 5.（23-24高二下·贵州黔西·期末）已知为抛物线的焦点，过点作抛物线的两条相互垂直的弦． (1)求的值； (2)过定点任意作抛物线的一条弦，均有，求的值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为， 显然直线不垂直于坐标轴，设直线方程为，则直线方程为， 由消去得：，设，则， 于是，同理， 所以. （2）由过定点任意作抛物线的一条弦，得，显然直线不垂直于轴， 设直线方程为，由消去得：， 设，则， ，同理， ， 因此 ，即， 依题意，对任意实数，恒成立，因此，解得， 所以. 6.（23-24高二下·贵州六盘水·期末）定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”． 如图，为椭圆的“共轭点对”，已知，且点在直线上，直线过原点．    (1)求直线的方程； (2)已知是椭圆上的两点，为坐标原点，且． （i）求证：线段被直线平分； （ii）若点在第二象限，直线与相交于点，点为的中点，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）． 【详解】（1）由已知，点在直线上， 又因为直线过原点， 所以所求直线的方程为：．    （2）（i）方法1：因为，所以 设，则， 两式相减得， 整理得， 即，所以线段的中点在直线上． 所以线段被直线平分． 方法2：因为，， 所以设， 由， 由韦达定理得，于是， 从而，所以线段的中点在直线上． （ii）由（i）可知为的中点，而为的中点， 所以． 由解得，设， 由， 由， 由韦达定理得． 点到直线的距离， 令，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以，所以的最大值为． 7.（23-24高二下·河南商丘·期末）已知是抛物线的焦点，纵坐标为的点在上，且，是上两点，直线不与轴垂直，且直线关于轴对称． (1)求的方程； (2)求证：直线过定点； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由题知，点的横坐标为， 根据抛物线的定义知，， 解得或4（舍去）， 的方程为． （2） 由（1）知． 设，，直线的方程为，代入，整理得， 则，，． 直线，关于轴对称， ， ， ，， 直线过定点． （3）由（Ⅱ）知，，，， ， 又在时单调递增， ， 的取值范围为． 8．（23-24高二下·贵州铜仁·期末）已知椭圆，以的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．设为原点，直线与交于不同的两点，且与轴交于点，点满足，过点的直线与的另一个交点为． (1)求的方程及离心率； (2)若轴，证明：是等腰直角三角形． 【答案】(1)，离心率为 (2)证明见解析 【详解】（1）由题意. 因为.所以， 所以椭圆方程为，离心率为. （2）设，联立方程， 消去得：. 依题意，得，则.     直线，令得， 又因为，所以. 因为轴，所以点B与点关于x轴对称，所以， 所以向量，， 则有 . 所以，所以.         设的中点为，则，. ， 由题意可知，故，所以， 因为点B与点关于轴对称，所以， 所以， 所以为等腰直角三角形.     9.（23-24高二下·广东深圳·期末）已知椭圆的焦距为，直线过点，且与椭圆相交于两点，是线段的中点，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)若梯形的顶点都在椭圆上，且，对角线和交于点，线段的中点分别为. (i)证明：四点共线； (ii)试探究直线与直线的交点是否为定点，若是，请求出该定点并证明；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)(i)证明见解析；(ii)，证明见解析 【详解】（1）由直线过点，得， 联立，消得：，易知， 设，则，整理得：， 又因为，所以，解得， 即椭圆. （2） (i)不妨设的中点为，的中点为， 再设 由题可知直线斜率必存在，且， 以上两式相减得， 即，同理， 因为可得：，则，即三点共线； 又因为四边形是梯形，且与交于， 由平面几何知识可知三点共线， 即得证四点共线； (ii)由(i)可知，，而， 所以， 设直线的方程为：，设直线的方程为：， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得：，不妨设， 同理，， 因为，所以 化简得：， 即 上式两边平方化简得：， 由平面几何知识易知三点共线，故设， 由可得， ，， 所以，即或（舍去） 化简得：， 结合，可得， 故直线与直线的交点为定点. 10.（23-24高二下·重庆·期末）已知椭圆 的左右顶点为A₁，A₂， 左右焦点为F₁，F₂，过F₁，F₂分别作两条互相平行的直线l₁，l₂，其中l₁交E于A，B两点， l₂交E于C，D两点， 且点A，C位于x轴同侧， 直线A₁C与A₂A交于点P. 当l₁与x轴垂直时，△PF₁F₂是面积为1的等腰直角三角形. (1)求椭圆E的方程; (2)若直线A₁C与直线A₂A的斜率之和为1， 求直线l₁，l₂的方程; (3)求 的取值范围. 【答案】(1) (2)直线直线 (3) 【详解】（1） 设, 故直线的方程为 由,得, 所以 不妨设， 由△PF₁F₂是等腰直角三角形可得 所以直线方程为：，同理可得方程为：， 所以交点， 由△PF₁F₂是等腰直角三角形面积为1可得 解得， 又在直线上， 所以, 所以，又， 所以 所以椭圆方程. （2） 由图形对称性可得：， 所以， 设, 将 和椭圆得方程联立得 所以 , 故直线直线 （3） 易得点关于原点对称， 由(2)知, 则直线，直线 , 将两式相乘得 ， 其中 ， 故点P的轨迹方程为：，即 设 则 当时， , 当时，, , , 综上， , 故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$