精品解析：湖南省衡阳市衡山县四校联考2022-2023学年七年级下学期期末数学试题

湖南省衡阳市衡山县四校联考2022-2023学年七年级（下）期末 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有1个选项符合题意．请将符合题意的选项用2B铅笔填涂在答题卡相应位置） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形定义及“将图形绕着某一点旋转与原图形重合的图形叫做中心对称图形”，逐一进行判断即可． 【详解】A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此项错误； B.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此项错误； C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此项正确； D. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，理解定义，会用定义进行判断是解题的关键． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项，同底数幂的乘法、除法、幂的乘方的运算法则．直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故A错误，不符合题意； B、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故B正确，符合题意； C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C错误，不符合题意； D、幂的乘方底数不变指数相乘，故D错误，不符合题意； 故选：B． 3. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 有理数的绝对值都是正数 C. 等角的补角相等 D. 垂线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，根据相交线，平行线以及绝对值相关的定理和概念逐项判断． 【详解】解：两点之间，线段最短，故A是真命题，不符合题意； 非零有理数的绝对值都是正数，故B是假命题，符合题意； 等角的补角相等，故C是真命题，不符合题意； 垂线段最短，故D是真命题，不符合题意； 故选：B． 4. 今年3月，某校举行“唱红歌”歌咏比赛，有19位同学参加选拔赛，所得分数互不相同，按成绩取前9名进入决赛，若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道19位同学分数的（　　） A. 中位数 B. 平均数 C. 极差 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】本题需根据中位数、众数、平均数、方差表示的含义进行分析即可求出正确答案． 【详解】∵有18位同学参加选拔赛，所得分数互不相同，按成绩取前9名进入决赛，并且知道某同学分数， ∴要判断他能否进入决赛，只需知道这些数据的中位数即可． 故选A． 【点睛】本题主要考查了统计量的选择，在解题时要能根据中位数、众数、平均数、方差表示的含义求出正确答案是本题的关键． 5. 下列因式分解正确的是（ ） A B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据提取公因式法，十字相乘法以及公式法进行因式分解． 【详解】解：A．，故本选项错误，不符合题意； B．，故本选项正确，符合题意； C．，故本选项错误，不符合题意； D．，故本选项错误，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式，提公因式法与公式法综合运用，熟练掌握多项式因式分解的方法是解本题的关键． 6. 用代入法解方程组时 ，将①代入②得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用代入消元法，将①代入②中并化简可得． 【详解】解：， 将①代入②得：， 整理得：， 故选B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程组，解题的关键是掌握代入消元法的步骤． 7. 如图，AB//CD，DB⊥BC，垂足为点B，∠1＝40°，则∠2的度数是（ ） A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】利用直角三角形中两锐角互余求出，再利用两直线平行同位角相等求出的度数． 【详解】解：在中，，， 又，． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 8. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到三角形的位置，，，，平移的距离为3，则阴影部分的面积为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移的基本性质，掌握①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等是解题的关键．由可得即可求解． 【详解】解∶平移距离为3， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积为． 故选C． 9. 随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．如图是共享单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，则的度数为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出． 由平行线的性质推出，求出．即可得到的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故选：D． 10. 《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问：甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙二人带着钱，不知是多少，若甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50，若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？设甲有钱为x，乙有钱为y，可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．根据甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50，可以得到相应的方程组，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， ； 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】此题考查了提公因式法进行因式分解，解题的关键是掌握因式分解的有关方法． 12. 已知方程，用含x的代数式表示y，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的定义以及表示形式进行转换即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程的表示问题，掌握方程的定义以及表示形式是解题的关键． 13. 如图，农民伯伯若要将河里的水引到田地P处，需要从点P作河岸l的垂线，垂足是Q，则沿PQ挖的水沟最短，这样做的数学道理是__________________． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：根据题意，将河里的水引到田地P处，需要从点P作河岸l的垂线，垂足是Q，可知理由是：垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 【点睛】本题用的知识点是：垂线段最短，读懂题意是解决问题的关键． 14. 某校规定学生期末数学总评成绩由三部分构成：卷面成绩、课外论文成绩、平日表现成绩（三部分所占比例如图），若方方的三部分得分依次是92、80、�84，则她这学期的期末数学总评成绩是________． 【答案】88.8 【解析】 【分析】根据加权平均数的算法计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：她这学期的期末数学总评成绩是． 故答案为：88.8 【点睛】本题主要考查了求加权平均数，熟练掌握加权平均数的公式是解题的关键． 15. 如图，从一个边长为a的正方形的一角上剪去一个边长为b（a>b）的正方形，则剩余（阴影）部分正好能够表示一个乘法公式，则这个乘法公式是_____（用含a，b的等式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据阴影部分面积的不同表示方法，图中阴影部分的面积是：a2-b2，阴影部分的面积是：a（a-b）+b（a-b）=（a+b）（a-b），即可得到乘法公式． 【详解】解：图中阴影部分的面积是：a2-b2， 阴影部分的面积为：a（a-b）+b（a-b）=（a+b）（a-b）， ∴a2-b2=（a+b）（a-b）． 故答案为a2-b2=（a+b）（a-b）． 【点睛】本题主要考查了平方差公式几何背景．利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式． 16. 如右图，已知条件：①；②；③；④；其中能够判定直线的是______．（只填序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和平行线有关的辅助线，根据各选项逐项判定即可． 【详解】解：若，根据内错角相等两直线平行可得，故①符合题意； 若，根据同旁内角互补两直线平行可得，故②符合题意； 若， ∵ ∴，根据同位角相等两直线平行可得，故③符合题意； 若， 过点C作直线b， 则， 由已知，， ∴， ∴直线a， ∴， 故④符合题意； 故答案为：①②③④ 三、解答题（本大题共6小题，共56分．） 17. 先化简后求值：2（xy2+xy）﹣3（xy2﹣yx）﹣4yx2，其中|x+1|+（y﹣1）2＝0． 【答案】﹣xy2+5xy﹣4x2y，-8 【解析】 【分析】根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】∵|x+1|+（y﹣1）2＝0． ∴x+1=0；y-1=0， ∴x＝﹣1，y＝1， 原式＝2xy2+2xy﹣3xy2+3yx﹣4yx2 ＝﹣xy2+5xy﹣4x2y， ＝﹣（﹣1）×1+5×（﹣1）×1﹣4×1×1 ＝1﹣5﹣4 ＝﹣8． 【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 18. 为响应上级“双减”号召，光明中学开设了阅读、运动、娱乐、其他等四个方面的课后延学活动．下面是随机抽取的部分同学参加活动的统计情况，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）本次调查了 人． （2）补全折线统计图，并求出扇形统计图中的m＝ ． （3）若该校共有2400名学生，试估算参加“阅读”方面活动的共有多少人． 【答案】（1）200； （2）见解析，10； （3）参加“阅读”方面活动的约有720人． 【解析】 【分析】（1）根据运动人数有40人和所占的百分比是20%可计算总人数； （2）根据娱乐所占的百分比求得娱乐的人数，进而可求其他的人数，补全折线统计图；再用其他的人数除以总人数可得m的值； （3）用该校总人数乘以参加“阅读”方面活动的人数所占的比例即可． 【小问1详解】 解：40÷20%＝200（人）， 即本次调查了200人， 故答案为：200； 【小问2详解】 娱乐人数：200×40%＝80（人），其他人数：200−60−40−80＝20（人）， 补全折线统计图如图： 所以m%＝×100%＝10%，即m＝10， 故答案为：10； 【小问3详解】 2400×＝720（人）， 答：参加“阅读”方面活动的约有720人． 【点睛】本题考查了折线统计图，扇形统计图以及用样本估计总体，扇形统计图反映的是各部分占总体的百分比；折线统计图反映的是事物的变化趋势． 19. 如图，O为直线上的一点，，平分，． （1）求的度数； （2）是的平分线吗？为什么？ 【答案】（1） （2）是，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． （1）先根据角平分线的定义求出，再根据平角的定义即可求出的度数； （1）根据，分别求出和的度数即可得到结论． 【小问1详解】 解：，平分， ， ； 【小问2详解】 解：是的平分线，理由如下： ， ， ， ， 是的平分线． 20. 甲、乙两个玩具的成本共300元，商店老板为获取利润，并快速出售玩具，决定将甲玩具按的利润率标价出售，乙玩具按的利润率标价出售，在实际出售时，应顾客要求，两个玩具均按标价的九折出售，这样，商店共获利114元． （1）若甲玩具的成本为元，则甲玩具的标价是________元，甲玩具的售价是________元，若乙玩具的成本是元，则乙玩具的标价是________元，乙玩具的售价是________元；（用含的式子填空） （2）在（1）的条件下，求甲、乙两个玩具的成本各是多少元； （3）在（1）的条件下，商店老板决定投入1 000元购进这两种玩具，且为了吸引顾客，每种玩具至少购进1个，那么可以怎样安排进货？ 【答案】（1） （2）甲玩具的成本是100元，乙玩具的成本是200元 （3）共有4种进货方案，方案1：购进8个甲玩具，1个乙玩具；方案2：购进6个甲玩具，2个乙玩具；方案3：购进4个甲玩具，3个乙玩具；方案4：购进2个甲玩具，4个乙玩具 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x，y的代数式表示出各量；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）利用标价=成本价×（1+利润率）及售价=标价×折扣率，即可用含x，y的代数式表示出甲、乙玩具的标价及售价； （2）根据“甲、乙两个玩具的成本共300元，两个玩具打折销售后共获利114元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设购进m个甲玩具，n个乙玩具，利用总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各进货方案． 【小问1详解】 解：∵甲玩具的成本为x元，乙玩具的成本是y元，甲玩具按的利润率标价出售，乙玩具按的利润率标价出售， ∴甲玩具标价为 (元)，乙玩具的标价为 (元)． 又∵在实际出售时，应顾客要求，两个玩具均按标价的九折出售， ∴甲玩具的售价为 (元)，乙玩具的售价为 (元)． 【小问2详解】 解：依题意，得 解得 答：甲玩具的成本是100元，乙玩具的成本是200元． 【小问3详解】 解：设购进m个甲玩具，n个乙玩具， 依题意，得，化简得． 又∵m，n均为正整数， ∴或或或 ∴共有4种进货方案，方案1：购进8个甲玩具，1个乙玩具；方案2：购进6个甲玩具，2个乙玩具；方案3：购进4个甲玩具，3个乙玩具；方案4：购进2个甲玩具，4个乙玩具． 21. 【问题情景】（1）如图1，，，，求的度数； 【问题迁移】（2）如图2，已知，，点P在射线上运动，当点P在A，B两点之间运动时，连接，，，，求与，之间的数量关系，并说明理由； 【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点P在A，B两点之间运动改为点P在A，B两点外侧运动（点P与点A，B，O三点不重合）”其他条件不变，请直接写出与，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）当在延长线上时，；当在延长线时，． 【解析】 【分析】（1）过点P作，可得，根据平行线的性质求出和的度数即可解决问题； （2）过作交于，可得，根据平行线的性质得出，，进而可得出答案； （3）分两种情况：点在的延长线上，点在的延长线上，根据平行线的性质得出，，根据角的和差可得出答案． 【详解】解：（1）如图，过点作， ， ， ，， ，， ，， ； （2）； 理由：如图，过作交于， ， ， ，， ； （3）当在延长线上时，如图： 过作交于， 同（2）可得：，， ； 当在延长线时，如图： 同（2）可得：，， ， 综上所述，当在延长线上时，；当在延长线时，． 【点睛】本题考查了平行公理的推论，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键． 22. 阅读以下材料： 目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．对于，它不是完全平方式，所以无法用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解： 第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，最高含有的二次项，所以看作由得到； 第二步，去括号，和对比发现， 二次项系数为1，二次项由和相乘得出，所以（为了计算简便，往往取整数）； 第三步，继续把和对比，发现，两数之积为2，和为3，就不难凑出，，检验一下：，换个方向写就是因式分解了． 请使用上述方法回答下列问题： （1）因式分解： ①； ②； （2）对关于的多项式因式分解：． 【答案】（1）①② （2） 【解析】 【分析】本题考查了新定义“凑数法”因式分解，正确理解阅读材料中的思维方法是解答本题的关键． （1）①根据阅读材料中的待定系数法，通过比较待定系数，可凑得，进一步推理后又可凑得，，即得答案； ②根据阅读材料中的待定系数法，通过比较待定系数，可凑得，，进一步推理后又可凑得，，即得答案； （2）设，则，同样可先凑答案，，代入关系式得，比较系数可得，，针对b，d，可进行讨论，并逐一验证，可得，符合题意，即得答案． 【小问1详解】 ①由题意得，，，， 所以可凑数，， 故； ②由题意得，，，， 所以可凑数，， 则，， 又可凑数，， 故； 【小问2详解】 设， 则， 凑数，， ， ，， 分四种情况讨论： 当，时，代入，不成立，舍去； 当，时，代入，不成立，舍去； 当，时，代入，成立，符合题意； 当，时，代入，不成立，舍去； 所以只有，， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省衡阳市衡山县四校联考2022-2023学年七年级（下）期末 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有1个选项符合题意．请将符合题意的选项用2B铅笔填涂在答题卡相应位置） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 有理数的绝对值都是正数 C. 等角的补角相等 D. 垂线段最短 4. 今年3月，某校举行“唱红歌”歌咏比赛，有19位同学参加选拔赛，所得分数互不相同，按成绩取前9名进入决赛，若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道19位同学分数的（　　） A. 中位数 B. 平均数 C. 极差 D. 方差 5. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 用代入法解方程组时 ，将①代入②得（ ） A. B. C. D. 7. 如图，AB//CD，DB⊥BC，垂足为点B，∠1＝40°，则∠2的度数是（ ） A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 8. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到三角形的位置，，，，平移的距离为3，则阴影部分的面积为（） A. B. C. D. 9. 随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．如图是共享单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问：甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙二人带着钱，不知是多少，若甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50，若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？设甲有钱为x，乙有钱为y，可列方程组为（　　） A. B. C D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 11 分解因式：______． 12. 已知方程，用含x的代数式表示y，则________． 13. 如图，农民伯伯若要将河里的水引到田地P处，需要从点P作河岸l的垂线，垂足是Q，则沿PQ挖的水沟最短，这样做的数学道理是__________________． 14. 某校规定学生期末数学总评成绩由三部分构成：卷面成绩、课外论文成绩、平日表现成绩（三部分所占比例如图），若方方的三部分得分依次是92、80、�84，则她这学期的期末数学总评成绩是________． 15. 如图，从一个边长为a的正方形的一角上剪去一个边长为b（a>b）的正方形，则剩余（阴影）部分正好能够表示一个乘法公式，则这个乘法公式是_____（用含a，b的等式表示）． 16. 如右图，已知条件：①；②；③；④；其中能够判定直线的是______．（只填序号） 三、解答题（本大题共6小题，共56分．） 17. 先化简后求值：2（xy2+xy）﹣3（xy2﹣yx）﹣4yx2，其中|x+1|+（y﹣1）2＝0． 18. 为响应上级“双减”号召，光明中学开设了阅读、运动、娱乐、其他等四个方面的课后延学活动．下面是随机抽取的部分同学参加活动的统计情况，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）本次调查了 人． （2）补全折线统计图，并求出扇形统计图中m＝ ． （3）若该校共有2400名学生，试估算参加“阅读”方面活动的共有多少人． 19. 如图，O为直线上的一点，，平分，． （1）求的度数； （2）是的平分线吗？为什么？ 20. 甲、乙两个玩具的成本共300元，商店老板为获取利润，并快速出售玩具，决定将甲玩具按的利润率标价出售，乙玩具按的利润率标价出售，在实际出售时，应顾客要求，两个玩具均按标价的九折出售，这样，商店共获利114元． （1）若甲玩具的成本为元，则甲玩具的标价是________元，甲玩具的售价是________元，若乙玩具的成本是元，则乙玩具的标价是________元，乙玩具的售价是________元；（用含的式子填空） （2）在（1）的条件下，求甲、乙两个玩具的成本各是多少元； （3）在（1）的条件下，商店老板决定投入1 000元购进这两种玩具，且为了吸引顾客，每种玩具至少购进1个，那么可以怎样安排进货？ 21. 【问题情景】（1）如图1，，，，求的度数； 【问题迁移】（2）如图2，已知，，点P在射线上运动，当点P在A，B两点之间运动时，连接，，，，求与，之间的数量关系，并说明理由； 【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点P在A，B两点之间运动改为点P在A，B两点外侧运动（点P与点A，B，O三点不重合）”其他条件不变，请直接写出与，之间的数量关系． 22. 阅读以下材料： 目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．对于，它不是完全平方式，所以无法用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解： 第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，最高含有的二次项，所以看作由得到； 第二步，去括号，和对比发现， 二次项系数1，二次项由和相乘得出，所以（为了计算简便，往往取整数）； 第三步，继续把和对比，发现，两数之积为2，和为3，就不难凑出，，检验一下：，换个方向写就是因式分解了． 请使用上述方法回答下列问题： （1）因式分解： ①； ②； （2）对关于的多项式因式分解：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$