专题02 全等三角形的判定与性质专项练习-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（人教版）

专题02 全等三角形的判定与性质专项练习 1．已知等腰三角形ABC，AB＝AC，D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为边在直线AD的右侧作等腰三角形ADE，∠DAE＝∠BAC，AD＝AE，连接CE． （1）如图1，当点D在边BC上时，请探究BC，CD，CE之间的数量关系． （2）如图2，当点D在BC的延长线上时，（1）中BC，CD，CE之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由． 【分析】（1）证明∠BAD＝∠CAE．再证明△BAD≌△CAE（SAS），可得CE＝BD，再进一步可得结论； （2）证明∠BAD＝∠CAE．再证明△BAD≌△CAE（SAS），可得CE＝BD，再进一步可得结论． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE． 在△BAD与△CAE中，， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴CE＝BD， ∴CE+CD＝BD+CD＝BC． （2）不成立．CE﹣CD＝BC． 理由：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE． 在△BAD与△CAE中， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴CE＝BD， ∴CE﹣CD＝BD﹣CD＝BC． 2．已知：如图，在△ABD中，AC⊥BD，垂足为点C，BE与AC，AD分别相交于点F，E，射线DF交AB于点G，AC＝BC，CD＝CF． （1）求证：∠DBF＝∠CAD； （2）若AB＝8，DG＝6，求△ABD的面积． 【分析】（1）利用SAS证明△ACD≌△BCF，根据“全等三角形的对应角相等”求证即可； （2）根据全等三角形的性质求出∠CBF＝∠EAF，结合对顶角性质、三角形内角和定理求出∠BCF＝∠AEF＝90°，则BE⊥AD，进而求出DG⊥AB，再根据三角形面积公式求解即可． 【解答】（1）证明：∵AC⊥BD， ∴∠ACD＝∠ACB＝90°， 在△ACD和△BCF中， ， ∴△ACD≌△BCF（SAS）， ∴∠CAD＝∠CBF， 即∠DBF＝∠CAD； （2）解：由（1）知，∠CAD＝∠CBF， 即∠CBF＝∠EAF， ∵∠BFC＝∠AFE，∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，∠EAF+∠AFE+∠AEF＝180°， ∴∠BCF＝∠AEF＝90°， ∴BE⊥AD， ∵AC⊥BD， ∴DG⊥AB， ∴△ABD的面积＝AB•DG＝×8×6＝24． 3．如图1，C为线段BE上一点，分别以BC，EC为底，在BE的同侧作等腰△ABC和等腰△DCE，且∠ABC＝∠DCE，在线段AC上取一点F，使得AF＝DC，连接BF，AD． （1）求证：△ABF≌△CAD； （2）如图2，延长BF交AD于点G，若G是AD的中点，且AB＝2，求CD的长． 【分析】（1）根据平行线的判定与性质求出∠BAF＝∠ACD，利用SAS即可证明△ABF≌△CAD； （2）过点G作GH∥CD，交AC于点H，根据三角形中位线的判定与性质求出GH＝CD，AH＝1，根据平行线的判定与性质求出△FGH∽△FBA，根据相似三角形的性质求出＝，据此求解即可． 【解答】（1）证明：∵△ABC、△DCE分别是以BC，CE为底边的等腰三角形， ∴AB＝AC， ∴∠ABC＝∠DCE， ∴AB∥CD， ∴∠BAF＝∠ACD， 在△ABF和△CAD中， ， ∴△ABF≌△CAD（SAS）； （2）解：如图2，过点G作GH∥CD，交AC于点H， ∵G是AD的中点， ∴GH是△ACD的中位线， ∴GH＝CD，AH＝AC＝AB＝1， ∵AB∥CD，GH∥CD， ∴GH∥AB， ∴△FGH∽△FBA， ∴＝， ∵AF+FH＝AH＝1，AF＝CD， ∴FH＝1﹣CD， ∴＝， ∴CD＝﹣2+2（负值已舍）． 4．如图，M是线段AB上的一点，ED是过点M的一条线段，连接AE、BD，过点B作BF∥AE交ED于点F，且EM＝FM． （1）求证：AE＝BF． （2）连接AC，若∠AEC＝90°，∠CAE＝∠DBF，CD＝4，求EM的长． 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠EAM＝∠FBM，结合对顶角相等即可利用AAS证明△AME≌△BMF，根据全等三角形的性质即可得解； （2）结合（1）利用ASA证明△AEC≌△BFD，利用全等三角形的性质即可得解． 【解答】（1）证明：∵BF∥AE， ∴∠EAM＝∠FBM， 在△AME和△BMF中， ， ∴△AME≌△BMF（AAS）， ∴AE＝BF； （2）解：∵△AME≌△BMF， ∴AE＝BF，EM＝FM，∠BFM＝∠AEC＝90°， ∴∠AEC＝∠BFD＝90°， 在△AEC和△BFD中， ， ∴△AEC≌△BFD（ASA）， ∴EC＝FD， ∴EC﹣CF＝FD﹣CF， 即EF＝CD＝4， ∴EM＝EF＝2． 5．如图1，AD是△ABC的角平分线，∠B＝2∠C，试探究线段AB，BD，AC之间的数量关系．小明的解题思路如下： ①如图2，在AC上取一点E，使AE＝AB，连接DE． ②由AB＝AE，AD平分∠BAE，AD是公共边， 可得△ABD≌△AED（理由：　 　）， 则∠B＝∠AED，BD＝DE． ③由∠B＝2∠C， 则∠AED＝2∠C． 又因为∠AED＝∠EDC+∠C， 所以∠EDC＝∠C，则DE＝　 　． 又由BD＝DE，得BD＝EC． ④根据上述的推理可知AB，BD，AC之间的数量关系为 　 　． （1）请你补全小明的解题思路． （2）小明又想尝试其它方法： 延长AB到点E，使BE＝BD，连接DE． 请你帮助小明，完成解答过程． 【分析】（1）利用SAS得△ABD≌△AED，根据全等三角形的性质得出∠B＝∠AED，BD＝DE．结合三角形外角性质、等腰三角形的判定求出BD＝DE＝EC，再根据线段的和差求解即可； （2）延长AB到点E，使BE＝BD，连接DE．结合三角形外角性质、等腰三角形的性质求出∠E＝∠C，利用AAS证明△AED≌△ACD，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【解答】解：（1）如图2，在AC上取一点E，使AE＝AB，连接DE． 由AB＝AE，AD平分∠BAE，AD是公共边， 可得△ABD≌△AED（理由：SAS）， 则∠B＝∠AED，BD＝DE． 由∠B＝2∠C， 则∠AED＝2∠C． 又因为∠AED＝∠EDC+∠C， 所以∠EDC＝∠C，则DE＝CE． 又由BD＝DE，得BD＝EC． 根据上述的推理可知AB，BD，AC之间的数量关系为AB+BD＝AC， 故答案为：SAS；CE；AB+BD＝AC； （2）AC＝AB+BD，理由如下： 如图3，延长AB到点E，使BE＝BD，连接DE． ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD＝∠ ∵BE＝BD， ∴∠E＝∠BDE， ∵∠ABC＝∠E+∠BDE， ∴∠ABC＝2∠E， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠E＝∠C， 在△AED和△ACD中， ， ∴△AED≌△ACD（AAS）， ∴AE＝AC， ∵AE＝AB+BE，BE＝BD， ∴AC＝AB+BD． 6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD与CE交于点F，连接BF，延长AD到点G，使得AG＝BC，连接BG，CF＝AB． 【问题解决】（1）试说明：△ABG≌△CFB； 【问题探究】（2）BF与BG垂直吗？请说明理由． 【分析】（1）根据AD⊥BC得出∠BAG+∠ABD＝90°，根据CE⊥AB得出∠BCF+∠ABD＝90°，即可推出∠BAG＝∠BCF，最后即可根据SAS得出△ABG≌△CFB； （2）根据垂直的定义得出∠G+∠DBG＝90°，根据全等三角形的性质得出∠G＝∠CBF，则∠CBF+∠DBG＝90°，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°，则∠BAG+∠ABD＝90°， ∵CE⊥AB， ∴∠CEB＝90°，则∠BCF+∠ABD＝90°， ∴∠BAG＝∠BCF， 在△ABG和△CFB中， ， ∴△ABG≌△CFB（SAS）． （2）解：BF与BG垂直，理由如下： ∵AD⊥BC， ∴∠BDG＝90°，则∠G+∠DBG＝90°， 由（1）可得：△ABG≌△CFB（SAS）， ∴∠G＝∠CBF， ∴∠CBF+∠DBG＝90°，即∠GBF＝90°， ∴BF⊥BG． 7．如图，在△ABD中，AB＝AD，E为平面内一点，连接AE，DE，C为AD延长线上一点，连接BC交DE于点F，且AE＝BC，∠ADB+∠CBD＝∠DAE． （1）求证：AC＝DE； （2）若∠ADB＝30°，∠CBD＝10°，求∠BFD的度数． 【分析】（1）由“SAS”可证△ABC≌△DAE，可得AC＝DE； （2）由全等三角形的性质可得∠DAE＝∠ABC＝40°，∠E＝∠C＝20°，由外角的性质可求解． 【解答】（1）证明：∵AB＝AD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∵∠ADB+∠CBD＝∠DAE， ∴∠ABD+∠CBD＝∠DAE， ∴∠ABC＝∠DAE， 在△ABC和△DAE中， ， ∴△ABC≌△DAE（SAS）， ∴AC＝DE； （2）解：∵∠ADB＝∠ABD＝30°，∠CBD＝10°， ∴∠ABC＝40°，∠C＝20°， ∴∠BAC＝120°， ∵△ABC≌△DAE， ∴∠DAE＝∠ABC＝40°，∠E＝∠C＝20°， ∴∠EDC＝∠DAE+∠E＝60°， ∴∠BFD＝∠C+∠EDC＝60°+20°＝80°． 8．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且CE∥BF． （1）△ECD与△FBD全等吗？请说明你的理由； （2）若AD＝6，DF＝2，△BDF的面积为3，请直接写出△AEC的面积． 【分析】（1）由“ASA”可证△ECD≌△FBD； （2）由全等三角形的性质可得S△ECD＝S△FBD＝3，DF＝DE＝2，由线段的数量关系可求S△ABD＝3S△BDF＝9，S△ABD＝S△CDA＝9，即可求解． 【解答】解：（1）△ECD与△FBD全等，理由如下： ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵CE∥BF， ∴∠DCE＝∠DBF， 在△ECD和△FBD中， ， ∴△ECD≌△FBD（ASA）； （2）∵△ECD≌△FBD， ∴S△ECD＝S△FBD＝3，DF＝DE＝2， ∵AD＝6，DF＝DE＝2， ∴S△ABD＝3S△BDF＝9， ∵BD＝CD， ∴S△ABD＝S△CDA＝9， ∵AE＝AD﹣DE＝4， ∴S△AEC＝9×＝6． 9．学习角平分线的性质后，小明进行了拓展性探究．她发现在直角梯形中，当两底边的长度之和等于两内角（非直角内角）夹边的长度时，若这两内角的角平分线相交于腰上同一点，则这两条角平分线互相垂直，请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）用尺规完成以下作图：作∠ADC的平分线交AB于点E，连接EC，在DC上截取DF＝DA，连接EF．（只保留作图痕迹） （2）已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，DE平分∠ADC，AD＝DF，AD+BC＝DC．求证：DE⊥CE． 证明：∵DE 平分∠ADC， ∴　 　 在△ADE和△FDE中， ∴△ADE≌△FDE （SAS） ∴∠A＝∠DFE＝90°＝∠CFE，∠AED＝∠FED． ∵AD+BC＝DC，AD＝DF ∴　 　． ∴易证Rt△CBE≌Rt△CFE（HL） ∴CE平分∠BCF，∠BEC＝∠FEC， ∵∠AED＝∠FED，∠BEC＝∠FEC，∠AEB＝180° ∴ 小明再进一步研究发现，只要梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：直角梯形中，当两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度，若两内角（非直角内角）的角平分线相交于腰上同一点那么 　 　． 【分析】（1）根据尺规作图，作已知角的平分线的方法和步骤画出∠ADC的平分线即可；再以点D为圆心，以DA为半径画弧交DC于F，则可得DF＝DA； （2）根据角平分线性质得，①∠ADE＝∠CDE，由此可依据“SAS”判定△ADE和△FDE全等，则∠A＝∠DFE＝90°＝∠CFE，∠AED＝∠FED．再根据AD+BC＝DC，AD＝DF可得③BC＝FC，然后根据EC＝EC，BC＝FC可依据“HL”判定Rt△CBE和Rt△CFE全等，从而得∠BEC＝∠FEC，再根据∠AED＝∠FED，∠BEC＝∠FEC，∠AEB＝180°可得∠DEC＝90°，据此即可得出结论． 【解答】（1）解：①以点D为圆心，以适当的长为半径画弧交DA，DC于H，T， ②分别以H，T为圆心，以大于HT的长为半径画弧，两弧交于点P， ③连接DP并延长交AB于E，则DE为∠ADC的平分线， ④以点D为圆心，以DA为半径画弧交DC于F，则DF＝DA，如图所示： （2）证明：∵DE平分∠ADC， ∴①∠ADE＝∠CDE， 在△ADE和△FDE中， ， ∴△ADE≌△FDE（SAS）， ∴∠A＝∠DFE＝90°＝∠CFE，∠AED＝∠FED． ∵AD+BC＝DC，AD＝DF， ∴③BC＝FC， 在Rt△CBE和Rt△CFE中， ， ∴Rt△CBE≌Rt△CFE（HL）， ∴CE平分∠BCF，∠BEC＝∠FEC， ∵∠AED＝∠FED，∠BEC＝∠FEC，∠AEB＝180°， ∴∠DEC＝∠DEF+∠FEC＝∠AEB＝90°， 故答案为：①∠ADE＝∠CDE；②DE＝DE；③BC＝FC；④这两个内角的平分线互相垂直． 10．如图1，△ABC中，AB＝9，AC＝6，AD是中线，求AD得取值范围．（提示：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．）请回答： （1）为什么△BED≌△CAD？写出推理过程； （2）求出AD的取值范围； 【分析】（1）由AD是△ABC的中线，得BD＝CD，而∠BDE＝∠CDA，DE＝DA，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△BED≌△CAD； （2）由△BED≌△CAD，得EB＝AC＝6，由三角形的三边关系得AB﹣EB＜AE＜AB+EB，所以9﹣6＜2AD＜9+6，即可求得AD的取值范围是＜AD＜． 【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△BED和△CAD中， ， ∴△BED≌△CAD（SAS）． （2）解：∵△BED≌△CAD， ∴EB＝AC＝6， ∵AB﹣EB＜AE＜AB+EB，且AB＝9，AE＝2AD， ∴9﹣6＜2AD＜9+6， ∴＜AD＜， ∴AD的取值范围是＜AD＜． 11．如图①，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF． 应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且CD＝2BD，点E，F在线段AD上．∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为15，求△ABE与△CDF的面积之和． 【分析】（1）由“ASA”可证△ABE≌△CAF； （2）由“ASA”可证△ABE≌△CAF，由全等三角形的性质可得S△ABE＝S△CAF，由三角形的面积关系可求解． 【解答】证明：（1）∵∠1＝∠2＝∠BAC，且∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠FAC+∠FCA，∠BAC＝∠BAE+∠FAC， ∴∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，且AB＝AC， ∴△ABE≌△CAF（ASA） （2）∵∠1＝∠2＝∠BAC，且∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠FAC+∠FCA，∠BAC＝∠BAE+∠FAC， ∴∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，且AB＝AC， ∴△ABE≌△CAF（ASA） ∴S△ABE＝S△CAF， ∵CD＝2BD，△ABC的面积为15， ∴S△ACD＝10＝S△ABE+S△CDF． 12．在△ABC中，BC和AC边上的高AD、BE交于点F，DF＝CD． （1）如图1，求证：∠DAC＝∠CBE； （2）如图1，求∠ABC的度数； （3）如图2，延长BA到点G，过点G作BE的垂线交BE的延长线于点H，已知GH＝BE，BF＝5，AE＝2，CG＝10，求BH的长． 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余及等角的余角相等即可得出结论； （2）证△DAC和△DBE全等得BD＝AD，从而得△ABD为等腰直角三角形，进而可得∠ABC的度数； （3）在HB上截取HM＝CE，连接CM，先证△BEC和△GHM全等得，GM＝BC，再证∠BGM＝∠ABC＝45°，进而可依据“SAS”判定△BGM和△GBC全等，从而得CG＝MB，由此可得线段CE、CG、BH的数量关系． 【解答】（1）证明：∵△ABC的高AD、BE交于点F，如图1所示： ∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∠AEB＝90°， ∴∠DAC+∠1＝90°，∠CBE+∠2＝90°， ∵∠1＝∠2， ∴∠DAC＝∠CBE （2）解：在△DAC和△DBE中， ， ∴△DAC≌△DBE（AAS）， ∴BD＝AD， ∴△ABD为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°； （3）解：CE、CG、BH的数量关系是：CE+CG＝BH，证明如下： 在HB上截取HM＝CE，连接CM，如图2所示： ∵BE是△ABC的高，GH⊥BH， ∴∠H＝∠BEC＝90°，∠BGH＝90°﹣∠3， 在△BEC和△GHM中， ， ∴△BEC≌△GHM（SAS）， ∴GM＝BC，∠1＝∠2， 由（2）可知：∠ABC＝45°，即∠2+∠3＝45°， ∴∠BGM＝∠BGH﹣∠1＝90°﹣∠3﹣∠1＝90°﹣（∠3+∠2）＝45°， ∴∠BGM＝∠ABC＝45°， 即∠BGM＝∠GBC， 在△BGM和△GBC中， ， ∴△BGM≌△GBC（SAS）， ∴CG＝MB， ∴CE+CG＝MH+MB＝BH． ∵AC＝BF＝5，AE＝2， ∴CE＝3， ∵CG＝10， ∴BH＝CE+CG＝13． 13．【问题背景】 在△ABC中，AC＝BC，D是BC中点，E是AC中点，连接AD、BE． 【问题探究】 （1）如图1，试说明：AD＝BE； 【拓展延伸】 （2）如图2，若∠ACB＝90°，分别延长BE、DA到点F和G，使BF＝2BE，DG＝2DA，连接AF、FG，取AF的中点H，连接GH，则线段AG与线段GF相等吗？请说明理由． 【分析】（1）根据中点的定义可得CE＝CD，可证明△ADC≌△BEC，即可； （2）证明△AEF≌△CEB，可得AF＝BC，∠AFE＝∠CBE，从而得到AF∥BC，继而得到∠GAH＝∠ADC，再证得DG＝2DA，可证明△ADC≌△GAH，可得到∠AHG＝∠ACD＝90°，即可． 【解答】（1）证明：因为AC＝BC，D是BC中点，E是AC中点， 所以， 在△ADC与△BEC中， ， ∴△ADC≌△BEC（SAS） 所以AD＝BE； （2）解：因为E是AC中点，BF＝2BE， 所以AE＝CE，BE＝EF， 因为∠AEF＝∠CEB， 所以△AEF≌△CEB（SAS）， 所以AF＝BC，∠AFE＝∠CBE， 所以AF∥BC， 所以∠GAH＝∠ADC， 因为D，H分别是BC，AF的中点， 所以CD＝AH， 因为DG＝2DA， 所以DA＝AG， 所以△ADC≌△GAH（SAS）， 所以∠AHG＝∠ACD＝90°， 所以GH垂直平分AF， 所以AG＝FG． 14．如图，在△ABC中，AB＝BC，D是BC上一点，连接AD，过点C作CE∥AB，连接BE．其中BD＝CE，AD＝AC． （1）用等式表示BE与AC的大小关系，并说明理由； （2）若∠ABC＝α，∠CBE＝β，用等式表示α与β的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）由CE∥AB，得∠ECB＝∠DBA，而BC＝AB，CE＝BD，即可根据“SAS”证明△ECB≌△DBA，得BE＝AD，而AD＝AC，则BE＝AC； （2）由平行线的性质得∠BCE＝∠ABC＝α，由全等三角形的性质得∠CBE＝∠BAD＝β，可求得∠ACB＝∠ADC＝α+β，再证明∠CAD＝∠ABC＝α，则α+α+β+α+β＝180°，所以3α+2β＝180°． 【解答】解：（1）BE＝AC， 理由：∵CE∥AB， ∴∠ECB＝∠DBA， 在△ECB和△DBA中， ， ∴△ECB≌△DBA（SAS）， ∴BE＝AD， ∵AD＝AC， ∴BE＝AC． （2）3α+2β＝180°， 理由：∵CE∥AB， ∴∠BCE＝∠ABC＝α， 由（1）得△ECB≌△DBA， ∴∠CBE＝∠BAD＝β， ∴∠ACB＝∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝α+β， ∵∠ADC＝∠ACB＝∠BAC， ∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝∠ABC＝α， ∵∠ACE+∠BAC＝180°， ∴∠BCE+∠ACB+∠CAD+∠BAD＝180°， ∴α+α+β+α+β＝180°， ∴3α+2β＝180°． 15．如图，已知在△ABD中，AB＝AD，射线AF交BD于点O，∠BAC＜∠DAC，点E、F在射线AF上，且∠BCF＝∠DEF＝∠BAD．试判断AC与ED的数量关系，并说明理由． 【分析】由∠ACB+∠BCF＝180°，∠DEA+∠DEF＝180°，且∠BCF＝∠DEF，推导出∠ACB＝∠DEA，由∠BAD＝∠DEF，且∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD，∠ADE＝∠DEF﹣∠CAD，推导出∠BAC＝∠ADE，而AB＝DA，即可根据“AAS”证明△BAC≌△ADE，则AC＝ED． 【解答】解：AC＝ED， 理由：∵∠ACB+∠BCF＝180°，∠DEA+∠DEF＝180°，且∠BCF＝∠DEF， ∴∠ACB＝∠DEA， ∵∠BAD＝∠DEF， ∴∠BAD﹣∠CAD＝∠DEF﹣∠CAD， ∵∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD，∠ADE＝∠DEF﹣∠CAD， ∴∠BAC＝∠ADE， 在△BAC和△ADE中， ， ∴△BAC≌△ADE（AAS）， ∴AC＝ED． 16．将两个三角形纸板△ABC和△DBE按如图所示的方式摆放，连接DC．已知∠DBA＝∠CBE，∠BDE＝∠BAC，AC＝DE＝DC． （1）试说明△ABC≌△DBE； （2）若∠ACD＝72°，求∠BED的度数． 【分析】（1）利用AAS证明三角形全等即可； （2）全等三角形的性质，得到∠BED＝∠BCA，证明△DBC≌△ABC（SSS），得到，即可得解． 【解答】（1）证明：因为∠DBA＝∠CBE， 所以∠DBA+∠ABE＝∠CBE+∠ABE， 即∠DBE＝∠ABC． 在△ABC和△DBE中， ， 所以△ABC≌△DBE（AAS）． （2）解：因为△ABC≌△DBE， 所以BD＝BA，∠BCA＝∠BED． 在△DBC和△ABC中， ， 所以△DBC≌△ABC（SSS）， 所以， 所以∠BED＝∠BCA＝36°． 17．根据以下素材，探索完成任务，荡秋千问题 素材1：如图1，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直： 素材2：如图2，小丽从秋千的起始位置处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她，若妈妈与爸爸到0A的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠B0C＝90°． 问题解决： （1）任务1：△OBD与△COE全等吗？请说明理由； （2）任务2：当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 【分析】任务1：依据AAS证明△OBO与△COE全等即可； 任务2：理由△BOD≌△OCE，得到BD＝OE＝1.4m，EC＝OD＝1.8m，进而可求出当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面高度． 【解答】任务1：△BOD≌△OCE； 证明：∵BD⊥OA，CE⊥OA， ∴∠ODB＝∠OEC＝90°， ∵∠BOC＝90°，∠BOD+∠EOC＝90°，∠BOD+∠DBO＝90°， ∴∠OBD＝∠EOC， 在△BOD和△OCE中， ， ∴△BOD≌△OCE（AAS）； 任务2：设OA的延长线与地面交于M，如图， ∵△BOD≌△OCE， ∴BD＝OE＝1.4m，EC＝OD＝1.8m， ∴EM＝OD+DM﹣OE＝1.8+1﹣1.4＝1.4（m）． 答：小丽距离地面1.4米． 18．生活中的数学 （1）用3块正方体积木搭建了一个立体模型，其主视图如图1，其中①号正方体棱长为2.5cm，③号正方体棱长4cm，则AD＝　 　cm． （2）用10块高度都是2cm的长方体积木搭建了两个滑梯，其主视图如图2，其中AB⊥BE于点B，EF⊥BE于点E，BE＝20cm，PE＝6cm，试判断AP、PF的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）证明△ABC≌△DCE，利用全等三角形的性质进行解答即可； （2）证明△ABP≌△PEF，即可得到结论． 【解答】解：（1）∵∠BCE＝90°， ∴∠ACB+∠DCE＝90°， ∵∠ACB+∠ABC＝90°， ∴∠ABC＝∠DCE， ∵∠BAC＝∠CDE＝90°，BC＝CE， ∴△ABC≌△DCE（AAS）， ∴AB＝CD＝2.5cm，AC＝DE＝4cm， ∴AD＝AC+CD＝6.5（cm）； 故答案为：6.5； （2）AP＝PF， 理由∵BE＝20cm，PE＝6cm， ∴BP＝14cm， ∵AB＝6cm，EF＝14cm， ∴AB＝PE，BP＝EF， ∵∠ABP＝∠PEF＝90°， ∴△ABP≌△PEF（SAS）， ∴AP＝PF． 19．如图，△ABC中两边AB、AC上有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠A＝80°，∠BDC＝100°，∠MDN＝50°，BD＝DC． （1）猜想线段MN、BM、NC之间的数量关系并证明； （2）若AB＝6，AC＝7，求△AMN的周长． 【分析】（1）延长AB，在AB的延长线上截取BE＝NC，连接DE，根据∠A＝80°，∠BDC＝100°得∠ABD+∠ACD＝180°，再根据∠DBE+∠ABD＝180°得∠DBE＝∠ACD，由此可依据“SAS”判定△DBE和△DCN全等，则DE＝DN，∠EDB＝∠NDC，进而根据∠BDC＝100°，∠MDN＝50°得∠MDE＝∠MDN＝50°，由此可依据“SAS”判定△MDE和△MDN全等，则ME＝MN，据此可得线段MN、BM、NC之间的数量关系； （2）由（1）的结论得MN＝BM+NC，则△AMN的周长为AM+AN+MN＝AM+AN+BM+NC＝AB+AC，由此可得出答案． 【解答】解：（1）猜想：MN＝BM+NC，证明如下： 延长AB，在AB的延长线上截取BE＝NC，连接DE，如下图所示： 在△ABC中，∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°， 在△BCD中，∠BDC＝100°， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣100°＝80°， ∴∠ABC+∠ACB+∠DBC+∠DCB＝180°， 即∠ABD+∠ACD＝180°， ∵∠DBE+∠ABD＝180°， ∴∠DBE＝∠ACD， 在△DBE和△DCN中， ， ∴△DBE≌△DCN（SAS）， ∴DE＝DN，∠EDB＝∠NDC， ∵∠BDC＝100°，∠MDN＝50°， ∴∠BDM+∠NDC＝∠BDC﹣∠MDN＝50°， ∴∠MDE＝∠BDM+∠EDB＝∠BDM+∠NDC＝50°， ∴∠MDE＝∠MDN＝50°， 在△MDE和△MDN中， ， ∴△MDE≌△MDN（SAS）， ∴ME＝MN， ∵ME＝BM+BE＝BM+NC， ∴MN＝BM+NC； （2）由（1）可知：MN＝BM+NC， ∴△AMN的周长为：AM+AN+MN＝AM+AN+BM+NC＝AB+AC， ∵AB＝6，AC＝7， ∴AB+AC＝13， ∴△AMN的周长为13． 20．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AC＝6cm，BC＝4cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A运动． （1）①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过几秒时△BPD≌△CQP？请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ （2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以1cm/s的运动速度从B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过几秒后，点P与点Q第一次在△ABC上相遇？ 【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中BP、CQ和BD、PC边的长，根据SAS判定两个三角形全等． ②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程＝速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度； （2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个边长． 【解答】解：（1）①经过1秒时△BPD≌△CQP，理由如下： ∵t＝1秒， ∴BP＝CQ＝1×1＝1（cm）， ∵AB＝6cm，点D为AB的中点， ∴BD＝3cm． 又∵PC＝BC﹣BP，BC＝4cm， ∴PC＝4﹣1＝3（cm）， ∴PC＝BD． 又∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴△BPD≌△CQP； ②假设△BPD≌△CQP， ∵vP≠vQ， ∴BP≠CQ， 又∵△BPD≌△CQP，∠B＝∠C，则BP＝CP＝2cm，BD＝CQ＝3cm， ∴点P，点Q运动的时间t＝＝2秒， ∴vQ＝＝＝1.5（cm/s）； （2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意，得1.5x＝x+2×6， 解得x＝24， ∴点P共运动了24s×1cm/s＝24cm． ∵24×1.5＝36， ∴点P、点Q在AC边上相遇， ∴经过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇． 21．中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线． （1）如图①，△ABC中，若AB＝4，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围； 同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝DA，连接BE． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①根据题意，补全图形； ②由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，其依据是 　 　（用字母表示）； ③由三角形的三边关系可以求得AD的取值范围是 　 　（直接填空）； （2）如图②，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，连接BE，CD，若AM为△ACD的中线，猜想AM与BE的数量关系并说明理由． 【分析】（1）①补全图形，如图①所示： ②根据三角形中线定义得CD＝BD，进而可依据“SAS”判定△ADC和△EDB全等，由此可得出答案； ③根据全等三角形性质得AC＝BE＝6，AE＝2AD，再根据三角形三边之间关系得BE﹣AB＜AE＜BE+AB，即6﹣4＜2AD＜6+4，由此可得出AD的取值范围； （2）延长AM到N，使AM＝MN，连接CN，则AN＝2AM，先证明△ADM和△NCM全等得AD＝CN，∠DAM＝∠N，则AD∥CN，进而得∠DAC+∠ACN＝180°，再由∠BAC+∠DAE＝180°得∠BAE+∠DAC＝180°，则∠ACN＝∠BAE，由此可依据“SAS”判定△ACN和△BAE全等，则AN＝BE，由此可得AM与BE的数量关系． 【解答】解：（1）①补全图形，如图①所示： ②∵AD是BC边上的中线， ∴CD＝BD， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故答案为：SAS． ③∵△ADC≌△EDB， ∴AC＝BE， ∵AB＝4，AC＝6，DE＝DA， ∴BE＝AC＝6，AE＝2AD， 在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜BE+AB， ∴6﹣4＜2AD＜6+4， ∴1＜AD＜5， 即AD的取值范围是1＜AD＜5， 故答案为：1＜AD＜5． （2）猜想：BE＝2AM，理由如下： 延长AM到N，使AM＝MN，连接CN，如图②所示： 则AN＝2AM， ∵AM为△ACD的中线， ∴DM＝CM， 在△ADM和△NCM中， ， ∴△ADM≌△NCM（SAS）， ∴AD＝CN，∠DAM＝∠N， ∴AD∥CN， ∴∠DAC+∠ACN＝180°， ∵∠BAC+∠DAE＝180°， ∴∠BAE+∠DAC＝180°， ∴∠ACN＝∠BAE， ∵AD＝AE，AD＝CN， ∴CN＝AE， 在△ACN和△BAE中， ， ∴△ACN≌△BAE（SAS）， ∴AN＝BE， ∵AN＝2AM， ∴BE＝2AM． 22．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N． （1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； （2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； （3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 【分析】（1）延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可； （2）延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可； （3）在CB截取BE＝AM，连接DE，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可． 【解答】（1）AM+BN＝MN， 证明：延长CB到E，使BE＝AM， ∵∠A＝∠CBD＝90°， ∴∠A＝∠EBD＝90°， 在△DAM和△DBE中 ， ∴△DAM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE， ∵∠MDN＝∠ADC＝60°， ∴∠ADM＝∠NDC， ∴∠BDE＝∠NDC， ∴∠MDN＝∠NDE， 在△MDN和△EDN中 ， ∴△MDN≌△EDN， ∴MN＝NE， ∵NE＝BE+BN＝AM+BN， ∴AM+BN＝MN． （2）AM+BN＝MN， 证明：延长CB到E，使BE＝AM，连接DE， 由（1）知：△DAM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠MDA＝∠CDN，DM＝DE， ∵∠MDN+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°， ∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB， ∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE， ∵∠CDM＝∠NDB ∴∠MDN＝∠NDE， 在△MDN和△EDN中 ， ∴△MDN≌△EDN， ∴MN＝NE， ∵NE＝BE+BN＝AM+BN， ∴AM+BN＝MN． （3）BN﹣AM＝MN， 证明：在CB截取BE＝AM，连接DE， ∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°， ∴∠MDN＝∠CDA， ∵∠ADN＝∠ADN， ∴∠MDA＝∠CDN， ∵∠B＝∠CAD＝90°， ∴∠B＝∠DAM＝90°， 在△DAM和△DBE中 ， ∴△DAM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠ADM＝∠CDN，DM＝DE， ∵∠ADC＝∠BDC＝∠MDN， ∴∠MDN＝∠EDN， 在△MDN和△EDN中 ， ∴△MDN≌△EDN， ∴MN＝NE， ∵NE＝BN﹣BE＝BN﹣AM， ∴BN﹣AM＝MN． 23．如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝8cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以lcm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）． （1）求证：AB∥DE． （2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）． （3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值． 【分析】（1）证明△ABC≌△EDC（SAS），可得∠A＝∠E，然后根据内错角相等两直线平行即可得出结论； （2）分两种情况讨论：当0≤t≤4时，AP＝2t cm，当4＜t≤8时，BP＝（2t﹣8）cm，可得AP＝8﹣（2t﹣8）＝（16﹣2t）cm，进而可以解决问题； （3）先证△ACP≌△ECQ（ASA），得AP＝EQ，再分两种情况列方程求解即可． 【解答】（1）证明：在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（SAS）， ∴∠A＝∠E， ∴AB∥DE； （2）解：当0≤t≤4时，AP＝2t cm， 当4＜t≤8时，BP＝（2t﹣8）cm， ∴AP＝8﹣（2t﹣8）＝（16﹣2t）cm， ∴线段AP的长为2t cm或（16﹣2t）cm； （3）解：根据题意得DQ＝t cm， 则EQ＝（8﹣t）cm， 由（1）得：∠A＝∠E，ED＝AB＝8cm， 在△ACP和△ECQ中， ， ∴△ACP≌△ECQ（ASA）， ∴AP＝EQ， 当0≤t≤4时，2t＝8﹣t， 解得：t＝； 当4＜t≤8时，16﹣2t＝8﹣t， 解得：t＝8； 综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为或8． 24．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE． （1）当∠A＝80°时，求∠EDC的度数； （2）求证：CF＝FG+CE． 【分析】（1）方法一：先求∠ABC和∠ACB的和为100°，再根据角平分线求∠DBC+∠DCB＝50°，再根据外角即可解决问题；方法二：在BC上取点M，使CM＝CE，证明△CDE≌△CDM（SAS），可得DE＝DM，∠DEC＝∠DMC，∠EDC＝∠MDC，证明∠BDM＝180°﹣ABC﹣∠DMB＝180°﹣ABC﹣∠AEB＝∠A＝80°，进而可以解决问题． （2）结合（1）然后证明△DGF≌△DMF（SAS），可得GF＝MF，进而可以解决问题． 【解答】（1）解：方法一：∵∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝100°， ∵BE平分∠ABC、CD平分∠ACB， ∴∠DBC+∠DCB＝50°， ∴∠EDC＝∠DBC+∠DCB＝50°； 方法二：如图，在BC上取点M，使CM＝CE， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， 在△CDE和△CDM中， ， ∴△CDE≌△CDM（SAS）， ∴DE＝DM，∠DEC＝∠DMC，∠EDC＝∠MDC， ∵GD＝DE， ∴GD＝MD， ∵∠DEC+∠AEB＝180°，∠DMC+∠DMF＝180°， ∴∠AEB＝∠DMF， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE＝ABC， ∴∠BDM＝180°﹣ABC﹣∠DMB＝180°﹣ABC﹣∠AEB＝∠A＝80°， ∴∠EDM＝100°， ∴∠EDC＝50°； （2）证明：∵∠A＝2∠BDF， ∴∠BDM＝2∠BDF， ∴∠FDM＝∠BDF， 在△DGF和△DMF中， ， ∴△DGF≌△DMF（SAS）， ∴GF＝MF， ∴CF＝CM+FM＝CE+GF． ∴CF＝FG+CE． 25．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上（点D不与点B、点C重合），作∠ADE＝∠B，DE交边AC于点E． （1）求证：∠BAD＝∠CDE； （2）若DC＝AB，求证：△ABD≌△DCE； （3）当∠B＝50°，且△ADE是等腰三角形时，直接写出∠BDA的度数． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （3）分三种情况讨论：①当DA＝DE时，②当AD＝AE时，③当EA＝ED时，根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∠ADE＝∠B，∠BAD+∠B＝∠ADC，∠CDE+∠ADE＝∠ADC， ∴∠BAD＝∠CDE； （2）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DC＝AB，∠BAD＝∠CDE； 在△ABD和△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（SAS）； （3）解：∵∠B＝∠C＝50°，∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣50°＝80°， 分三种情况讨论： ①当DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA， ∵∠ADE＝∠B＝50°，∠ADE+∠DAE+∠DEA＝180°， ∴∠DAE＝（180°﹣50°）÷2＝65°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝80°﹣65°＝15°， ∵∠B+∠BAD+∠BDA＝180°， ∴∠BDA＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣50°﹣15°＝115°； ②当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝50°， ∵∠ADE+∠AED+∠DAE＝180°， ∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝180°﹣50°﹣50°＝80°， ∵∠BAC＝80°， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴点D与点B重合，不合题意． ③当EA＝ED时，∠DAE＝∠ADE＝50°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝80°﹣50°＝30°， ∵∠B+∠BAD+∠BDA＝180°， ∴∠BDA＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣50°﹣30°＝100°， 综上所述，当∠BDA的度数为115°或100°时，△ADE是等腰三角形． 26．在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC． （1）当点C在线段BD上时， ①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为 　 　； ②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF+CD； （2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）． 【分析】（1）①如图1，根据已知条件得到△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质得到AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，由邻补角的性质得到∠EAD＝∠FBD＝120°，推出△ADE≌△BDF，根据全等三角形的性质即可得到结论；②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，得到△GBD是等边三角形．同理，△ABC也是等边三角形．求得AG＝CD，通过△DGE≌△DBF，得到GE＝BF，根据线段的和差即可得到结论； （2）如图3，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，根据线段的和差和等量代换即可得到结论；如图4，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，根据线段的和差和等量代换即可得到结论． 【解答】解：（1）①如图1，∵BA＝BC，∠EBD＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°， ∴∠EAD＝∠FBD＝120°， ∵DE＝DF， ∴∠E＝∠F， 在△AEC与△BCF中，， ∴△ADE≌△BDF（AAS）， ∴AE＝BF； 故答案为：AE＝BF； ②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG， ∵∠EBD＝60°，BG＝BD， ∴△GBD是等边三角形． 同理，△ABC也是等边三角形． ∴AG＝CD， ∵DE＝DF，∴∠E＝∠F． 又∵∠DGB＝∠DBG＝60°， ∴∠DGE＝∠DBF＝120°， 在△DGE与△DBF中，， ∴△DGE≌△DBF（AAS）， ∴GE＝BF， ∴AE＝BF+CD； （2）如图3，连接DG， 由（1）知，GE＝BF，AG＝CD， ∴AE＝EG﹣AG； ∴AE＝BF﹣CD， 如图4，连接DG， 由（1）知，GE＝BF，AG＝CD， ∴AE＝AG﹣EG； ∴AE＝CD﹣BF． 27．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝42°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝42°，DE交线段AC于点E． （1）当∠BDA＝118°时，∠EDC＝　 　°，∠AED＝　 　°； （2）若DC＝3，试说明△ABD≌△DCE； （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是以AE为腰的等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由． 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠BAD＝25°，根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠B＝42°，根据三角形内角和定理计算，得到答案； （2）当DC＝3时，利用∠DEC+∠EDC＝140°，∠ADB+∠EDC＝140°，得到∠ADB＝∠DEC，根据AB＝DC＝3，证明△ABD≌△DCE； （3）分AE＝AD、EA＝ED三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝42°， ∵∠ADE＝42°，∠BDA＝118°， ∵∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝20°， ∴∠AED＝∠EDC+∠C＝20°+42°＝62°， 故答案为：20；62； （2）当DC＝3时，△ABD≌△DCE， 理由：∵AB＝3，DC＝3， ∴AB＝DC， ∵∠C＝42°， ∴∠DEC+∠EDC＝138°， ∵∠ADE＝42°， ∴∠ADB+∠EDC＝138°， ∴∠ADB＝∠DEC， 在△ABD和△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）； （3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形， ①当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝42°＝∠C， 此时，点D与点B重合，不合题意； ②当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝42°， ∴∠BDA＝∠EAD+∠C＝42°+42°＝84°； 综上所述，当∠BDA的度数为84°时，△ADE的形状是等腰三角形． 28．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A（a，0），B（0，b），且a，b满足（a﹣4）2+|b﹣4|＝0，连接AB，∠OBA＝45°． （1）求点A、点B的坐标． （2）动点P从点O出发，以1个单位/秒的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t秒，连接AP，过点P作PM⊥AP，且PM＝PA，点M在第一象限，请用含有t的式子表示点M的坐标． （3）在（2）的条件下，连接MB并延长交x轴于点Q，连接AM，过点B作PM的平行线交x轴于点R，当S△MQA＝28时，求点R的坐标． 【分析】（1）根据非负数的性质，得到关于a，b的方程组，求得a，b的值，即可得到点A、点B的坐标； （2）根据AAS判定△CPM≌△OAP，再根据全等三角形对应边相等，即可得到CM＝OP＝t，CP＝AO＝BO＝4，CO＝CP+OP＝4+t，进而得到点M的坐标为（t，4+t）； （3）连接MB并延长交x轴于点Q，连接AM，过点B作PM的平行线交x轴于点R，根据△BOQ是等腰直角三角形，得出Q（﹣4，0），再根据S△MQA＝×8×（4+t）＝28，得出OP＝3，最后判定△OBR≌△OAP（ASA），即可得到OR＝OP＝3，进而得出点R的坐标为（﹣3，0）． 【解答】解：（1）∵a，b满足（a﹣4）2+|b﹣4|＝0， ∴a﹣4＝0，b﹣4＝0， ∴a＝4，b＝4， ∴A（4，0），B（0，4）； （2）如图所示，过M作MC⊥y轴于C，则∠PCM＝∠AOP＝90°， ∵PM⊥AP， ∴∠CPM+∠APO＝∠OAP+∠APO＝90°， ∴∠CPM＝∠OAP， 在△CPM和△OAP中， ， ∴△CPM≌△OAP（AAS）， ∴CM＝OP＝t，CP＝AO＝BO＝4， ∴CB＝OP＝t， ∴CO＝CP+OP＝4+t， ∴M（t，4+t）； （3）如图所示，连接MB并延长交x轴于点Q，连接AM，过点B作PM的平行线交x轴于点R， ∵CB＝CM＝t， ∴△BCM是等腰直角三角形， ∴∠CBM＝∠OPQ＝45°， ∴△BOQ是等腰直角三角形， ∴OQ＝OB＝4，即Q（﹣4，0）， 又∵A（4，0）， ∴AQ＝8， 又∵M（t，4+t）， ∴S△MQA＝×8×（4+t）＝28， ∴t＝3， ∴OP＝3， ∵BR∥PM， ∴∠OBR＝∠CPM， 又∵∠CPM＝∠OAP， ∴∠OBR＝∠OAP， 在△OBR和△OAP中， ， ∴△OBR≌△OAP（ASA）， ∴OR＝OP＝3， ∴R（﹣3，0）． 29．如图，已知△ABC中AB＝AC＝12厘米，BC＝9厘米，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点P点Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点P点Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间，点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？此时相遇点距到达点B的路程是多少？ 【分析】（1）①先求得BP＝CQ＝3，PC＝BD＝6，然后根据等边对等角求得∠B＝∠C，最后根据SAS即可证明； ②因为VP≠VQ，所以BP≠CQ，又∠B＝∠C，要使△BPD与△CQP全等，只能BP＝CP＝4.5，根据全等得出CQ＝BD＝6，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和CQ的长即可求得Q的运动速度； （2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得． 【解答】解：（1）①△BPD与△CQP全等，理由如下： ∵t＝1（秒）， ∴BP＝CQ＝3（厘米）， ∵AB＝12，D为AB中点， ∴BD＝6（厘米）， 又∵PC＝BC﹣BP＝9﹣3＝6（厘米）， ∴PC＝BD， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△BPD与△CQP中， ， ∴△BPD≌△CQP（SAS）； ②∵VP≠VQ， ∴BP≠CQ， 又∵∠B＝∠C， 要使△BPD≌△CPQ，只能BP＝CP＝4.5， ∵△BPD≌△CPQ， ∴CQ＝BD＝6． ∴点P的运动时间t＝＝＝1.5（秒）， 此时VQ＝＝＝4（厘米/秒）． ∴当点Q的运动速度为4厘米/秒时，能够使△BPD与△CQP全等． （2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程， 设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得4x＝3x+2×12， 解得x＝24（秒）， 此时P运动了24×3＝72（厘米）， 又∵△ABC的周长为33厘米，72＝33×2+6， ∴点P、Q在BC边上相遇，即经过了24秒，点P与点Q第一次在BC边上相遇，此时相遇点距到达点B的路程是6厘米． 30．已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E． （1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如图1所示，∠A+∠BEC＝　 　度； （2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，试说明此时∠BAC与∠BEC的数量关系； （3）在（2）的条件下，若∠BAC＝60°，试说明：EF＝ED． 【分析】（1）根据余角的性质得到∠DEC＝∠BAC，由于∠DEC+∠BEC＝180°，即可得到结论； （2）根据角平分线的性质得到∠EBC＝ABC，∠ECB＝ACB，于是得到结论； （3）作∠BEC的平分线EM交BC于M，由∠BAC＝60°，得到∠BEC＝90°+BAC＝120°，求得∠FEB＝∠DEC＝60°，根据角平分线的性质得到∠BEM＝60°，推出△FBE≌△EBM，根据全等三角形的性质得到EF＝EM，同理DE＝EM，即可得到结论． 【解答】解：（1）∵BD⊥AC，CF⊥AB， ∴∠DCE+∠DEC＝∠DCE+∠FAC＝90°， ∴∠DEC＝∠BAC，∠DEC+∠BEC＝180°， ∴∠BAC+∠BEC＝180°； 故答案为：180． （2）∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACB， ∴∠EBC＝ABC，∠ECB＝ACB，∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC； （3）作∠BEC的平分线EM交BC于M， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BEC＝90°+BAC＝120°， ∴∠FEB＝∠DEC＝60°， ∵EM平分∠BEC， ∴∠BEM＝60°， 在△FBE与△EBM中， ， ∴△FBE≌△EBM， ∴EF＝EM，同理DE＝EM， ∴EF＝DE． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 全等三角形的判定与性质专项练习 1．已知等腰三角形ABC，AB＝AC，D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为边在直线AD的右侧作等腰三角形ADE，∠DAE＝∠BAC，AD＝AE，连接CE． （1）如图1，当点D在边BC上时，请探究BC，CD，CE之间的数量关系． （2）如图2，当点D在BC的延长线上时，（1）中BC，CD，CE之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由． 2．已知：如图，在△ABD中，AC⊥BD，垂足为点C，BE与AC，AD分别相交于点F，E，射线DF交AB于点G，AC＝BC，CD＝CF． （1）求证：∠DBF＝∠CAD； （2）若AB＝8，DG＝6，求△ABD的面积． 3．如图1，C为线段BE上一点，分别以BC，EC为底，在BE的同侧作等腰△ABC和等腰△DCE，且∠ABC＝∠DCE，在线段AC上取一点F，使得AF＝DC，连接BF，AD． （1）求证：△ABF≌△CAD； （2）如图2，延长BF交AD于点G，若G是AD的中点，且AB＝2，求CD的长． 4．如图，M是线段AB上的一点，ED是过点M的一条线段，连接AE、BD，过点B作BF∥AE交ED于点F，且EM＝FM． （1）求证：AE＝BF． （2）连接AC，若∠AEC＝90°，∠CAE＝∠DBF，CD＝4，求EM的长． 5．如图1，AD是△ABC的角平分线，∠B＝2∠C，试探究线段AB，BD，AC之间的数量关系．小明的解题思路如下： ①如图2，在AC上取一点E，使AE＝AB，连接DE． ②由AB＝AE，AD平分∠BAE，AD是公共边， 可得△ABD≌△AED（理由：　 　）， 则∠B＝∠AED，BD＝DE． ③由∠B＝2∠C， 则∠AED＝2∠C． 又因为∠AED＝∠EDC+∠C， 所以∠EDC＝∠C，则DE＝　 　． 又由BD＝DE，得BD＝EC． ④根据上述的推理可知AB，BD，AC之间的数量关系为 　 　． （1）请你补全小明的解题思路． （2）小明又想尝试其它方法： 延长AB到点E，使BE＝BD，连接DE． 请你帮助小明，完成解答过程． 6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD与CE交于点F，连接BF，延长AD到点G，使得AG＝BC，连接BG，CF＝AB． 【问题解决】（1）试说明：△ABG≌△CFB； 【问题探究】（2）BF与BG垂直吗？请说明理由． 7．如图，在△ABD中，AB＝AD，E为平面内一点，连接AE，DE，C为AD延长线上一点，连接BC交DE于点F，且AE＝BC，∠ADB+∠CBD＝∠DAE． （1）求证：AC＝DE； （2）若∠ADB＝30°，∠CBD＝10°，求∠BFD的度数． 8．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且CE∥BF． （1）△ECD与△FBD全等吗？请说明你的理由； （2）若AD＝6，DF＝2，△BDF的面积为3，请直接写出△AEC的面积． 9．学习角平分线的性质后，小明进行了拓展性探究．她发现在直角梯形中，当两底边的长度之和等于两内角（非直角内角）夹边的长度时，若这两内角的角平分线相交于腰上同一点，则这两条角平分线互相垂直，请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）用尺规完成以下作图：作∠ADC的平分线交AB于点E，连接EC，在DC上截取DF＝DA，连接EF．（只保留作图痕迹） （2）已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，DE平分∠ADC，AD＝DF，AD+BC＝DC．求证：DE⊥CE． 证明：∵DE 平分∠ADC， ∴　 　 在△ADE和△FDE中， ∴△ADE≌△FDE （SAS） ∴∠A＝∠DFE＝90°＝∠CFE，∠AED＝∠FED． ∵AD+BC＝DC，AD＝DF ∴　 　． ∴易证Rt△CBE≌Rt△CFE（HL） ∴CE平分∠BCF，∠BEC＝∠FEC， ∵∠AED＝∠FED，∠BEC＝∠FEC，∠AEB＝180° ∴ 小明再进一步研究发现，只要梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：直角梯形中，当两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度，若两内角（非直角内角）的角平分线相交于腰上同一点那么 　 　． 10．如图1，△ABC中，AB＝9，AC＝6，AD是中线，求AD得取值范围．（提示：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．）请回答： （1）为什么△BED≌△CAD？写出推理过程； （2）求出AD的取值范围； 11．如图①，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF． 应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且CD＝2BD，点E，F在线段AD上．∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为15，求△ABE与△CDF的面积之和． 12．在△ABC中，BC和AC边上的高AD、BE交于点F，DF＝CD． （1）如图1，求证：∠DAC＝∠CBE； （2）如图1，求∠ABC的度数； （3）如图2，延长BA到点G，过点G作BE的垂线交BE的延长线于点H，已知GH＝BE，BF＝5，AE＝2，CG＝10，求BH的长． 13．【问题背景】 在△ABC中，AC＝BC，D是BC中点，E是AC中点，连接AD、BE． 【问题探究】 （1）如图1，试说明：AD＝BE； 【拓展延伸】 （2）如图2，若∠ACB＝90°，分别延长BE、DA到点F和G，使BF＝2BE，DG＝2DA，连接AF、FG，取AF的中点H，连接GH，则线段AG与线段GF相等吗？请说明理由． 14．如图，在△ABC中，AB＝BC，D是BC上一点，连接AD，过点C作CE∥AB，连接BE．其中BD＝CE，AD＝AC． （1）用等式表示BE与AC的大小关系，并说明理由； （2）若∠ABC＝α，∠CBE＝β，用等式表示α与β的数量关系，并说明理由． 15．如图，已知在△ABD中，AB＝AD，射线AF交BD于点O，∠BAC＜∠DAC，点E、F在射线AF上，且∠BCF＝∠DEF＝∠BAD．试判断AC与ED的数量关系，并说明理由． 16．将两个三角形纸板△ABC和△DBE按如图所示的方式摆放，连接DC．已知∠DBA＝∠CBE，∠BDE＝∠BAC，AC＝DE＝DC． （1）试说明△ABC≌△DBE； （2）若∠ACD＝72°，求∠BED的度数． 17．根据以下素材，探索完成任务，荡秋千问题 素材1：如图1，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直： 素材2：如图2，小丽从秋千的起始位置处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她，若妈妈与爸爸到0A的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠B0C＝90°． 问题解决： （1）任务1：△OBD与△COE全等吗？请说明理由； （2）任务2：当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 18．生活中的数学 （1）用3块正方体积木搭建了一个立体模型，其主视图如图1，其中①号正方体棱长为2.5cm，③号正方体棱长4cm，则AD＝　 　cm． （2）用10块高度都是2cm的长方体积木搭建了两个滑梯，其主视图如图2，其中AB⊥BE于点B，EF⊥BE于点E，BE＝20cm，PE＝6cm，试判断AP、PF的数量关系，并说明理由． 19．如图，△ABC中两边AB、AC上有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠A＝80°，∠BDC＝100°，∠MDN＝50°，BD＝DC． （1）猜想线段MN、BM、NC之间的数量关系并证明； （2）若AB＝6，AC＝7，求△AMN的周长． 20．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AC＝6cm，BC＝4cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A运动． （1）①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过几秒时△BPD≌△CQP？请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ （2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以1cm/s的运动速度从B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过几秒后，点P与点Q第一次在△ABC上相遇？ 21．中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线． （1）如图①，△ABC中，若AB＝4，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围； 同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝DA，连接BE． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①根据题意，补全图形； ②由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，其依据是 　 　（用字母表示）； ③由三角形的三边关系可以求得AD的取值范围是 　 　（直接填空）； （2）如图②，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，连接BE，CD，若AM为△ACD的中线，猜想AM与BE的数量关系并说明理由． 22．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N． （1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； （2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； （3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 23．如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝8cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以lcm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）． （1）求证：AB∥DE． （2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）． （3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值． 24．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE． （1）当∠A＝80°时，求∠EDC的度数； （2）求证：CF＝FG+CE． 25．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上（点D不与点B、点C重合），作∠ADE＝∠B，DE交边AC于点E． （1）求证：∠BAD＝∠CDE； （2）若DC＝AB，求证：△ABD≌△DCE； （3）当∠B＝50°，且△ADE是等腰三角形时，直接写出∠BDA的度数． 26．在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC． （1）当点C在线段BD上时， ①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为 　 　； ②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF+CD； （2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）． 27．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝42°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝42°，DE交线段AC于点E． （1）当∠BDA＝118°时，∠EDC＝　 　°，∠AED＝　 　°； （2）若DC＝3，试说明△ABD≌△DCE； （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是以AE为腰的等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由． 28．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A（a，0），B（0，b），且a，b满足（a﹣4）2+|b﹣4|＝0，连接AB，∠OBA＝45°． （1）求点A、点B的坐标． （2）动点P从点O出发，以1个单位/秒的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t秒，连接AP，过点P作PM⊥AP，且PM＝PA，点M在第一象限，请用含有t的式子表示点M的坐标． （3）在（2）的条件下，连接MB并延长交x轴于点Q，连接AM，过点B作PM的平行线交x轴于点R，当S△MQA＝28时，求点R的坐标． 29．如图，已知△ABC中AB＝AC＝12厘米，BC＝9厘米，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点P点Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点P点Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间，点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？此时相遇点距到达点B的路程是多少？ 30．已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E． （1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如图1所示，∠A+∠BEC＝　 　度； （2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，试说明此时∠BAC与∠BEC的数量关系； （3）在（2）的条件下，若∠BAC＝60°，试说明：EF＝ED． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$