第14讲 导数的概念及其运算（9类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（北京专用）

第14讲 导数的概念及运算 （9类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年北京卷，第20题，15分 求切线方程 2023年北京卷，第20题，15分 利用导数的几何意义求参数 2022年北京卷，第20题，15分 求切线方程 2021年北京卷，第19题，15分 求切线方程 2020年北京卷，第19题，15分 求切线方程 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】导数的几何意义是北京高考的必考点，难度不大，一般在解答题第（1）问中考查． 【备考策略】 1.了解平均变化率、瞬时变化率、导数概念的实际背景； 2.理解导数的几何意义； 3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 【命题预测】高考数学北京卷重点考查学生对导数概念的理解和应用能力． 知识讲解 知识点1 导数的概念 1、导数的定义 （1）函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝． （2）函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝为f(x)的导函数． 2、导数的几何意义及应用 （1）导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． （2）求曲线“在”与“过”某点的切线 ①求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式． ②求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 知识点2 导数的运算 1、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝ 2、导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． 3、复合函数的导数 （1）复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作． （2）复合函数的求导法则 一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 规律：从内到外层层求导，乘法连接． （3）求复合函数导数的步骤 第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数； 第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数； 第三步相乘：把上述求导的结果相乘； 第四步变量回代：把中间变量代回． 考点一、导数的定义及变化率问题 【典例1】（23-24高三上·北京人大附中·质量检测）某物体做直线运动，若它所经过的位移s与时间t的函数关系为，则这个物体在时间段内的平均速度为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】.故选：B. 【典例2】（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，当时，该质点的瞬时加速度大于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得：， 设，则， 因为当时，该质点的瞬时加速度大于，即， 显然不是负数，解得， 所以的取值范围是.故选：B. 1．（23-24高三上·河南商丘·阶段练习）设函数在处的导数为3，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．3 【答案】B 【解析】因为，所以.故选：B. 2．（22-23高二下·北京东城·期末）如图，曲线在点处的切线为直线，直线经过原点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，，且， 所以.故选：C. 考点二、求函数的导数 【典例1】（22-23高三上·北京·开学考试）已知函数的导函数，满足，则等于 . 【答案】 【解析】∵，∴， ∴，即. 故答案为：. 【典例2】（23-24高三上·湖北孝感·阶段练习）已知函数，且，则实数（    ） A．2024 B．2023 C． D． 【答案】A 【解析】令，所以， 所以， 所以， 解得．故选：． 1．（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）下列对x的求导运算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A选项，，A正确； B选项，，B错误； C选项，，C错误； D选项，，D错误.故选：A 2．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）下列求导正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，根据复合函数的求导法则， ，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误.故选：C. 考点三、“在”曲线上一点的切线 【典例1】（23-24高三上·北京人大附中·阶段练习）曲线在点处的切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵， ∴曲线在点处的切线的斜率，则倾斜角为，故选：B． 【典例2】（23-24高三上·北京·阶段练习）曲线在点处的切线方程是 ． 【答案】 【解析】， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 所以方程为， 故答案为： 1．（23-24高三上·北京·开学考试）设函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】，故， 又，故曲线在点处的切线方程为， 即. 故答案为：. 2．（23-24高三上·北京·阶段练习）函数在点处的切线的斜率为 ． 【答案】/ 【解析】， 则， 故在点处的切线的斜率为. 故答案为： 考点四、“过”曲线上一点的切线 【典例1】（22-23高三下·北京东城·一模）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数，可得， 设切点坐标为，可得切线方程为， 把原点代入方程，可得，即， 解得，所以切线方程为，即.故选：A. 【典例2】（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知函数，过原点作曲线的切线，则切线的斜率为 ． 【答案】 【解析】由题意得，，设切点为， 则切线方程为， 因为切线过原点， 所以， 解得，所以． 故答案为： 1．（23-24高三上·贵州·模拟预测）过点作曲线的切线，请写出切线的方程 . 【答案】或 【解析】设切点为，而， 所以切线的斜率，故切线方程为， 因为切线过点，， 化简可得或，则切点为或， 则代入得切线方程为：或， 故答案为：或. 2．（23-24高三下·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】A 【解析】设切点为， 由可得， 则过坐标原点的切线的斜率， 故，即，解得， 故过坐标原点的切线共有1条．故选：A． 考点五、已知切线或切点求参数 【典例1】（22-23高三上·北京·开学考试）若曲线在处的切线方程为，则 ； ． 【答案】 【解析】因为，所以， 又函数处的切线方程为， 所以，且，解得，； 故答案为：；. 【典例2】（23-24高三上·北京·开学考试）直线l经过点，且与直线平行，如果直线l与曲线相切，那么b等于（    ）． A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】设切点为，且的导数为， 因为直线l经过点，且与直线平行， 所以切线的斜率为，即切线的斜率为，解得， 可得切点为，由，解得.故选：B 1．（22-23高三上·北京海淀·阶段练习）已知直线与曲线相切， 则 ． 【答案】/ 【解析】由，所以，设切点为， 所以，则，解得； 故答案为： 2．（22-23高三上·北京石景山·开学考试）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．13 【答案】B 【解析】设切点为 ，的导数为， 由切线的方程可得切线的斜率为1，令， 则 ，故切点为， 代入，得， 、为正实数，则， 当且仅当，时，取得最小值9，故选：B 考点六、两条切线平行或垂直问题 【典例1】（22-23高三上·北京·阶段练习）若曲线在点处的切线与直线平行，则 ． 【答案】 【解析】由函数，可得，可得 因为曲线在点处的切线与直线平行， 可得，解得. 故答案为：. 【典例2】（23-24高三上·北京·阶段练习）若曲线存在与直线垂直的切线，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对求导得， 当时，曲线不存在与直线垂直的切线， 当时，若曲线存在与直线垂直的切线， 只需在上有解. 令，求导得， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，且当时，， 所以，解得， 所以k的取值范围是.故选：D. 1．（23-24高三上·广东肇庆·阶段练习）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【解析】由，求导， 则在点处的切线的斜率为， 而在点处的切线与直线垂直, 则，故.故选：D 2．（23-24高三下·北京朝阳·一模）已知函数.若曲线在点处的切线与其在点处的切线相互垂直，则的一个取值为 . 【答案】(答案不唯一) 【解析】，由题意可知，， 即，所以，得，，， 或，得，，， 所以，，, 所以的一个取值为. 故答案为：(答案不唯一) 考点七、两曲线的公切线 【典例1】（23-24高三上·北京东直门·阶段练习）若直线与函数和的图象都相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线与函数和的图象分别相切于点， 则由，得，令，得， 将代入中得， 由，得，令，得， 将代入中得，所以．故选：D 【典例2】（23-24高二下·江西吉安·期末）函数与函数公切线的斜率为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】设切点分别为， 且导数为， 所以切斜方程为既为， 也为， 所以， 且， 所以， 所以或， 所以公切线的斜率为或.故选：C. 1．（23-24高二下·安徽合肥·期末）若函数与在处有相同的切线，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】因为，，则，， 可得，，，， 因为，在处有相同的切线，即切点为，切线斜率， 所以，解得，所以.故选：D. 2．（23-24高三下·广东茂名·一模）曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】两个函数求导分别为， 设，图象上的切点分别为，， 则过这两点处的切线方程分别为，， 则，，所以， 设，，， 令，所以， 所以在上单调递增，且， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，.故选：B. 考点八、与切线有关的最值问题 【典例1】（22-23高三上·北京石景山·开学考试）已知点为曲线上的动点，则到直线的最小距离为 . 【答案】 【解析】设与相切与点Q， 则，令，得，则切点， 代入，得，即直线方程为， 所以与直线间的距离为， 即为到直线的最小距离， 故答案为： 【典例2】（23-24高三下·江西南昌·模拟预测）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的斜率，函数定义域为， 点是曲线上任意一点，设，由， 令，解得或（舍去）， ，此时，∴曲线上与直线平行的切线的切点为， 所以曲线上点到直线的最小距离， 为点到直线的距离.故选：C. 1．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知是函数图象上的任意一点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A． B．5 C．6 D． 【答案】D 【解析】设直线与直线平行，且与函数的图象相切， 设切点为，因为是单调递增函数， 直线的斜率为1，所以，解得， 即切点为， 所以点到直线的距离的最小值是点到直线的距离， 即为．故选：D 2．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）若点，则两点间距离的最小值为 . 【答案】/ 【解析】点在直线上，点在曲线上， 即求的最小值等价于求直线上的点到曲线上的点的距离的最小值， 过上的点作的切线，可得， 令，可得，故该切线为， 则直线与的距离即为的最小值， 此时，即. 故答案为：. 考点九、导数运算与函数性质综合 【典例1】（23-24高三下·北京西城·开学考试）函数及其导数的定义域均为，记，若和都是偶函数，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】D 【解析】由是偶函数，得， 所以函数的图象关于直线对称； 由是偶函数，得， 所以函数的图象关于直线对称，又， 则关于对称，所以是函数图象的对称中心， 由于不确定的值，所以无法判断函数的奇偶性，故排除选项A、B； 又，由，得， 即，得， 所以函数的图象关于点对称； 由，得，即， 所以，即， 所以函数的周期为4，所以， 所以函数为偶函数，故排除C，选择D.故选：D 【典例2】（22-23高三下·山东潍坊·模拟预测）已知函数，及其导函数，的定义域均为，为奇函数，关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解法一：由为奇函数得， 令，则，所以， 即，所以； 因为关于直线对称，所以关于轴对称， 即为偶函数，所以. 对于选项A，因为为偶函数，所以， 所以，故选项A错误. 对于选项B，由得， 所以，故选项B错误. 对于选项C，因为的图像关于轴对称， 所以轴左右两边对称点的切线关于轴对称，所以切线的斜率互为相反数， 即，所以， 所以，故选项C错误. 对于选项D，因为，所以关于点中心对称， 因为，所以和关于点对称， 所以在和处切线的斜率相等，即， 所以，故选项D正确.故选：D. 1．（22-23高三下·浙江嘉兴·二模）设函数的定义域为，其导函数为，若，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A： 令，得，则函数图象关于点对称. 若，则函数图象关于点对称，符合题意，故A正确； B：由选项A的分析知，等式两边同时求导， 得，即①， 又，为偶函数，所以②， 由①②得，所以函数的周期为2. 所以，即，故B正确； C：由选项B的分析知，则函数图象关于直线对称. 令，若， 则函数图象关于直线对称，不符合题意，故C错误； D：由选项B的分析可知函数的周期为2，则， 所以，故D正确.故选：C. 2．（23-24高三下·新疆喀什·二模）已知函数的定义域均为为的导函数，且，，若为偶函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】A 【解析】由题意，可知，①， 令可得，，所以. 又因为为偶函数，所以，两边同时求导可得，② 令可得，，所以， 联立①②可得，，化简可得， 所以是周期为2的函数，所以，， 又因为，所以，所以， 所以.故选：A. 1．（22-23高三上·北京·阶段练习）函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，根据导数的几何意义，可得表示切线斜率， 表示切线斜率， 又由平均变化率的定义，可得，表示割线的斜率， 结合图象，可得，即.故选：C. 2．（22-23高三上·北京密云·阶段练习）若曲线在某点处的切线的斜率为1，则该曲线不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项A：，则，由，可得 则在处的切线的斜率为1. 选项B：，则，由，可得 则在处的切线的斜率为1 选项C：，则，由，可得 则在处的切线的斜率为1 选项D：，则，则， 则不存在斜率为1的切线故选：D 3．（24-25高三下·江西·阶段练习）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即.故选：C. 4．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 联立可解得，所以，所以. 所以曲线在点处的切线方程为， 故所求的切线方程为.故选：C. 5．（23-24高二下·北京西城·阶段练习）已知直线是曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设切点坐标为，因为，所以在点处切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为， 即，所以，解得， 所以切点为.故选：A 6．（23-24高三上·北京通州·阶段练习）已知函数的图象在处的切线方程为，则 . 【答案】-1 【解析】因为，所以. 又的 图象在处的切线方程为，所以，解得， 则，所以，代入切线方程得，解得， 所以 , 故答案为：-1. 7．（23-24高二下·北京·阶段练习）已知函数，过点作曲线的切线，则其切线方程为 . 【答案】 【解析】设切点为，由，则，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以，解得， 所以切线方程为，即. 故答案为： 1．（22-23高三上·北京东城·开学考试）若函数的图象上任意一点的切线的斜率都大于0，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】的定义域是， 依题意，恒成立，即恒成立， 由于， 当且仅当时等号成立，所以.故选：C 2．（23-24高三上·北京海淀·期末）若关于的方程（且）有实数解，则的值可以为（    ） A．10 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】对比选项可知我们只需要讨论时，关于的方程的解的情况， 若关于的方程（且）有实数解， 即与的图像有交点， 因为与互为反函数， 所以与的图像关于直线对称， 如图所示： 设函数与直线相切，切点为， ，则有，解得：， 由图像可知，当时，曲线与直线有交点， 即与的图像有交点，即方程有解.故选：D. 3．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知函数和直线，那么“直线l与曲线相切”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】设直线与曲线相切于点， 由可得，于是有：， 所以，所以， 当时，，所以时，直线l与曲线相切， 但是直线l与曲线相切时，不一定为0， 即“直线l与曲线相切”是“”的必要不充分条件.故选：B 4．（23-24高三下·辽宁大连·一模）斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解析】依题意得，设直线的方程为， 由直线和圆相切可得，，解得， 当时，和相切， 设切点为，根据导数的几何意义，， 又切点同时在直线和曲线上，即，解得， 即和相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位， 和仍会保持相切状态，即时，， 综上所述，或.故选：A 5．（23-24高三下·四川宜宾·模拟预测）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】由曲线，得， 在处的切线斜率为，当时，， 曲线在处的，即， 曲线，导数为， 设切点为，则，解得，切点在切线上， 即有，得.故选：A. 6．（24-25高三上·四川内江·模拟预测）若过点可以作两条直线与曲线相切，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设切点， 因为，所以， 所以点P处的切线方程为， 又因为切线经过点， 所以，即， 令， 则与有两个不同的交点，， 当时，恒成立，所以单调递增，不合题意； 当时，当时，，当时，， 所以，则，即，故选：B 7．（23-24高三上·江西·阶段练习）定义：设二元函数在点的附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数，记作．若在区域D内每一个点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于x，y的二元函数，它就被称为二元函数对自变量的偏导函数，记作．已知，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，， 同理可求得，所以，设， 则，由， 得， ，此方程有解， 所以，.故选：B 1．（2024·全国·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.故选：A. 2．（2023·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以所以 所以曲线在点处的切线方程为.故选：C 3．（2020·全国·高考真题）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ） A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 【答案】D 【解析】设直线在曲线上的切点为，则， 函数的导数为，则直线的斜率， 设直线的方程为，即， 由于直线与圆相切，则， 两边平方并整理得，解得，（舍）， 则直线的方程为，即.故选：D. 4．（2020·全国·高考真题）函数的图像在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，，， 因此，所求切线的方程为，即.故选：B. 5．（2024·全国·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【解析】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 6．（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 【答案】 【解析】[方法一]：化为分段函数，分段求分和两种情况， 当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率， 从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程， 当时同理可得； 因为， 当时，设切点为，由，所以， 所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由， 所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得， 所以切线方程为，即；故答案为：； [方法二]：根据函数的对称性，数形结合 当时，设切点为，由，所以， 所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得， 所以切线方程为，即； 因为是偶函数，图象为： 所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可. [方法三]：因为， 当时，设切点为，由，所以， 所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得， 所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由， 所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得， 所以切线方程为，即； 故答案为：；. 7．（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 8．（2021·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】由题，当时，，故点在曲线上． 求导得：，所以． 故切线方程为． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 导数的概念及运算 （9类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年北京卷，第20题，15分 求切线方程 2023年北京卷，第20题，15分 利用导数的几何意义求参数 2022年北京卷，第20题，15分 求切线方程 2021年北京卷，第19题，15分 求切线方程 2020年北京卷，第19题，15分 求切线方程 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】导数的几何意义是北京高考的必考点，难度不大，一般在解答题第（1）问中考查． 【备考策略】 1.了解平均变化率、瞬时变化率、导数概念的实际背景； 2.理解导数的几何意义； 3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 【命题预测】高考数学北京卷重点考查学生对导数概念的理解和应用能力． 知识讲解 知识点1 导数的概念 1、导数的定义 （1）函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝． （2）函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝为f(x)的导函数． 2、导数的几何意义及应用 （1）导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． （2）求曲线“在”与“过”某点的切线 ①求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式． ②求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 知识点2 导数的运算 1、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝ 2、导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． 3、复合函数的导数 （1）复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作． （2）复合函数的求导法则 一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 规律：从内到外层层求导，乘法连接． （3）求复合函数导数的步骤 第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数； 第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数； 第三步相乘：把上述求导的结果相乘； 第四步变量回代：把中间变量代回． 考点一、导数的定义及变化率问题 【典例1】（23-24高三上·北京人大附中·质量检测）某物体做直线运动，若它所经过的位移s与时间t的函数关系为，则这个物体在时间段内的平均速度为（    ） A．2 B． C．3 D． 【典例2】（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，当时，该质点的瞬时加速度大于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三上·河南商丘·阶段练习）设函数在处的导数为3，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．3 2．（22-23高二下·北京东城·期末）如图，曲线在点处的切线为直线，直线经过原点，则（    ） A． B． C． D． 考点二、求函数的导数 【典例1】（22-23高三上·北京·开学考试）已知函数的导函数，满足，则等于 . 【典例2】（23-24高三上·湖北孝感·阶段练习）已知函数，且，则实数（    ） A．2024 B．2023 C． D． 1．（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）下列对x的求导运算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）下列求导正确的是（     ） A． B． C． D． 考点三、“在”曲线上一点的切线 【典例1】（23-24高三上·北京人大附中·阶段练习）曲线在点处的切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·北京·阶段练习）曲线在点处的切线方程是 ． 1．（23-24高三上·北京·开学考试）设函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 2．（23-24高三上·北京·阶段练习）函数在点处的切线的斜率为 ． 考点四、“过”曲线上一点的切线 【典例1】（22-23高三下·北京东城·一模）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知函数，过原点作曲线的切线，则切线的斜率为 ． 1．（23-24高三上·贵州·模拟预测）过点作曲线的切线，请写出切线的方程 . 2．（23-24高三下·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 考点五、已知切线或切点求参数 【典例1】（22-23高三上·北京·开学考试）若曲线在处的切线方程为，则 ； ． 【典例2】（23-24高三上·北京·开学考试）直线l经过点，且与直线平行，如果直线l与曲线相切，那么b等于（    ）． A． B． C．1 D． 1．（22-23高三上·北京海淀·阶段练习）已知直线与曲线相切， 则 ． 2．（22-23高三上·北京石景山·开学考试）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．13 考点六、两条切线平行或垂直问题 【典例1】（22-23高三上·北京·阶段练习）若曲线在点处的切线与直线平行，则 ． 【典例2】（23-24高三上·北京·阶段练习）若曲线存在与直线垂直的切线，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三上·广东肇庆·阶段练习）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 2．（23-24高三下·北京朝阳·一模）已知函数.若曲线在点处的切线与其在点处的切线相互垂直，则的一个取值为 . 考点七、两曲线的公切线 【典例1】（23-24高三上·北京东直门·阶段练习）若直线与函数和的图象都相切，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二下·江西吉安·期末）函数与函数公切线的斜率为（    ） A． B． C．或 D．或 1．（23-24高二下·安徽合肥·期末）若函数与在处有相同的切线，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．（23-24高三下·广东茂名·一模）曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点八、与切线有关的最值问题 【典例1】（22-23高三上·北京石景山·开学考试）已知点为曲线上的动点，则到直线的最小距离为 . 【典例2】（23-24高三下·江西南昌·模拟预测）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（    ） A．1 B． C． D． 1．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知是函数图象上的任意一点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A． B．5 C．6 D． 2．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）若点，则两点间距离的最小值为 . 考点九、导数运算与函数性质综合 【典例1】（23-24高三下·北京西城·开学考试）函数及其导数的定义域均为，记，若和都是偶函数，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【典例2】（22-23高三下·山东潍坊·模拟预测）已知函数，及其导函数，的定义域均为，为奇函数，关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高三下·浙江嘉兴·二模）设函数的定义域为，其导函数为，若，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·新疆喀什·二模）已知函数的定义域均为为的导函数，且，，若为偶函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 1．（22-23高三上·北京·阶段练习）函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三上·北京密云·阶段练习）若曲线在某点处的切线的斜率为1，则该曲线不可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·江西·阶段练习）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·北京西城·阶段练习）已知直线是曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·北京通州·阶段练习）已知函数的图象在处的切线方程为，则 . 7．（23-24高二下·北京·阶段练习）已知函数，过点作曲线的切线，则其切线方程为 . 1．（22-23高三上·北京东城·开学考试）若函数的图象上任意一点的切线的斜率都大于0，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·北京海淀·期末）若关于的方程（且）有实数解，则的值可以为（    ） A．10 B． C．2 D． 3．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知函数和直线，那么“直线l与曲线相切”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高三下·辽宁大连·一模）斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．（23-24高三下·四川宜宾·模拟预测）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B．1 C． D． 6．（24-25高三上·四川内江·模拟预测）若过点可以作两条直线与曲线相切，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·江西·阶段练习）定义：设二元函数在点的附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数，记作．若在区域D内每一个点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于x，y的二元函数，它就被称为二元函数对自变量的偏导函数，记作．已知，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·全国·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2020·全国·高考真题）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ） A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 4．（2020·全国·高考真题）函数的图像在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·全国·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 6．（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 7．（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 8．（2021·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$