精品解析：江苏省淮安市淮安区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

2023-2024学年度第二学期期中学业水平测试试题 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一.单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 化简：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用组合数性质化简，再利用组合数计算公式计算即得. 【详解】. 故选：B. 2. 的二项展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式可得结果； 【详解】的二项展开式的通项公式， 令， 的系数为， 故选：C. 3. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得直线的方向向量为与平面的法向量垂直，由向量垂直的坐标运算即可求解． 【详解】，则有直线的方向向量为与平面的法向量垂直， 即， 解得． 故选：B． 4. 五名同学排队，甲、乙两名同学必须排在一起，排队方案共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 120种 【答案】C 【解析】 【分析】运用相邻元素“捆绑法”易得. 【详解】运用相邻元素“捆绑法”，将甲和乙看成一个元素与其他三个同学全排，有种排法， 再对甲乙“松绑”，有种排法， 由分步乘法计数原理可得，排队方案共有种. 故选：C. 5. 已知点，则点A到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求与同方向的单位向量和的坐标，代入点到直线的距离的向量公式即得. 【详解】由题意，, 则与同方向的单位向量为，又, 于是，点A到直线的距离是：. 故选：B. 6. 某饮料厂生产两种型号的饮料，已知种饮料生产量是种饮料生产量的2倍，且两种型号的饮料中的碳酸饮料的比例分别为，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率约为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出相关事件，求得各事件的概率，利用全概率公式计算即得. 【详解】设“选到非碳酸饮料”为事件,“选出的饮料是型号”记为事件,“选出的饮料是型号”记为事件, 则 由全概率公式， . 故选：A. 7. 在三棱锥中，平面平面是的中点.，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法来求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】由于平面平面且交线为，平面，， 所以平面，由于平面，所以， 由于，平面， 所以平面，由此以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 由于，所以， ， 所以， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设直线与平面所成角为， 则. 故选：B 8. 一个袋子中装有大小完全相同的3个红球、4个白球、3个黑球.若从袋中一次摸出4个球，则4个球共有2种颜色的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将所求事件进行分类计数，再利用古典概型概率公式计算即得. 【详解】依题意，从袋中一次摸出4个球，试验所含的基本事件有种， 而“4个球共有2种颜色”共有三类情况，①“摸到红球和白球”，有种， ②“摸到红球和黑球”，；③“摸到白球和黑球”，有种， 由分类加法计数原理可得“4个球共有2种颜色”的选法有： 种， 则4个球共有2种颜色的概率为. 故选：D. 二.多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知的展开式中第7项的二项式系数最大，则n的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】当为偶数时，展开式中第项二项式系数最大，当为奇数时，展开式中第和项二项式系数最大． 【详解】第7项的二项式系数最大， 当为偶数时， ， ， 当为奇数时，或， 解得：或． 故选：BCD． 10. 若随机变量， 则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由二项分布概率公式和期望、方差计算公式计算，即可判断各选项. 【详解】对于A，因，故，故A正确； 对于B，因，故，故B正确； 对于C，因，故,故C错误； 对于D，由C项得，则，故D正确. 故选：ABD. 11. 在空间直角坐标系中，，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 向量与夹角的余弦值为 C. 点关于轴的对称点坐标为 D. 向量在上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】依次结合向量模公式，结合向量的夹角公式，根据点对称的性质，结合投影向量的公式即可求解． 【详解】解：A．点，，， 则，，， ，故A正确； B．，故B正确； C．点关于轴的对称点坐标为，故C错误； D．在上的投影向量为：，故D正确． 故选：ABD． 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若随机变量，，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态分布的性质结合题意求解即可 【详解】因为，所以， 因为，所以. 故答案为： 13. 已知点在平面内，并且对平面外任意一点，有，则＝___________. 【答案】 【解析】 【分析】由空间向量基本定理可得，解之即得. 【详解】因点在平面内，根据空间向量基本定理， 由可得，，解得，. 故答案为：. 14. 4个编号不同小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，有1个空盒或2个空盒子的方法共有________种. 【答案】228 【解析】 【分析】将4个小球分为“”型，“”型，“”型进行求解． 【详解】将4个小球分为“”型，则有一个空盒的方法为：， 将4个小球分为“”型，则有二个空盒的方法为：， 将4个小球分为“”型，则有二个空盒的方法为：， 则总方法数为：， 故答案为： 四.解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 若．求： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法求出结果； （2）去绝对值，再令即可． 【小问1详解】 ， 令，解得； 令，整理得， 故； 【小问2详解】 令可得， 的展开式通项为，则， 其中且， 当为偶数时，；当为奇数时，. 所以 16. 如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，. （1）以为基底表示； （2）若，且，，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的加减数乘运算，结合题设条件即可求得； （2）先求出平面的基底两两之间的数量积，再根据（1）中的表示式，两边取平方，利用向量数量积的运算律计算即得. 【小问1详解】 由图可得，; 【小问2详解】 由题意，， 则， 于是，由两边取平方， ， 故. 17. 用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字自然数. （1）在组成的五位数中，所有偶数的个数有多少? （2）在组成的五位数中，若从小到大排列，30214排第几个? （3）在组成的五位数中，数字2和3相邻的个数有多少? 【答案】（1）60 （2）51 （3）36 【解析】 【分析】（1）将所有的偶数分为首位即最高位和末尾数均为偶数的数以及首位即最高位为奇数、末尾为偶数的数两类，先依次排首位和末尾，再排剩下中间三位数即可得解 （2）1或2排在首位的数较小，所以先求1或2排在首位的数的个数，再找出3在首位的接下来的三个数即可得解. （3）先将数字2和3捆绑在一起作为一个整体，相当于现有4个数字在排列，根据最高位不为0，其余任意排即可求解. 【小问1详解】 由题在组成的五位数中，所有的偶数有两类： 第一类是首位即最高位和末尾数均为偶数的数共有个， 第二类是首位即最高位为奇数、末尾为偶数的数共有个， 所以在组成的五位数中，所有偶数的个数有. 【小问2详解】 1或2排在首位的数共有个， 则接下来按从小到大排列的数是， 所以在组成的五位数中，若从小到大排列，30214排第51个. 小问3详解】 将数字2和3捆绑在一起作为一个整体， 根据最高位不为0可得在组成的五位数中，数字2和3相邻的个数有个. 18. 如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面的夹角正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件先证明，，再由线线垂直推导线面垂直即得； （2）利用（1）已证的平面，将点到平面的距离转化为点到平面的距离的倍易得； （3）结合题设条件建系，写出相关点和相关向量的坐标，求出两个平面的法向量坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接，因，，则，， 易得，因，， 则，解得，即， 则点在以为直径的圆上，故， 又平面，平面，则， 因平面，故平面. 【小问2详解】 由（1）已得平面，， 则点到平面的距离是点到平面的距离的倍，即. 【小问3详解】 如图，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系. 则， 由上平面，故为平面的一条法向量， 又，设平面的一条法向量为， 则，故可取. 设平面与平面的夹角为，则， 故. 平面与平面的夹角正弦值是. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于，在证得线面垂直基础上，结合图形特点，将所求点面距离进行转化，从而简化运算过程；对于空间角的计算，一般考虑建系，运用平面的法向量和空间向量的夹角公式计算即得 19. 为了研究新高考数学多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为，正确答案是“选三项”的概率为.现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜. （1）求三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率； （2）学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的答题策略是“猜两个选项”，（“选两项”全对得6分，选对一个得3分，有错选得0分，“选三项”全对得6分，选对一个得2分，对两个得4分，有错选得0分）试分别计算甲、乙两位同学得分的数学期望. 【答案】（1） （2）甲同学得分的数学期望为；乙同学得分的数学期望为. 【解析】 【分析】（1）利用组合数和概率乘法公式即可计算求解. （2）甲得分的取值有，分别计算各个取值的概率，即可根据数学期望定义公式计算求解甲同学得分的数学期望；乙得分的取值有，分别计算各个取值的概率，即可根据数学期望定义公式计算求解甲同学得分的数学期望. 【小问1详解】 由题得三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率为. 小问2详解】 记甲同学答一道多选题得分为，则， ；；， 所以甲同学得分的数学期望为. 记乙同学答一道多选题得分为，则， ；；， 所以乙同学得分的数学期望为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期期中学业水平测试试题 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一.单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 化简：（ ） A. B. C. D. 2. 的二项展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（ ） A B. C. D. 4. 五名同学排队，甲、乙两名同学必须排在一起，排队方案共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 120种 5. 已知点，则点A到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 某饮料厂生产两种型号饮料，已知种饮料生产量是种饮料生产量的2倍，且两种型号的饮料中的碳酸饮料的比例分别为，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率约为（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱锥中，平面平面是的中点.，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 一个袋子中装有大小完全相同的3个红球、4个白球、3个黑球.若从袋中一次摸出4个球，则4个球共有2种颜色的概率为（ ） A. B. C. D. 二.多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知的展开式中第7项的二项式系数最大，则n的值可以为（ ） A B. C. D. 10. 若随机变量， 则下列说法正确的是（ ） A B. C. D. 11. 在空间直角坐标系中，，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 向量与夹角的余弦值为 C. 点关于轴的对称点坐标为 D. 向量在上的投影向量为 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若随机变量，，则___________. 13. 已知点在平面内，并且对平面外任意一点，有，则＝___________. 14. 4个编号不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，有1个空盒或2个空盒子的方法共有________种. 四.解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 若．求： （1）； （2）． 16. 如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，. （1）以为基底表示； （2）若，且，，，求. 17. 用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数. （1）在组成的五位数中，所有偶数的个数有多少? （2）在组成的五位数中，若从小到大排列，30214排第几个? （3）在组成的五位数中，数字2和3相邻的个数有多少? 18. 如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面的夹角正弦值. 19. 为了研究新高考数学多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为，正确答案是“选三项”的概率为.现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜. （1）求三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率； （2）学生甲答题策略是“猜一个选项”，学生乙的答题策略是“猜两个选项”，（“选两项”全对得6分，选对一个得3分，有错选得0分，“选三项”全对得6分，选对一个得2分，对两个得4分，有错选得0分）试分别计算甲、乙两位同学得分的数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $