13.2022年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)（含答题卡）-【高考密码】2022-2024三年高考数学真题汇编试卷

绝密启用前 2022 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷 数 学 本试卷满分150分,考试时间120分钟. 一、选择题:本题共9小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.设全集U-(-2,-1,0,1,2),集合A-(0,1,2),B-(-1,2),则AO(CB)- _~ A./0,1) B.(0,1,2 C.(-1,1,2 D.(0,-1.1.2 2.“x为整数”是“2x十1为整数”的 _~ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.函数^}-11 -的图象大致为 ######### = 4.将1916年到2015年的全球年平均气温(单位:C),共100个数据,分成6组;[13.55,13.75). 13.75,13.95),[13.95,14.15),[14.15,14.35),[14.35,14.55),[14.55,14.75],并整理得到 ( 如下的频率分布直方图,则全球年平均气温在区间[14.35,14.75]内的有 ) 1率/组赴 130..- 2 班 13.55 13.75 13.95 14.1514.35 14.5514.75全球平均气温/ B.23年 A.22年 C.25年 D.35年 5.-2,(6一() ,c-log23 1,则a,b.c的大小关系为 _ A.ac B.ca<b C.bc<a D.ca 6.化简(2log3+log.3)(log2+log.2)= B7 D A.1 C.2 2022·天津卷第1页(共4页) __ 8.十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一,图1中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶. 其上部可视为由两个相同的直三校柱交叠而成的几何体(图2).这两个直三校柱有一个公共侧 面ABCD.在底面BCE中,若BE=CE=3, BEC=120{,则该几何体的体积为 ) 图! 图2 B.273 C.27 _ D.273 9.关于函数/(o)一 -2sin2x,给出下列结论: ①/(x)的最小正周期为2π ②(2)在区间[一] 上单调递增; 其中正确结论的个数为 ) C.3 A.1 B.2 D.4 二、填空题:本题共6小题,每小题5分,共30分,试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部 答对的给5分. _11-3的结果为 10.已知i是虚数单位,化简 12i 12.若直线x-y十m=0(m0)被圆(x-1)②十(y-1)②}-3截得的弦长等于m,则n的值为 13.52张扑克牌,没有大小王,无放回地抽取两次,则两次都抽到A的概率为 ;已知第一 次抽到的是A,则第二次抽到A的概率为 14.在△ABC中,点D为AC的中点,点E满足CB-2BE.记CA-a,CB-b,用a,b表示DE ;若ABDE,则乙ACB的最大值为 15.设aR,对任意实数x,用f(x)表示|xl-2,x*-ax十3a-5中的较小者,若函数f(x)至少 有3个零点,则a的取值范围为 2022·天津卷第2页(共4页) 三、解答题:本题共5小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分14分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a-、/6,b-2c,cosA (I)求c的值: (II)求sinB的值 (I)求sin(2A-B)的值. 17.(本小题满分15分)如图,在真三梭柱ABCA.B.C 中,AC |AB,点D,E,F分别为A.B AA.,CD的中点,AB-AC-AA.-2. (I)求证:EF/平面ABC: (II)求直线BE与平面CCD所成角的正弦值 (III)求平面A.CD与平面CC.D夹角的余弦值 18.(本小题满分15分)设a.)为等差数列,{b.)为等比数列,且a=b=a一b.一a一b=1. (I)求a和)的通项公式 (II)记a的前n项和为S.求证:(S十a)b=S-S [a-(-1)* 2022·天津卷第3页(共4页) 1BF| AB (I)求圆的离心率; (II)直线/与圆有唯一公共点M,与y轴相交于点N(N异于M).记O为原点,若OM = ON,且入MON的面积为③,求圆的方程 20.(本小题满分16分)已知a,bER:函数f(x)=e一asinx,g(x)=x (I)求曲线y三/(x)在点(0,f(0))处的切线方程 (II)若曲线y一/(x)和y一g(x)有公共点. (1)当a一0时,求的取值范围 (li)求证:a②十6e. 2022·天津卷第4页(共4页)2022年普通高等学校招生全国统一考试 (天津卷》 A由题知八)=sin2,对于①，)的最小正周期T 经=，故①辑误：对于@，当x∈[-平·晋]时，2x 1.A由题知，集合A={0,1,2},CuB={一2,0,1}，所以A ∩(CB)={0,1},故选A. [吾，受]根据正孩数的性质可)在[- 2.A若x为整数，则2x十1为整数，故充分性成立：若2x十 1为整数，记2十1=，则=，若y是偶数，则x不 ]小上单调递增，故@正确：时于®，当x[-吾，]时， 是整数，故必要性不成立.综上，“x为整数”是“2x十1为整 2[-吾]所以=m2[-g] 数”的充分不必要条件，故选A 3.A记f(r)=1,则对任意的x∈(-，0)U(0, ③错误：对于①，将函教g(r)=号im(2x十不）的周象向 +∞)，都有f(-x)=1-)2-1=-l2-1山 左平移受个单位长度得到画数y=合m[2(x+吾)十 一f(x),故f(x)是奇函数，所以y=f(x)的图象关于原点 ]-n(2z十受）=言cs2x的图象，故④错误.蜂 对称，故排除选项C,D.又因为当x>0时，f(x)≥0，因此 上，正确结论的个数是1，故选A. 画教y=∫()=1山的图象大致为选项A所示，故 10.1-5i 1-3i41-3i0(1-22=5-25i-=1-5i. 1+2i(1+2i)(1-2i) 5 选A. 11.15 4.B依题意，全球年平均气温在区间[14.35,14.75]内的频 二项式（匠+）展开式的遥项为·面 率是0.2×0.50十0.2×0.65=0.23，故全球年平均气温在 (）广-3C中.由52r=0,得r=1.所以孩展开式中 2 区间[14.35,14.75]内的有100×0.23=23（年），故选B. 5D周为a=201>16=(传》产 的常数项为3C=15. ）E(01),c=1og23<0,1 12.2圆心(1,1)到直线x-y十m=0的距离d= 所以c<b<a,故选D. 士m-受剥由弦长公式得m=23一受，解得m 6.C原式=(loga3+号loga3）·(0g:2+号og2)=青 ② ② =2(含负). 1oge3·2og2=2,故选C 11 13.22117 第一次抽到A的概率为克-高若第一次抽 7,D由题知，抛物线的准线方程为x=一√5，所以F1(一√5， 到A,则第二次抽牌时，还有3张A,共51张牌，而每张牌 0),F2(W5,0).因为双曲线的渐近线方程为y=士么x,所 拔抽到的概率相等，故第二次抽到A的概率为景一方·所 以当r=一后时y=土，易知∠AFB=受又 以两次都袖到A的挺奉为方×办 ∠FFA=平，所以∠FAF1=,所以AF=FF, 14-a+20吾由题高得D心-Ci=-名0，因为 1 即5b=25,所以b=2.又a2+=5,所以a=1,b=2. i=2B成，所以=2i=多b,所以D成=D心+求 a 2a+名0：因为A店=C店-CA=b-a,AB1DE,所以 1 所以双向线的方程为子-号-1，故选D, 8.C如图所示，该几何体可祝为直三棱柱BCE-ADF与两 A店.Di=(b-a…(-2a+b-2a12+2a2 个三棱锥S-MAB,SVCD拼接而成.记直三棱柱BCE ADF的底面BCE的面积为S,高为h,所求几何体的体积 2a·b=0,所以a·b=子b2+a2,所以c0s∠ACB 为V.则5=号BE.CE·sm120=号×3X3×9-9, 2 4 = a·b b3+a = h=CD=BC=3√3.所以V=V三检粒度E-F十 a b 治+品≥ V三-MB+V三s-D=Sh十S·之+号S司 1 2沿·高-停声且仅当治-物即。 A=号S=专×9y×35=27,故C Vb时等号成立，所以∠ACB的最大值为吾 3 4 15.[10,+oo)令g(x)=|x|-2,h(x)=x2-a.x+3a-5, 易知g(x)的图象与x轴有2个交点，因此函数h(x)的图 象与x轴至少有1个交点，即对于方程h(x)=0,必有△ =a2-4(3a-5)≥0，解得a≤2或a≥10①.因为h(x) -(一受）-受+3a-5,则当号≥0，即a≥0时，作出 函数y=g(x)与函数y=h(x)的大致图象，如图1所示， 数学答案-50 此时必有/受>2. (Ⅱ)由(1)知BE=(-1,-2,0),CC1=(-2,0.0),CD 解得a>4@:当号<0，即a (-2,1,-2). h(2)=a-1≥0 设平面CCD的法向量为n=(x,y,x), <0时，作出函数y=g(x)与函数y=h(x)的大致图象， n·CC=0, [-2x=0, 即 如图2所示，此时必有 <-2 2 不等式组无 n·CD=o, -2x+y-2x=0. h(-2)=5a-1>≥0， 令x=1,则x=0,y=2,故n=(0,2,1), 解③.综上所述，由①②③，得实数a的取值范国为 BE·n [10,+o∞). .cos<BE,n)=- -4 4 BE·n5X55 y=g(x) (x y=g(x) 故直线BE与平面CCD所成角的正俄值为号 (Ⅲ)由(I)知AC=(2.0,2).A1D=(0,1.0. 设平面A1CD的法向量为m=(a,b,c), 图1 图2 m·AC=0, 2a+2c=0 即( 16.解：(I)在△ABC中，a=√6，b=2c,cosA= 4 m·A1D=0.b=0, 由余弦定理的推论得cosA=+2-a2=5c2-6 令a=1,则b=0,c=-1,故m=(1,0,-1), 2bc m·n 一1 -,解得c=1(会负)。 ∴.os(mn〉=m·n2X5 _10 101 (D因为osA=-},0<A<x “平面ACD与平西CD夹角的余弦值为。 18.解：(I)设等差数列(am}的公差为d,等比数列{bm}的公 所以siA=⑤ 比为q 4 在△ABC中，a=6.b=2x=2. 即了c2一和2—1十d2二”解子{。”（会去）. la3-bg=1+2d-g2=1, 由正弦定理，a b 里sinA=sinB' 成/92， 1d=2. 得simB=bsinA_ 2Xy15 .g=2,d=2, 4=10 6 4 .am=1十2(n-1)=21-1(n∈N), bn=1×2W-1=2m-l(n∈N". (I)因为mB=0<B<受， (Ⅱ)证明：由(1)知，S.=n十nm。D×2=n2, 2 所以mB=气 ∴.(Sw+1+am+1)hn=[(n+1)2+2(n+1)-1]·2m-1 =(n2+4n+2)·2n-1, 因为oA=-}inA=】 Sw+1ba+1-Sbm=(n+1)2·2"-n2·2"-1=(n2+4n十 2)·20-1, 所以m2A=2 nAcsA=-2X平×(-）=-， 8, (Sm+1十am+1)bn=Sr+1bn+1-Sba,故得证. m2A=osA-mA=6一是=-名 (Ⅲ)[am+1-(-1)am]ba=[2(n+1)-1-(-1)"·(2m -1)]·2m-1=[2n+1-(-1)”·(2m-1)]·2-1 所以sin(2A-B)=sin2 Acos B-cos2 Asin B n·2w+1,n为奇数， = =-×-()x 2,n为偶数. 8 8 令Am=1×22+3×24+5×26+…+(2m-1)×22m， 17.解：(I)证明：由题易知，A1A,A1B1,A,C1两两垂直，故 B,=22+24+26+…+22m=41-4)_4"+1-4 以A1为坐标原，点，A1A,A1B1,A1C1所在的直线分别为 1-4 3 x轴、y物、：轴建立空间直角坐标系， 则44.=1×2+3×26+5×28+…+(2n-3)×22m+ 则A1(0.0,0)A(2,0,0),E(1,0,0),C(2,0,2),B1(0,2, (2n-1)×22m+2, 0).D01.0,F(1.21）.C0,0.2),B(22.0). ∴.-3An=4+2×(24+26+…+22m)-(2n-1DX22m+2 =2×(22+24+26+…+22m)-(2n-1)×22m+2-4 “E=(o, =2×4X(1二42-（21-1)×4+1-4 1-4 易知AA=(2,0,0)为平面ABC的一个法向量， 号x41-g-(2m-1Dx41-4 EF.A1A=0.∴EF⊥AA, 又EF丈平面ABC,∴.EF∥平面ABC. =-(2m-）·4+1-2 3 数学答案-51 ∴A-(）·1+8 h(x)在(0,2）上单调递减，在(，+∞）上单调 六A,+,-(-号）·4+1+8-24g8.4”+ 递增， 9 9 9 ÷Ca41-(-1a=2g8.4+g h(x>h(）=VE,bE[VE,+∞). 9 (i)证明：由题可得f(x)=g(x)有解， 19.解：(I)由题意得1BF1=√+c2=a,AB1=√a2+b. 即e-asin x=bVE(x>0),整理得e=bE十asin r. 由柯西不等式得(a2+b2)(sinx+x)≥(asin x-+bE)9 a+b22 =e4, a2 3 a- ∴a2+b>≥ -(x>0). sin2x十 .a2=362, 证法一：记p(x)=x-sinx(x>0),有p'(x)=1一cosx ∴.c2=a2-b2-262, ≥0，剩p(x)是增函数，故当0<x<π时，(x)>p(0)= 0,即0<sinx<x,进而有0<sin2x<x2. 又当x≥π时，有0≤sin2x≤1<x2,所以对x>0,恒有0 (Ⅱ)由题意可知直线1与椭圆相切，且直线1的斜率一定 ≤sin2xx2 存在并且不为零。 因此a2+b≥ 设直线l:y=kx十n(k≠0)， sinx+a r2+x 记函数u(x)= 2+>0, .x2+3y2=3b. 则W()=e2r2-1D 联立v=r+m, (x2+x)2 x2+3y2=362. 令)=0，解得=号我x=一受（合去》. 整理得(3k2+1)x2+6km.x+3m2-362=0. 直线（与椭画相切， 当x变化时，u(x),u(x)的变化情况如下表： .△=36k2m2-4(3k2+1)(3n2-3b2) =36k262-12m2+1262=0, (. 2 .十 21 点M(- 3km m 3k2+1'3k2+1· u'(x) 0 由0M=1ON可知62m2+m (3k2+1)2=m2, u(x） 极小值 易得加≠0，解得k= =2(v2-1)eE. 3” 款()的最小值为( 即= 3 下面只需运明22-1De>e,即2-1e-1>2 1 3km 记函数u(x)=e-x-1, SAMN=231 =3, 当x>0时，有'(x)=e-1>0,则u(x)在(0，十o∞)上单 解得n2=4. 调递增，进而v(x)>(0)=0,即e>x十1， 由36k262-12m2+12=0得1262-48+1262=0，解得 所以(w2-1)e2-1>(2-1)×(2-1+1)=2-2> b2=2. :损国的方根为后+号1。 之，故命题得证 证法二：下而证sin2x<x,x>0, 20.解：(1)f(x)=e-acos x, 令p(x)=x-sin2x,则9'(x)=1-sin2.x≥0， .f(0)=1-a. 所以p(x)单调递增，则g(x)>g(0)=0,即sin2r<x. 又f(0)=1,.函数y=f(x)在(0，f(0)处的切线方程为 下面证e≥er,x>0, y=(1-a).x+1. 令t(x)=er-er,则1/(x)=e'-e, (Ⅱ)(1)当a=0时，f(x)=e'. 当0x<1时，1(x)<0,(x)单调递减： 由题可得f(x)=g(x),即e=b丘(x≥0). 当x>1时，'(.x)>0,t(x)单调递增， 当=0时，等式不成立，故>0.脚6一兰>0 所以t(.x)≥t(1)=0,即e≥ex,即e2r≥2ex 令h(x)=三(x)= (e-) .a2+62>e. x x 数学答案-522022年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 考生 缺考考生由监考员贴条形码，并用2B铅笔填涂下面的缺考标 (正面朝上，请勿贴出虚线方框) 禁填 记。□ $ 1.答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写请楚，并认真核实对监考员所粘贴的条形码上的准考证号，姓名、考场 和座位号是否准确无误。 2.选择题必须使用2B铅笔将对应题目的答案标号涂黑，修改时用橡皮擦干净，再选择其它答案涂黑。非选择题必 注意事项 须使用0.5毫米黑色签字笔填写，字体工整，笔迹清楚。 3,请按题号顺序在各题的答题区域内答题，超出答题区域的答案无效，在草稿纸、试题纸上书写的答案无效。 4.保持卡面清洁、完整、严禁折叠，严禁使用涂改液，胶带纸和修正带。 5,正确填涂 ■ 补 选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分 1.[A][B][C][D] 4.CA][B[C][D] 7.[A][B][C][D] 2.[A][B[C[D 5.[A][B][C[D] 8.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 6.[A][B[C][D] 9.[A]LB][C][D] 炉 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分 10. 11. 12. 13. 14. 15. 三、解答题：本题共5小题，共75分， 蜜 16.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第1页（共4页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 17.(15分) F D B 18.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，短出边框的答案无效 数学答题卡第2页（共4页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，短出边框的答案无效 数学答题卡第3页（共4页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 20.(16分) 请在各题目的答题区域内作答，短出边框的答案无效 数学答题卡第4页（共4页）