5.2024年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)（含答题卡）-【高考密码】2022-2024三年高考数学真题汇编试卷

2024 年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷) 数学答题卡 姓 名: 准考证号: 贴条形码区 考生 缺考考生由监考员贴条形码,并用2B铅笔填涂下面的缺考标 (正面朝上,请勿贴出虚线方框 禁填 记。口 1.答题前,考生将自已的姓名、准考证号填写清楚,并认真核实对监考员所粘贴的条形码上的准考证号、姓名、考场 和座位号是否准确无误。 出r 2.选择题必须使用2B铅笔将对应题目的答案标号涂黑,修改时用橡皮擦干净,再选择其它答案涂黑。非选择题必 须使用0.5毫米黑色签字笔填写,字体工整,笔迹清楚。 3.请按题号顺序在各题的答题区域内答题,超出答题区域的答案无效,在草稿纸、试题纸上书写的答案无效。 4.保持卡面清洁、完整、严禁折叠,严禁使用涂改液、胶带纸和修正带。 5.正确填涂 吾右 、填空题:本大题共有12题,满分54分 1 2. 3. 4 6. 2 5. 8. 10. 11. 0. 12. 斑 二、选择题:本大题共有4题,满分18分. 将 13. [A][B][C][D] 14.[A][B][C][D] 15.[A][B][C][D] 16.[A][B][C][D] 三、解答题:本大题共有5题,满分78分. 17.(14分) 游班 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 数学答题卡第1页(共4页) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 18.(14分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 数学答题卡 第2页(共4页) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 19.(14分) 20.(18分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 数学答题卡 第3页(共4页) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 21.(18分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 数学答题卡 第4页(共4页)绝密★启用前 2024年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） $ 1.设全集U={1,2,3,4,5},集合A={2,4},则A 粥 x,x>0 2.已知函数f(x)= ,则f(3)= 1,x≤0 3.不等式x2-2x-3<0的解集为 4.已知f(.x)=x3十a,且f(x)是奇函数，则a= 5.已知a=(2,5),b=(6,k),a∥b,则k的值为 补 6.在(x十1)”的展开式中，若各项系数和为32，则展开式中x2的系数为 廊7.已知抛物线y=4x上有一点P到准线的距离为9，那么点P到x轴的距离为 8.某校举办科学竞技比赛，有A,B,C3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000道题，C题 库有3000道题.小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题 库的正确率是0.72，现他从所有的题中随机选一题，正确率是 教 9.已知虚数，其实部为1，且+是-m(m∈R),则实数m为 10.设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，则集合 中元素个数的最大值为 11.海上有灯塔O,A,B,货船T,如图，已知A在O的正东方向，B在O的正北方向，O到A,B的 距离相等，∠BTO=16.5°，∠ATO=37°，则∠BOT ·(结果精确到0.1) 密 12.等比数列(am}的首项a1>0,公比q>1,记In={x-yx,y∈[a1,a2]U[am,am+1]},若对任意 正整数n,I是闭区间，则q的取值范围是 2024·上海卷第1页（共4页） 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）每题有且 只有一个正确选项： 13.已知沿海地区气温和海水表层温度相关，且样本相关系数为正数，对此描述正确的是() A.沿海地区气温高，海水表层温度就高 B.沿海地区气温高，海水表层温度就低 C.随着沿海地区气温由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D.随着沿海地区气温由低到高，海水表层温度呈下降趋势 14.下列函数中，最小正周期是2π的是 A.y=sin x+cos B.y=sin xcos C.y=sinx十cosx D.y=sin'-cos'x 15.定义一个集合2，其元素是空间内的点，任取P1,P2,P∈2，存在不全为0的实数入1，A2,A3, 使得入1OP,+λ2OP2+入OP2=0(其中O为坐标原点).已知(1,0,0)∈，则(0,0,1)42的 充分条件是 () A.(0,0,0)∈2 B.(-1,0,0)∈2 C.(0,1,0)∈2 D.(0,0,-1)∈2 16.已知定义在R上的函数f(x),集合M={xo|对于任意x∈（一∞，xo),f(x)<f(x)},在使得 M=[一1,1]的所有f(.x)中，下列说法成立的是 () A.存在f(x)是偶函数 B.存在f(x)在x=2处取到最大值 C.存在f(x)在R上单调递增 D.存在f(x)在x=一1处取到极小值 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤. 17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 如图，在正四棱锥P一ABCD中，O为底面ABCD的中心. (1)若AP=5,AD=32,求△POA绕PO旋转一周形成的几何体的体积： (2)若AP=AD,E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小. B 2024·上海卷第2页（共4页） 18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数f(x)=logx(a>0,a≠1). (1)若函数f(x)的图象过点(4,2)，求不等式f(2x一2)<f(x)的解集： (2)若存在x使得f(x十1)，f(a.x),f(x十2)依次成等差数列，求实数a的取值范围. 19.(本题满分14分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分 6分. 为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中随机抽取 580人得到日均体育锻炼时长（单位：小时）与学业成绩的数据如表所示： 学业 日均体育锻炼时长/小时 成绩 [0,0.5) [0.5,1) [1,1.5) [1.5,2) [2,2.5] 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼时长（精确到0.1小时）. (3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时 有关？ n(ad-bc)2 附：X=a+c+)a十ch+dn=a+b+c+d.P(x>3.841D≈0.05. 2024·上海卷第3页（共4页） 20.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分 8分. 已知双曲线：-言=1(6>0)，左右顶点分别为A,A,过点M(-2.0)的直线交双曲线厂 于P,Q两点. (1)若D的离心率为2，求h. (2若6=2△MAP为等腰三角形，且点P在第一象限，求点P的坐标. (3)连接QO(O为坐标原点)并延长交下于点R,若AR·A2P=1,求b的取值范围. 21.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8 分.已知D是R的一个非空子集，y=f(x)是定义在D上的函数，对于点M(a,b),函数x(x) =(x一a)2十（f(x)一b)2.若对于P(o,f(x),满足s(x)在x=x。处取得最小值，则称P是 M的“f最近点”. (1)若D=(0,十∞)，f(x)=,M0,0),求证：对于点M(0,0),存在点P,使得P是M的“f 最近点” (2)若D=R,f(x)=e,M(1,0),请判断是否存在一个点P,它是M的“f最近点”，且直线 MP与曲线y=f(x)在点P处的切线垂直. (3)若D=R,已知y=f(x)是可导的，y=g(x)的定义域为R且函数值恒为正，t∈R,M,(t一 1,f(t)一g(t)),M(t十1，f(t)十g(t).若对于任意t∈R,都存在曲线y=f(x)上的一点P, 使得P既是M1的“f最近点”，又是M2的“f最近点”，试判断y=f(x)的单调性. 2024·上海卷第4页（共4页）设h(x)=xlnx-x,0<x<1,则'(.x)=lnx<0, 所以h(.x)在(0,1)上单调递减， 9.2解法一：设=1十i(6∈R且b≠0)，则：+2=1+i+ 所以xlnx1-x>x2lnxg一r2,即x2lnx2-xlnx1< =1+h+200-1+平+().因为 2 x2一x1+ 1+b2 m∈R,所以b =0,得=1，所以m=1+十平 2b 为。≤<x2<1,所以0<x2一1<1,0<√xgx 1,x2-x1</r21, =2. 所以x2lnx2-x1lnx1<√/x2-x1,即|f(x1)-f(x2)|< 解法二：由文十2=m得2-m十2=0，解得=m士 1m-x. 第5步：诗论0<<<<1的情况 8m西，依题意得受=1，解得m=2。 2 10.329由题意可知集合中最多有一个奇数，其余均为偶 ③当0<<<n<1时， 数.个位为0的无重复数字的三位正整数有P=72(个)： 个位为2,4,6,8的无重复数字的三位正整数有CCC喝 若f()<f(x2,则1f()-f(xn)1<f(。） 256(个).所以集合中最多有72+256=328（个）偶数，再 加上一个奇数，则集合中元素个数的最大值为328十1 -f(x2)· =329. 11.7.8°设∠BOT=6,则∠AOT=90°-0，在△BOT中，由 正孩定理得限写I+在△A0T中：由正 OT 所以|f(x1)一f(x2)|<x1-x2F; 弦定理得OA OT 若f(x1)>f(x2),则|f(x1)-∫(x2)|<f(x1) sin37=sin(37+90°-，0A=0B,两式 -() 相缘释血-7”，血76.5叶 0)=sin16.5sin(37°+90°-0)，sin0(cos16.5°-sin16. 由①知，)-f(日)√-<-， 5)sin 37=cos 0(cos 37-sin 37)sin 16.5,.'.tan 0= 所以fx1)-f(x2)<|x1-x2 tan 37 一1 一0.1376，又0为锐角，.0=7.8. 若f(x1)=f(.x2),则|f(.x1)-f(.x2)|=0,lx1-x2|7> tan16.5s-1 0,故|f(x1)-fx2)<|x1-x2 12.[2,十o∞)星然等比数列{am}递增，不妨设x≥y,若x,y 第6步：得出结论 ∈[a1,a2],则x-y∈[0，a2一a1],若r,y∈[amam+i],则 综上可知，x1,x2∈(0,1)，都有|f(x1)一f(.x2)<|x x-y∈[0，am+1一an],若x∈[am,am+1],y∈[a1a2],则 r-yE[an-a2,an+1-a1], 2024年普通高等学校招生全国统一考试 ds-1h (上海卷) 04-a1a,-a:a-1-a. ,对任意正整效n,In都是闭区间，am一a2≤am+1一aw 1.(1,3,5}A=(1,3,5}. 如图，又41>0∴g"-2g"1+g≥0，即g"-2(g-2)+1≥ 2.3因为3>0，所以f(3)=5. 0,对任意正整数n,上式都成立，则必有≥2. 3.(-1,3)由x2-2x-3=(x-3)(x+1)<0,得-1<x 13.C因为沿海地区气温和海水表层温度相关，且样本相关 系数为正数，所以随着沿海地区气温由低到高，海水表层 <3. 温度呈上升趋势，故选C 4.0通解：因为f(x)是奇函数，所以f(一x)=一f(x),即 (-x)3+a=-(.x3+a),得a=0. 14A对于Ay=sinx十cosx=2sin(x+开)小共最小正 优解：因为f(x)是奇函数，所以f(0)=a=0. 5.15因为a∥b,所以2k=5×6,得k=15. 周期为2，A正确：对于B,y=5mxc0sx=7in2,共 6.10由题意得2"=32，所以n=5,则(x十1)5的通项T,+1 最小正周期为π，B错误：对于C,y=sin2x+cos2x=1,为 =(Cx-「1"，令5一r=2,得r=3,所以展开式中x2的系数 常值函数，不存在最小正周期，C错误：对于D,y=sin2 为C=10. -cos2x=一cos2x,其最小正周期为π，D错误.故选A. 7.4√2设P(x0,yo),图为点P到准线x=一1的距离为9， 15.C因为存在不全为0的实数1，入2，g,使得OP+入2 所以x0十1=9，则x0=8,3y6=4x0=32,则0=士4W2,即 OP2+a3OP=0,所以OP.OP,OP共面.只要三点对 点P到x轴的距离为4√2 应的向量共面就有(0,0,1)∈，否则就能得到(0,0,1)任 2.对于选项A,(0,0,0)对应的向量是零向量，零向量与 &Q5(支品)A题年占50网+8微+80m音·B题丰占 5000 任意向量共线，故三点对应的向量共面，不能推出(0,0， 500+4网+80w号·C着库占50w+40+30m 4000 3000 1)￠，故A错误：对于选项B,若(1,0,0)，（一1,0,0） ∈2，且(1,0,0)，（一1,0,0）两点对应的向量共线，所以 子，则所求概单P-是×0.92+号×0.86+}×0,72=085。 (0,0,1)可以属于，故B错误：对于选项C,显然，(1,0， 0),(0,1,0),(0,0,1)三点对应的向量不共面，故可以推 数学答案一16 出(0,0,1)正，故C正确；对于选项D,(0,0,一1)与(0， 2.x-2>0 0,1)两点对应的向量共线，(1,0,0)，(0,0，一1)，(0,0,1) 由f(2x-2)<f（x)有{x>0,解得1<x<2. 三点对应的向量共面，故不能推出(0,0,1)任Ω，故D错 2.r-2<x 误.故选C. .原不等式的解集为{x1<x<2}. 16.B对于A,因为M=[-1,1门，所以f(x)<f(1)在( (2)第1步：由等差数列得方程 ∞，1)上恒成立，此时f(一1)<f(1)与f(x)是偶函数矛 f(x十1)，f(ax),f(x十2)依次成等差数列，∴.2f(a.x) (-1,x<-1 =f(x+1)+f(x+2), 盾，故A错误：对于B,不妨取∫(x)={x,一1≤x≤1，满 2logu (ax)=loga (x+1)+loga (r+2),r>0a>0a 1,x>1 ≠1， 足f(x)在x=2处取到最大值，故B正确：对于C,若存在 第2步：通过对数运算分离出a f(x)在R上单调递增，则对任意x0∈R,当x<xo时都有 即logu(a.x)2=log.[(x+1)(x十2)]，由f(x)=l0gx是 f(x)<f(xe),则此时M=R,与M=[-1,1]矛盾，故C 错误：对于D,若存在(x)在x=一1处取到极小值，则存 单调画数得(a)2=(x+1)(x+2),得a2=+3r+2 在一个>0，对于任意x满足0<|x十1|<0，都有 f-1)<fx),-1-号∈(-1-d-1,而由-1∈M 2×(）+3x+1,x>0. 以及M的含义知f(-1-受)<(-D,与f(-1D< 第3步：运用函数的单调性求范国 设t=1,则1>0，a2=2r2+31+1在>0时有解，设g) f(x)对于任意x满足0<x十1<6矛盾，故D错误.故 选B. =22+3t+1,则g(t)在(0，十∞)上单调递增，故g(1)> 17.解：(1)第1步：利用勾股定理求AO,PO 1,即a2>1,得a>1. 在正四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为正方形，且PO .a的取值范国是(1，十oo). ⊥底面ABCD,△AOD为等腰直角三角形，又AD=19,解：(1)第1步：计算样本中日均体育镀炼时长不小于1小 32,.AO=3, 时的人数抽取的样本中日均体育最炼时长不小于1小时 的人数为42+3+1+137+40+27=250. AP=5,∴.P0=√/AP2-AO=4. 第2步：按比倒估计人数 第2步：求旋转体体积 设该地区29000名学生中有x人的日均体育锻炼时长不 ∴.R1△AOP绕直角边PO旋转一周形成的几何体是底面 半径为3，高为4的圆锥， 小于1小时，测智-200解释r=1250 “被转你的体款为V=弓×x×3×4=12x 故该地区29000名学生中日均体育锻炼时长不小于1小 (2)第1步：找线面垂直，定线面角 时的人数约为12500. (2)第1步：根据题中表格数据计算该地区初中学生日均 体育搬炼时长 依题意得，该地区初中学生日均体有锻炼时长为(0.25× 139+0.75×191+1.25×179+1.75×43+2.25×28)÷ 580=540÷580≈0.9. 第2步：作答 如图，连接OE, 所以该地区初中学生日均体有锻炼时长约为0,9小时， ,AP=AD=AB,E为PB的中点，PB⊥AE (3)第1步：写出2×2列联表 同理，PB⊥CE,又AE∩CE=E,AE,CEC平面AEC, 对数据重新组合，得到2×2列联表 .PB⊥平面AEC, ∴∠BOE是BD与平面AEC所成的角. 日均体有领炼时长/小时 学业成绩 第2步：计算线面角的大小 [1,2) 其他 合计 设AP=AD=2,则BO=2,BE=1, 优秀 45 50 95 在△BPD中，E,O分别为BP,BD的中点∴E0-2PD 不优秀 177 308 485 -AP=1. 合计 222 358 580 六△BE0是等腰直角三角形，∠BOE=至，即BD与平 第2步：代入公式计算 提出原假设H:学业成绩优秀与日均体育缎炼时长不小 西AEC所成角的大小为 于1小时且小于2小时无关。 18.解：(1)第1步：代入求a 确定显著性水平a=0.05,P(2≥3.841)≈0.05， ,f(x)的图象过点(4,2)，.l0g4=2,解得a=2 x2-680X45X308-177X50) 95×485×222×358 ≈3.976>3.841， 第2步：研究函数单调性解不等式 ·f（x)=log2:x,显然其在定义战(0，十o©)上单调递增， 第3步：得结论 原假设不成立，所以有95%的把握认为学业成绩优秀与 日均体育镀炼时长不小于1小时且小于2小时有关 数学答案一17 20.解：(1)第1步：由双曲线的方程求a 21,解：(1)第1步：利用基本不等式求s(x)的最小值 由双曲线的方程知a=1, 第2步：由离心率公式与a,b,c间的基本关系求b 周为函数)=之E(0,+o∞)，M0.0, c√1+， 所以)=-02+（任-0）=2+≥2. 因为离心率为2，所以二=十 =2,得b=5. 第2步：根据等号成立的条件求点P的坐标 a 1 (2)第1步：求出等腰三角形MA2P的腰长 当且仪当=己>0即=1时. 当b-2时双南线2-8号=1，且A1.0 s(x)取得最小值2，f(1)=1,所以P(1,1): 8 故对于点M(0,0),存在点P(1,1),使得P是M的“f最 图为点P在第一象限，所以∠PA2M为钝角. 近点” 又△MA2P为等腰三角形，所以|A2P|=|A2M川=3. (2)第1步：求x(x)与'(x) 第2步：由点在双曲线上与两点间距离公式求，点P的 因为函数f(x)=e,M(1,0),所以s(x)=(x-1)2+e2r, 坐标 则(x)=2(x-1)+2e2 设点P(x0,y%),且x0>0,yo>0, 第2步：讨论s(x)的单调性，求出其最小值，得到“∫最近 √/(x0-1)+%=3 点” 。 记m(x)='(.x)=2(.x-1)+2e2,则m'(x)=2+4e2> 0,所以n(x)在R上严格单调递增. /10=2 因为m(0)=(0)=0, 得 所以P(2,22)」 y0=22 所以当x<0时，m(x)=8(x)<0:当x>0时，m(x) s'(.x)>0. (3)第1步：设出相关点的坐标 所以s(x)在（一∞，0）上严格单调递减，在(0，十∞)上严 由双曲线的方程知A1(一1,0)，A2(1,0),且由题意知Q, 格单调递增， R关于原，点对称 因此当x=0时，s(x)取到最小值， 设P(x1y1),Q(x2,y2),则R(-x2,-y2). 又f(0)=e°=1，所以点M的“f最近点”为P(0,1). 第2步：设出直钱PQ的方程，与双曲线方程联立，写出根 第3步：利用导数的几何意义求切线斜率，根据两直线垂 与系数的关系 直建立方程 设直线PQ的方程为x=my-2. 为判断直线MP与曲线y=f(x)在点P处的切线是否垂 a=my-2 1消去，得 直，可另设P(k,e),则由f(x)=e,知在P(k,e)处的 联立直线与双曲线的方程得 t2-y2 切线I的斜率为e, (b2m2-1)y2-4b2my+3b2=0,且b2m2-1≠0，即m 由延老知MP1,国光岩=一 。，整理得k十-】 =0. 第4步：构造函数，根据函数的单调性求出点P的坐标 462m 由根与系教的关系，得y十2一m2一了 令h(k)=k十e-l,易知h(k)在R上严格单调递增， 又h(0)=0,所以方程k十e张一1=0有唯一解k=0,所以 362 1业m2-T 点P(0,1). 第3步：由向量的数量积运算求m,b的关系式 综上，存在满足条件的一个点P(0,1) (3)解法一： 因为A1R=(-x2+1,-2),A2币=(m-1y1), 1s1(x)=(x-1+1)2+(fx)-f)+g(t)2 由A求·A2币=1，得(-xg十1)(x1-1)-yy2-1, 设 所以(2-1)(x1-1)+y1y2=一1，即(my2-3) 6a1一1D2+()-0)-0)e由条件.对 任意t∈R,存在P(xo,f(xo),使得x0同时是s1(x)和 (my1-3)+y1y9=-1, s2(x)的最小值点 整理，得(m2+1)y1y2一3m(y1十y2)+10=0, (s(xo)ss(x) 362 于是，对任意x∈R, 货以(m2士D3m”十10=0， s2(xo)≤2(x) r(x0-t+1)2+(f(x6)-f(t)+g(t))2≤ 娄，得+沙-10=0，所以-片(o,] (x-t+1)2+(f(.x)-f(1)+g())2 第4步：根据m的取值范国求出b的取值范国 (x0-t-1)2+(f(.x0)-f()-g()2)≤1 ，所以6≠10=1062 又m2≠1 +33+得≠3，所以€ (x-1-1)2+(f(x)-f()-g(t)2 特别地，当x=1时， 63 (x0-1+1)2+(f(x0)-f1)+g()2 0,3U(,]又6>0 ≤1+g2(t) 故6的取值范国是0vU(,] (x0-1-1)2+(f(.xo)-f(1)-g(t)8 ≤1+g2(1) 数学答案一18 两式相加，得(.z0一1)2+(f(.x0)-f()2≤0. 所以x0=t, 2A-片得股昌-含 另一方面，求导得 =一专则8=含故：一-一言一i,故选A i s1(x)=2(x-t十1)十2(f(x)-f(t)+ g())f(x) 3.D解法一：a+b=(1+A,1-),a十b=(1+4,1一)， 因为(a十Ab)⊥(a十b),所以(a十b)·(a十b)=0,即 2(x)=2(x-t-1)+2(f(x)-f(1) (1+入，1-)·(1十，1-4)=(1+A)(1+)+(1-a) g(t))(x) (1一)=2+21以=0，故A4=一1，故选D. 因为s(x)(=1,2)的最小值点也是极小值点， 解法二：由题意知，a2=|b2=2,且a·b=0.因为(a十 所以s1(x0)=0,s2(0)=0, b)⊥(a十b),所以(a十b)·(a十b)=0,脚|a2+ (x0-t+1)+(f(xo)-f(t)+g(t))f(xa)=0 即 (a+)(a·b)+ab|2=0,则2+2入4=0，故4=-1，故 (x0-1-1D+(fx0)-f(t)-g(t)f(.x0)=0 选D. 两式相减，得g(1)f(x6)=一1. 代入0=，并由g(0>0,得()=- 4.D由复合函数单调性法则知，f(x)=2r一在（一， g0<0,1∈R 所以f(x)在R上严格单调递减. 受)上单调适减，在（受，十∞）上单调递增，周为f(x)在 解法二：第1步：先证MPLl 先证明一个结论：对于M(a,b),设P(.xo,f(x0)为M的 (0,1)上单调递减，所以号>≥1，即a≥2，故选D “∫最近点”，曲线y=f(x)在点P处的切线为l,则MP⊥L .A由题意得1-百g==又e-51 证明： 2 2 因为s(.x)=(x-a)2+(f(.x)-b)2,所以s'(x)=2x-2a +2f(x)(f(x)一b),所以当s(x)在x=x0处取得最小值 则号-。百解得a-合负)，故选入 3 时，s'(:x0)=0,即x一a十f(x0)(f(xo)-b)=0, 6.B将圆x2+y2-4x-1=0化为标准方程(.x-2)2+y2 所以f)-b 5,可知圆心坐标为(2,0)，半径为5.设圆心为O,过点 xo-a 了(.xo)' P(0,一2)作圆O的两条切线分别交圆O于点A和点B, 又直线MP的斜率kr=Co)- ,且切线1的斜率为k 则OP=2√2，OA=OB=√5，PA=PB=√5，故sin∠OPA x0-4 =f(n),所以k·=fo）- 1 ·(xo)= F(x0) 2V2cos∠0PA= 22号知△0AP2△0BP,则 ro-a ·f(x0)=-1, ∠OPA=∠OPB,故sina=sin2∠OPA=2sin∠OPA· 所以MP⊥L. 第2步：证明线段M1M2的中点N与点P重合 0A=2X得×语年，t达B 因为H1∈R,M1(t-1,f(t)-g(t),M2(t+1,f(t)+ 7.C若a,为等差：列，设公差为d.则S=号2+(a g(t),存在对应的点P使得|MPI2为M1到曲线y f(x)的距离平方的最小值，|M2P2为M2到曲线y= f(x)的距离平方的最小值，连接M1M2,因为M1(t一1， f(t)-g()),M2(1十1，f(:)十g(1)), (}为等差教列，故甲是乙的充分条件：若（贷}为等差数 所以设线段MM2的中点为N,则N(1,f(1)),则点V在 列，设公差为d1,则S=S1十(m-1)d1,即S.=d山n2+ 曲线y=f(x)上. 若M,M2到曲线y=∫(x)的距离最小时对应的，点P与 (S1-d1)n,易知a1=S1,当n≥2时，am=Sn一Su-1=2d1n 点N不重合，则IM1P<IM1N|,IM2P|<M2NI, 十S1一2d1,n=1时也特合，故an=2d1n+S1一2d1(易错： 所以|M1P|+|M2P|<1MN|+|M2N1=IM1M2|, 需验证n=1),所以d+1一am=2d1,所以{am》为等差数列， 这与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以点P与点N 故甲是乙的必要条件，故选C. 必重合， 8B解法-：由sina-》=了6 cos esin=言，且cos asin月 第3步：用结论判断∫(x)的单调性 又直线MM,的鲜率为kMM=2g2=g)>0,= [sina+段-sin(a一9]，解得sn(a+)-子，所以 2 f(),所以由kMM·k1=g()·f()=kMP·k1=一1< c0s(2a+290=1-2sin2(a+3)=),故选B. 0,知f(1)<0,所以当1∈R时，有f(1)<0,所以函数 f(x)在R上严格单调递减 解法二：由n(a-)=sin acos月-cos asin月=号且cos 2023年普通高等学校招生全国统一考试 1 asin=石，得sin acos月=7，所以sin(a十B)=sin acos (新课标I卷) 十in=号，所以os(2a+20=1-2an2（a+p= 1.C由x2-x-6>≥0，解得x≥3或x≤-2，即N=(-∞， -2U[3.+∞)，故M∩V={-2},故选C. 9,故选B. 数学答案-19