2.2024年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)（含答题卡）-【高考密码】2022-2024三年高考数学真题汇编试卷

绝密★启用前 2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷） 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 $ 题目要求的 粥 1.已知z=-1一i,则1x= A.0 B.1 C.2 D.2 2.已知命题p:x∈R,|x十1|>1：命题q:3x>0,x3=x.则 A.p和q都是真命题 B.p和q都是真命题 C.p和q都是真命题 D.一p和q都是真命题 册 3.已知向量a,b满足|a=1,a+2b=2,且(b-2a)⊥b,则|b= A司 B号 D.1 4.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单 位：kg)并整理得下表： [900, [950, [1000, [1150, 教 [1050, [1100, 亩产量 950) 1000) 1050) 1100) 1150) 1200) 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是 A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% 留 C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 5.已知曲线C:x2+y=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P为垂足，则线段 PP的中点M的轨迹方程为 ( B后+1>0 c若+1>o 3=1(y>0) 2024·新课标Ⅱ卷第1页（共4页） 6.设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cosx+2ax.当x∈(-1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x) 恰有一个交点.则a= () A.-1 B司 C.1 D.2 7.已知正三棱台ABCA,B,C的体积为号，AB=6,A,B=2.则A,A与平面ABC所成角的正切 值为 A日 B.1 C.2 D.3 8.设函数f(x)=(x十a)ln(x十b).若f(x)≥0，则a2十b的最小值为 A吉 R c D.1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.对于函数f()=sin2x和g()=sin(2r-平)，下列说法中正确的有 A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 10.抛物线C:y=4x的准线为1，P为C上动点.过P作⊙A:x2+(y-4)2=1的一条切线，Q为 切点.过P作I的垂线，垂足为B.则 A.1与⊙A相切 B.当P,A,B三点共线时，|PQ=√15 C.当|PB=2时，PA⊥AB D.满足|PA=|PB的点P有且仅有2个 11.设函数f(x)=2.x3-3ax2十1，则 A.当a>1时，f(x)有三个零点 B.当a<0时，x=0是(x)的极大值点 C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴 D.存在a,使得点(1，f(1))为曲线y=f(x)的对称中心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3十a1=7,3a2十a5=5,则S。 l3.已知a为第一象限角，3为第三象限角，tana+tan3=4,tan atan3=√2十1，则sin(a十3)= 14.在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 2024·新课标Ⅱ卷第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+√3cosA=2. (1)求A: (2)若a=2,W2 bsin C=csin2B,求△ABC的周长. 16.(15分)已知函数f(x)=e-ax-a. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围. 17.(15分)如图，平面四边形ABCD中，AB=8,CD=3,AD=53,∠ADC=90°，∠BAD=30°， 点E,F满足A正=号AD,A=号A成.将△AEF沿EF翻折至△PEP,使得PC=4、3. (1)证明：EF⊥PD: (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值. 2024·新课标Ⅱ卷第3页（共4页） 18.(17分)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成.比赛具体规则如下：第一阶 段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少 投中1次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5 分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成， 设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立， (1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率. (2)假设0<p<q. (ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ (Ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 19.(17分)已知双曲线C:x2-y=m(m>0),点P(5,4)在C上，k为常数，0<k<1.按照如下方 式依次构造点P(=2,3,…):过P.1作斜率为k的直线与C的左支交于点Q。-1,令P,为 Q关于y轴的对称点.记P的坐标为(xm,ym). (1)若k=,求 (2)证明：数列x,一)是公比为士的等比数列. (3)设S。为△PnP+1Pn+2的面积.证明：对任意正整数n,Sn=S+1… 2024·新课标Ⅱ卷第4页（共4页）2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷） 数学答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 考生 缺考考生由监考员贴条形码，并用2B铅笔填涂下面的缺考标 (正面朝上，请勿贴出虚线方框) 禁填 记。□ $ 1.答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写请楚，并认真核实对监考员所粘贴的条形码上的准考证号，姓名、考场 和座位号是否准确无误。 注意事 2.选择题必须使用2B铅笔将对应题目的答案标号涂黑，修改时用橡皮擦干净，再选择其它答案涂黑。非选择题必 须使用0.5毫米黑色签字笔填写，字体工整，笔迹清楚。 3.请按题号顺序在各题的答题区域内答题，超出答题区域的答案无效，在草稿纸、试题纸上书写的答案无效。 4.保持卡面清洁、完整，严禁折叠，严禁使用涂改液，胶带纸和修正带。 5.正确填涂■ 补 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分」 1.[A]CB]CCTCD] 3.[A][B[C][D] 5.[A]B][C][D] 7.[A][B[C][D] 2.[A][B[C][D] 4.[A][B[C[D] 6.[A][B[C][D] 8.A][B][C][DJ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 炉 9.[A][B][C][D10.[A][B][C[D]1L.[A][B][C][D 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 13. 14. 蜜 四、解答题：本题共5小题，共77分， 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第1页（共4页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，短出边框的答案无效 数学答题卡第2页（共4页） ■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 17.(15分) B 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，短出边框的答案无效 ◆ 数学答题卡第3页（共4页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，短出边框的答案无效 数学答题卡第4页（共4页）易知a1,a2,…,a4m十2是(i,j)一可分数列→1,2，…，4m十 对于B,100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比 2是(4p+1,4g+2)-可分数列，其中p,g∈{0,1，…，m. 制为6十12+18+30×100%=66%，故B不正确： 当0≤pg≤m时，刷去4p十1,4g十2， 100 其余项从小到大，每4项分为1组，可知每组的4个数都 对于C,因为1200-900=300,1150-950=200，所以100 能构成等差数列， 块箱田亩产量的极差介于200kg至300kg之间，故C 故数列1,2，…，4m+2是(4p十1,4g十2)一可分数列，可 正确： 分为(1,2,3,4)，…，(4p一3,4p一2,4p一1,4p),…,(4(g +1)-1,4(9+1),4(g+1)+1,4(g+1)+2).…,(4m 对于D.100块看田亩产量的平均值为0×(925×6十975 1,4m,4m十1,4m十2).p,q的可能取值方法数为C+1+ ×12+1025×18+1075×30+1125×24+1175×10) m+1=m+1)(m+2) 1067(kg),故D不正确，综上所述，故选C. 2 5.A通解（代入法）设M(.xo,yo),则P(x0,2yo),因为，点 第2步：证明1,2，…，4n十2是(4p十2,4q十1)一可分数 列，并求出方法数 P在曲线C上，所以x5+(20)216(y0>0,即6+- 易知a1,a2,…,a4m+2是(i,j)一可分数列→1,2，…，4m十 2是(4p十2,4g十1)一可分数列，其中p,g∈{0,1，…，m. 1(>0),所以线段PP的中点M的载连方程为后+苦 当g-p>1时，刑去4p十2,4g十1， =1(y>0),故选A. 将1~4p与4g十3~4m+2从小到大，每4项分为1组， 优解（数形结合法）由题意可知把曲线C上所有点的纵 可知每组的4个数成等差数列 坐标编短至原来的一半，横坐标不变，即可得到点M的轨 考虑4p十1,4p十3,4p十4，…，4g,4q十2是否可分，等同 迹，曲线C为半圆，则点M的轨迹为椭圆(x轴上方部分)， 于考虑1,3,4，…，41,41十2是否可分，其中1=9一p>1, 其中长半轴长为4，短半轴长为2，故选A. 可分为(1,1+1,21+1.31+1)，(3,1+3,21+3,3t+3),(4,6.D由题意知f(x)=g(x),则a(x十1)2-1-cosx十2a., t+4,21+4.3t+4),…,(t,2t,3t,4t),(t+2,2t+2,3t十2， 即cosr=a(x2+1)-1.令h(r)=cosx-a(.x2+1)+1.易 41十2)，每组4个数都能构成等差数列. 知h(x)为偶函数，由题意知h(x)在(-1,1)上有唯一零 故数列1,2，…，4m十2是(4p十2,4g十1)一可分数列，p,9 点，所以h(0)=0,即cos0-a(0+1)+1=0,得a=2,故 且g一>1的可能取值方法数为C品+1一m=m1》m 选D. 2 7.B补形法设正三棱台ABC-A1B1C1的高为h,三条侧 第3步：运明P>日 棱延长后交于一点P,作POL平面ABC于点O,PO交平 (m+1)(m+2)+(m-1)m 面A1B1C1于点O,连接OA,O1A,如图所示.由AB 从而Pm≥ 2 Cm十2 3A1B,可得P0,=2,P0=2,又S6ABG=号×2 m2+m+1、1 8m2+6m+18 -5,S6=音×62×号=9，所以正三放台 2 2024年普通高等学校招生全国统一考试 ABC-A1B1C的体积V=Vp-ABC-Vp-A,B,G=3 (新课标Ⅱ卷) 9×数-日×x4=号解得4=，故P0=是 3 1.C1x=|-1-i=√(-1)2+(-1)2=√2，故选C 2.B通解因为Hx∈R,|x+1≥0，所以命题p为假命 h=2√3.由正三棱台的性质可知，O为底面ABC的中心， 题，所以p为真命题.因为x3=x,所以x3一x=0,所以x 则OA=号×V6-3=2,周为P01平西ABC,所以 (x2-1)=0,即x(x+1)(x-1)=0,解得x=-1或x=0 ∠PAO是A1A与平面ABC所成的角，在Rt△PAO中， 或x=1,所以了x>0,使得x3=x,所以命题q为真命题， 所以q为假命题，所以一p和q都是真命题，故选B. tan∠PAO PO-1,故选B. O 优解（特殊值法）在命题p中，当x=一1时，x十1=0， 所以命题p为假命题，一p为真今题.在命题（中，因为立 方根等于本身的实数有一1,0,1，所以了x>0,使得x3=x, 所以命题q为真命题，一q为假命题，所以门p和g都是真 命题，故选B. 3.B由(b-2a)⊥b.得(b-2a)·b=b2-2a·b=0,所以b2 =2a·b.将a+2b=2的两边同时平方，得a2+4a·b+ 46=4,即1+26+42=1+6b12=4,解得b2=7所 以b=号，故选B 8.C等价转化法由f(x)≥0及y=x十a,y=n(x十b)单 调递增，可得x十a与ln(x十b)同正、同负或同为零，所以 4.C对于A,因为前3组的频率之和0.06+0.12+0.18= 0.36<0.5,前4组的频率之和0.36十0.30=0.66>0.5， 当+=0时+a=0.中十名。所以6=8十1。 所以100块稻田亩产量的中位数所在的区间为[1050， 1100),故A不正确： 则a+=a2+a+0-(a+)》+>t选C 数学答案一4 .BC直接法对于A,令)=0，则x-受∈乙， 解法二（利用下标和性质）设{am}的公差为d,由a3十a4 =a2十a5=7,3a2+a5=5,得a2=-1,a5=8,故d 又(）≠0故A错误： a5-g2=3.a6=11,则S0=1+ai0X10=5(a5十u6) 5-2 2 对于B,f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确： 5×19=95. 对于C,f(x)与g(x)的最小正周期都为x,故C正确： 1a.-2g 由题知tan(a十)=一1ana·anB1-2- tana十tan3 对于Dx)困象的对称轴方程为2x=受+，∈Z,即x 3 =受+受：kE乙，g)因象的对称轴方程为2x-晋=受 =-2V2,脚sin(a+3)=-2V2cos(a十)，又sin2(a+B) 4 十k,k∈Z,即x=+经A∈五，故x)与gx)的图象 十osa十g=1,可得ma+到=士2由2x<< 的对称轴不相同，故D错误.故选BC. 2kx+登，keZ.2mx+x<g<2mx+经m∈Z,得2(k+ 10.ABD数形结合法对于A.易知1：x=一1，故l与⊙A m)x十x<a+<2(k十m)π十2r,k+m∈Z.又tan(a+B) 相切，A正确： 对于B,A(0,4),⊙A的半径r=1,当P,A,B三点共线 <0,所以a十B是第四象限角，故sin(a十B)=-2y 3 时，P(4,4),所以|PA=4,1PQ1=VPA2一r2=14.24112第一步，从第一行任选一个数，共有4种不同 √-1=√5，故B正： 的选法：第二步，从第二行选一个与第一个数不同列的 对于C,当PB=2时，P(1,2),B(一1,2)或P(1,一2) 数，共有3种不同的选法：第三步，从第三行选一个与第 B(一1，一2)易知PA与AB不垂直，故C错误： 一、二个数均不同列的数，共有2种不同的选法：第四步， 对于D,记抛物线C的焦点为F,连接AF,PF,易知F(1, 从第四行选一个与第一、二，三个数均不同列的数，只有1 0),由抛物线定义可知PFI=|PB,因为PA=PB, 种选法」 所以PA=PF,所以点P在线段AF的中垂线上，线 由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为4X3×2×1 段AF的中意线方程为y-宁十只即=一只代入 =24. 先按列分析，每列必选出一个数，故所选4个数的十位上 y2=4x可得y2-16y十30=0，解得y=8士√34，易知满 的数字分别为1,2,3,4.再按行分析，第一，二、三、四行个 足条件的点P有且仅有两个，故D正确.故选ABD 位上的数字的最大值分别为1,3,3,5，故从第一行选21， 11.AD由题可知，f(x)=6.x(x-a). 从第二行选33，从第三行选43，从第4行选15，此时个位 对于A,当a>1时，由(x)<0得0<x<a,由f(x)>0 上的致字之和最大·故选中方格中的4个数之和的最大 得x<0或x>a,则f(.x)在（一o,0)上单调递增，在(0， 值为21+33+43+15=112. )上单调递减，在(u,十o∞)上单调递增，且当→一c©时，15.解：(1)解法一（辅助角法）第1步：利用铺助角公式化 f(x)--∞，f(0)=1,f(a)=-a3+1<0,当x+o∞ 简已知等式 时，f(x)→十o,故f(x)有三个零点，A正确：对于B,当 a0时，由f(x)<0得a<x<0,由f(x)>0得x>0 由如A+sA=2,得号nA+sA=1, 或x<a,则f(x)在（一oo,a)上单调递增，在(a,0)上单调 递减，在(0，十0∞)上单调递增，故x=0是f(x)的极小值 所以m(A+受)=1. 点，B错误； 第2步：判断角的范国，求出角A的大小 对于C,当x→十∞时，f(x)→十∞，当x→一∞时，f(x) ·一o⊙，故曲线y=∫(x)必不存在对称轴，C错误： 周为0<A<,所以晋<A+吾<经 对于D,解法-（配方、平移）f(.x)-2x3-3ax2+1= 所以A十吾-受，故A=吾 2(-号）广-号c(e-号)+1-受令1=x-台，则 解法二（同角三角函数的基本关系法）第1步：利用同角 )可转化为0=2-名01+1-受由y=2n- 3 三角函数的基本关系求simA的值 由sinA+/3cosA=2,得V3cosA=2-sinA, a21为奇函数，且其图象关于原点对称，可知g(t)的图象 两边同时平方，得3c0s2A=4一4sinA+sin2A, 关于点(01-受)对称，则f八)的图象关于点（受1 则3(1一sin2A)=4-4sinA+sin2A. 整理，得1一4sinA十4sin2A=0. 号）对称，故存在a=2,使得点11)为南线y=f) 所以(1-2simA)2=0,则sinA=2 1 的对称中心，D正确.故选AD 第2步：求角A的大小 解法二（二级结论）任意三次函数f(.x)=a.x3+b.x2+cz 十da≠0)的因象均关于点（一品f(-品）)成中心对 因为0<A<,所以A=吾或A=要 称，D正确，故选AD, 当A=看时，inA十cos A=2成立，符合条件： 12.95解法一（基本量法）设{a,}的公差为d,由ag十a4 =a1+2d+a1+3d=2a1+5d=7,3a2+a5=3(a1+d)+ 当A-5严时，sinA十3cosA=2不成立，不符合条件. 6 a1十4d=4a1十7d=,解得a1=-4,d=3,则S1o=10a1 +45d=95. 黄A=吾 数学答案-5 解法三（同角三角函数的基本关系法）第1步：利用同 当a≤0时，f(x)>0,函数f(x)在R上单调递增，无 角三角函数的基本关系求c0sA的值 极值： 由sinA+√3cosA=2,得sinA=2-√3cosA, 当a>0时，由f(.x)>0,得x>lna,由f(x)<0,得x 两边同时平方，得sin2A=4-43cosA+3cos”A In a, 则1-cos2A=4-4√3cosA+3cos2A. 所以函数f(x)在区间（一oo,lna)上单调递减，在区间(ln a,十oo)上单调递增，所以f(x)的极小值为f(lna)=a- 整理，得3-4V3c0sA十4c0s2A=0, alna-a. 所以(W5-2c0sA)2=0,则c0sA= 第3步：根据极小值小于0求a的取值范围 21 由题意知a-alna-a3<0(a>0),等价于1-lna-a2< 第2步：求角A的大小 0(a>0). 因为0<A<,所以A=吾 解法-（导数法）令g(a)=1-lna-a2(a>0), (2)第1步：利用正弦定理求B的值 则g(a）=1-1-2a=-2a2+a-1= a 由√2 bsin C-=csin2B,得v2 bsin C=2 csin Bcos B, 7 由正弦定理，得V2c=2 cbeos B,所以cosB=夏 2(a-4)+ 1 2 ∠0 周为0<B<,所以B=平 所以函数g(a)在(0，十c∞)上单调递减， 又g(1)=0,故当0<a<1时g(a)>0:当a>1时，g(a) 第2步：利用两角和的正弦公式及三角形的内角和定理 <0. 求sinC的值 故实致a的取值范图为(1，十∞. C=x-(A+B)=2: 7π 解法二（图象法）由1一lna-a2<0(a>0),得1na>一 a2+1(a>0). 所以snC=sin-=sin(停+）=sin吾os+os 如图为函数y=lna与y=一a2+1在区间(0，十∞)上的 大致图象， -×号+×号-6 4 第3步：求△ABC的周长 y=ln a 解法一（基本量法）由正孩定理“ b sin A sin B-sin C,得 6=asin B 2sin =22, sin A sin 1=-a2+1(a>0) 6 e=asin C 2n 由图易知当a>1时，lna>-a2+1,即1-lna-a2<0. =√6+√2 所以实数a的取值范围为(1，十c0). sin A 17.解：(1)第1步：证明EF⊥AE 所以△ABC的周长为a+b十c=2+√6+3√2. 由题.AE=号AD=2,原，AF=合AB=4,又∠BAD 解法二（整体思想法)由正孩定理品品BC· b 30°，所以由余弦定理得EF2=AE2+AF2-2AE·AF· cos30°=4，故EF=2. 得品入sin Asin Bsin C a+b+c 2=4 又EF2+AE=AF2,所以EF⊥AE. 第2步：证明EF⊥PD 所以a+b什(=4(inA+inB+m0=4×(合+号 由EF⊥AE及翻折的性质知EF⊥PE,EF⊥ED, 又ED∩PE=E,ED,PEC面PED,所以EF⊥面PED. 6+②)=2+6+3②， 又PDC面PED,所以EF⊥PD 4 (2)第1步：证明PEL面ABCD 所以△ABC的周长为2+√6+3√2. 如图，连接CE,由题，DE=3√3，CD=3,∠CDE=90°，故 16.解：(1)第1步：求当a=1时函数的解析式与导函数 CE=√/DE+CD=6. 当a=1时，f(x)=e-x-1.则f(x)=e'-1, 第2步：求切线的斜率与切点坐标 又PE=AE=25,PC=43,所以PE2+CE2=PC2,故 PE⊥CE. 则f(1)=e-1. 义PE⊥EF,CE∩EF=E,CE,EFC面ABCD,所以PE f(1)=e一2，所以切，点坐标为(1，e一2)， 第3步：求切线方程 ⊥面ABCD. 所以切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1),即(e-1)x 第2步：建立空间直角坐标系，得到相关向量的坐标 -y-1=0. EF,ED,PE两两垂直，故以E为原点，EF,ED,PE所在 (2)第1步：求导 直线分别为x,y,之轴建立空间直角坐标系，则P(0,0, 易知函数f(x)的定义域为R,广(x)=e一a 23),D(0,33,0),F(2,0.0),A(0,-23.0),C(3,3 第2步：讨论函数的单调性，求出极小值 3,0), 数学答案一6 ()第1步：计算甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的 比赛成绩的数学期望 若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩X的 所有能取值为0,5,10,15. P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3]·(1-q)3, P(X=5)=[1-(1-p)3]·C·g·(1-q)2, P(X=10)=[1-(1-p)3]·C3·g2·(1-q), P(X-15)=[1-(1-p)3]·C3g3, 连接PA,则PD=(0,3V3,-2V3),DC=(3,0,0),AP 所以E(X)=[1-(1-)3]·[15g(1-q)2+30g(1-g) (0,23,2√3)，AF=(2,2√5,0). +15g3]=[1-(1-p)3]·15g=15pg(p2-3p+3). 第3步：求面PCD和面PBF的法向量 第2步：计算乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的比赛 设面PCD的法向量为1=(x1y1,), 成绩的数学期望 m1·PD=3V3y1-231=0 若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩Y的 可取n1=(0,2,3. 所有可能取值为0,5,10,15. m1·DC=3x1=0 同理，可得E(Y)=15pg(g2-3g+3). 设而PBF即面PAF的法向量为n2=(x2,y2,2), 第3步：比较E(X)与E(Y)的大小 m2·AP=23y2+232=0 E(X)-E(Y)=15pg(p2-3p-g2+3g)=15pg· 可取n2=(3,一1,1). (q-p)·(3-p-q). n2·AF=2.x2+2V3y2=0 由0<p<9≤1，得q-p>0,3-p-g=3-(p+9)>0, 第4步：求面PCD与面PBF所成二面角的余弦值的绝 所以E(X)-EY)>0,即E(X)>E(Y). 对值 第4步：做决策 cos(m·2)=mi·nz√6丽 1·n21 故应该由甲参加第一阶段比赛。 19.解：将点P1(5,4)的坐标代入C的方程得52-42=m,解 第5步：利用同角三角函数的基本关系求得结果 得m=9,所以C:x2-y2=9. 故面PCD与面PBF所成二面角的正弦值为 )过点P1(6,4)且斜率=2的直线方程为y=(x 65 5)十4， =865 与C的方程联立，消去y化简可得x2-2x一15=0，即(x 65 -5)(x+3)=0, 18.解：()第1步：计算甲、乙所在队进入第二阶段的概率 所以点Q1的横坐标为一3，将x=一3代入直线方程，得y 设A1=“甲、乙所在队进入第二阶段”，则P(A1)=1一(1 =0, -0.4)3=0.784. 因此Q1(一3,0)，从而P2(3,0), 第2步：计算乙在第二阶段至少得5分的概率 即x2=3,y2=0. 设A2=“乙在第二阶段至少得5分”，则P(Ag)=1一(1 (2)解法一由题意，Pm(xm·ym),Pm+1(xw+1ym+1),Q 0.5)3=0.875. (-xm+1,ym+1). 第3步：计算甲、乙所在队的比靠成绩不少于5分的概率 设过点P,(xym)且斜率为k的直线为lm:y=k(x一工m) 设A3=“甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分”，则P(A) 十ym: =P(A1）·P(A2)=0.686. 将。的方程与C的方程联立，消去y化简可得(1一2)x2 (2)(「)第1步：计算甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在 +(2k2xn-2kyn).x-(kxn-yn)2-9=0, 队得15分的概率 由根与系盘的关系得-11十工，=-2x。-2 设甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率 1-k2 为P甲· 所以工W十1 2k2xn一2ky十xn k2x#十工m-2kye 1-k2 1-k2 则Pg=[1-(1-p)3]·g3=pg3·(3-3p十p2). 又Q(一xn+1ym+1)在直线Lm上， 第2步：计算乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分 所以ym+1=k(一xn+1一xn)十ym=一kx十1一kxm十ym 的概率 从而xm十1一ym+1=xm+1十kxm+1十kx#一ym=(1十k) 设乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率 为P元· 1+kx,-,=（1+k).,52张+，一， 1一k2 则P元=[1-(1-g)3]·p3=qp3·(3-3g+g2). 1+k 第3步：比较P与P乙的大小 (-3). 则P甲-P=pg(3g2-3pg2+b2g2-3p2+3p2q-p2q2) 易知工，一y≠0，所以数列x。一y是公比为岂的等比 =3pg(g-p)·(p+q-g), 数列. 由0<p<g≤1，得q-p>0,p+q-g=p+g(1一p)>0, 解法二由题意，Pn(xm,ym),Pn+1(xn+1,y+1),Qn( 所以P甲一Pz>0,即P甲>Pz· xm+1y+1入.由点Pm,Qn所在直线的斜率为k,可知飞 第4步：做决策 =yn一ya+ 故应该由甲参加第一阶段比赛， Tm十xm十1 数学答案一7 又点P,Q,都在C上，所以21-2+1=9 x-y后=9 又层-听=9，所以十一 9 .9 即 (xn-yn)(xn+y)=9 可得n=9+2-2 (x1-ya+1)x+1+yn+1)=9' 21y,=912-2 24"1 易知x用一yn≠0， 所以B(,9 )(） 1+n-n+ 告 xB十xnt1 P+2 9十2+29-2+2 9+2m+49-2m-4 1-m-+1 20+1, 2P+(2 2+2 xw十IN十I 9十12m+49+2a-2 工n十xm+1十ym一y+1 所以乙n+3xn」 21+2 21”1_9-42-1 xm十xw+1一yn十ym+1 yn+3一yw 9-12m+49-12m29+12w币' 210+2 9 214 Z+1一yw+1+ x#一yn= 9+12m+29+r2别 9 xm+2一x+1= 21+1 21”9-2+1 Tn一ym十 Iw+1一ym+1 ym+2一yw+1 9-2w+g9-tm 9+12w+T· 1 211 2" (Ix+1-y+1)(Zn-ya)+9 TuynL 1 即2二出-+二，所以PP+3∥P+1P+2 (4-ym)(xw+1一ym+1)+9 ym+g一ym+1ym+3一yn xm+1一ym+I 所以点P,和，点P+3到直线P+1P+2的距离相等， =Xw+1一ym+1 因此△PPm+1Pm+2和△Pm+1P+2Pn+3的面积相等，即 In-yn S=S+1 即纸到。一是公比为岂兰的等比数列。 2024年普通高等学校招生全国统一考试 (3)解法一由(2)知，数列{xn一yn}是首项为白一y1=5 (北京卷) 一4=1，公比为吉岂的等比数到。 1.C由集合的并运算，得MUV={x一3x<4}, 令1套由01可知>1，期，-，-， 2.C由题意得，=i(-1-i)=1-i. 9 3.D化圆的方程为标准方程，得(x一1)2+(y十3)2=10，所 9 又后-8=9，所以m+t-y 以该图的圆心(1，一3)到直线x一y+2=0的距离为 可得，9+12-？ 2w-1·ym 9-12m-2 1-(-3)+21=6=32. √12+(-1)√2 an(,9)(茶) 4.A解法一（公式法）(x一√)的展开式的道项T+1= ( Cx-r(-√)r=(-1)rCix-(r=0,1.2,3,4).由4 Px+2 乞-3，得=2，所以（红一回的展开式中r的系数为 所以直线P,P1的方程为一=y, (-1)2C￥=6. 即(9十t2w-1).x-(9-12m-1)y-9t-1(1十t)=0. 解法二（组合数法）(，x一√)的展开式中含x3的项是 易知点P+2到直线PPm+1的距离 由(x一√)(x-√F)(x一E)(x-V)中任意取2个括号 (+产）-0产- 内的x与剩余的2个括号内的（一√工）相乘得到的，所以(x d √(9+1T)+(9-20-)7 一F)的展开式中含x3的项为Cx2·C号（一）2= 19r-2(t-1)2(t+1) 6x3,所以(x一V)4的展开式中x3的系数为6. 9+)2+(9-7 又|PPw+1= 5.B由(a+b)·(a-b)=0,得a2-b2=0,即a2-|b2= 0,所以a=b1,当a=(1,1),b=(-1,1)时，|a|=|b1, (9+12”9十120-218 但a≠b且a≠一b,故充分性不成立：当a=一b或a=b 21 时，(a十b)·(a-b)=0,故必要性成立，所以“(a十b)·(a 1-1)(9-t2)2+(9+120)T 一b)=0”是“a=一b或a=b”的必要不充分条件. 21 剥S.=2·P.P+1·d=91-)+D-36 6.B因为f(x)=sinr∈[-1,1]，且f(x1)=-1,f(x2) 412 (1-k2)2’ =1,z1一xymn=受，所以f(x)的最小正周期T=2×交 即Sm为定值，所以Snm=S+1. 解法二由(2)知，数列(xW一y}是首项为x1一y1=5-4 =所以一要-2 -1,公北为甘的等比：列 7D由题高：得言-21言-815若5不变，别21 令1告会由01可知>1，别。-= lnN1=3.15lnN2,即2lnN1=3lnV2,所以N7=V3. 数学答案一8