专题 有理数中规律和新定义综合应用的八大题型（专项训练）数学华东师大版2024七年级上册

重难点突破05 有理数中规律和新定义综合应用的八大题型 题型一 数列型规律探究 - 等差数列 1．（21-22六年级下·黑龙江哈尔滨·周测）观察下列图形（     ） 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第个图形中的个数有（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·北京东城·期末）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2023个图案中的“”的个数是（   ） A．6074 B．6072 C．6070 D．6068 3．（2023·广东深圳·模拟预测）化学中直链烷烃的名称用“碳原子数烷”来表示，当碳原子数为1~10时，依次用天干——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸——表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则庚烷分子结构式中“H”的个数是 . 4．（2023·山东威海·一模）一些相同的“◯”按如图所示的规律依次摆放，则第50个图中有多少个“◯”（    ）    A．2657 B．2555 C．2455 D．1875 题型二 数列型规律探究 - 等比数列 5．（20-21七年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）下面是一组按规律排列的数：2，4，8，16，…，第n个数是 ． 6．（19-20七年级上·浙江杭州·期末）阅读材料并解答： （1）如果想求的值，可令① 将①式两边同乘以3，得：___________________________② 由②减去①式，可以求得____________________________ （2）由上可知，计算：的值． （3）观察一列数：2，4，8，16，32，…，发现从第二个数开始，每一个数与前一个数之比是一个常数，这个常数是2：根据这个规律，如果表示第1个数，表示第2个数，（为正整数）表示这个数列的第个数，__________，根据上面的规律计算数列2，4，8，15，32，…前2018个数的和为多少？ 题型三 裂差规律探究 7．（21-22六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）按规律计算 ． 8．（23-24七年级上·广西玉林·阶段练习）观察下列等式： ； ； ； … 根据你发现的规律，解答以下问题： (1)______； (2)若n为正整数，则______； (3)计算． 9．（23-24七年级上·安徽池州·期中）数学活动课上，李老师列举了以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …． 根据等式规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式为______，第n个等式为______（用含n的式子表示）； (2)利用等式规律计算：； (3)拓展计算：． 10．（22-23七年级上·甘肃定西·阶段练习）已知：，……    (1)按照上面算式，你能猜出＝ ； (2)利用上面的规律计算： 的值． 题型四 末尾数字规律探究 11．（22-23七年级上·河南商丘·阶段练习）观察下列等式：，，，，，，…，那么：的末位数字是（　　） A．0 B．6 C．7 D．9 12．（23-24七年级上·福建漳州·期中）观察下列算式：，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24七年级上·浙江温州·期中）观察下列算式：……通过观察，用所发现的规律确定的个位数字是 ． 14．（23-24七年级上·安徽黄山·期中）观察算式：，，，，，，，，…，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是 ． 15．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）观察下列算式：，，，，，，，，…，，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 题型五 数轴类规律探究 16．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）如图1，圆的周长为4个单位．在该圆的4等分点处分别标上字母m、n、p、q．如图2，先将圆周上表示p的点与数轴原点重合，然后将该圆沿着数轴的负方向滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点对应的字母是（    ） A．m B．n C．p D．q 17．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动．若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，第30秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 18．（21-22七年级上·广东汕头·期中）如图，数轴上、两点的距离为4，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点(，是整数)处，问经过这样2021次跳动后的点与点的距离是 ． 19．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换    (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是______． A、    B、 C、    D、 ②一机器人从原点开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，，依此规律跳，当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是______． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2023的点与表示______的点重合； ②若数轴上两点之间的距离为2024（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且两点经折叠后重合，则点表示______，点表示______． (3)一条数轴上有点，其中点表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在数轴上，并且，求点表示的数． 题型六 新定义型规律探究 20．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）若任意数、有这样运算规律：，． (1)则__________；_________； (2)根据上述题，试用字母、表示其规律； (3)若表示不大于的最大整数，如：，，则求：． 21．（20-21七年级上·河南洛阳·期中）探究规律，完成相关题目．定义“”运算： ；； ；； ；． (1)归纳运算的法则：两数进行运算时，同号得正，__________．特别地0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，__________．请把运算法则补充完整； (2)计算： (3)若存在有理数m，n，使得，请直接写出m，n的值． 22．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． (1)归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，________ (2)计算：． (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 23．（21-22七年级上·广东佛山·阶段练习）新定义：符号“f”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： 运算（一）：，，，，…… 运算（二）：，，，，…… 利用以上规律计算： (1) ___________， ___________，___________，___________， (2)___________； (3)计算： 题型七 乘方类规律探究 24．（22-23七年级上·宁夏吴忠·期中）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：    (1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成_______个细胞； (2)这样的一个细胞经过n（n为正整数）小时后可分裂成_______个细胞． 25．（22-23七年级上·内蒙古赤峰·期中）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图所示．    则第5个方框中最下面一行的数可能是 ． 26．（23-24七年级上·河北唐山·期中）通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 27．（23-24七年级上·全国·课后作业）【问题解决】 例如：观察下面式子，根据规律填空： （1），，，，…， ， ． （2），，，，…， ． 28．（23-24七年级上·广东揭阳·阶段练习）探索规律，观察下面算式，解答问题． ； ； ； ； … (1)请猜想： ； (2)请猜想： ； (3)试计算： 题型八 定义两个数的运算 29．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）对于有理数、，定义运算：． (1)计算的值； (2)计算的值． 30．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）对于有理数定义一种新运算“”，规定． (1)计算：______． (2)若，求的值； (3)试比较与的大小． 31．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定，例如：． (1)求的值； (2)若的值与b互为相反数，求b的值． 32．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______． (2)计算． (3)根据以上信息可知：． 33．（23-24七年级上·河南新乡·期中）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．对有理数、、，在乘法运算中满足①交换律：②乘法分配律：．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下： (1)求的值； (2)求的值． 34．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）定义新运算“※”为 ，则当时，计算． 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【分析】分析图形可得：第1个图形中小圆的个数为5；第2个图形中小圆的个数为7；第3个图形中小圆的个数为11；第4个图形中小圆的个数为17；则第n个图形中小圆的个数为，据此求第50个图形有多少个“○”即可． 【详解】解：第一个图形有：5个○， 第二个图形有：个○， 第三个图形有：个○， 第四个图形有：个○， 由此可得第n个图形有：个○， 则可得第50个图形有个○， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形． 题型二 数列型规律探究 - 等比数列 5．（20-21七年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）下面是一组按规律排列的数：2，4，8，16，…，第n个数是 ． 【答案】2n． 【分析】把2，4，8，16写成乘方的形式即可发现规律． 【详解】解：根据数列的规律可知2=21，4=22，8=23，16=24，… 则第n个数应是2n． 故答案是：2n． 【点睛】本题是一道找数字乘方规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 6．（19-20七年级上·浙江杭州·期末）阅读材料并解答： （1）如果想求的值，可令① 将①式两边同乘以3，得：___________________________② 由②减去①式，可以求得____________________________ （2）由上可知，计算：的值． （3）观察一列数：2，4，8，16，32，…，发现从第二个数开始，每一个数与前一个数之比是一个常数，这个常数是2：根据这个规律，如果表示第1个数，表示第2个数，（为正整数）表示这个数列的第个数，__________，根据上面的规律计算数列2，4，8，15，32，…前2018个数的和为多少？ 【答案】（1）3S＝3＋32＋33＋…＋320＋321，；（2）；（3）2n，22019−2 【分析】（1）将①式两边同乘以3可得出②式，由②减去①式的差除以2可求出S的值； （2）将①式中的3替换成5（分母2替换成4），即可得出结论； （3）由“从第二个数开始，每一个数与前一个数之比是一个常数2”结合a1＝2，可得出an的值，再套用（1）的方法可求出前2018个数的和． 【详解】解：（1）如果想求1＋3＋32＋33＋…＋320的值，可令S＝1＋3＋32＋33＋…＋320①， 将①式两边同乘以3，得：3S＝3＋32＋33＋…＋320＋321②， 由②减去①式，可以求得S＝， 故答案为：3S＝3＋32＋33＋…＋320＋321， （2）令①， 将①式两边同乘5得：② 由②-①得：， ∴ 即=； （3）∵a1＝2，q＝2， ∴an＝2n． 故答案为：2n． 令 S＝2＋22＋23＋…＋22018，则2S＝22＋23＋…＋22018＋22019， ∴2S−S＝22019−2， ∴S＝22019−2． 即数列2，4，8，15，32，…前2018个数的和为22019−2． 【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类、有理数的加法、有理数的乘法以及有理数的乘方，解题的关键是（1）利用②−①求出S的值；（2）将（1）的结论中的3替换成5；（3）根据数字的变化找出an＝2n． 题型三 裂差规律探究 7．（21-22六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）按规律计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的运算法则．将原式变为，再进一步计算即可求解． 【详解】解：， 原式， ， ， 故答案为：． 8．（23-24七年级上·广西玉林·阶段练习）观察下列等式： ； ； ； … 根据你发现的规律，解答以下问题： (1)______； (2)若n为正整数，则______； (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据给定的算式的计算方法进行计算即可； （2）根据给定的算式的计算方法进行计算即可； （3）根据给定的算式的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）原式； （3）原式 ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算．理解并掌握裂项相加法，是解题的关键． 9．（23-24七年级上·安徽池州·期中）数学活动课上，李老师列举了以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …． 根据等式规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式为______，第n个等式为______（用含n的式子表示）； (2)利用等式规律计算：； (3)拓展计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算中规律问题： （1）观察等式，得出规律，即可求解； （2）根据题意，将每个式子拆成，由此可得解； （3）根据题意，将每个式子拆成，由此可求解； 理解题意，找出规律是解题的关键． 【详解】（1）解：第5个等式为：， 第n个等式为：， 故答案为：； （2）原式 ． （3）原式 ． 10．（22-23七年级上·甘肃定西·阶段练习）已知：，……    (1)按照上面算式，你能猜出＝ ； (2)利用上面的规律计算： 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据规律进行变形； （2）每个分数都变形后，裂项相消后即可得． 【详解】（1）∵ ∴ 故答案：； （2）， ． 【点睛】本题考查学生对探究规律题的分析能力和运用能力，是中考常考题型，难度中等． 题型四 末尾数字规律探究 11．（22-23七年级上·河南商丘·阶段练习）观察下列等式：，，，，，，…，那么：的末位数字是（　　） A．0 B．6 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根据的次幂，次幂，次幂，次幂可知，其尾数次后，开始循环，由此即可求出答案． 【详解】解：∵的尾数的结果是，从共有组，余下， ∴原式 尾数和为 ，即尾数为， 故选：． 【点睛】本题主要考查有理数的乘方运算以及规律变化，解题的关键是找出运算结果末尾数字变化的规律． 12．（23-24七年级上·福建漳州·期中）观察下列算式：，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，先根据已知条件，发现的末位数字按照，，，循环，用即可得出答案，根据题意找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，，，…， ∴， ∴的末位数字是， 故选：． 13．（23-24七年级上·浙江温州·期中）观察下列算式：……通过观察，用所发现的规律确定的个位数字是 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查数字的规律探索，根据已知幂的结果找出个位数的周期性规律，进而分析判断即可．根据已知确定数字的周期规律是解题的关键． 【详解】观察可得规律：的个位数字每4次一循环， ∵余2，， ∴的个位数字是4． 故答案为：4． 14．（23-24七年级上·安徽黄山·期中）观察算式：，，，，，，，，…，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是 ． 【答案】7 【分析】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环是解决问题的关键． 从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2023除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可． 【详解】解：已知，末位数字为3， ，末位数字为9， ，末位数字为7， ，末位数字为1， ，末位数字为3， ，末位数字为9， ，末位数字为7， ，末位数字为1， … 由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环， 又， 所以的末位数字与的末位数字相同是7． 故答案为：7． 15．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）观察下列算式：，，，，，，，，…，，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【分析】分别求出的末位数字，再相加即可． 【详解】解：由题知， ，，，，，，，，， 所以的末位数字按循环出现， 又余2， 所以的末位数字是4． ，，，，，，，，…， 所以的末位数字按循环出现， 又余3， 所以的末位数字是7． 的末位数字是3 故选：A． 【点睛】本题考查尾数特征，能根据所给的2的乘方和3的乘方的尾数发现其出现的规律是解题的关键． 题型五 数轴类规律探究 16．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）如图1，圆的周长为4个单位．在该圆的4等分点处分别标上字母m、n、p、q．如图2，先将圆周上表示p的点与数轴原点重合，然后将该圆沿着数轴的负方向滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点对应的字母是（    ） A．m B．n C．p D．q 【答案】C 【分析】本题考查数轴上点的规律探究．根据题意，每经过4次，点回到数轴上，利用，即可得出结果． 【详解】解：由题意，可知：每经过4次，点回到数轴上， ∵， ∴表示的点与圆周上重合的点对应的字母是， 故选：C． 17．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动．若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，第30秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是有理数的加减运算应用，理解题意，先列式，再计算即可． 【详解】解：∵， 由题意得：第30秒对应的数为： ， 故答案为：2． 18．（21-22七年级上·广东汕头·期中）如图，数轴上、两点的距离为4，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点(，是整数)处，问经过这样2021次跳动后的点与点的距离是 ． 【答案】 【分析】根据题意，得第一次跳动到OA的中点处，即在离远点的长度为，第二次从处跳动到处，离原点的长度为，可得跳动n次离原点的长度为，代入计算即可； 【详解】由于， ∴第一次跳动到OA的中点处时，，同理第二次从处跳动到处时离原点的长度为，跳动n次离原点的长度为， ∴2021次跳动后的点与点的距离是； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了与数轴有关的规律题型，准确分析计算是解题的关键． 19．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换    (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是______． A、    B、 C、    D、 ②一机器人从原点开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，，依此规律跳，当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是______． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2023的点与表示______的点重合； ②若数轴上两点之间的距离为2024（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且两点经折叠后重合，则点表示______，点表示______． (3)一条数轴上有点，其中点表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在数轴上，并且，求点表示的数． 【答案】(1)①D；② (2)①；②，1013 (3)点表示的数或 【分析】（1）①读懂题意，根据移动过程列式计算即可；②读懂题意，根据跳动过程列算式，在算式中发现规律，利用规律计算即可； （2）①先通过折叠重叠在一起的两个数，确定折叠的中心点对应的数，再找到与表示2023的点重合的点即可；②根据①可得出折痕处表示的数为1，再根据两点之间的距离进行计算即可得到答案； （3）分两种情况：当点在的左侧时；当点在的右侧时；分别进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①根据移动过程得：， 故选：D； ②向左为，向右为， 机器人跳动过程可以用算式表示为： ， 当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是：， 故答案为：； （2）解：①表示的点与表示3的点重合， 折痕处的点表示的数为， 与表示2023的点重合的点为：， 表示2023的点与表示的点重合， 故答案为：； ②由①得折痕处的点表示的数为1， 数轴上两点之间的距离为2024，且两点经折叠后重合， 两点到1的距离都是， 点表示，点表示， 故答案为：，1013； （3）解：当点在的左侧时， ，点表示的数为8， 表示的数为， 以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在数轴上， 点表示的数为：， 当点在的右侧时， ，点表示的数为8， 表示的数为， 以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在数轴上， 点表示的数为：， 综上所述：点表示的数或． 【点睛】本题主要考查了数轴，折叠与对称，有理数的加减运算，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 题型六 新定义型规律探究 20．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）若任意数、有这样运算规律：，． (1)则__________；_________； (2)根据上述题，试用字母、表示其规律； (3)若表示不大于的最大整数，如：，，则求：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）本题主要考查有理数的混合运算，结合新的运算规律，根据有理数的混合运算法则计算即可． （2）本题主要考查有理数的混合运算，结合新的运算规律，根据有理数的混合运算法则即可求得答案． （3）本题主要考查有理数的混合运算，结合新的运算规律，根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）根据定义的运算规律可知 ， ． 故答案为：； （2）根据定义的运算规律可知 ． （3）根据题意可知 ，． 则 ． 21．（20-21七年级上·河南洛阳·期中）探究规律，完成相关题目．定义“”运算： ；； ；； ；． (1)归纳运算的法则：两数进行运算时，同号得正，__________．特别地0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，__________．请把运算法则补充完整； (2)计算： (3)若存在有理数m，n，使得，请直接写出m，n的值． 【答案】(1)异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方 (2)17 (3) 【分析】（1）首先根据运算的运算法则进行运算的算式，归纳出运算的运算法则即可； （2）根据（1）中总结出的运算的运算法则，以及有理数的混合运算法则，进行求值计算即可． （3）根据总结的运算法则，进行分析计算即可． 【详解】（1）解：两数进行运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，等于这个数的平方； 故答案为：异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方 （2）解： ； （3）解：当同号时， ∵， ， 即， ∴， 解得：； 当异号时， ∵， ∴， 即， ∴， 解得：； 综上所述， 【点睛】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意加法运算律的应用． 22．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． (1)归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，________ (2)计算：． (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)17 (3) 【分析】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算． （1）首先根据*运算的运算法则进行运算的算式，归纳出*运算的运算法则即可；然后根据∶ ；，可得∶0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方； （2）根据（1）中总结出的*运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可． 【详解】（1）解：归纳*运算的法则∶ 两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方． （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ∴， 解得：， 23．（21-22七年级上·广东佛山·阶段练习）新定义：符号“f”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： 运算（一）：，，，，…… 运算（二）：，，，，…… 利用以上规律计算： (1) ___________， ___________，___________，___________， (2)___________； (3)计算： 【答案】(1)，，， (2) (3) 【分析】（1）根据运算（一）和运算（二）的新运算计算即可； （2）结合运算（一）和运算（二）的新运算将原式化简，然后根据有理数减法进行运算即可； （3）根据运算（一）和运算（二）的新运算结合有理数加法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：； ； ； ； 故答案为：，，，； （2）， 故答案为：； （3） ． 【点睛】本题考查了定义新运算，理解题意中的新运算，结合有理数加减运算法则进行计算是解本题的关键． 题型七 乘方类规律探究 24．（22-23七年级上·宁夏吴忠·期中）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：    (1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成_______个细胞； (2)这样的一个细胞经过n（n为正整数）小时后可分裂成_______个细胞． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）根据题意，2小时是4个30分钟，从而得到答案； （2）经过n小时即个30分钟，根据题意，得到规律，即可得到答案． 【详解】（1）经过2小时，即第4个30分钟后，可分裂成个细胞， ∴经过2小时后，可分裂成16个细胞； 故答案为：16； （2）解：根据题意，一个细胞第1个30分钟分裂成2个，即个细胞； 第2个30分钟分裂成4个，即个； … 依此类推，第n个30分钟分裂为个细胞； 经过n小时即个30分钟分裂为个细胞； 故答案为：． 【点睛】本题考查幂的应用，熟记幂的相关定义及计算是解决问题的关键． 25．（22-23七年级上·内蒙古赤峰·期中）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图所示．    则第5个方框中最下面一行的数可能是 ． 【答案】1225或2809 【分析】由可知，，，；由可知，，，；由可知，，，；设两位数为，，，为整数，由题意知，，解得，分，；和，；两种情况求解即可． 【详解】解：由可知，，，； 由可知，，，； 由可知，，，； ∴设两位数为，，，为整数， 由题意知，，解得， 当，时，如下图：    当，时，如下图：    ∴第5个方框中最下面一行的数可能是1225或2809． 【点睛】本题考查了数字的规律探究．解题的关键在于根据题意推导一般性规律． 26．（23-24七年级上·河北唐山·期中）通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 【答案】C 【分析】根据已知条件可以得到这样的规律：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成． 【详解】解：根据已知条件可以得到这样的规律： 11的平方是121，中间的数字是2，111的平方是12321，中间的数字是3，…… 由此可以推断出：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成；所以的结果是1234567654321， 故选C． 【点睛】本题主要考查了观察式子找规律，找到对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成的规律是解题的关键． 27．（23-24七年级上·全国·课后作业）【问题解决】 例如：观察下面式子，根据规律填空： （1），，，，…， ， ． （2），，，，…， ． 【答案】 444444888889 【分析】（1）计算末位是5的两位整数的平方，将十位上的数乘比它大1的数，所得结果后面添上25即可； （2）结果中4的个数比底数中6的个数多1，8的个数等于底数中的6的个数﹐最末位数字都是9． 【详解】（1）计算末位是5的两位整数的平方，将十位上的数乘比它大1的数，所得结果后面添上25， 如：，即； ：，即； ：，即； （2）结果中4的个数比底数中6的个数多1，8的个数等于底数中的6的个数﹐最末位数字都是9． ∴． 故答案为：；；． 【点睛】本题主要考查有理数乘方规律应用，找到题中数字规律是解题的关键． 28．（23-24七年级上·广东揭阳·阶段练习）探索规律，观察下面算式，解答问题． ； ； ； ； … (1)请猜想： ； (2)请猜想： ； (3)试计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察数据可知，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数的和的一半的平方，然后计算即可得解； （2）观察数据可知，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数的和的一半的平方，然后计算即可得解； （3）用从1开始到79的和减去从1开始到39的和，列式计算即可得解． 【详解】（1）解：； 故答案为：100； （2）； 故答案为：； （3） ． 【点睛】本题考查了数字变化规律，观察出结果的底数与算式中首尾两个数的关系是解题的关键． 题型八 定义两个数的运算 29．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）对于有理数、，定义运算：． (1)计算的值； (2)计算的值． 【答案】(1) (2)17 【分析】本题考查了有理数的混合运算： （1）利用新定义的运算法则及有理数的混合运算法则即可求解； （2）利用新定义的运算法则及有理数的混合运算法则即可求解； 熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意得： ． （2） ． 30．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）对于有理数定义一种新运算“”，规定． (1)计算：______． (2)若，求的值； (3)试比较与的大小． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）根据新运算即可求解； （）根据新运算即可求解； （）根据新运算把分别表示出来，再利用作差法比较即可求解； 本题考查了有理数新运算，理解新运算的新运算是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 整理得，， 解得； （3）解：∵， ， ∴， ∵， ∴． 31．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定，例如：． (1)求的值； (2)若的值与b互为相反数，求b的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要新定义运算规则下的运算，关键是要理解新的运算规则． （1）根据定义新运算“※”的法则计算即可求解； （2）根据定义新运算“※”的法则计算，再求其相反数即可． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得： ； （2）解： ． ∵的值与b互为相反数， ∴． 32．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______． (2)计算． (3)根据以上信息可知：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的除法以及倒数的定义，如图两个数乘积为1，那么这两个数互为倒数． （1）根据倒数的定义可得出答案； （2）将除法变为乘法，利用乘法的分配律进行计算即可； （3）再由倒数的定义直接得出答案即可． 【详解】（1）解；∵， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵ ∴ 33．（23-24七年级上·河南新乡·期中）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．对有理数、、，在乘法运算中满足①交换律：②乘法分配律：．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)22 【分析】本题考查的是新定义运算，有理数的四则混合运算，理解新定义运算的运算法则是解本题的关键； （1）根据新定义运算的含义列式计算即可； （2）先计算，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴． （2）∵， ∴． 34．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）定义新运算“※”为 ，则当时，计算． 【答案】7 【分析】本题考查新定义的有理数运算，根据新定义列式计算即可． 【详解】解：当时，， 由题意， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$