专题 第二章整式的加减章末重点题型复习（专项训练）数学华东师大版2024七年级上册

第二章：整式的加减章末重点题型复习 题型一 整式的相关辨析 1．（23-24七年级上·山东德州·期末）下列结论不正确的是（    ） A．多项式中，二次项是 B．的次数是4 C．不是整式 D．的系数是 2．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）已知多项式是二次三项式，n为常数，则的值为 ． 3．（23-24七年级上·上海青浦·期中）若关于x的多项式合并同类项后是一个三次二项式，则 ． 4．（23-24七年级上·湖南邵阳·期中）已知关于x的多项式是二次三项式： (1)求m，n的值； (2)将这个多项式按x的升幂排列； (3)求当时这个多项式的值 题型二 （合并）同类项 5．（21-22六年级下·全国·单元测试）①请写出三个与是同类项的单项式 ． ②若与是同类项，则 ， ． ③把多项式按的降幂排列为 ． 6．（2023七年级·全国·专题练习）已知单项式与是同类项，多项式是五次三项式，则的值是 ． 7．（23-24六年级下·全国·假期作业）若与的和是单项式，求的值． 8．（21-22七年级上·陕西榆林·期末）已知单项式与是同类项，多项式是五次三项式，求的值． 题型三 单项式、多项式的规律 9．（22-23七年级上·湖北宜昌·期末）观察下列的三行单项式 、、、、、、……① 、、、、、、……② 、、、、、、……③ (1)根据你发现的规律，第①行第8个单项式为 (2)第②行的第8个单项式为 ，第③行的第8个单项式为 (3)取每行的第9个单项式，记这三个单项式的和为，计算当时，求的值． 10．（22-23七年级上·湖北武汉·阶段练习）观察下面的三行单项式 、…… 、…… 、…… 根据你发现的规律： (1)第①行第n个单项式为 (2)第②行第n个单项式为 (3)第③行第n个单项式为 (4)取每行的第11个单项式，令这三个单项式的和为A，计算当x＝时，512（A＋）的值． 11．（22-23七年级上·山西忻州·期中）观察下列多项式：，，，，…，按此规律，则可得到第2021个多项式是 ． 12．（22-23六年级上·全国·单元测试）已知多项式． (1)根据这个多项式的排列规律，你能确定这个多项式是几次几项式吗 (2)最后一项的系数的值为多少 (3)这个多项式的第七项和第八项分别是什么 题型四 整体代入法求值 13．（23-24七年级上·吉林·期末）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．若代数式的值为7，则的值为 ． 14．（23-24七年级上·山东德州·期中）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要． 例如，已知：，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： 若，则 ． 15．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，则． 尝试应用： （1）已知，求的值； （2）已知，，，求的值； 拓展探索： （3）把一个大正方形和四个相同的小正方形按图①、②两种方式摆放，已知，，请观察图形，求图②中的阴影部分面积． 16．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （A级选做题） （1）把看成一个整体，合并______； （2）运用“整体思想”合并； （3），则______． （B级选做题） （1）把看成一个整体，合并______； （2）已知，运用“整体思想”求的值； （3）若，则______． （C级选做题） （1）把看成一个整体，合并______； （2）已知，运用“整体思想”求的值； （3）若，则______． 题型五 整式加减中的错看/错解问题 17．（22-23七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）已知多项式，．小希在计算时把题目条件错看成了，求得的结果为，那么小希最终计算的中不含的项为（    ） A．五次项 B．三次项 C．二次项 D．常数项 18．（21-22七年级上·广东云浮·期中）小张同学在计算时，将“”错看成了，得出的结果是． (1)请问题目中的___________，的正确结果为____________； (2)试探索：当字母b、c满足什么关系时，（1）中的结果与字母a的取值无关． 19．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）小丽在求解一道数学题“已知两个多项式，，计算”时，却将错写成，此时求得的结果是，其中，请你帮助小丽求出的正确答案． 20．（23-24七年级上·全国·期末）有这样一道计算题：的值，其中，．小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；小华同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明． 题型六 整式加减中的遮挡/污染问题 21．（2019·河北张家口·一模）已知：、都是关于的多项式，，，其中多项式有一项被“□”遮挡住了． （1）当时，，请求出多项式被“□”遮挡的这一项的系数； （2）若是单项式，请直接写出多项式． 22．（23-24七年级上·吉林四平·期末）老师在黑板上书写了一个正确的整式计算过程，随后用手掌遮住了一个多项式，形式如：，如果设被手掌遮住部分为A，请你求出A代表的多项式． 23．（23-24七年级上·广西河池·期中）综合与实践： 小红和小丽在完成题目“化简：．”发现系数“”被墨迹污染了． 小红说：“我猜被墨迹污染的系数是2．” 小丽说：“你猜错啦，我看到这道题的标准答案是常数．” (1)请你根据小红的话化简：； (2)请你根据小丽的话通过计算说明原题中系数“”是多少？ 24．（22-23七年级上·江西宜春·期末）已知一道整式化简题：■，其中“■”处的系数被墨水污染了．请根据如图所示的对话解答下列问题． (1)请你根据冰墩墩猜的数字化简该式； (2)请你根据雪容融的对话，求出■所表示的数字是多少？ 题型七 整式加减中的无关型问题 25．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知代数式的值与字母x的取值无关，求的值． 26．（23-24七年级上·湖北随州·期中）已知代数式，，． (1)当时，求代数式M的值． (2)若代数式的值与字母x的取值无关，求代数式的值． 27．（23-24七年级上·湖南张家界·期末）回答下列各题． (1)先化简，再求值：，其中，． (2)已知，． ①计算； ②如果的值与y的取值无关，求此时x的值． 28．（23-24七年级上·四川广安·期末）小明在求多项式与的差时，发现系数“”印刷不清楚．小明的妈妈说：“我查到的该题的标准答案与字母x的取值无关”，则“”的值应该是多少？ 题型八 整式加减中不含问题 29．（23-24七年级上·吉林白城·期中）已知关干x的多项式不含项和项，求m、n的值． 30．（23-24七年级上·广东河源·期末）关于a的多项式与的和不含和a项． (1)求m、n的值； (2)求的值． 31．（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知，（，为关于x的多项式），的结果中不含一次项和常数项． (1)求，的值； (2)求的值． 32．（2023七年级上·全国·专题练习）已知代数式 (1)若， ①求； ②当时，求的值； (2)若（a为常数），且A与B的和不含项，求整式的值． 题型九 整式加减的循环问题 33．（23-24九年级上·重庆潼南·期中）学习添括号法则后，小明所在的学习小组为了加强对法则的理解，编了一个小游戏，游戏规则如下：把多项式看做a，，，，五项的和，这五项可以依序循环站位，例如：当a站在第2位时，站在第一位，变为多项式．在任意相邻两个或三个字母左右添括号，再在符号不变的情况下，交换括号前后两字母的位置，则称此操作为“交换操作”，例如：在b，m两相邻字母之间先添括号得到，再交换a，n的位置得到，下列说法： ①存在一种“交换操作”后的式子与原多项式一样； ②若每次操作只在相邻两个字母变换，则这样的变换共有5种不同的结果； ③存在两个变换后多项式的差只含两个字母． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 34．（20-21七年级上·陕西西安·期中）机器人编程课上，小华编写了一个循环“插数”程序，对于有序数列：-3，0进行有规律的“插数”：对任意两个相邻数，都用右边的数减去左边的数之差“插”在这相邻的两个数之间，产生一个新数列，如：第一次“插数”后产生数列是-3，3，0；第二次“插数”后产生数列是-3，6，3，-3，0；第三次“插数＂后产生数列是-3，9，，6，-3，30；...；第2020次插数产生的一个新数列的所有数之和是 ． 35．（22-23七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，如图1（算作剪1次），然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，如图2（算作剪2次），再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如图3（算作剪3次），如此循环进行下去． (1)填表： 剪的次数 1 2 3 4 正方形个数 7 10 (2)如果剪10次，共剪出_____________个小正方形；如果剪次，共剪出_____________个小正方形； (3)如果要剪出100个小正方形，那么需要剪_____________次； (4)若原正方形纸片的边长为1，则剪3次后最小正方形（图3阴影部分）的面积为_____________． 题型十 利用整式加减计算周长 36．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，用三种大小不同的5个正方形和一个长方形（阴影部分）拼成长方形，其中厘米，最小的正方形的边长为x厘米． (1) ______厘米， ______厘米（用含x的整式分别表示）： (2)求长方形的周长（用含x的整式表示），当厘米时，求其值． 37．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，在正方形的边上取一点，以为边在正方形的上方作正方形，连接，若正方形与正方形边长分别为和． (1)若，求； (2)若（为常数），当为何值时，五边形的周长与的取值无关． 38．（23-24七年级上·山东滨州·期中）对于任意两个数，的大小比较，有下面的方法：当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． (1)分别求出图1中长方形的周长和图2中长方形的周长； (2)在（1）的条件下，若，用“作差法”比较的大小． 39．（23-24七年级上·广西崇左·阶段练习）如图所示的长方形，已知长方形的长为，宽为6． (1)用含a的式子表示：长方形的周长为 ，长方形的面积为 ；（要求化简） (2)用含 a、b式子表示阴影部分的面积； (3)当时，求阴影部分的面积． 题型十一 整式加减的规律探究问题 40．（23-24七年级上·江苏南通·期中）按一定规律排列的一列数称为数列．对于一个数列中依次排列的任意相邻的三个数x，y，z，若，则称这个数列为梦想数列．已知数列是梦想数列，且，那么式子的值为 ． 41．（22-23七年级上·四川成都·期中）新定义一种新运算“”，认真观察，寻找规律： ， ， ， ， (1)直接写出新定义运算律： ______； (2)新运算“”是否满足交换律？请说明理由； (3)先化简，再求值：，其中 42．（2024·安徽合肥·一模）同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： (1)第5个图形中有______颗黑色棋子；第8个图形比第6个图形多______颗黑色棋子；（填数字） (2)第个图形比第n个图形中多______（用含n的代数式表示）颗黑色棋子． 43．（23-24七年级上·江西景德镇·期中）如图是用棋子摆成的“上”字图案，按照这种规律继续摆下去，通过观察、对比、总结，找出规律，解答下列问题． (1)摆成图1需要_______枚棋子，摆成图2需要______枚棋子，摆成图3需要_____枚棋子． (2)摆成图n需要_________枚棋子； (3)七（1）班有50名同学，把每名同学当成一枚“棋子”，能否让这50枚“棋子”按照以上规律恰好站成一“上”字？若能，请问能站成图几？并计算最下面一“横”的学生数；若不能，请说明理由． 题型十二 整式加减与绝对值综合 44．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）已知，现将a，b，c，d全部放入运算的中，然后进行去绝对值与去括号运算，称此为“绝对括号操作”．例如：，，……，下列说法： ①一定存在两种“绝对括号操作”，使其运算结果相等； ②当运算结果为时，有8种不同的“绝对括号操作”； ③所有的“绝对括号操作”共有6种不同运算结果．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 45．（24-25七年级上·全国·假期作业）当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道， 世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅，而是尚未相遇，便注定无法相聚． 距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．我们可以从图形和代数化简两个角度来计算距离： 已知点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，例如表示到的距离，而则表示到的距离； 我们知道：，于是可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如化简时，可先令和，分别求得，（称和分别为的零点值），在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：①；②；③．从而化简可分以下种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上，原式= 结合以上材料，回答以下问题： (1)化简代数式； (2)化简代数式． 46．（23-24七年级上·云南昆明·期末）“距离”再探究． 【概念理解】 “数形结合”是重要的数学思想．如：表示3与差的绝对值，也可以理解为3与在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A，B，所对应的数分别用a，b表示，那么A，B两点之间的距离表示为．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上，点A，B表示的数分别是x，2，则A，B两点之间的距离可以表示为 ． A．    B．   C．    D． (2)【数学思考】数轴上，点C，D，E表示的数分别是2，4，10．点P是数轴上的动点，设点P表示的数是x． （Ⅰ）的最小值为 ； （Ⅱ）填写表格，并回答问题： x … 3 4 5 6 … … ① ② 9 10 … ①处应填 ．②处应填 ．当 时，取最小值． (3)【实际应用】在一条笔直的道路l上依次建有A，B，C，D四个停车场，其中B停车场靠近风景区，现准备在道路l上修建一个充电站P，请为充电站P选择一个合理的建造地点，并简要说明理由． 47．（23-24七年级上·四川绵阳·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示和2两点之间的距离是____________________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是3，那么____________________． (2)若数轴上表示数的点位于与2之间，则的值为____________________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是____________________． (4)当____________________时，的值最小，最小值是____________________． 题型十三 整式加减与数轴动点问题 48．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）操作发现． 操作一：如图1，已知点A、M所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点B，此时点B所表示的数为4，我们称点B是点A关于点M的映射点； 记作：或； 操作二：如图2，已知点M和线段，将点A、M绕同一点旋转，使点A和点B重合，此时点M所对应的点用N表示，我们称点N是点M关于线段的映射点； 记作：；如：； (1)利用图3、图4，直接填空：______；______； (2)若A、B两点所表示的数分别是、，；求点C所表示的数；（用含a、b的代数式表示） (3)点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且，； ①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出它的取值范围； ②当点C表示的数是时，B、D两点之间距离刚好为1，若点B在点A右侧，求a的值． 49．（23-24七年级上·广东湛江·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，已知是，数是最大的负整数，是单项式的次数． (1)_____，_______． (2)点，，开始在数轴上运动，若点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为． ①_____，________．（用含的代数式表示） ②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． ③若点，，与三点同时开始在数轴上运动，点从原点出发以每秒4个单位长度的速度向左运动，请含的式子表示． 50．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒．    (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为______，点与点的中点为，则点表示的数为______；运动秒后，点表示的数为______（用含的式子表示）； (2)若秒钟过后，点是线段的中点，求值； (3)当点在点右侧时，是否存在常数，使的值为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 51．（23-24七年级上·重庆万州·阶段练习）认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：．若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：． 利用数轴探究下列问题： (1)的最小值是 ，此时x的取值范围 ； (2)请按照（1）问的方法思考：的最小值是 ，此时x的值是 ； (3)的最小值是 ，此时x的值是 ； (4)如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，1个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这7个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值． 题型十四 整式加减与数字综合 52．（23-24七年级下·河南许昌·期末）阅读：证明命题“一个三位数各位数字之和可以被3整除，则这个数就可以被3整除”．设表示一个三位数． 则． 因为能被3整除，也能被3整除，所以能被3整除． 运用： (1)一个四位数，如果能被9整除．请证明能被9整除． (2)若一个三位数的各位数字是任意三个连续的正整数，则的最小正因数一定是______（数字“1”除外）． 53．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）阅读材料：对于任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么我们称这个两位数为“迥异数”，将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新的两位数，新两位数与原两位数的和为，和与的商为，所以． 根据上述定义，回答下列问题： (1)填空： 下列两位数，，中，是“迥异数”的为______； 计算 ______． (2)如果一个“迥异数”的十位数字是，个位数字是，且，请求出“迥异数”的值． 54．（23-24七年级上·重庆黔江·期中）在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数—“平等数”定义：对于自然数n，若的结果各数位数字都相等，则称这个自然数n为“平等数”．例如：2是“平等数”，因为；10是“平等数”，因为；20不是“平等数”，因为． (1)判断1和21是否是“平等数”？请说明理由； (2)求出所有的不大于100的“平等数”？ 55．（23-24七年级上·福建莆田·期中）一般情况下，对于数和，“”不等号，但是对于某些特殊的数和，我们把这些特殊的数和，称为“理想数对”，记作例如当，时，有，那么就是“理想数对”． (1)，可以称为“理想数对”的是______； (2)如果是“理想数对”，求的值； (3)若是“理想数对”，求的值． 题型十五 整式加减中的新定义问题 56．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）定义新运算：满足 (1)当，化简； (2)如果化简的结果与无关，求的值． 57．（23-24七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）年月日，神舟十五号载人飞船成功返回地球，结合这么具有纪念意义的历史时刻，王老师给出一个新定义：、的两个整式，如果，那么叫做的“神舟式”． (1)若，，当时，求、的值，请你判断此时是否为的“神舟式”，并说明理由； (2)若，是的“神舟式”，求整式． 58．（23-24七年级上·江苏常州·期中）对于有理数a、b，定义运算：“★”， (1)计算：的值． (2)填空：______（填“”或“”或“”）． (3)我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（2）计算的结果，你认为这种运算“★”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，为什么？ 59．（23-24七年级上·吉林延边·期末）定义：若，则称a与b是关于6的实验数． (1)4与________是关于6的实验数；式子________与是关于6的实验数； (2)若，，判断a与b是否是关于6的实验数，并说明理由． 题型十六 整式加减中的应用 60．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）日历上的规律：下图是2023年11月的日历，图中的阴影区域是在日历中选取的一块九宫格． (1)九宫格中，四个角上的四个数之和与九宫格中央这个数有什么关系？ (2)请你自选一块九宫格进行计算，观察四个角上的四个数之和与九宫格中央那个数是否还有这种关系．（用虚线框圈出你所选定的九宫格） (3)试说明原理． 61．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）【课本再现】七年级下册教材中我们探究过《用求差法比较大小》：我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或代数式的大小．当不能直接比较大小时就要考虑进行一定的转化，其中“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过先求差、变形，然后利用差的符号来确定它们的大小． 两个数量的大小可以通过它们的差来判断．如果两个数和比较大小，那么： 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 反过来也对，即： 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小． 【类比应用】（1）用“>”或“<”填空． ①若时，___________； ②若时，_________； ③若，则_________； 【解决问题】（2）如图所示，在的正方形网格中，以为圆心为半径画扇形，以为直径画半圆，若图中阴影部分的面积分别为，用“求差法”比较与的大小． 62．（2024·河北沧州·三模）【发现】如果一个整数的个位数字能被整除，那么这个整数就能被整除． 【验证】如：∵， 又∵和都能被整除，能被整除， ∴能被整除， 即：能被整除． （1）请你照着上面的例子验证不能被2整除； （2）把一个千位是、百位是、十位是、个位是的四位数记为．请照例说明：只有是偶数时，四位数才能被2整除． 【迁移】设是一个四位数，请证明：当能被整除时，能被整除． 63．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）窗户的形状如图（1）所示（图中长度单位：m），其上部分是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长是米，计算：（本题取3） (1)窗户的面积； (2)窗户的外框（如图2）的总长： (3)窗户上安装玻璃（窗户内的边框忽略不计），每平方米80元，窗户外框是铝合金材料每米200元，当时，这个窗户玻璃与铝合金共花费多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章：整式的加减章末重点题型复习 题型一 整式的相关辨析 1．（23-24七年级上·山东德州·期末）下列结论不正确的是（    ） A．多项式中，二次项是 B．的次数是4 C．不是整式 D．的系数是 【答案】D 【分析】此题主要考查了多项式和单项式以及整式，关键是掌握多项式的项以及单项式的次数的计算方法．根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数；多项式的组成元素是单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式和多项式统称为整式进行分析即可． 【详解】解：A、多项式中，二次项是，该项说法正确，故A不符合题意； B、的次数是4，该项说法正确，故B不符合题意； C、不是整式，该项说法正确，故C不符合题意； D、的系数是，该项说法错误，故D符合题意． 故选：D． 2．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）已知多项式是二次三项式，n为常数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的概念，代数式求值； 根据多项式的概念求出，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵多项式是二次三项式， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·上海青浦·期中）若关于x的多项式合并同类项后是一个三次二项式，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了合并同类项和多项式的相关定义，先将原式进行合并同类项，根据多项式是三次二项式可知二次项的系数为0，据此求解即可． 【详解】解：， ∵合并同类项后是一个三次二项式， ∴，解得， 故答案为：1． 4．（23-24七年级上·湖南邵阳·期中）已知关于x的多项式是二次三项式： (1)求m，n的值； (2)将这个多项式按x的升幂排列； (3)求当时这个多项式的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式的相关概念及多项式的重新排列，熟练掌握多项式的次数和项数是解答本题的关键． （1）根据关于x的多项式是二次三项式求出m、n即可； （2）将多项式还原后按降幂排列即可； （3）将代入多项式计算即可． 【详解】（1）由题可得                          ∴ （2）当时， （3）当时， 题型二 （合并）同类项 5．（21-22六年级下·全国·单元测试）①请写出三个与是同类项的单项式 ． ②若与是同类项，则 ， ． ③把多项式按的降幂排列为 ． 【答案】 ，，（答案不唯一） 2 2 【分析】①根据同类项的概念是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项，所以只改变的系数就可得其同类项；②本题考查同类项的定义，由同类项的定义可求得和的值；③把多项式按的降幂排列即按的指数从大到小排列． 【详解】解：①，，； ②由同类项的定义可知： ∴，； ③把多项式按的降幂排列为， 故答案为：，，；2，2；． 【点睛】本题考查了同类项，多项式，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点． 6．（2023七年级·全国·专题练习）已知单项式与是同类项，多项式是五次三项式，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据同类项的概念和多项式的有关概念得到的值，再进行计算即可得到答案． 【详解】解：单项式与是同类项， ， 多项式是五次三项式， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同类项的概念及多项式的有关概念，如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项；几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，其中多项式中不含字母的项叫做常数项，熟练掌握同类项的概念及多项式的有关概念是解题的关键． 7．（23-24六年级下·全国·假期作业）若与的和是单项式，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的概念，熟悉掌握同类项的特点是解题的关键． 根据与的和是单项式，推出与是同类项，列式运算即可． 【详解】解：∵与的和是单项式． ∴与是同类项， ∴，， 解得：，， ∴． 8．（21-22七年级上·陕西榆林·期末）已知单项式与是同类项，多项式是五次三项式，求的值． 【答案】 【分析】根据同类项的定义和多项式的次数和项的定义列式计算即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴． ∵多项式是五次三项式， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了同类项即含有字母相同且相同字母的指数也相同，多项式的次数即多项式中次数最高的项的次数，熟练掌握定义是解题的关键． 题型三 单项式、多项式的规律 9．（22-23七年级上·湖北宜昌·期末）观察下列的三行单项式 、、、、、、……① 、、、、、、……② 、、、、、、……③ (1)根据你发现的规律，第①行第8个单项式为 (2)第②行的第8个单项式为 ，第③行的第8个单项式为 (3)取每行的第9个单项式，记这三个单项式的和为，计算当时，求的值． 【答案】(1) (2)， (3)769 【分析】（1）根据题目中单项式的系数和字母的指数的变化情况寻找规律即可求解； （2）根据题目中单项式的系数和字母的指数的变化情况寻找规律即可求解； （3）根据（1）、（2）中所得规律列代数式代入值即可． 【详解】（1）解：、、、、、、……①， 可得第①行第个单项式为， ∴第①行第8个单项式为． 故答案为：； （2）、、、、、、……②， 、、、、、、……③， 可得第②行第个单项式为， 第③行第个单项式为， ∴第②行的第8个单项式为：， 第③行的第8个单项式为：． 故答案为：，； （3）根据（1）、（2）中所得规律，可得第①行第9个单项式为，第②行第9个单项式为，第③行的第9个单项式为， ∴ ， 当时， ． 【点睛】本题主要考查了单项式规律题、代数式求值、有理数的混合运算等知识，解题的关键是准确寻找单项式的变化规律． 10．（22-23七年级上·湖北武汉·阶段练习）观察下面的三行单项式 、…… 、…… 、…… 根据你发现的规律： (1)第①行第n个单项式为 (2)第②行第n个单项式为 (3)第③行第n个单项式为 (4)取每行的第11个单项式，令这三个单项式的和为A，计算当x＝时，512（A＋）的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）观察第①行式子的特点，可得第n个数是 ； （2）观察第②行式子的特点，可得第n个数是； （3）观察第③行式子的特点，可得第n个数是 ； （4）先求出A，再将 x值代入计算即可． 【详解】（1）观察第①行的每个单项式可知： 系数依次，次数依次， ∴第n个单项式为； 故答案为：； （2）观察第②行的单项式可知： 第奇数个是负数，第偶数个是正数，系数和次数同（1）， ∴第n个单项式为； 故答案为：； （3）观察第③行单项式可知： 在（1）、（2）的基础上符号与（2）的相反， （1）的系数，次数可得（3）系数的绝对值和次数， ∴第n个单项式为． 故答案为：． （4）， ． 答：当时，的值为． 【点睛】本题考查了整式中单项式的变化规律，能够通过所给例子，找到数字的规律，利用整式的加减运算法则是解题的关键． 11．（22-23七年级上·山西忻州·期中）观察下列多项式：，，，，…，按此规律，则可得到第2021个多项式是 ． 【答案】 【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律． 【详解】解：多项式的第一项依次是，，，，， 第二项依次是，，， 则可以得到第2021个多项式是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式，本题属于找规律的题目，把多项式分成几个单项式的和，分别找出各单项式的规律是解决这类问题的关键． 12．（22-23六年级上·全国·单元测试）已知多项式． (1)根据这个多项式的排列规律，你能确定这个多项式是几次几项式吗 (2)最后一项的系数的值为多少 (3)这个多项式的第七项和第八项分别是什么 【答案】(1)十次十一项式； (2)； (3)； 【分析】（1）该多项式按照的降幂排列，每一项的次数是，奇数项的符号是正号，偶数项的符号是负号即可解答； （2）观察已知多项式每一项的系数即可得到最后一项的系数的值； （3）结合（1）即可得到多项式的第七项和第八项． 【详解】（1）解：∵多项式是按照的降幂排列， ∴该多项式有项，并且每一项的次数是， ∴该多项式是十次十一项式； （2）解：∵多项式有项， ∴每一项的系数是，且偶数项为负数，奇数项为正数， ∴第项的系数为， ∴第项的系数为， ∴, ∴最后一项的系数的值为． （3）解：∵多项式第项的系数为， ∴第七项的系数是，第八项的系数是， ∵多项式按照的降幂排列，且每一项的次数是， ∴第七项是, 第八项, 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化列，多项式的的有关概念，理解多项式的项，项数，次数是解题的关键． 题型四 整体代入法求值 13．（23-24七年级上·吉林·期末）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．若代数式的值为7，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了求代数式的值，先根据代数式的值为7，得出，整体代入进行计算即可得出答案，采用整体代入的思想是解此题的关键． 【详解】解：代数式的值为7， ， ， ， ， 故答案为：． 14．（23-24七年级上·山东德州·期中）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要． 例如，已知：，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： 若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，由得出，将变形为，整体代入进行计算即可，采用整体代入的思想是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 15．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，则． 尝试应用： （1）已知，求的值； （2）已知，，，求的值； 拓展探索： （3）把一个大正方形和四个相同的小正方形按图①、②两种方式摆放，已知，，请观察图形，求图②中的阴影部分面积． 【答案】（1）；（2）2018；（3）128 【分析】本题考查了合并同类项，求代数式的值，整体思想的运用是解答本题的关键． （1）把看成一个整体合并同类项即可； （2）由题意得，把，代入整理可得答案； （3）先求出大小正方形的边长，然后用大正方形的面积减去小正方形的面积即可． 【详解】解：（1） ． 当时， 原式． （2）∵， ∴， 把，代入得 ； （3）观察图形可知： 大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∵，， ∴． 16．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （A级选做题） （1）把看成一个整体，合并______； （2）运用“整体思想”合并； （3），则______． （B级选做题） （1）把看成一个整体，合并______； （2）已知，运用“整体思想”求的值； （3）若，则______． （C级选做题） （1）把看成一个整体，合并______； （2）已知，运用“整体思想”求的值； （3）若，则______． 【答案】（A级选做题）（1）2；（2）；（3）2；（B级选做题）（1）2；（2）；（3）；（C级选做题）（1）2；（2）；（3）． 【分析】本题考查了整式的加减、求代数式的值，解此题的关键是采用整体代入的思想进行计算． （A级选做题） （1）运用“整体思想”合并同类项即可； （2）运用“整体思想”合并同类项即可； （3）把写成，整体代入计算即可； （B级选做题） （1）运用“整体思想”合并同类项即可； （2）把写成，整体代入计算即可； （3）由可得，把写成，整体代入计算即可； （C级选做题） （1）运用“整体思想”合并同类项即可； （2）将写成，整体代入计算即可； （3）由可得，再将写成，整体代入计算即可． 【详解】解：（A级选做题） （1）， 故答案为：； （2）； （3）， ， 故答案为：； （B级选做题） （1）， 故答案为：； （2）， ； （3）， ， ， 故答案为：； ，则 （C级选做题） （1）， 故答案为：； （2）， ， （3）， ，即， 故答案为：． 题型五 整式加减中的错看/错解问题 17．（22-23七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）已知多项式，．小希在计算时把题目条件错看成了，求得的结果为，那么小希最终计算的中不含的项为（    ） A．五次项 B．三次项 C．二次项 D．常数项 【答案】C 【分析】先根据求出a、b的值， 继而得出，即可得出答案． 【详解】解∶由题意知 ， 而 ∴，， 解得：，， ∴ ， ∴最终计算的中不含的项为二次项， 故选∶C． 【点睛】本题主要考查整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是∶先去括号，然后合并同类项，熟练掌握整式加减的步骤是解题的关键． 18．（21-22七年级上·广东云浮·期中）小张同学在计算时，将“”错看成了，得出的结果是． (1)请问题目中的___________，的正确结果为____________； (2)试探索：当字母b、c满足什么关系时，（1）中的结果与字母a的取值无关． 【答案】(1)， (2)当b=5c时，正确的计算结果与字母a的取值无关 【分析】（1）先根据题意列出，利用整式相加减求出A，再求正确式子的结果即可； （2）将ab﹣5ac+2写成（b﹣5c）a+2，即可得到当b=5c时，正确的计算结果与字母a的取值无关． 【详解】（1）由题意得：， ， ， 故答案为：，． （2）ab﹣5ac+2= a（b﹣5c）+2， 由题意可得：b﹣5c=0， ∴b=5c， ∴当b=5c时，正确的计算结果与字母a的取值无关． 【点睛】本题考查了整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键． 19．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）小丽在求解一道数学题“已知两个多项式，，计算”时，却将错写成，此时求得的结果是，其中，请你帮助小丽求出的正确答案． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算，先根据 ，计算出多项式A，再计算即可．掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． 【详解】解：由题意知 ， ， ， ． 20．（23-24七年级上·全国·期末）有这样一道计算题：的值，其中，．小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；小华同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明． 【答案】见解析 【分析】此题考查了整式的加减﹣化简求值，原式去括号合并得到最简结果，即可作出判断． 【详解】解： ， ∵结果不含x，且为非负数， ∴结果与x的值无关，且或者时，原式， ∴小明与小华错看x与y，结果也是正确的． 题型六 整式加减中的遮挡/污染问题 21．（2019·河北张家口·一模）已知：、都是关于的多项式，，，其中多项式有一项被“□”遮挡住了． （1）当时，，请求出多项式被“□”遮挡的这一项的系数； （2）若是单项式，请直接写出多项式． 【答案】（1）多项式B被“□”遮挡的这一项的系数为;（2）或． 【分析】（1）设，将x=1分别代入A及B，即可列出等式求解； （2）分两种情况：①设，计算A+B=，由A+B是单项式得到3+k=0，求解k即可得到B；②设，计算A+B=，，由A+B是单项式得到k-5=0，求解k即可得到B. 【详解】（1）设， 当时，，， ∴， ∴， ∴多项式B被“□”遮挡的这一项的系数为； （2）①设， ∴A+B=， ∵A+B是单项式， ∴3+k=0， 解得k=-3,， ∴； ②设， ∴A+B=, ∵A+B是单项式， ∴k-5=0， 解得k=5， ∴ ∴或. 【点睛】此题考查多项式的定义，单项式的定义，整式的加法计算法则，正确理解题意是解题的关键. 22．（23-24七年级上·吉林四平·期末）老师在黑板上书写了一个正确的整式计算过程，随后用手掌遮住了一个多项式，形式如：，如果设被手掌遮住部分为A，请你求出A代表的多项式． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据被减数=减数+差求解即可． 【详解】解：由题意，得： 所以被手掌遮住部分A代表的多项式为． 23．（23-24七年级上·广西河池·期中）综合与实践： 小红和小丽在完成题目“化简：．”发现系数“”被墨迹污染了． 小红说：“我猜被墨迹污染的系数是2．” 小丽说：“你猜错啦，我看到这道题的标准答案是常数．” (1)请你根据小红的话化简：； (2)请你根据小丽的话通过计算说明原题中系数“”是多少？ 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查合并同类项，熟练掌握合并同类项是解题的关键； （1）直接去括号合并同类项，进而得出答案； （2）直接去括号合并同类项，再利用结果是常数，得出答案． 【详解】（1） 解：∵系数是2， ∴ ； （2） 解：原式 ， ∵计算结果是常数， ∴， ∴． 24．（22-23七年级上·江西宜春·期末）已知一道整式化简题：■，其中“■”处的系数被墨水污染了．请根据如图所示的对话解答下列问题． (1)请你根据冰墩墩猜的数字化简该式； (2)请你根据雪容融的对话，求出■所表示的数字是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接将10代入“■”化简即可； （2）先去括号合并同类项，然后令不含项的系数等于0求解即可． 【详解】（1）根据题意，原式＝ ＝ ＝ ＝ （2）设■所表示的数字是a，则 原式＝ ＝ ＝ 因为化简结果为常数，所以， 所以■所表示的数字是 【点睛】本题考查了整式的加减－－－无关型问题，解答本题的关键是理解题目中代数式的取值与哪一项无关的意思，与哪一项无关，就是合并同类项后令其系数等于0，由此建立方程求解． 题型七 整式加减中的无关型问题 25．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知代数式的值与字母x的取值无关，求的值． 【答案】 【分析】题考查了整式的加减－无关型问题，解答本题的关键是理解题目中代数式的取值与哪一项无关的意思，与哪一项无关，就是合并同类项后令其系数等于0，由此建立方程求解． 【详解】解： ， ∵代数式的值与字母x的取值无关， ∴， ∴， ∴ ． 26．（23-24七年级上·湖北随州·期中）已知代数式，，． (1)当时，求代数式M的值． (2)若代数式的值与字母x的取值无关，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减运算，非负数的性质，代数式求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）先计算出代数式的值，再求出x、y的值，代入求解即可． （2）先将变形为，根据的值与字母x的取值无关，让，的系数为0，求出a、b的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∵， ∴，， 解得，， 将，代入原式，得： ． （2）解： ， ∵代数式的值与字母x的取值无关， ∴，， ∴，， ∴． 27．（23-24七年级上·湖南张家界·期末）回答下列各题． (1)先化简，再求值：，其中，． (2)已知，． ①计算； ②如果的值与y的取值无关，求此时x的值． 【答案】(1)，22 (2)①；② 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先去括号合并同类项，再把，代入计算即可； （2）①把A，B的值代入，去括号合并同类项； ②合并关于y的同类项，令y的系数等于0即可求出x的值． 【详解】（1） ， 当，时， 原式； （2）①∵，， ∴ ； ②， ∵的值与y的取值无关， ∴， ∴． 28．（23-24七年级上·四川广安·期末）小明在求多项式与的差时，发现系数“”印刷不清楚．小明的妈妈说：“我查到的该题的标准答案与字母x的取值无关”，则“”的值应该是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了多项式的加减运算，先计算与的差得到，根据“该题的标准答案与字母x的取值无关”得到，即可得到． 【详解】解： ． 因为标准答案与字母x的取值无关， 所以， 解得． 题型八 整式加减中不含问题 29．（23-24七年级上·吉林白城·期中）已知关干x的多项式不含项和项，求m、n的值． 【答案】，； 【分析】本题考查整式的化简求值，先化简，再根据不含项和项其系数为0求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 原式， ∵不含项和项， ∴，， 解得：，， 故答案为：，． 30．（23-24七年级上·广东河源·期末）关于a的多项式与的和不含和a项． (1)求m、n的值； (2)求的值． 【答案】(1)，． (2)， 【分析】（1）本题考查整式的加减混合运算，多项式不含和a项，即该项的系数为0，据此列式即可解题． （2）本题考查整式的加减混合运算，利用加减混合运算法则将多项式化简，再将m、n的值代入求解，即可解题． 【详解】（1）解： ， 关于a的多项式的和不含和a项． ，， 解得，． （2）解： ， 将，代入上式， ． 31．（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知，（，为关于x的多项式），的结果中不含一次项和常数项． (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2)9 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题、代数式求值： （1）利用整式的加减运算法则可得，根据不含一次项和常数项可得，，进而可求解； （2）将（1）中，代入原式即可求解； 熟练掌握整式加减中的无关型问题及整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 的结果中不含一次项和常数项， ，， 解得：，． （2）由（1）得：，， 将，代入原式得：． 32．（2023七年级上·全国·专题练习）已知代数式 (1)若， ①求； ②当时，求的值； (2)若（a为常数），且A与B的和不含项，求整式的值． 【答案】(1)①；②8 (2)19 【分析】（1）根据整式的加减运算化简求值即可； （2）根据整式的加减运算顺序即可求解； （3）根据和中不含x2项即是此项的系数为0即可求解． 【详解】（1）解：① ， ②由①知， 当时； （2）解：∵，， ∴ ， ∵A与B的和不含项， ， 即， ∴ ． 【点睛】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握多项式加减的运算法则，合并同类项的法则． 题型九 整式加减的循环问题 33．（23-24九年级上·重庆潼南·期中）学习添括号法则后，小明所在的学习小组为了加强对法则的理解，编了一个小游戏，游戏规则如下：把多项式看做a，，，，五项的和，这五项可以依序循环站位，例如：当a站在第2位时，站在第一位，变为多项式．在任意相邻两个或三个字母左右添括号，再在符号不变的情况下，交换括号前后两字母的位置，则称此操作为“交换操作”，例如：在b，m两相邻字母之间先添括号得到，再交换a，n的位置得到，下列说法： ①存在一种“交换操作”后的式子与原多项式一样； ②若每次操作只在相邻两个字母变换，则这样的变换共有5种不同的结果； ③存在两个变换后多项式的差只含两个字母． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了新概念，整式的加减，根据题意，理解新概念的意思，列举出所有可能逐一分析判断是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知所有变换有：， 在b，m左右添括号得，可以化简为（1）； 在m，n左右添括号得，可以化简为（2）； 在n，e左右添括号，根据循环站位可知，即：在n，e左右添括号，得：，可以化简为（3）； 在e，a左右添括号，根据循环站位可知，即：在e，a左右添括号，得可以化简为（4）； 在a，b左右添括号，根据循环站位可知，即：在a，b左右添括号，得可以化简为（5）； （5）没变，故①对；由上可知恰好五种，故②对； 由（1）（5）得：， 故③对； 故选：D． 34．（20-21七年级上·陕西西安·期中）机器人编程课上，小华编写了一个循环“插数”程序，对于有序数列：-3，0进行有规律的“插数”：对任意两个相邻数，都用右边的数减去左边的数之差“插”在这相邻的两个数之间，产生一个新数列，如：第一次“插数”后产生数列是-3，3，0；第二次“插数”后产生数列是-3，6，3，-3，0；第三次“插数＂后产生数列是-3，9，，6，-3，30；...；第2020次插数产生的一个新数列的所有数之和是 ． 【答案】6057 【分析】根据题意分别求得第一次操作，第二次操作所增加的数，第三次操作所增加的数，…，可发现是规律，从而求得第2020次操作后所有数之和． 【详解】解：第一次操作增加数字：3， 第一次“插数”后，所有数的和为：-3+3+0=0 第二次操作增加数字：6，-3， 第二次“插数”后，所有数的和为：-3+6+3+（-3）+0=3 第三次操作增加数字：9，-3，-6，3， 第三次“插数”后，所有数的和为：-3+9+6+（-3）+3+（-6）+（-3）+3+0=6 …， 故，所有数字之和为：3n-3, ∴第2020次操作后所有数之和为3×2020-3=6057． 故答案为：6057． 【点睛】此题主要考查了数字变化类，关键是找出规律，要求要有一定的解题技巧，解题的关键是能找到所增加的数是定值3． 35．（22-23七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，如图1（算作剪1次），然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，如图2（算作剪2次），再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如图3（算作剪3次），如此循环进行下去． (1)填表： 剪的次数 1 2 3 4 正方形个数 7 10 (2)如果剪10次，共剪出_____________个小正方形；如果剪次，共剪出_____________个小正方形； (3)如果要剪出100个小正方形，那么需要剪_____________次； (4)若原正方形纸片的边长为1，则剪3次后最小正方形（图3阴影部分）的面积为_____________． 【答案】(1)4,13 (2)31， (3)33 (4) 【分析】（1）根据题意可以将表格中的数据补充完整； （2）根据表格中的数据可以计算出剪了10次，共剪出多少个正方形，也可以计算出剪次，共剪了多少个正方形； （3）根据（2）中算出的用表示的式子，令其等于100，即可算出的值，即剪了多少次； （4）根据题意可写出剪3次后小正方形的边长，进行可以求出面积． 【详解】（1）解：根据题意可得，剪1次时，正方形的个数为4，由表中规律可得，剪4次后，正方形的个数为13， 故答案为：4,13； （2）解：根据表格中的数据观察可知，第10次剪成的正方形的个数为：个， 第次剪成的正方形个数为：， 故答案为：31，； （3）解：根据题意得，令， 解得， 故答案为：33， （4）解：若原正方形纸片的边长为1，则剪三次后正方形的边长为， 所以小正方形的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的变化，解答本题的关键是明确题意，发现题目中正方形个数的变化规律，利用数形结合的思想解答． 题型十 利用整式加减计算周长 36．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，用三种大小不同的5个正方形和一个长方形（阴影部分）拼成长方形，其中厘米，最小的正方形的边长为x厘米． (1) ______厘米， ______厘米（用含x的整式分别表示）： (2)求长方形的周长（用含x的整式表示），当厘米时，求其值． 【答案】(1)； (2)厘米；厘米 【分析】本题主要考查了列代数式和代数式求值，理解各个图形的边长之间的数量关系是解答本题的关键． （1）根据图形可得结合线段的和差、正方形的性质即可解答； （2）分别表示出和，然后再表示出周长，最后将代入计算． 【详解】（1）解：由图可知：厘米， 厘米； （2）解：长方形的宽为：厘米， 长为：厘米， 则长方形的周长为：厘米， 当时，（厘米）． 37．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，在正方形的边上取一点，以为边在正方形的上方作正方形，连接，若正方形与正方形边长分别为和． (1)若，求； (2)若（为常数），当为何值时，五边形的周长与的取值无关． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减， （1）结合图形可得，继而得到关于、，整理后即可得出答案； （2）先表示出五边形的周长，再根据题意可得关于的方程，求解即可； 正确理解题意并列式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵正方形与正方形边长分别为和， ∴， ∵， ∴； （2）五边形的周长为： ， ∵五边形的周长与的取值无关， ∴， 解得：， ∴当为时，五边形的周长与的取值无关． 38．（23-24七年级上·山东滨州·期中）对于任意两个数，的大小比较，有下面的方法：当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． (1)分别求出图1中长方形的周长和图2中长方形的周长； (2)在（1）的条件下，若，用“作差法”比较的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算，根据整式加减混合运算的运算顺序和运算法则计算即可． （1）根据长方形的周长公式进行计算即可； （2）求出的值，再判断其正负即可． 【详解】（1）， ； （2）， ， 因为， 所以， 所以， 所以． 39．（23-24七年级上·广西崇左·阶段练习）如图所示的长方形，已知长方形的长为，宽为6． (1)用含a的式子表示：长方形的周长为 ，长方形的面积为 ；（要求化简） (2)用含 a、b式子表示阴影部分的面积； (3)当时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2) (3)30 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，以及求代数式的的值，数形结合是解答本题的关键． （1）根据长方形的周长和面积公式列式即可； （2）用长方形的面积减去两个直角三角形的面积即可； （3）把代入（2）中化简的结果计算即可． 【详解】（1）周长为：； 面积为：． 故答案为：；； （2）阴影部分的面积为：， ， ； （3）当时，阴影部分的面积为：． 题型十一 整式加减的规律探究问题 40．（23-24七年级上·江苏南通·期中）按一定规律排列的一列数称为数列．对于一个数列中依次排列的任意相邻的三个数x，y，z，若，则称这个数列为梦想数列．已知数列是梦想数列，且，那么式子的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查数字变化的规律，根据题中给的“梦想数列”的定义，结合整体思想即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为数列是梦想数列， 所以， ， 得， 即 又因为， 所以， 即． 故答案为：． 41．（22-23七年级上·四川成都·期中）新定义一种新运算“”，认真观察，寻找规律： ， ， ， ， (1)直接写出新定义运算律： ______； (2)新运算“”是否满足交换律？请说明理由； (3)先化简，再求值：，其中 【答案】(1) (2)新运算“”不满足交换律，见解析 (3)， 【分析】本题考查了有理数的混合运算，规律型：数字的变化类，理解定义的新运算是解题的关键． （1）从数字找规律进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论进行计算，即可解答； （3）按照定义的新运算先进行化简，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：新定义运算律：， 故答案为：； （2）解：新运算“”不满足交换律， 理由：∵，， ∴； （3）解： ， 当时，原式． 42．（2024·安徽合肥·一模）同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： (1)第5个图形中有______颗黑色棋子；第8个图形比第6个图形多______颗黑色棋子；（填数字） (2)第个图形比第n个图形中多______（用含n的代数式表示）颗黑色棋子． 【答案】(1)19，17 (2) 【分析】本题考查了图形规律的探索，整式加减的应用，找到变化规律是解题的关键． （1）按规律数黑色棋子的个数，找到规律，代入求解即可； （2）根据（1）中的规律，列整式求解即可． 【详解】（1）第1个图形中有1颗黑色棋子； 第2个图形中有颗黑色棋子； 第3个图形中有颗黑色棋子； 第4个图形中有颗黑色棋子； 则第5个图形中有颗黑色棋子； 故答案为：19； 第6个图形中有颗黑色棋子； 第8个图形中有颗黑色棋子； 所以第8个图形比第6个图形多颗黑色棋子； 故答案为：17． （2）由（1）得，第n个图形中有黑色棋子 颗， 第个图形中有黑色棋子 颗， ， 所以第个图形比第n个图形中多颗黑色棋子． 故答案为：． 43．（23-24七年级上·江西景德镇·期中）如图是用棋子摆成的“上”字图案，按照这种规律继续摆下去，通过观察、对比、总结，找出规律，解答下列问题． (1)摆成图1需要_______枚棋子，摆成图2需要______枚棋子，摆成图3需要_____枚棋子． (2)摆成图n需要_________枚棋子； (3)七（1）班有50名同学，把每名同学当成一枚“棋子”，能否让这50枚“棋子”按照以上规律恰好站成一“上”字？若能，请问能站成图几？并计算最下面一“横”的学生数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)6，10，14 (2) (3)能，是图12，25人 【分析】本题考查图形类规律探究． （1）直接通过图形，确定出棋子的数量即可； （2）由已知的图形中的棋子的数量，概括出相应的规律，即可； （3）根据（2）中的结论，进行求解即可． 根据已有图形，抽象概括出相应的数字规律是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可知：摆成图1需要6枚棋子，摆成图2需要10枚棋子，摆成图3需要14枚棋子； 故答案为：6，10，14； （2）由图可知，后一个图形比前一个图形多4枚棋子， ∴摆成图n需要（枚）棋子； 故答案为： （3）能； 当时，， ∴能站成，能站成图12； 由图可知，最后一横上的棋子的个数是从3开始的连续的奇数， ∴， 即：最下面一“横”的学生数是25人． 题型十二 整式加减与绝对值综合 44．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）已知，现将a，b，c，d全部放入运算的中，然后进行去绝对值与去括号运算，称此为“绝对括号操作”．例如：，，……，下列说法： ①一定存在两种“绝对括号操作”，使其运算结果相等； ②当运算结果为时，有8种不同的“绝对括号操作”； ③所有的“绝对括号操作”共有6种不同运算结果．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】此题考查了新定义，绝对值的化简，去括号法则，根据绝对值和去括号法则逐项进行判断即可． 【详解】解：①一定存在两种“绝对括号操作”，使其运算结果相等；说法正确； ∵， ∴ ∴，， ∴， 故①正确； 运算结果为时，有，，，，， ，， ， 共8种， 故②正确； 下面是7种不同的运算结果： 故③错误， 故选：C 45．（24-25七年级上·全国·假期作业）当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道， 世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅，而是尚未相遇，便注定无法相聚． 距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．我们可以从图形和代数化简两个角度来计算距离： 已知点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，例如表示到的距离，而则表示到的距离； 我们知道：，于是可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如化简时，可先令和，分别求得，（称和分别为的零点值），在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：①；②；③．从而化简可分以下种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上，原式= 结合以上材料，回答以下问题： (1)化简代数式； (2)化简代数式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据题目中的范例解得即可求解； （）根据题目中的范例解得即可求解； 本题考查了化简绝对值，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； ∴； （2）解：当时，原式； 当时，原式； 当时，原式， ∴． 46．（23-24七年级上·云南昆明·期末）“距离”再探究． 【概念理解】 “数形结合”是重要的数学思想．如：表示3与差的绝对值，也可以理解为3与在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A，B，所对应的数分别用a，b表示，那么A，B两点之间的距离表示为．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上，点A，B表示的数分别是x，2，则A，B两点之间的距离可以表示为 ． A．    B．   C．    D． (2)【数学思考】数轴上，点C，D，E表示的数分别是2，4，10．点P是数轴上的动点，设点P表示的数是x． （Ⅰ）的最小值为 ； （Ⅱ）填写表格，并回答问题： x … 3 4 5 6 … … ① ② 9 10 … ①处应填 ．②处应填 ．当 时，取最小值． (3)【实际应用】在一条笔直的道路l上依次建有A，B，C，D四个停车场，其中B停车场靠近风景区，现准备在道路l上修建一个充电站P，请为充电站P选择一个合理的建造地点，并简要说明理由． 【答案】(1)D (2)（Ⅰ）2（Ⅱ）9；8；4 (3)点P在点B停车场最合适．理由：由奇中点偶中段可知，点P在线段BC上任何一点都可以使点P到四点距离之和最短，又由于点B停车场靠近风景区，所以点P在点B停车场最合适． 【分析】本题考查数轴上两点的距离，化简绝对值，整式的加减，解答本题的关键是明确绝对值的定义，利用绝对值的知识和分类讨论的数学思想解答． （1）由已知直接可得答案； （2）（Ⅰ）是表示x的点P到表示2和4的点的距离之和，分类讨论根据绝对值的性质即可得答案； （Ⅱ）将，分别代入即可求得空1和空2；分类讨论根据绝对值的性质即可得空3答案； （3）利用（2）的结论即奇中点偶中段解决即可． 【详解】（1）由A，B两点之间的距离表示为． 故选：D． （2）（Ⅰ）是表示x的点P到表示2和4的点的距离之和， 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； ∴当时，的最小为2； 故答案为：2． （Ⅱ）当时，； 当时，； 表示数轴上有理数x所对应的点P到2、4和10所对应的点的距离和， 当时，原式； 当时，原式， ∴ 当时，原式， ∴； 当时，原式， ∴； ∴当时，有最小值． 故答案为：9；8；4． （3）点P在点B停车场最合适． 理由：由奇中点偶中段可知，点P在线段上任何一点都可以使点P到四点距离之和最短，又由于点B停车场靠近风景区，所以点P在点B停车场最合适． 47．（23-24七年级上·四川绵阳·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示和2两点之间的距离是____________________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是3，那么____________________． (2)若数轴上表示数的点位于与2之间，则的值为____________________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是____________________． (4)当____________________时，的值最小，最小值是____________________． 【答案】(1)；或 (2) (3) (4)， 【分析】本题考查数轴上两点的距离、绝对值的意义； （1）根据数轴和题意，可以解答本题； （2）根据题意，可以将绝对值去掉，从而可以解答本题； （3）根据数轴和分类讨论的数学思想可以解答本题； （4）根据分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得， 数轴上表示和2的两点之间的距离是：， ∵表示数和的两点之问的距离是3， ∴， 解得或， 故答案为：；或； （2）解：因为数轴上表示数a的点位于与2之间， ， 故答案为：6； （3）解：当时，， 当时，， 当时，， 使得的所有整数为：，，0，1，2，3，4，5， ， 故答案为：12； （4）解：当时，， 当时，， 则， 当时，， 则， 当时，， 由上可得，当时，的值最小，最小值是7， 故答案为：1，7． 题型十三 整式加减与数轴动点问题 48．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）操作发现． 操作一：如图1，已知点A、M所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点B，此时点B所表示的数为4，我们称点B是点A关于点M的映射点； 记作：或； 操作二：如图2，已知点M和线段，将点A、M绕同一点旋转，使点A和点B重合，此时点M所对应的点用N表示，我们称点N是点M关于线段的映射点； 记作：；如：； (1)利用图3、图4，直接填空：______；______； (2)若A、B两点所表示的数分别是、，；求点C所表示的数；（用含a、b的代数式表示） (3)点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且，； ①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出它的取值范围； ②当点C表示的数是时，B、D两点之间距离刚好为1，若点B在点A右侧，求a的值． 【答案】(1)； (2) (3)①是；；②或4 【分析】（1）根据题干提供的信息进行解答即可； （2）根据，得出，根据A、B两点所表示的数分别是、，代入求值即可； （3）①根据点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，得出点B表示的数为或，设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e，分两种情况：当点B表示的数为时，点B在点A的右侧，当点B表示的数为时，点B在点A的左侧，分别求出的值，即可得出答案； ②根据点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点B在点A右侧，得出点B表示的数为，设点D表示的数为d，根据点C表示的数是，，得出，根据B、D两点之间距离刚好为1，得出，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； 根据题意得：． 故答案为：； （2）解：∵， ∴为的中点， ∵A、B两点所表示的数分别是、， 点表示的数为： ； （3）解：①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值；理由如下： ∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为4， ∴点B表示的数为或， 设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e， 当点B表示的数为时，点B在点A的右侧， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴的中点与的中点是同一个点， ∴， ∴， ∴ ； 当点B表示的数为时，点B在点A的左侧， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴的中点与的中点是同一个点， ∴， ∴， ∴ ； 点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值4． ②∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点B在点A右侧， ∴点B表示的数为， 设点D表示的数为d， ∵点C表示的数是，， ∴， ∴， ∵B、D两点之间距离刚好为1， ∴， 即， 解得：或． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，用数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题，解绝对值方程，整式加减运算，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式，注意进行分类讨论． 49．（23-24七年级上·广东湛江·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，已知是，数是最大的负整数，是单项式的次数． (1)_____，_______． (2)点，，开始在数轴上运动，若点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为． ①_____，________．（用含的代数式表示） ②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． ③若点，，与三点同时开始在数轴上运动，点从原点出发以每秒4个单位长度的速度向左运动，请含的式子表示． 【答案】(1)，3 (2)①；；②不变，16；③或． 【分析】（1）根据最大的负整数是，单项式的次数是3，得到，得到，3即可． （2）①根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为，根据公式计算解答即可． ②根据题意，得，，代入，化简计算说明即可． ③根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点从原点出发以每秒4个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，点M运动路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，点M起始数为0，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为，点M表示的数是，分点M在点A的左侧和右侧两种情形解答即可． 本题考查了最大的负整数，单项式的次数，数轴上运动路程，两点间的距离，分类思想，代数式的无关问题，熟练掌握运动路程与表示数的关系，两点间的距离公式是解题的关键． 【详解】（1）根据最大的负整数是，单项式的次数是3， 得，， 故答案为：，3． （2）①根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， 故答案为：；． ②根据题意，得，， ∴． 故的值不变，这个常数是16． ③根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点从原点出发以每秒4个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，点M运动路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，点M起始数为0，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为，点M表示的数是，分点M在点A的左侧和右侧两种情形解答即可． 当在的右侧时，根据题意，得，， ∴． 当在的左侧时，根据题意，得，， ∴． 50．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒．    (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为______，点与点的中点为，则点表示的数为______；运动秒后，点表示的数为______（用含的式子表示）； (2)若秒钟过后，点是线段的中点，求值； (3)当点在点右侧时，是否存在常数，使的值为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4，3，； (2)； (3)，理由见详解； 【分析】（1）本题考查数轴上两点间距离及动点问题，根据数轴上两点间距离等于两数之差的绝对值直接求解即可得到答案； （2）本题考查数轴上两点间距离及动点问题，根据中点列式求解即可得到答案； （3）本题考查整式化简无关型问题，根据动点及距离问题列式，结合定值即与t无关求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵运动前点表示数，点表示数1， ∴， ∵点表示数9， ∴， ∵点与点的中点为， ∴点代表的数据是：， ∵点A以每秒2个单位长度速度运动， ∴点表示的数为：， 故答案为：4，3，； （2）解：点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动， ∴点表示的数字是：，点表示的数字是：， 当点是线段的中点时， ， 解得：； （3）解：存在，当时的值为定值，理由如下， ∵点在点右侧， ∴，即：， ， 当时，即：，， ∴当时的值为定值． 51．（23-24七年级上·重庆万州·阶段练习）认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：．若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：． 利用数轴探究下列问题： (1)的最小值是 ，此时x的取值范围 ； (2)请按照（1）问的方法思考：的最小值是 ，此时x的值是 ； (3)的最小值是 ，此时x的值是 ； (4)如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，1个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这7个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值． 【答案】(1)3； (2)5，1 (3)9，0 (4)汇合地点M的位置在点F时，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为1200米 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，绝对值的几何意义，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握化简绝对值的方法． （1）根据绝对值的几何意义，得出的最小值，根据绝对值的几何意义，分类讨论，解方程即可求解； （2）根据绝对值的几何意义，得出的最小值； （3）根据绝对值的几何意义，分类讨论得出的最小值； （4）以点G为原点建立数轴，则点E，F，G，H四点分别表示，，0，200，点M表示的数为x，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为，分类讨论即可； 【详解】（1）如图 ①若点P在点A左侧，得，， ， ②若点P在线段上，得，， ， ③若点P在点A左侧，得，， ， ④有图可知，当时，最小，最小值3， 故答案为：3； （2）的几何意义是表示数x的点与，1，2三数对应点的距离之和， 当时，距离之和最小，最小值为，2对应点间的距离， 的最小值为； 故答案为：5；1 （3）的几何意义是表示数x的点与，0，4三数对应点的距离之和， 当，得，， 当，得，， , 当，得，， , , 当，得，， , 综上所述 ：当时，的最小值为9； 故答案为：9；0 （4）如图： 以点G为原点建立数轴，则点E，F，G，H四点分别表示，，0，200，点M表示的数为x，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为， ①当时， ； ②当时， ， ， ； ③当时， 此时； ④当， ， ， ⑤当时 综上所述：当时距离最小，最小值为 汇合地点M的位置在点时，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为 题型十四 整式加减与数字综合 52．（23-24七年级下·河南许昌·期末）阅读：证明命题“一个三位数各位数字之和可以被3整除，则这个数就可以被3整除”．设表示一个三位数． 则． 因为能被3整除，也能被3整除，所以能被3整除． 运用： (1)一个四位数，如果能被9整除．请证明能被9整除． (2)若一个三位数的各位数字是任意三个连续的正整数，则的最小正因数一定是______（数字“1”除外）． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，数的整除特征，熟练掌握整式加减的方法，理解整除数的特征是解答此题的关键． （1）①首先把四位数改写成，由能被9整除，能被9整除，即可得出结论； （2）假设，则三位数，据此可得出答案． 【详解】（1）证明：∵是一个四位数， 能被9整除，能被9整除， 四位数能被9整除； （2）解：三位数的各位数字是任意三个连续的正整数， 不妨假设， ， 三位数的最小正因数一定是3． 53．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）阅读材料：对于任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么我们称这个两位数为“迥异数”，将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新的两位数，新两位数与原两位数的和为，和与的商为，所以． 根据上述定义，回答下列问题： (1)填空： 下列两位数，，中，是“迥异数”的为______； 计算 ______． (2)如果一个“迥异数”的十位数字是，个位数字是，且，请求出“迥异数”的值． 【答案】(1)①和， (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，能理解“迥异数”定义是本题的关键． （1）①由“迥异数”的定义可得； ②根据的定义计算可得． （2）根据题意知，新两位数与原两位数的和为，从而得出，解答出的值，即可求迥异数的值． 【详解】（1）（1）根据定义得，个位数字与十位数字不同，这三者中，符合题意，故填 ，． 由题意知，，即“迥异数”为，对调个位数字与十位数字后变为，则，，所以中． （2）由题意知，新两位数与原两位数的和为，， 即，解答， 所以迥异数为． 54．（23-24七年级上·重庆黔江·期中）在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数—“平等数”定义：对于自然数n，若的结果各数位数字都相等，则称这个自然数n为“平等数”．例如：2是“平等数”，因为；10是“平等数”，因为；20不是“平等数”，因为． (1)判断1和21是否是“平等数”？请说明理由； (2)求出所有的不大于100的“平等数”？ 【答案】(1)1和21都是“平等数”，理由见解析 (2)0，1，2，10，21，32，36，74 【分析】 本题主要考查了新定义，有理数的加法计算，整式的加减计算： （1）根据题目中的新定义即可解答本题； （2）根据“平等数”的定义可知，“平等数”是3的倍数，然后根据不大于100的“平等数”可以分一位数的、两位数的、三位数的“平等数”三种情况讨论，即可得出答案． 【详解】（1）解：1和21都是“平等数”，理由如下： ∵， ∴1是“平等数”； ∵， ∴21是“平等数”； （2）解：设（n为小于100的自然数）， ∴s一定是3的倍数， 当s为一位数时，满足n是“平等数”的s有3，6，9，对应的n的值为0，1，2， 当s为两位数时，满足n是“平等数”的s有33，66，99，对应的n的值为10，21，32， 当s为三位数时，满足n是“平等数”的s有111，222，对应的n的值为36，74， ∴所有的不大于100的“平等数”有0，1，2，10，21，32，36，74． 55．（23-24七年级上·福建莆田·期中）一般情况下，对于数和，“”不等号，但是对于某些特殊的数和，我们把这些特殊的数和，称为“理想数对”，记作例如当，时，有，那么就是“理想数对”． (1)，可以称为“理想数对”的是______； (2)如果是“理想数对”，求的值； (3)若是“理想数对”，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查整式的化简，运用到整式的加减运算；题目采用新定义的形式，需要考生正确理解新定义的内容，难度不大，熟练掌握整式的加减运算法则是关键． （1）根据题目中的新定义验证，哪个符合等式即可； （2）按照题意是“理想数对”，则，，满足等式，代入求； （3）根据题意，，满足，得出，然后化简代数式并把代入求值即可． 【详解】（1）解：对于数对，有，因此是“理想数对”； 对于数对，，，，所以不是理想数对； 故答案为：； （2）解：因为是“理想数对”， 所以，解得， 故的值为； （3）解：由题意，是“理想数对”，所以，即， ， 将代入，原式． 题型十五 整式加减中的新定义问题 56．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）定义新运算：满足 (1)当，化简； (2)如果化简的结果与无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）根据所给的新定义结合整式的加减计算法则进行求解即可； （2）根据化简的结果与y的取值无关，得出，求出x的值，然后代入（1）中所求的式子中求解即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解：原式 ， 化简的结果与无关 ， ， 当时，原式． 57．（23-24七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）年月日，神舟十五号载人飞船成功返回地球，结合这么具有纪念意义的历史时刻，王老师给出一个新定义：、的两个整式，如果，那么叫做的“神舟式”． (1)若，，当时，求、的值，请你判断此时是否为的“神舟式”，并说明理由； (2)若，是的“神舟式”，求整式． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)． 【分析】（）将，代入代数式求值，根据神舟式的定义，进行判断即可； （）利用神舟式的定义，列式计算即可； 本题考查有理数的四则运算和整式的加减运算，熟练掌握运算法则及理解“神舟式”的定义是解题的关键． 【详解】（1）是的“神州式”， 理由：当时，，， 所以， 所以是的“神州式”； （2）因为是“神州式”，所以， 所以， ， ． 58．（23-24七年级上·江苏常州·期中）对于有理数a、b，定义运算：“★”， (1)计算：的值． (2)填空：______（填“”或“”或“”）． (3)我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（2）计算的结果，你认为这种运算“★”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，为什么？ 【答案】(1) (2) (3)满足，理由见解析 【分析】本题主要考查了利用代入法求代数式的值． （1）运用运算公式，计算即可； （2）运用运算公式，分别计算出和的值即可得到答案； （3）是否满足关键是利用公式计算一下和的结果，再利用乘法交换律和加法交换律看看是否相等． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴ ； ， ∴ ， 故答案为：； （3）解：这种运算：“”满足交换律． 理由是：∵， 又∵， ∴． ∴这种运算：“★”满足交换律． 59．（23-24七年级上·吉林延边·期末）定义：若，则称a与b是关于6的实验数． (1)4与________是关于6的实验数；式子________与是关于6的实验数； (2)若，，判断a与b是否是关于6的实验数，并说明理由． 【答案】(1)2； (2)a与b是关于6的实验数，理由见解析 【分析】本题考查了整式的加减，理解题意，正确列出式子计算是解题的关键． （1）根据题中给出的定义计算即可； （2）计算的值，如果和等于6，则a与b是关于6的实验数，否则不是． 【详解】（1）∵， ∴4与2是关于6的实验数， ∵， ∴与是关于6的实验数， 故答案为：2；； （2）a与b是关于6的实验数， 理由： 题型十六 整式加减中的应用 60．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）日历上的规律：下图是2023年11月的日历，图中的阴影区域是在日历中选取的一块九宫格． (1)九宫格中，四个角上的四个数之和与九宫格中央这个数有什么关系？ (2)请你自选一块九宫格进行计算，观察四个角上的四个数之和与九宫格中央那个数是否还有这种关系．（用虚线框圈出你所选定的九宫格） (3)试说明原理． 【答案】(1)四个角上的四个数之和等于九宫格中央这个数的4倍 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了整式的加减应用： （1）求出四个角上的四个数之和与九宫格中央这个数，从而验证它们的关系． （2）选择如下图的九宫格，验证他们的关系即可． （3）设九宫格中央这个数为a，列等式进行验证即可． 【详解】（1）解：根据题意得：四个角上的四个数分别为6，22，8，20，九宫格中央这个数为14， ∵， ∴四个角上的四个数之和等于九宫格中央这个数的4倍． （2）解：如图，， 所以四个角上的四个数之和等于九宫格中央这个数的4倍．（选取的九宫格不唯一．）    （3）解：设九宫格中央这个数为a， 那么左上角的数为，右上角的数为， 左下角的数为，右下角的数为，   四个数的和为， 即四个角上的四个数之和等于九宫格中央这个数的4倍． 61．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）【课本再现】七年级下册教材中我们探究过《用求差法比较大小》：我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或代数式的大小．当不能直接比较大小时就要考虑进行一定的转化，其中“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过先求差、变形，然后利用差的符号来确定它们的大小． 两个数量的大小可以通过它们的差来判断．如果两个数和比较大小，那么： 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 反过来也对，即： 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小． 【类比应用】（1）用“>”或“<”填空． ①若时，___________； ②若时，_________； ③若，则_________； 【解决问题】（2）如图所示，在的正方形网格中，以为圆心为半径画扇形，以为直径画半圆，若图中阴影部分的面积分别为，用“求差法”比较与的大小． 【答案】（1）①>；②<；③>；（2） 【分析】本题考查了整式加减的应用，理解作差法是解答本题的关键． （1）①②根据作差法的意义解答即可； ③用作差法比较即可； （2）先表示出，再用作差法比较即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴． 故答案为：>； ②∵， ∴． 故答案为：<； ③， ∵， ∴， ∴． 故答案为：>； （2）设两扇形部分外的空白面积为d， 则， ∴， ∴． 62．（2024·河北沧州·三模）【发现】如果一个整数的个位数字能被整除，那么这个整数就能被整除． 【验证】如：∵， 又∵和都能被整除，能被整除， ∴能被整除， 即：能被整除． （1）请你照着上面的例子验证不能被2整除； （2）把一个千位是、百位是、十位是、个位是的四位数记为．请照例说明：只有是偶数时，四位数才能被2整除． 【迁移】设是一个四位数，请证明：当能被整除时，能被整除． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；迁移：见解析． 【分析】（）参照题干，进行验证即可； （）参照题干，进行验证即可； （）参照题干，进行验证即可； 本题考查整式的加减运算，列代数式，熟练掌握数的表示方法是解题的关键． 【详解】解：（）∵， 和都能被整除，不能被整除， ∴不能被整除， 即不能被整除； （）∵． 和和都能被整除， ∴当是偶数时能被整除时，能被整除； 【迁移】证明：∵， ， ∵能被整除， ∴若“”能被整除，则能被整除． 63．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）窗户的形状如图（1）所示（图中长度单位：m），其上部分是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长是米，计算：（本题取3） (1)窗户的面积； (2)窗户的外框（如图2）的总长： (3)窗户上安装玻璃（窗户内的边框忽略不计），每平方米80元，窗户外框是铝合金材料每米200元，当时，这个窗户玻璃与铝合金共花费多少元？ 【答案】(1)窗户的面积为平方米． (2)窗户的外框总长为米． (3)制作这样一个窗户需要元钱． 【分析】本题考查了列代数式，整式的化简，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系． （1）根据窗户面积=正方形面积+半圆面积，即可解答； （2）根据窗户外框总长=正方形三边的长+半圆弧长，即可解答； （3）根据总费用=玻璃费用+窗框费用，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得： （平方米）， 答：窗户的面积为平方米． （2）解：根据题意可得： （米）， 答：窗户的外框总长为米． （3）解：根据题意可得： ， 当时，原式， 答：制作这样一个窗户需要元钱． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$