选择性必修一总结与测试-2024-2025学年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

选择性必修一总结与测试 一、单选题 1．（2024·四川·期中）若直线与直线平行，则实数的取值为（    ） A．或 B． C． D． 2．（2024北京西城·阶段练习）在直三棱柱中，，，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值等于（    ） A． B． C． D． 3．（2023新疆克拉玛依 ）已知圆：与中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（    ） A．或4 B．或2 C． D．2 4．（2024高三·全国·专题练习）设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 5．（2023内蒙古·阶段练习）如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（    ）    A． B． C． D． 6．（2024·陕西·模拟预测）在平行六面体中，已知，，则下列选项中错误的一项是（    ） A．直线与BD所成的角为90° B．线段的长度为 C．直线与所成的角为90° D．直线与平面ABCD所成角的正弦值为 7．（2024四川宜宾 ）过直线上一点P，作圆C：的切线，切点分别为A、B，则当四边形PACB面积最小时直线AB的方程是　　 A． B． C． D． 8．（2024湖北）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，焦距为2c，直线与双曲线的一个交点M满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 二、多选题 9．（23-24高二上·广东汕尾·期末）已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，为上异于顶点的动点，则下列说法正确的有（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．点到渐近线的距离为4 D．直线与直线的斜率乘积为 10．（22-23高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中（    ） A．与的夹角为 B．平面与平面夹角的正切值为 C．与平面所成角的正切值 D．点到平面的距离为 11．（21-22高二上·湖南长沙·期中）圆C：，直线l：，点P在圆C上，点Q在直线l上，则下列结论正确的是（    ） A．直线l与圆C相交 B．的最小值是1 C．从Q点向圆C引切线，切线长的最小值是3 D．直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 三、填空题 12．（24-25高二·上海·随堂练习）如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为左焦点、长轴长为40万公里、短轴长为4万公里的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为左焦点、长轴长为20万公里的椭圆轨道绕月飞行，则椭圆轨道的短轴长为 万公里．（近似到0.1） 13．（24-25高二·上海·随堂练习）如图所示，正方体的棱长为1，O是底面的中心，则O到平面的距离为 ，直线到平面的距离为 ． 14．（23-24高二下·四川泸州·期末）人脸识别在现今生活中应用非常广泛，主要是测量面部五官之间的距离，称为“曼哈顿距离”．其定义如下：设， ，则A，B两点间的曼哈顿距离.已知，若点满足，点N在圆上运动，则的最大值为 四、解答题 15．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）已知曲线上的点到点的距离比到直线的距离小为坐标原点.直线过定点. (1)直线与曲线仅有一个公共点，求直线的方程； (2)曲线与直线交于两点，试分别判断直线的斜率之和､斜率之积是否为定值？并说明理由. 16．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.    (1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由. 17．（24-25高二下·上海·单元测试）设椭圆的右焦点为F，过F的直线l与C交于A、B两点，点M的坐标为． (1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； (2)设O为坐标原点，证明：． 18．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知圆：和圆：． (1)若圆与圆相交，求r的取值范围； (2)若直线l：与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值． 19．（23-24高二下·陕西西安·期末）如图，在三棱锥中，底面ABC，且，，．点Q为棱BP上一点，且． (1)求CQ的长； (2)求二面角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 选择性必修一总结与测试 一、单选题 1．（2024·四川·期中）若直线与直线平行，则实数的取值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知，若直线与直线平行，则需满足，解得,由于当时，两直线重合，因此 故选：B 2．（2024北京西城·阶段练习）在直三棱柱中，，，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，以所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系， 如图所示， 设，可得， 则， 所以. 故选：A. 3．（2023新疆克拉玛依 ）已知圆：与中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（    ） A．或4 B．或2 C． D．2 【答案】B 【解析】圆：的圆心为，半径为1， 当双曲线的焦点在x轴上时，其渐近线方程为， 由题意得，即， 所以， 所以， 当双曲线的焦点在y轴上时，， 则， 故选：B 4．（2024高三·全国·专题练习）设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 解一：设椭圆方程为，依题意，显然有，则， 即，即，解得，故选B. 解二：∵为等腰直角三角形，∴，， ∵，∴，∴. 故选:B. 5．（2023内蒙古·阶段练习）如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，即为的中点，所以， 因为，所以， . 故选：C 6．（2024·陕西·模拟预测）在平行六面体中，已知，，则下列选项中错误的一项是（    ） A．直线与BD所成的角为90° B．线段的长度为 C．直线与所成的角为90° D．直线与平面ABCD所成角的正弦值为 【答案】D 【解析】在平行六面体中，令，，， 由，， 得，， 对于，显然，， 则，即， 因此直线与所成的角为，A正确； 对于B，，即，B正确； 对于C，，即， 因此直线与所成的角为，C正确； 对于D，在平行六面体中，四边形是菱形，即， 又，，平面，于是平面， 又平面，则平面平面， 连接交于点，在平面内过点作于点，如图， 由平面平面，因此平面，即直线与平面所成角为， ，则，即， 由及选项C知，，则，D错误. 故选：D 7．（2024四川宜宾 ）过直线上一点P，作圆C：的切线，切点分别为A、B，则当四边形PACB面积最小时直线AB的方程是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，圆C：的圆心C为，半径； 点P为直线上一点，PA、PB为圆C的切线，则，， 则有， 则， 则当取得最小值时，四边形PACB面积最小，此时CP与直线垂直， 且，则C到AB的距离， 又由，则直线AB与直线平行， 且设AB的直线方程为， 则有，解可得：或舍， 则直线AB的方程为； 故选B． 8．（2024湖北）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，焦距为2c，直线与双曲线的一个交点M满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由题意，直线过左焦点且倾斜角为60°， ∴，，∴，即 ∴，∴， 双曲线定义有，∴离心率. 二、多选题 9．（23-24高二上·广东汕尾·期末）已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，为上异于顶点的动点，则下列说法正确的有（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．点到渐近线的距离为4 D．直线与直线的斜率乘积为 【答案】BD 【解析】由双曲线知，，， 对于A，双曲线的离心率为，故A错误； 对于B，双曲线的渐近线方程为，即，故B正确； 对于C，点到渐近线的距离为，故C错误； 对于D，设，则，即，所以，即直线与直线的斜率乘积为，故D正确； 故选：BD. 10．（22-23高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中（    ） A．与的夹角为 B．平面与平面夹角的正切值为 C．与平面所成角的正切值 D．点到平面的距离为 【答案】BCD 【解析】如图，以为原点，所在有直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 ， 对于A，设与的夹角为，因为，， 所以， 因为，所以，所以A错误， 对于B，设平面的法向量为， 因为，, 所以，令，则， 因为平面， 平面的一个法向量为， 所以， 设平面与平面夹角为（为锐角），则， 所以，所以， 所以平面与平面夹角的正切值为，所以B正确， 对于C，，平面的法向量为， 设与平面所成角为，则 因为为锐角，所以， 所以， 所以与平面所成角的正切值，所以C正确， 对于D，因为，平面的法向量为， 所以点到平面的距离为 ，所以D正确， 故选：BCD 11．（21-22高二上·湖南长沙·期中）圆C：，直线l：，点P在圆C上，点Q在直线l上，则下列结论正确的是（    ） A．直线l与圆C相交 B．的最小值是1 C．从Q点向圆C引切线，切线长的最小值是3 D．直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 【答案】BC 【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为. 对于A选项，圆心C到直线l的距离为，所以，直线l与圆C相离，A错； 对于B选项，的最小值为，B对； 对于C选项，如下图所示： 从Q点向圆C引切线，设切点分别为M、N，连接CM，则，则，当时，取得最小值，此时取得最小值，即，C对； 对于D选项，由得，即，所以，曲线表示圆的上半圆，而直线表示过点且斜率为k的直线，如下图所示： 当直线与圆相切，且切点在第二象限时，则，解得， 当直线过点时，则，解得. 由图可知，当与曲线有两个不同的交点时，k的取值范围是，D错 故选：BC. 三、填空题 12．（24-25高二·上海·随堂练习）如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为左焦点、长轴长为40万公里、短轴长为4万公里的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为左焦点、长轴长为20万公里的椭圆轨道绕月飞行，则椭圆轨道的短轴长为 万公里．（近似到0.1） 【答案】2.8 【解析】设椭圆的长轴长，短轴长，焦距为，，； 设椭圆的长轴长，短轴长，焦距为，，． 因此，，， 所以， 又，所以， 所以， 故椭圆轨道的短轴长为2.8万公里． 故答案为：2.8 13．（24-25高二·上海·随堂练习）如图所示，正方体的棱长为1，O是底面的中心，则O到平面的距离为 ，直线到平面的距离为 ． 【答案】 【解析】以D为原点，DA，DC，为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 易得，，，，， 设平面的法向量为，， 令，则，， ∴O到平面的距离， 又因为平面，所以直线到平面的距离就是点到平面的距离， 易知平面，所以点到平面的距离，就是点到直线的距离，在正方形中，点到直线的距离为， 所以直线到平面的距离为， 故答案为：，． 14．（23-24高二下·四川泸州·期末）人脸识别在现今生活中应用非常广泛，主要是测量面部五官之间的距离，称为“曼哈顿距离”．其定义如下：设， ，则A，B两点间的曼哈顿距离.已知，若点满足，点N在圆上运动，则的最大值为 【答案】 【解析】由题意得，圆，圆心，半径， 设点，则， 故点的轨迹为如下所示的正方形，其中，， 则，， 则，即的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）已知曲线上的点到点的距离比到直线的距离小为坐标原点.直线过定点. (1)直线与曲线仅有一个公共点，求直线的方程； (2)曲线与直线交于两点，试分别判断直线的斜率之和､斜率之积是否为定值？并说明理由. 【答案】(1)或或 (2)斜率之和为定值､斜率之积不是定值 【解析】（1）曲线上的点到点的距离比到直线的距离小， 故曲线上的点到点的距离与到直线的距离相等， 故曲线为以为焦点，直线为准线的抛物线， 即有， 过点的直线与抛物线仅有一个公共点， 若直线可能与抛物线的对称轴平行时，则有：， 若直线与抛物线相切时，易知：是其中一条直线， 另一条直线与抛物线上方相切时，不妨设直线的斜率为，设为， 联立可得：， 则有：，解得：， 故此时的直线的方程为：， 综上，直线的方程为：或或； （2）若与交于两点，分别设其坐标为，且， 由（1）可知直线要与抛物线有两个交点，则直线的斜率存在且不为0， 不妨设直线的斜率为，则有：， 联立直线与抛物线可得：，可得：， 即有， 根据韦达定理可得：， 则有：， 则，故为定值；故不为定值； 综上：为定值不为定值. 16．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.    (1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在； 【解析】（1）取中点为，连接， 因为，且，，，所以 又因为平面，平面， 所以, 所以，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，    则 为的中点， 平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， ， 所以，令则，所以， 设平面与平面所成锐二面角为， 则. （2）， 所以点到平面的距离为. （3）存在，，理由如下 设上存在一点，设，， ， 又因为直线与平面所成角的正弦值为， 由（1）知平面的一个法向量为， 所以：，解得， 又因为，所以：，故存在，且. 17．（24-25高二下·上海·单元测试）设椭圆的右焦点为F，过F的直线l与C交于A、B两点，点M的坐标为． (1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； (2)设O为坐标原点，证明：． 【答案】(1)或． (2)证明见解析 【解析】（1）由已知得，l的方程为， 则点A的坐标为或， 所以，或， 所以AM的方程为或； （2）当l与x轴重合时，， 当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以． 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为， 、，则，， 直线MA、MB的斜率之和为． 由，得． 将代入得． 所以，，． 则． 从而，故MA、MB的倾斜角互补，所以． 综上，．    18．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知圆：和圆：． (1)若圆与圆相交，求r的取值范围； (2)若直线l：与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值． 【答案】(1) (2)． 【解析】（1）圆：的标准方程为，则圆心，， 圆：的标准方程为，则圆心，， 所以． 因为圆与圆相交，所以， 即，解得， 所以r的取值范围为． （2）已知直线l：与圆交于P、Q两点， 设，，联立，得， 由，得， 所以， 所以，解得， 因为，所以． 19．（23-24高二下·陕西西安·期末）如图，在三棱锥中，底面ABC，且，，．点Q为棱BP上一点，且． (1)求CQ的长； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为，，所以，则． 因为底面ABC，且底面ABC，所以． 又，，平面ABP，所以平面ABP． 因为平面ABP，所以． 又，，平面PBC，所以平面PBC． 由平面PBC，得． 又底面ABC，底面ABC，所以，所以， 由等面积法得，故． （2）以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示， 所以则，，，，， 由（1）得，，所以 则，． 设平面ACQ的法向量为，则，即， 令，得． 由底面ABC，得为平面ABC的一个法向量， 则， 由图可知，二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$