预习第12讲 直线的交点坐标与距离公式 2025年升高二暑假数学讲义（人教A版2019必修第二册）

第12讲 直线的交点坐标与距离公式 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 求两直线交点 【题型二】 过两直线交点的直线系 【题型三】 两点间的距离 【题型四】 点到直线的距离 【题型五】 综合性问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.会求两直线的交点； 2.会求两点间的距离； 3.会求点到直线和两平行线间的距离. 【题型一】 求两直线交点 相关知识点讲解 设两条直线的方程是， 两条直线的交点坐标就是方程组的解. (1) 若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； (2) 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行； (3) 若方程组有无数个解，则两条直线重合. 【典题1】（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·江苏连云港·期中）若直线与直线交于点，与直线交于点，且线段的中点是，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 【题型二】经过两直线交点的直线系 相关知识点讲解 1 经过两直线交点的直线系 过两条已知直线和交点的直线系方程 (这个直线系下不包括直线，解题时注意检验是否满足题意) 2 直线的位置关系 (1)若直线和()平行， 则； (2)若直线和()垂直， 则。 【典题1】（23-24高二上·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为 . 变式练习 1（24-25高二上·全国·课后作业）过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 2（24-25高二·全国·课后作业）已知两直线和的交点为P．求： (1)过点P与的直线方程； (2)过点P且与直线平行的直线方程． 【题型三】 两点间的距离 相关知识点讲解 平面上的两点间的距离公式. 证明 . 【典题1】（24-25高二上·北京大兴·期中）过点，的直线的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 2（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（   ） A．4 B．5 C． D． 3（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）直线和直线分别过定点和，则（    ） A． B． C． D． 【题型四】 点到直线的距离 相关知识点讲解 1点到直线的距离公式 点到直线的距离. 证明 过点作交直线与， 设，由，以及直线的斜率为，可得的垂线的斜率为， 因此，垂线的方程为，即， 解方程组 得直线与的交点坐标，即垂足的坐标为， 于是 因此点到直线的距离. 当或时，上述公式仍然成立. 2两平行直线间的距离 两条平行线与间的距离. 证明 在直线上任取一点，点到直线的距离就是两平行线的距离，即， 因为点在直线上，所以，即，因此. 【典题1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知两点和到直线距离相等，则值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【典题2】（24-25高二下·山西·阶段练习）直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D．1 变式练习 1（24-25高二上·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 2（24-25高二上·山东临沂·期中）若，两点到直线的距离相等，则（    ） A． B． C．2或 D．2或 3（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 4（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 5（24-25高二上·贵州·期中）将直线向下平移2个单位长度得到直线；将直线绕坐标原点逆时针旋转得到直线，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型五】 综合性问题 【典题1】（24-25高二上·重庆·开学考试）已知点，在直线上存在一点，使最小，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【典题2】（23-24高二上·山东·阶段练习）已知的两条边所在直线的方程分别是AB：，AD：，且它的对角线的交点是． (1)求这个平行四边形其他两边所在直线的斜截式方程； (2)求的面积． 变式练习 1（2021·北京门头沟·二模）点到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 3（24-25高二上·吉林通化·阶段练习）已知的三个顶点的坐标为，，．求： (1)点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形； (2)点C关于直线AB对称点的坐标； (3)求的面积． 4（24-25高二上·广东佛山·期中）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为，，. (1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标. (2)求四边形ABCD的面积. (3)求边AB上的高所在直线方程. 【A组---基础题】 1（24-25高二上·全国·课后作业）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（    ） A．10 B．5 C．8 D．6 2（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 3（24-25高二上·四川达州·期末）已知点，点为直线上动点，则、两点间距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 4（24-25高二上·江苏·期中）已知，为上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5（2025·山东·一模）实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 6（24-25高二上·贵州黔东南·期中）已知点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 7（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 8（24-25高二上·福建福州·期中）已知的顶点坐标为． (1)在中，求边上的高所在直线的方程； (2)求的面积. 【B组---提高题】 1（24-25高二上·江苏泰州·期中）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与交于点，则（    ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知直线与直线垂直，点在直线上运动，且点，点，则的最大值是（） A． B． C． D． 3（22-23高二上·福建龙岩·阶段练习）如图，将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中，已知，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分钻掉，可用经过点的任一直线将三角形木板钻成，设直线的斜率为 (1)求直线的斜率的范围； (2)令的面积为，试求出的取值范围. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 直线的交点坐标与距离公式 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 求两直线交点 【题型二】 过两直线交点的直线系 【题型三】 两点间的距离 【题型四】 点到直线的距离 【题型五】 综合性问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.会求两直线的交点； 2.会求两点间的距离； 3.会求点到直线和两平行线间的距离. 【题型一】 求两直线交点 相关知识点讲解 设两条直线的方程是， 两条直线的交点坐标就是方程组的解. (1) 若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； (2) 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行； (3) 若方程组有无数个解，则两条直线重合. 【典题1】（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线、的交点坐标，根据题意，设直线的方程为，将交点坐标代入直线的方程，求出实数的值，即可得出直线的方程. 【详解】联立直线、的方程，，解得， 故直线、的交点坐标为， 因为直线与直线平行，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，解得. 因此，直线的方程为. 故选：B. 变式练习 1（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用垂直关系求出，再代入方程联立求解交点. 【详解】直线与互相垂直,可得，即. 把代入直线，得到. 联立方程组 解得.把代入，得. 所以交点坐标为. 故选：C. 2（24-25高二上·江苏连云港·期中）若直线与直线交于点，与直线交于点，且线段的中点是，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，结合在上，在上及中点坐标公式求解. 【详解】设，由题意得，， 又的中点是，则，故， 又在上，则，故， 又，故，于是， 根据斜率公式，. 故选：A 【题型二】经过两直线交点的直线系 相关知识点讲解 1 经过两直线交点的直线系 过两条已知直线和交点的直线系方程 (这个直线系下不包括直线，解题时注意检验是否满足题意) 2 直线的位置关系 (1)若直线和()平行， 则； (2)若直线和()垂直， 则。 【典题1】（23-24高二上·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为 . 【答案】 【分析】设所求直线方程为，将点代入方程，求得，即可求解. 【详解】设所求直线方程为， 点在直线上， ， 解得， 所求直线方程为，即． 故答案为：. 变式练习 1（24-25高二上·全国·课后作业）过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【答案】D 【分析】设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，求解即可. 【详解】设过两直线交点的直线系方程为， 代入原点坐标，得，解得， 故所求直线方程为，即. 故选：D. 2（24-25高二·全国·课后作业）已知两直线和的交点为P．求： (1)过点P与的直线方程； (2)过点P且与直线平行的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出过直线和交点的直线方程，把点代入方程求出参数，再化简即可求出所求直线. （2）由两直线平行的性质，列方程求出对应的参数，再化简即可求出所求直线. 【详解】（1）设过直线和交点的直线方程为，即．① 把点代入方程①，化简得，解得， 所以过点P与Q的直线方程为，即． （2）由两直线平行，得，得， 所以所求直线的方程为，即． 【题型三】 两点间的距离 相关知识点讲解 平面上的两点间的距离公式. 证明 . 【典题1】（24-25高二上·北京大兴·期中）过点，的直线的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率列方程，求得，进而求得. 【详解】依题意，，解得， 所以，所以. 故选：B 变式练习 1（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】D 【分析】利用两点之间的距离公式计算即得. 【详解】点和点之间的距离为. 故选：D. 2（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】先求出BC的中点D的坐标，利用两点间的距离公式求出BC边上的中线长. 【详解】设BC的中点为D， 因为，，所以, 所以BC边上的中线长. 故选：B 3（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）直线和直线分别过定点和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线方程可得定点A，B，然后由两点间距离公式可得答案. 【详解】直线过定点， 直线 ， 则，可得过定点， 所以. 故选：A 【题型四】 点到直线的距离 相关知识点讲解 1点到直线的距离公式 点到直线的距离. 证明 过点作交直线与， 设，由，以及直线的斜率为，可得的垂线的斜率为， 因此，垂线的方程为，即， 解方程组 得直线与的交点坐标，即垂足的坐标为， 于是 因此点到直线的距离. 当或时，上述公式仍然成立. 2两平行直线间的距离 两条平行线与间的距离. 证明 在直线上任取一点，点到直线的距离就是两平行线的距离，即， 因为点在直线上，所以，即，因此. 【典题1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知两点和到直线距离相等，则值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】根据点到直线的距离公式列出等式，由此能求出． 【解答】两点和到直线距离相等， ，解得，或． 故选：B． 【典题2】（24-25高二下·山西·阶段练习）直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】可变为，则两条平行直线间的距离为． 故选：C. 变式练习 1（24-25高二上·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】由点到直线距离公式直接计算即可求解. 【详解】由题点到直线的距离为. 故选：D. 2（24-25高二上·山东临沂·期中）若，两点到直线的距离相等，则（    ） A． B． C．2或 D．2或 【答案】C 【分析】由题意，根据点到直线的距离公式建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】由题意知，， 得，解得或， 即实数的值为或. 故选：C 3（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两条平行直线间的距离公式即可. 【详解】可变为， 则两条平行直线间的距离为. 故选：B 4（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析得直线过定点，当与直线垂直时距离有最大值，利用两点间距离公式计算可得结果. 【详解】 由得， 由得，故直线过定点. 记点为点，当与直线垂直时，点到直线的距离有最大值， 最大值为. 故选：D. 5（24-25高二上·贵州·期中）将直线向下平移2个单位长度得到直线；将直线绕坐标原点逆时针旋转得到直线，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据平移的规律求出；由题意得，且原点到两直线的距离相等，求得，结合图形检验即可. 【详解】将直线即，向下平移2个单位长度得到直线，即， 因为直线，所以； 因为将直线绕坐标原点逆时针旋转得到直线， 所以，且原点到两直线的距离相等， 所以，解得或， 则直线方程为或， 作出图形如下，    由图可知，直线不符合“直线绕坐标原点逆时针旋转得到直线”， 直线符合题意，此时. 故选：B. 【题型五】 综合性问题 【典题1】（24-25高二上·重庆·开学考试）已知点，在直线上存在一点，使最小，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，点A、B在直线的同侧，利用轴对称的性质求出点关于直线的对称点的坐标，可知直线与的交点就是所求的点，进而求得答案. 【详解】设为点关于直线的对称点，则的中点为， 由轴对称的性质，可得，解得，即. 直线的方程为，即， 由，解得，即直线与交于点. ，当点三点共线时， 即直线上的点与重合时，达到最小值， 故满足条件的点坐标为. 故选：C 【典题2】（23-24高二上·山东·阶段练习）已知的两条边所在直线的方程分别是AB：，AD：，且它的对角线的交点是． (1)求这个平行四边形其他两边所在直线的斜截式方程； (2)求的面积． 【答案】(1)这个平行四边其它两边所在直线的方程是和 (2) 【分析】（1）依题意，由方程组可解得的顶点A的坐标，再结合对角线的交点是，可求得C点坐标，利用点斜式即可求得其他两边所在直线的方程. （2）由得，从而可得，再根据点线距离公式求得到的距离，最后根据面积公式即可求解. 【详解】（1）联立方程组，解得. 所以平行四边形的顶点. 设，由题意知点是线段的中点， 所以，解得，所以. 由已知，得直线的斜率，因为与平行， 所以直线的方程为，即， 由已知，得直线的斜率，因为与平行， 所以直线的方程为，即， 故这个平行四边其它两边所在直线的方程是和； （2）由得，即，所以. 又到的距离为， 所以的面积. 变式练习 1（2021·北京门头沟·二模）点到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点到距离公式把距离表示成的三角函数，根据三角函数性质求得距离的取值范围. 【详解】由点到直线距离公式有： P到直线的距离为， 其中， 由三角函数性质易知，， 故， 故选：C. 2（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标， 和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程， 由于过三角形的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标， 即可求得PB的长和直线方程，进而求得面积. 【详解】    建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为， 则三角形的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过三角形的重心，代入得， 化简得或（舍去），故,,,直线的方程为, 联立,解得,即点Q的坐标为, 则三角形的面积， 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据题干设出点P 的坐标，根据对称性和光的反射原理可知 四点共线，进而求出点的坐标，和直线的方程，进而求出点Q的坐标，即可求得结果. 3（24-25高二上·吉林通化·阶段练习）已知的三个顶点的坐标为，，．求： (1)点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形； (2)点C关于直线AB对称点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）由ABCD为平行四边形知可求； （2）设点关于直线AB对称点的坐标为，由题意可得出，解方程即可得出答案. （3）求出和点到直线AB的距离即可求出面积. 【详解】（1）设，由ABCD为平行四边形知， 即，则，解得，即. （2）直线AB的方程为，即， 点关于直线AB对称点的坐标为， 所以，解得：， 故C关于直线AB对称点的坐标为. （3）， 直线AB的方程， 点到直线AB：的距离为， ∴. 4（24-25高二上·广东佛山·期中）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为，，. (1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标. (2)求四边形ABCD的面积. (3)求边AB上的高所在直线方程. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】(1)利用平行四边形的性质结合中点坐标公式计算得解. (2)求出直线BC的方程，再求出顶点A到直线BC的距离及线段BC的长即可计算得解. (3)求出直线AB的斜率即可求得边AB上的高所在直线方程. 【详解】（1）的顶点，，，则对角线AC中点为， 于是得对角线BD的中点是，设，因此有，，解得：， 所以平行四边形ABCD的顶点. （2）因，，即有直线BC斜率，直线BC的方程：，即， 因此，点A到直线BC的距离为，而， 从而得， 所以四边形ABCD的面积为. （3）依题意，直线AB的斜率，则边AB上的高所在直线的斜率为， 于是有：，即. 所以边AB上的高所在直线的方程为. 【A组---基础题】 1（24-25高二上·全国·课后作业）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（    ） A．10 B．5 C．8 D．6 【答案】A 【分析】由中点坐标公式确定，坐标，再由两点间距离公式即可求解. 【详解】设，则， 即， 所以. 故选：A 2（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线的交点，再设直线的平行直线，最后代入交点求参. 【详解】直线与直线的交点为， 又因为与直线平行，所以设直线为：， 代入得，所以， 所以直线的方程为. 故选：A. 3（24-25高二上·四川达州·期末）已知点，点为直线上动点，则、两点间距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】由题意可知，当直线与直线垂直时，、两点间距离最小， 点到直线的距离， 故、两点间距离的最小值为. 故选：B. 4（24-25高二上·江苏·期中）已知，为上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】的最小值即为与的距离的平方的最小值，然后求点到直线的距离即可求解. 【详解】由于， 所以的最小值即为与的距离的平方的最小值， 则点到直线上的最小值即为点到直线的距离， 故，所以的最小值为. 故选：C. 5（2025·山东·一模）实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】由点到线的距离公式求解最小值，即可求解. 【详解】， 其中为两点与距离的平方， 所以其最小值即为到直线距离的平方，即， 所以的最小值为1， 故选：B 6（24-25高二上·贵州黔东南·期中）已知点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由点关于直线的对称点方法求出，再有三点共线求出最小值即可； 【详解】如图，设关于直线对称的点为，则 解得，则， 所以. 故选：D.    7（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 【答案】 【分析】设交点系方程，结合直线过求方程即可. 【详解】由题设，令直线的方程为，且直线过， 所以，故直线的方程为. 故答案为： 8（24-25高二上·福建福州·期中）已知的顶点坐标为． (1)在中，求边上的高所在直线的方程； (2)求的面积. 【答案】(1)． (2)4. 【分析】（1）运用直线垂直得到高线直线的斜率，再用点斜式计算即可； （2）运用两点间距离计算底长，再用点到直线距离公式计算高线，再计算面积即可. 【详解】（1）直线AB的斜率，边上的高线所在直线的斜率为 故中，边上的高线所在直线的方程为，即为． （2），， 直线的方程为，即为， 点C到直线的距离为， ． 的面积为4. 【B组---提高题】 1（24-25高二上·江苏泰州·期中）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得两直线与轴的交点坐标，求得两直线交点坐标，利用向量的夹角公式可求的大小. 【详解】直线与轴交于点， 直线与轴交于点， 由，得，所以，， 所以， 所以，所以. 故选：D. 2（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知直线与直线垂直，点在直线上运动，且点，点，则的最大值是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由垂直求出，作点关于直线的对称点为，求出点坐标，由几何关系易知，当且仅当三点共线时等号成立，由此可知的最大值. 【详解】直线,直线， 因为与垂直，所以，解得， ， 设点关于直线的对称点为， 则的中点在直线上，且， 所以，解得， 当且仅当三点共线时等号成立 的最大值为, 故选：D. 3（22-23高二上·福建龙岩·阶段练习）如图，将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中，已知，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分钻掉，可用经过点的任一直线将三角形木板钻成，设直线的斜率为 (1)求直线的斜率的范围； (2)令的面积为，试求出的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)首先直线由直线过点代入求出，再联立直线方程，直线的方程即可解得的坐标，从而即可求解的范围； (2)首先求出 ，代入面积公式，即可得解. 【详解】（1）解：设直线因为直线过点 所以， 又因为， 直线直线 故 ， 所以； （2）解： 设到直线的距离为， 则， 令，, 由双勾函数的性质可知在上单调递增, 所以， 即， 所以的取值范围为. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$