1.1 从自然数到有理数（第3课时 有理数的分类）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版2024）

浙教版（2024） 七年级数学上册 第一章 有理数 第三课时 有理数的分类 1.1 从自然数到有理数 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.掌握有理数的概念.（重点） 2.会对有理数按一定的标准进行分类,培养分类能力.(难点） 情景导入 人类很早就有了数的概念。 在漫长的生活和生产实践中，由于记事、测量和分配等方面的需要，人们发明了自然数和分数。 为了表示具有相反意义的量，我们的祖先又发明了正数和负数. 自然数：0,1,2,3,· · · 分数： 正数：+1,3， 0.75， 负数： 那么拥有了自然数、分数、正数与负数的概念后，是否就能够满足日常生产活动的需要呢？ 并不是，在此基础之上，数学家们经过研究又发明了有理数这个概念，本节课我们就来探究一下有理数吧！ 新知探究 1.有理数的概念 我们把 1，2，3，4，…，称为正整数； -1，-2，-3，-4，…，称为负整数； ，…，称为正分数： …，称为负分数。 我们是否能够统一的用一个概念去概括这四个数呢？ 做一做 数 整数 正整数 自然数 负整数 分数 正分数 负分数 25 0 20012 -7 -61.3 判断表中各数分别属于哪一类数，在相应的空格内画“√”。 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 概念归纳 正整数、零和负整数统称整数， 正分数、负分数统称分数. 整数和分数统称有理数. 合作探究 我们已经学习了哪些类型的数？尝试将学过的数分类，制作一张数的分类结构图。 （1）写出学过的各类数的名称，每一类举出三个具体的数。 （2）分析各类数之间的关系，制作一张数的分类结构图。 （3）将自己制作的结构图与同学交流，并进一步完善。 从小学开始，我们依次学习了正整数、零、自然数、正分数（小学里学过的有限小数和无限循环小数都可以化为分数）、负整数、有理数、它们之间的关系如下图所示 正整数 负整数 零 正分数 负分数 整数 分数 有理数 自然数 你是否还有其他的分类方法？ 新知探究 2.有理数的分类 有理数 正整数 负整数 负分数 正有理数 负有理数 正分数 注意：①分类的标准不同，结果也不同； ②分类的结果应无遗漏、无重复； ③零是整数，但零既不是正数，也不是负数. 零 如果按符号（正、负）来分类，又该怎样分呢？ 课本例题 例2.下列给出的各数，哪些是正整数？哪些是负整数？哪些是正分数？哪些是负分数？哪些是整数？哪些是分数？哪些是有理数？ -8.4,22, ,0.33,0, ,-9. 解：22是正整数；-9是负整数； ,0.33是正分数；-8.4，是负分数; 22，0，-9是整数；-8.4， ，0.33， 是分数； 所给各数均为有理数。 课内练习 1.判断表中各数分别是什么数，在相应的空格内画“√”。 数 正数 正整数 正分数 负数 负整数 负分数 有理数 66 √ √ √ -4.9 0 -12 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 2.下面有理数中，哪些是正数？哪些是负数？哪些是整数？哪些是分数？把它们分别写入相应的圈里。 … … … … 正数集 负数集 整数集 有理数集 -5,+16，-8，1.5，1, ,0,+0.45，-6.72，. -5; -8, +16; 1.5, 1; +0.45; +16; 1; 0; -8 +16; 1.5, 1; +0.45; -5; -8, 0 课内练习 作业题 1.把下列各数填在相应的横线上： 85,-6,-1.2, ,0,0.3,25, ,-36,-3.45 正整数： . 负整数： . 正分数： . 负分数： . 正有理数： . 负有理数： . 85; 25 -6; -36 0.3; -1.2; 85; 25; 0.3; -6; -36; -1.2; 2.写出5个有理数，要求其中有两个负整数、一个正分数和两个负分数。 答：五个有理数：-2，-6， ， -3.72 其中-2，-6为负整数； 为正分数； -3.72为负分数 作业题 3.用有理数表示下面各量。 （1）为表示某水库水位的变化，记水位上升为正、下降为负，那个水位上升0.82m、水位下降0.5m和水位不升不降，这三个量用有理数分别怎样表示？ 答：根据正数和负数表示相反意义的量，将水位不升不降定为0，则水位上升0.82m时，记为+0.82m，水位下降0.5m时，记为-0.5m. 作业题 3.用有理数表示下面各量。 （2）某地受寒潮侵袭，气温从原来的9℃骤降12℃，那么骤降后的气温是多少？用有理数怎样表示？ 9-12= -（12-9）=-3 答：骤降后的气温为-3℃；用有理数表示为-3. 作业题 4.下列各数中，哪些数是负数而不是整数？哪些数是整数而不是负数？哪些数既是负数，又是整数？ -3，，5，-5.1，0，-1. 答： 是负数而不是整数的数： ； -5.1 是整数而不是负数的数： 5； 0 既是负数又是整数的数： -1； -3 作业题 5.如图，请选择适当的有理数填写在圈内，使得每个圈内有6个有理数，并且左边两圈的重叠部分（蓝色区域）有2个数，右边两圈的重叠部分（绿色区域）有3个数。想一想，蓝色区域填的数有什么特点？绿色区域填的数呢？ 正数 整数 负数 ； ；0.3；7；8 ;-0.3；- - 作业题 想一想，蓝色区域填的数有什么特点？绿色区域填的数呢？ 答：蓝色区域所填的数例如7，8，它们都是正整数； 绿色区域所填的数例如，它们都是负整数. 作业题 正整数 0 负整数 正分数 负分数 整数 分数 C B 分层练习-基础 正整数 正分数 负整数 负分数 正分数 负分数 正整数 0 负整数　 分层练习-基础 B C 分层练习-基础 分层练习-基础 C 分层练习-巩固 D D 分层练习-巩固 A 分层练习-巩固 D B 分层练习-巩固 ①③④ 1、＋6 －0.15 16 32 －64 －9 10 －11 分层练习-巩固 16 45、3 0 －14 分层练习-巩固 分层练习-拓展 课堂反馈 C 课堂反馈 课堂小结 有理数的概念：正整数、零和负整数统称整数，正分数、负分数统称分数.整数和分数统称有理数. 有理数的分类： 按定义分 正整数 负整数 零 正分数 负分数 整数 分数 有理数 自然数 正整数 有理数 负整数 负分数 正有理数 负有理数 正分数 零 按正负分： 注意：①分类的标准不同，结果也不同； ②分类的结果应无遗漏、无重复； ③零是整数，但零既不是正数，也不是负数. 中国古代在数的发展方面的成就 我国在数的发展史上有辉煌的成就.如右图给出的是商周时代刻在甲骨上的13个数字，用这13个数字就可以表示相当大的数，中国古代的算筹计数法可追溯到公元前5世纪. 算筹是竹制的小棍，也有骨制的，摆法有纵式和横式两种（如右图2），以算筹计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替，零以空格表示. 如 3257 就表示成 阅读材料 商周时代刻在甲骨上的13个数字 古代算筹计数摆法 阅读材料 我国还是最早使用负数的国家，人们就用红色算筹来记收入的钱数，用黑色算筹来记支出的钱数. 东汉初（公元1世纪），在我国著名的数学书《九章算术》中，明确提出了“正负术”. 后来，魏晋时期的数学家刘徽（约公元3世纪）曾为此作了这样的注释：“正算赤、负算黑，否则以邪正为异.” 用现代语言来说就是：“用红色表示正，用黑色表示负，否则用直放与斜放来表示正负数的区别.” 宋代以后出现了笔算，用红黑数码分别表示正、负数，或在个位数划上斜线以表示负数. 如“ ”表示-1 824，“ ”表示-346. 后来由于黑色成为主要的书写色，才演变成用黑色数字表示收入. 今天，人们常用“赤字”这一词语来表示财政上的亏空. 阅读材料 古代象牙算筹 知识点一：有理数的相关概念 (1) 、 、 统称为整数． (2) 、 统称为分数． (3)　　 　和　　 　统称为有理数． 1. 2019不是(　 　) A．整数　　　　 B．正整数　　　 C．分数　　　　 D．有理数 2．下列说法错误的是(　 　) A．π不是有理数 B．0不是整数 C.eq \f(1,3)是正数 D．－0.35是负分数 知识点二：有理数的分类 有理数eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(正数\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(　 　,　 　)), 0,负数\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(　 　,　 　)))) 有理数eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(分数\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(　 　,　 　)),整数\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(　 　,　 　,　　 )))) 3. 在－5、3、0、－eq \f(3,2)、100、0.4中，是非负整数的有(　 　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．下列说法正确的是(　 　) A．所有的整数都是正数 B．不是正数的数一定是负数 C．0不是最小的有理数 D．正有理数包括整数和分数 2019、1、0.5、eq \f(1,10)、20% －1、－2018、－eq \f(1,3)、－0.75 5. 把下列各数填在相应的集合里：2019、1、－1、－2018、0.5、eq \f(1,10)、－eq \f(1,3)、－0.75、0、20%. 整数集合：{ …}； 正分数集合：{ …}； 负分数集合：{ …}； 正数集合：{ …}； 负数集合：{ …}． 2019、1、－1、－2018、0 0.5、eq \f(1,10)、20% －eq \f(1,3)、－0.75 6．下列论述正确的个数为(　 　) ①0是正数；②0是整数；③0是最小的有理数；④0是非负数；⑤0是偶数；⑥0是非正数；⑦一个有理数不是正数就是负数；⑧一个有理数不是整数就是分数；⑨有理数可分为整数、分数、正有理数、0、负有理数这五类． A．3个　　 B．4个　　 C．5个　　 D．6个 7．下列说法正确的是(　 　) A．正有理数和负有理数组成全体有理数 B．0没有带“－”号，所以0是正数 C．字母a没有带“－”号，所以a表示正数 D．－3.6是负数，也是分数 8．在＋1、eq \f(2,7)、0、－5、－3eq \f(1,3)、3这几个数中，是整数的有(　 　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图圆圈表示负数集、整数集和正数集，其中有甲、乙、丙三个部分，这三部分的数的个数为(　 　) A．甲、丙两部分有无数个，乙部分只有一个是0 B．甲、乙、丙三部分都有无数个 C．甲、乙、丙三部分都只有一个 D．甲只有一个，乙、丙两部分有无数个 10．下列说法中，错误的是(　 　) A．－3.14既是负数、分数，也是有理数 B．0是非负数，也是非正数 C．0既不是正数也不是负数，但是有理数 D．－2019既是负数也是整数但不是有理数 11．下列说法正确的有(　 　) ①整数就是正整数和负整数；②零是整数，但不是自然数；③分数包括正分数、负分数；④正数和负数统称为有理数；⑤一个有理数，它不是整数就是分数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．下列说法：①－1.1既是负数、分数，也是有理数；②－2是负数，也是整数，但不是非正数；③0既不是正数，也不是负数，但是整数；④0是非负数．其中正确的是 (填序号)． 13．下列各数1、－10、－0.15、0、＋6中，既是正数又是整数的数是 ，既是负数又是分数的数是 . 14. 观察下列依次排列的一列有理数，你能发现什么规律吗？请直接写出后面的三个数． (1) eq \f(1,4) 、eq \f(1,2)、－1、2、4、－8、 、 、 、… (2)1、－2、－3、4、－5、－6、7、－8、 、 、 、… 15．把下列各数填在相应的横线上：－14、2.8、45、－eq \f(10,3)、－0.28、0、－eq \f(3,4)、2.07、－7.2、2.181、eq \f(1,2)、3、65%. 有理数eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(整数\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(正整数　 　,零　 　,负整数　 　)),分数\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(正分数　2.8、2.07、2.181、\f(1,2)、65%　,负分数　－\f(10,3)、－0.28、－\f(3,4)、－7.2　)))) 16．将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题： (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在A、B、C、D中的什么位置？ (3)第2019个数是正数还是负数？排在对应于A、B、C、D中的什么位置？ 解：(1)在A处的数为正数；　 (2)B、D位置的数是负数；　 (3)第2019个数是负数，排在对应于D的位置． 会按照一定的标准将有理数正确分类． 【例1】把下列有理数填入相应的数的集合里：－3、eq \f(3,5)、3.6、－eq \f(1,2)、0、＋78、－0.021、13、－15. 正整数集合：{ …}； 负整数集合：{ …}； 整数集合：{ …}； 负分数集合：{ …}； 分数集合：{ …}； 非负有理数集合：{ …}． 【思路分析】要将各数填入相应的集合里，首先要明白有理数的分类，其次要弄清每个数的特征，在填入相应的集合时，要明确每个有理数的多重身份． 【规范解答】正整数集合：{＋78、13、…}； 负整数集合：{－3、－15、…}； 整数集合：{－3、0、＋78、13、－15、…}； 负分数集合：{－eq \f(1,2)、－0.021…}； 分数集合：{eq \f(3,5)、3.6、－eq \f(1,2)、－0.021、…}； 非负有理数集合：{eq \f(3,5)、3.6、0、＋78、13、…}． 【方法归纳】填数的方法有两种：(1)逐个考察给出的数，看它是什么数，即是否属于某一集合；(2)逐个填写相关的集合，从给出的数中找出属于这个集合的数，这样就不容易出现漏数． 有理数的概念． 【例2】下列说法错误的是(　 　) A．0.1是有理数 B．eq \f(π,2)不是有理数 C．小数都是有理数 D．自然数就是非负整数 【思路分析】有理数包括整数和分数，有限小数和无限循环小数都能化成分数，如0.eq \o(1,\s\up6(·))＝eq \f(1,9)，是有理数．无限不循环小数不是有理数，eq \f(π,2)虽然看似是分数值实质上不是分数．它是无限不循环小数，即不是有理数． 【方法归纳】理解有理数的分类．找各类数时，都要注意“0”的特殊性． $$