第1章 集合（8个易错精讲精练+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修第一册）

第1章 集合（8个易错精讲精练+过关检测） 易错点1忽略集合中元素的互异性而致错 【例题1】（23-24高一上·宁夏银川·阶段练习）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（21-22高一上·四川自贡·期末）若，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【变式1-2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合中含有2个元素，，则满足的条件是 ． 【变式1-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）集合中有三个元素：、、，集合中有三个元素：、、0，若，求的值． 易错点2不能正确的理解集合的表示方法而致错 【例题2】（21-22高一上·辽宁大连·阶段练习）集合的元素个数为（    ） A．4 B．5 C．10 D．12 【变式2-1】（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合，，则集合中所有元素之和为（　　） A． B．0 C．1 D．2 【变式2-2】（24-25高一上·上海·课后作业）用列举法表示集合 ． 【变式2-3】（23-24高一上·江西九江·阶段练习）用合适的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)大于-1且小于7的所有整数组成的集合. 易错点3不理解新定义的集合（运算）而致错 【例题3】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）定义集合，其中集合，则中元素个数为 ． 【变式3-1】（20-21高一上·浙江金华·开学考试）定义集合运算：，设，，则（    ） A．当，时， B．x可取两个值，y可取两个值，有4个式子 C．中有3个元素 D．中所有元素之和为3 【变式3-2】（23-24高一上·上海普陀·阶段练习）若表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是 . 【变式3-3】（22-23高一上·上海浦东新·期中）对任意两个正整数，定义某种运算（运算符号用表示）：当都为正偶数或正奇数时，；当中一个正奇数，另一个为正偶数时，，则在上述定义下，集合中元素个数为 . 易错点4不理解集合中元素的确定性而致错 【例题4】（22-23高一下·广西河池·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）下列关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-2】（23-24高一上·江苏无锡·期中）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知非零实数、，代数式的值组成集合，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 易错点5混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 【例题5】（22-23高一上·天津武清·阶段练习）下列各式中关系符号运用正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一上·安徽·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·全国·课堂例题）用正确的符号填空： ① ；② ；③1 ；④ 【变式5-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）若， (1)如何从元素的角度判断两个集合与的关系？ (2)如何从子集的角度判断集合与的关系? 易错点6忽略对空集的讨论而致错 【例题6】（23-24高一上·四川绵阳·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高一上·江西景德镇·阶段练习）已知集合，.若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024高一上·全国·专题练习）若集合，则能使成立的a的取值集合为 ． 【变式6-3】（24-25高一上·上海·课后作业）设集合，； 若，求实数的取值范围； 易错点7忽略端点的取值情况而致错 【例题7】（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）集合，集合，若，则实数a取值范围为（    ） A． B． C．a>2 D． 【变式7-1】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（21-22高一上·四川遂宁·期末）已知，，若，则的取值范围 . 【变式7-3】（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合，，若,求实数m的取值范围． 易错点8 含参数的集合运算中忽视对空集的讨论而致错 【例题8】（22-23高一上·北京·期中）已知集合，且，则所有可能的集合的个数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式8-1】（21-22高一上·湖北武汉·期中）已知集合，，若，则实数a满足（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高一上·北京·阶段练习）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 【变式8-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）设集合或，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 一．选择题（共8小题） 1．（2023秋•海陵区校级月考）已知集合满足，，2，3，4，，这样的集合有　　个． A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2023秋•鼓楼区校级月考）设集合，，，若，则　　 A．或或2 B．或 C．或2 D．或2 3．（2023秋•江阴市校级月考）如图中阴影部分所表示的集合是　　 A． B． C． D． 4．（2022秋•海林市校级月考）已知集合，且，则等于　　 A．， B．，2，3， C．，2，3， D．，2，3， 5．（2022秋•赣榆区校级月考）下列表示图中的阴影部分的是　　 A． B． C． D． 6．（2022秋•广陵区校级月考）已知集合，，1，2，3，，则，间的关系是　　 A． B． C． D． 7．（2022秋•连云港月考）下列集合中，只有一个子集的是　　 A． B．或 C． D．且 8．（2022秋•虎丘区校级月考）集合论是德国数学家康托尔．于19世纪末创立的，在他的集合理论中，用（A）表示有限集合中元素的个数．例如：，，，则（A）．若对于任意（A）（B）有限集合，，有某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有9人，两项都参加的有5人．那么高一（1）班参加田径比赛的人数共有　　 A．28 B．23 C．18 D．16 二．多选题（共3小题） 9．（2022秋•芦淞区校级期中）设全集，集合，，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 10．（2022秋•相城区校级月考）下列关于空集的说法中，正确的有　　 A． B． C． D． 11．（2023•鼓楼区校级开学）若非空数集满足任意，，都有，，则称为“优集”．已知，是优集，则下列命题中正确的是　　 A．是优集 B．是优集 C．若是优集，则或 D．若是优集，则是优集 三．填空题（共3小题） 12．（2023秋•贾汪区校级月考）已知集合，若集合有且仅有两个子集，则的值为　　． 13．（2023秋•吴江区校级月考）已知集合，，，，，则实数的值为　　． 14．（2022秋•虎丘区校级月考）已知集合，2，3，4，5，，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘以再求和，例如，3，，可求得和为，对的所有非空子集，这些和的总和为 　　． 四．解答题（共5小题） 15．（2021秋•吴中区校级月考）已知集合，，，． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 16．（2022秋•响水县校级月考）已知集合或，，． （1）求，； （2）若，求实数的取值范围． 17．（2022秋•响水县校级期中）已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 18．（2022•贾汪区校级开学）向50名学生调查对、两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对、都不赞成的学生数比对、都赞成的学生数的三分之一多1人．问对、都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？ 19．（2022秋•新北区校级月考）已知集合，，，，． （1）若，求； （2）是否存在自然数，，使得？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 集合（8个易错精讲精练+过关检测） 易错点1忽略集合中元素的互异性而致错 【例题1】（23-24高一上·宁夏银川·阶段练习）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合相等以及集合元素的互异性可得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可计算得出的值. 【详解】因为，则或，解得或， 所以，. 故选：B 【变式1-1】（21-22高一上·四川自贡·期末）若，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】分别令和，根据集合中元素的互异性可确定结果. 【详解】若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则或（舍），此时，符合题意； 综上所述：. 故选：A 【变式1-2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合中含有2个元素，，则满足的条件是 ． 【答案】且 【分析】根据集合中元素的互异性求解. 【详解】由集合中元素的互异性可知，，解得且， 故答案为：且 【变式1-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）集合中有三个元素：、、，集合中有三个元素：、、0，若，求的值． 【答案】 【分析】利用集合中元素的互异性，结合，所以只有，再对剩下两个数对应相等情况分类，即可求解. 【详解】由集合中元素有意义知，由集合中元素的互异性知， ∵，∴或 解得或（舍去）． ∴． 易错点2不能正确的理解集合的表示方法而致错 【例题2】（21-22高一上·辽宁大连·阶段练习）集合的元素个数为（    ） A．4 B．5 C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据题意，集合中的元素满足x是自然数，且是自然数．由此列出与对应值，即可得到题中集合元素的个数． 【详解】由题意，集合中的元素满足 是自然数，且是自然数， 由此可得=0，1，3，9； 此时的值分别为： 4，3，2，1， 符合条件的共有4个， 故选：A． 【变式2-1】（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合，，则集合中所有元素之和为（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出集合的元素即可计算作答. 【详解】因为集合，且，则有， 所以集合中所有元素之和为. 故选：A 【变式2-2】（24-25高一上·上海·课后作业）用列举法表示集合 ． 【答案】 【分析】结合列举法与描述法的转化即可分别求解． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 用列举法表示集合为， 故答案为：． 【变式2-3】（23-24高一上·江西九江·阶段练习）用合适的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)大于-1且小于7的所有整数组成的集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解方程，然后把解用列举法表示； （2）用列举法表示. 【详解】（1）解方程，解得，所以解集可以用列举法表示为. （2）大于-1且小于7的所有整数为，所以用列举法表示为. 易错点3不理解新定义的集合（运算）而致错 【例题3】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）定义集合，其中集合，则中元素个数为 ． 【答案】4 【分析】通过列举可得中元素个数. 【详解】， 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 所以中元素个数为. 故答案为：4. 【变式3-1】（20-21高一上·浙江金华·开学考试）定义集合运算：，设，，则（    ） A．当，时， B．x可取两个值，y可取两个值，有4个式子 C．中有3个元素 D．中所有元素之和为3 【答案】BCD 【分析】根据给定定义，对每一组x，y值代入求出集合的z值，即可判断作答. 【详解】，，， 当，时，；当，时，； 当，时，；当，时，， A不正确；B正确；而，C，D都正确. 故选：BCD 【变式3-2】（23-24高一上·上海普陀·阶段练习）若表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是 . 【答案】4 【分析】根据定义有或，分别确定出所在区域，然后可求得面积． 【详解】根据定义有或， ，则，这是一个边长为的正方形，面积为， 同理，，也都形成一个边长为的正方形，面积都是， 所以. 故答案为： 【变式3-3】（22-23高一上·上海浦东新·期中）对任意两个正整数，定义某种运算（运算符号用表示）：当都为正偶数或正奇数时，；当中一个正奇数，另一个为正偶数时，，则在上述定义下，集合中元素个数为 . 【答案】41 【分析】根据题意分类讨论当都为正偶数或正奇数，当中一个正奇数，另一个为正偶数，理解运算. 【详解】∵， 当都为正偶数或正奇数时，则， ∴满足条件的有，共35个； 当中一个正奇数，另一个为正偶数时，则， ∴满足条件的有，共6个； 故集合中元素个数为. 故答案为：41 易错点4不理解集合中元素的确定性而致错 【例题4】（22-23高一下·广西河池·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合，逐个元素判定，即可求解. 【详解】由集合，因为，所以． 故选：B． 【变式4-1】（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）下列关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据数集的含义和元素与集合间的关系判断即可. 【详解】Q表示有理数集，是有理数，故（1）正确； R表示实数集，为实数，故（2）错； 表正整数集，0不是正整数，故（3）错； Z表示整数集，不是整数，故（4）错； 和都表示集合，集合间的关系不能用表示，故（5）错. 故选：A. 【变式4-2】（23-24高一上·江苏无锡·期中）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由元素与集合的关系，逐一判断，即可得到结果. 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确； 故选：D 【变式4-3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知非零实数、，代数式的值组成集合，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题首先可根据题意分为“、均为正数”，“、为一正一负”，“、均为负数”三种情况进行讨论，然后确定集合中所包含的元素，即可得出结果. 【详解】当、均为正数时，代数式； 当、为一正一负时，代数式或； 当、均为负数时，代数式， 故集合， 故选：B. 易错点5混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 【例题5】（22-23高一上·天津武清·阶段练习）下列各式中关系符号运用正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知，分析四个个选项，利用元素与集合之间是属于关系，集合与集合之间是包含关系即可作出判断. 【详解】由已知， 选项A，1为元素，而为集合，应为，该选项错误； 选项B，为集合，而为集合，应为，该选项错误； 选项C，为集合，为集合，所以，该选项正确； 选项D，为集合，而为集合，应为，该选项错误； 故选：C. 【变式5-1】（23-24高一上·安徽·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用列举法表示出集合A，再利用元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即得. 【详解】依题意，，所以，，B错误，D正确； 显然，，AC错误. 故选：D 【变式5-2】（24-25高一上·全国·课堂例题）用正确的符号填空： ① ；② ；③1 ；④ 【答案】 = 【分析】根据集合之间的关系逐项判断即可. 【详解】①集合中的元素具有无序性，故； ②空集是任何元素的子集，故； ③元素和集合之间是属于和不属于的关系，故； ④集合包含于集合，故. 故答案为：=；；；. 【变式5-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）若， (1)如何从元素的角度判断两个集合与的关系？ (2)如何从子集的角度判断集合与的关系? 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）求出集合，观察两集合中的元素的关系可判断； （2）求出集合，由两集合之间的包含关系分析判断. 【详解】（1）集合， 所以两个集合中的元素完全相同，这两个集合相等； （2）集合，集合中的元素都属于集合， 所以集合是的子集； 反之，集合中元素都属于集合， 所以集合是子集， 即两个集合互为子集，这两个集合相等 易错点6忽略对空集的讨论而致错 【例题6】（23-24高一上·四川绵阳·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】由集合，且， 当时，即时，此时满足，符合题意； 当时，要使得，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：D 【变式6-1】（23-24高一上·江西景德镇·阶段练习）已知集合，.若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，分集合为空集和不为空集两种情况，结合根的判别式即可. 【详解】因为， 所以①当集合为空集时， ， ②当集合不为空集时， 当， 此时，满足题意； 当时，由韦达定理有： ，无解，舍去， 综上所述：若，则实数的取值范围是. 故选：B 【变式6-2】（2024高一上·全国·专题练习）若集合，则能使成立的a的取值集合为 ． 【答案】或 【分析】根据，进行讨论和，求解参数范围. 【详解】当，则时，； 当，则时，， 要使，须有，解得， 综上可知，能使成立的a的取值集合为或． 故答案为：或 【变式6-3】（24-25高一上·上海·课后作业）设集合，； 若，求实数的取值范围； 【答案】 【分析】分为和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求实数a的取值范围； 【详解】由题意，集合，，需分为和两种情形进行讨论： 当时，， 解得，，满足题意； 当时， 因为， 所以， 解得，， 综上所述，实数的取值范围为. 易错点7忽略端点的取值情况而致错 【例题7】（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）集合，集合，若，则实数a取值范围为（    ） A． B． C．a>2 D． 【答案】D 【分析】根据列出不等式，即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：D 【变式7-1】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系直接得到参数的取值范围. 【详解】因为，，且， 所以，即实数的取值范围是. 故选：C 【变式7-2】（21-22高一上·四川遂宁·期末）已知，，若，则的取值范围 . 【答案】 【分析】根据包含关系列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由于，所以，所以的取值范围是. 故答案为： 【变式7-3】（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合，，若,求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】根据集合的包含关系，列出关于端点的不等式组，即可求解. 【详解】 解得， 故. 的取值范围是． 易错点8 含参数的集合运算中忽视对空集的讨论而致错 【例题8】（22-23高一上·北京·期中）已知集合，且，则所有可能的集合的个数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】根据已知条件，列出集合所有的可能，即可得到结果. 【详解】由已知可得，集合的所有可能为：，，，，，，，. 所以，所有可能的集合的个数是8. 故选：B. 【变式8-1】（21-22高一上·湖北武汉·期中）已知集合，，若，则实数a满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由并集结果得到，分和讨论，得到实数a的取值范围. 【详解】因为，所以，当时，，即，满足题意； 当时，若，则或4，当时，，满足题意；当时，，满足题意； 若，则-2,2是方程的两根，显然，故不合题意， 综上：实数a满足. 故选：D 【变式8-2】（23-24高一上·北京·阶段练习）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可知：，分类讨论，根据包含关系可得实数a的取值范围. 【详解】因为，可知，则有： 若，则，解得； 若或，则，解得， 当时，则，符合题意； 当时，则，符合题意； 可知符合题意； 若，则，无解，不合题意； 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式8-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）设集合或，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． 【分析】（1）解不等式得到，并根据，得到不等式，求出实数的取值范围； （2）由，得，分和，得到不等式，求出实数的取值范围． 【详解】（1）由题意，得或． 又，，则． 结合数轴，可得或 解得或． 则实数的取值范围是或 （2）由，得． 当时，，即，满足． 当时，结合数轴，如图（1）（4），可得或 解得或． 则实数的取值范围是或． 一．选择题（共8小题） 1．（2023秋•海陵区校级月考）已知集合满足，，2，3，4，，这样的集合有　　个． A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】由题意知集合中的元素必有1，2，另外可从3，4，5中取，必须注意符号“”的含义． 【解答】解：由题意知集合中的元素1，2必取，另外可从3，4，5中取， 取0个，取1个，取2个，取三个，故有（个． 故选：． 【点评】本题主要考查了元素与集合关系的判断，同时考查了分类讨论的思想，是个基础题． 2．（2023秋•鼓楼区校级月考）设集合，，，若，则　　 A．或或2 B．或 C．或2 D．或2 【分析】分别由，，求出的值，代入观察即可． 【解答】解：若，则， ， ，4，； 若，则或， 时，， ，，； 时，（舍， 故选：． 【点评】本题考查了集合的确定性，互异性，无序性，本题是一道基础题． 3．（2023秋•江阴市校级月考）如图中阴影部分所表示的集合是　　 A． B． C． D． 【分析】由韦恩图可以看出，阴影部分是中且不在、内部分所得，由韦恩图与集合之间的关系易得答案． 【解答】解：由韦恩图可以看出，阴影部分是中且不在、内部分所得， 即与的交集组成的集合， 即：． 故选：． 【点评】本题主要考查了图表达集合的关系及运算．阴影部分在表示的图内，表示；阴影部分不在表示的图内，表示． 4．（2022秋•海林市校级月考）已知集合，且，则等于　　 A．， B．，2，3， C．，2，3， D．，2，3， 【分析】由已知，应该是6的正因数，所以可能为1，2，3，6，又，得到． 【解答】解：因为集合，且， 所以可能为1，2，3，6， 所以可取4，3，2， 所以，2，3，； 故选：． 【点评】本题考查了集合元素的属性；注意元素的约束条件是解答的关键． 5．（2022秋•赣榆区校级月考）下列表示图中的阴影部分的是　　 A． B． C． D． 【分析】由韦恩图分析阴影部分表示的集合，关键是要分析阴影部分的性质，先用自然语言将其描述出来，再根据集合运算的定义，将共转化为集合语言，再去利用集合运算的方法，对其进行变形和化简． 【解答】解：图中阴影部分表示元素满足： 是中的元素，或者是与的公共元素 故可以表示为 也可以表示为： 故选：． 【点评】韦恩图是分析集合关系时，最常借助的工具，其特点是直观，要分析韦恩图分析阴影部分表示的集合，要先分析阴影部分的性质，先用自然语言将其描述出来，再根据集合运算的定义，将共转化为集合语言，再去利用集合运算的方法，对其进行变形和化简． 6．（2022秋•广陵区校级月考）已知集合，，1，2，3，，则，间的关系是　　 A． B． C． D． 【分析】求出函数的定义域，通过计算得到，1，2，，从而得到集合与的关系． 【解答】解：函数的定义域是，，1，2，，即，1，2，，又，1，2，3，，所以． 故选：． 【点评】此题考查函数定义域及集合与集合之间的关系，属于基础题型． 7．（2022秋•连云港月考）下列集合中，只有一个子集的是　　 A． B．或 C． D．且 【分析】只有空集只有一个子集，故看哪个选项是空集即可． 【解答】解：、、都不是空集，，故只有一个子集． 故选：． 【点评】本题考查子集、空集的概念，属于基础题． 8．（2022秋•虎丘区校级月考）集合论是德国数学家康托尔．于19世纪末创立的，在他的集合理论中，用（A）表示有限集合中元素的个数．例如：，，，则（A）．若对于任意（A）（B）有限集合，，有某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有9人，两项都参加的有5人．那么高一（1）班参加田径比赛的人数共有　　 A．28 B．23 C．18 D．16 【分析】由公式（A）（B）代入运算即可． 【解答】解：记参加田赛的所有学生构成集合，参加径赛的所有学生构成集合， 由题意得， （A），（B），， 故（A）（B）， 故选：． 【点评】本题考查了集合的延伸定义，属于基础题． 二．多选题（共3小题） 9．（2022秋•芦淞区校级期中）设全集，集合，，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】化简集合、，根据交集、并集和补集的定义判断正误即可． 【解答】解：全集，集合，， 对于，，所以选项错误； 对于，，所以选项错误； 对于，，选项正确； 对于，，选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题． 10．（2022秋•相城区校级月考）下列关于空集的说法中，正确的有　　 A． B． C． D． 【分析】根据集合与空集的定义依次对四个选项判断即可． 【解答】解：或，故选项错误，选项正确； 是集合的元素，也是任何集合的子集， 即，，故选项、正确； 故选：． 【点评】本题考查了元素与集合、集合与集合的关系的判断与应用，属于基础题． 11．（2023•鼓楼区校级开学）若非空数集满足任意，，都有，，则称为“优集”．已知，是优集，则下列命题中正确的是　　 A．是优集 B．是优集 C．若是优集，则或 D．若是优集，则是优集 【分析】根据题目理解新定义“优集”，并利用并集的有关性质解决元素和集合之间的关系． 【解答】解：选项：任取，， 因为集合，是优集，则，，则， ，，则，所以正确， 选项：取，，，， 则或，，令，，则，错误， 选项：任取，，可得，， 因为是优集，则，， 若，则，此时，若，则，此时，正确， 选项是优集，可得，则为优集，或，则为优集， 所以是优集，正确， 故选：． 【点评】本题重点考查了集合的性质、并集及其运算，考查了新定义的性质，属于中档题． 三．填空题（共3小题） 12．（2023秋•贾汪区校级月考）已知集合，若集合有且仅有两个子集，则的值为　0或1或　． 【分析】根据集合有且仅有两个子集，得到集合中只有一个元素，通过讨论的范围，从而求出的值． 【解答】解：若集合有且仅有两个子集， 则方程只有一个解， 时，，，的子集是和空集， 时，方程是一元二次方程， △，解得：， ，或，的子集是和空集， 故答案为：0或1或． 【点评】本题考查了集合的运算，考查了空集的定义及性质，是一道基础题． 13．（2023秋•吴江区校级月考）已知集合，，，，，则实数的值为　　． 【分析】由已知中集合，，，，，根据集合相等对应元素分别相等，我们可以分若、、，三种情况进行分类讨论，结合集合元素的性质，即可得到答案． 【解答】解：令，，，，，， ，，，，， 若，则，则，，，，，，满足要求； 若，则，则，，，不满足集合元素的互异性； 若，则，则，，，，，，满足要求； 故实数的值为 故答案为： 【点评】本题考查的知识点是集合相等的性质，根据集合相等对应元素分别相等，进行分类讨论是解答本题的关键． 14．（2022秋•虎丘区校级月考）已知集合，2，3，4，5，，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘以再求和，例如，3，，可求得和为，对的所有非空子集，这些和的总和为 　96　． 【分析】根据题意，先求出的所有非空子集个数，再找出规律求和，从而求出总和． 【解答】解：因为集合，2，3，4，5，， 所以中所有非空子集共有个，在这些非空子集中元素1，2，3，4，5，6都出现了次， 且集合，2，3，4，5，的和为： ， 所以这些和的总和为． 故答案为：96． 【点评】本题考查了新定义的集合元素的运算问题，是难题． 四．解答题（共5小题） 15．（2021秋•吴中区校级月考）已知集合，，，． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据补集与交集的定义计算即可； （2）根据子集的定义讨论和时，求出满足条件的实数的取值范围即可． 【解答】解：（1）因为集合，所以或， 又因为集合，所以或； （2）因为，且， ①若，则，解得； ②若，则满足，解得； 综上知，实数的取值范围是，． 【点评】本题考查了补集与交集和子集的定义与应用问题，是基础题． 16．（2022秋•响水县校级月考）已知集合或，，． （1）求，； （2）若，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据交集、补集和并集的定义计算即可； （2）由知，讨论的取值情况，求出满足条件的取值范围． 【解答】解：（1）集合或，， ， ， ； （2），， 又， ①当时，，解得； ②当时，，； 综上，的取值范围是． 【点评】本题考查了集合的定义与应用问题，是基础题． 17．（2022秋•响水县校级期中）已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 【分析】（1）时，求出，计算； （2）由列出关于的不等式组，求出求得的取值范围； （3）讨论的取值，使成立． 【解答】解：（1）当时，，且， ； （2），集合． 由知：， 解得， 所以实数的取值范围是，； （3）由得： ①若，则，此时，符合题意， ②若，则，需，或； 解得，或，即； 综上知：； 即实数的取值范围是，． 【点评】本题考查了集合的运算以及分类讨论思想的应用问题，是易错题． 18．（2022•贾汪区校级开学）向50名学生调查对、两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对、都不赞成的学生数比对、都赞成的学生数的三分之一多1人．问对、都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？ 【分析】首先画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系，然后分别对赞成和不赞成的人进行分析，最后判断都赞成的人和都不赞成的人． 【解答】解：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系． 赞成的人数为，赞成的人数为， 如图，记50名学生组成的集合为， 赞成事件的学生全体为集合； 赞成事件的学生全体为集合． 设对事件、都赞成的学生人数为， 则对、都不赞成的学生人数为， 赞成而不赞成的人数为， 赞成而不赞成的人数为． 依题意，解得． 所以对、都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人． 【点评】本题考查韦恩图，通过对图象的分析，分类进行讨论最后合并处理，强调对知识的理解和熟练运用，属于基础题． 19．（2022秋•新北区校级月考）已知集合，，，，． （1）若，求； （2）是否存在自然数，，使得？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由． 【分析】（1）化简得，联立方程得，求解即可； （2）由题意得且；即方程组与方程组都无解；从而求解． 【解答】解：（1）当时，， 联立方程得， 解得或； 故，； （2）， 且； 联立方程得，消去得， ， 由知， ①当时，方程有解， 故不符合题意； ②当时， △， 即； 联立方程得，消去得， ， ， △， 即； 若有解， 则， 即； 若有解， 则， 即； 又， ； 代入得，且， 故且， 故； 综上所述，当，时，． 【点评】本题考查了集合的运算及方程组的解的个数的应用，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$