1.1.2 瞬时变化率与导数课件-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

1.1.2　瞬时变化率与导数 第1章　导数及其应用 湘教版 数学 选择性必修第二册 课标要求 1.理解平均速度与瞬时速度的关系,会求运动物体的瞬时速度. 2.理解函数的导数的含义以及瞬时变化率与导数的关系,能够根据瞬时变化率求函数在某一点处的导数. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 成果验收·课堂达标检测 目录索引 基础落实·必备知识全过关 知识点1 瞬时速度 若物体的运动方程为s=f(t),则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t),就是平均速度v(t,d)=　　　　　　在d趋近于0时的极限.  变速运动的物体在不同时刻的瞬时速度不同 无限接近但是不等于 名师点睛 从物理角度看,瞬时速度就是将平均速度的时间段改为时间点,即让时间段[t,t+d](d>0)或者[t+d,t](d<0)中的时间间隔|d|无限趋近于0,此时时间段[t,t+d](d>0)或者[t+d,t](d<0)中平均速度就无限趋近于t时刻的瞬时速度. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若物体的运动方程为s(t)=2t+1,则物体在每一时刻的瞬时速度都是相等的.(　　) (2)运动物体在任意时刻t的瞬时速度 公式中,d只能大于0.(　　) √ × 2.一质点做直线运动,若它所经过的路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系为s(t)=4t2-3,则该质点在t=5 s时的瞬时速度为(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.7 m/s B.10 m/s C.37 m/s D.40 m/s D 知识点2 函数的瞬时变化率与导数 1.瞬时变化率:一般地,若函数y=f(x)的平均变化率 在d_______　　　　时,有确定的极限值,则称这个值为该函数在x=u处的瞬时变化率.  不是函数在x=u处的函数值 　该值在数学上称为函数的导数或微商 趋近于0 2.导数或微商:设函数y=f(x)在包含x0的某个区间上有定义,在d趋近于0时,如果比 值趋近于一个确定的极限值,则称此极限值为函数y=f(x)在x=x0处的导数或微商,记作　　　　.这时我们就说f(x)在点x0处的导数存在,或者说f(x)在x0处可导或可微,简记为 →f'(x0)(d→0).  f'(x0) 3.导函数:若y=f(x)在定义区间中任一点的导数都存在,则f'(x)(或y')也是x的　 　,我们把f'(x)(或y')叫作y=f(x)的导函数或一阶导数.导函数f'(x)也是x的函数,如果f'(x)在定义区间中任一点处都可导,则它的导数叫作f(x)的　　　 　　,记作f″(x).类似地,可以定义三阶导数f'″(x)等等.  函数 二阶导数 名师点睛 1.瞬时变化率的实质是当平均变化率中自变量的改变量趋近于0时的值,它刻画函数值在某处变化的快慢. 2.导数定义的理解: (1)函数应在x0处的附近有定义,否则导数不存在. (2)在极限式中,d趋近于0且d是自变量x在x0处的改变量,所以d可正可负,但不能为0.当d>0(或d<0)时,d→0表示x0+d从右边(或从左边)趋近于x0. (3)函数在某一点处的导数就是在该点附近的因变量的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是个常数,不是变量. 3.f'(x0)与f'(x)的关系: 项目 区别 联系 f '(x0) f'(x0)是具体的值,是数值 在x=x0处的导数f'(x0)是导函数f'(x)在x=x0处的函数值,因此求函数在某一点处的导数,一般先求导函数,再计算导函数在这一点的函数值 f'(x) f'(x)是根据函数f(x)在定义区间I上每一点都存在的导数而定义的一个新函数,是函数 过关自诊 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)函数f(x)=0没有导函数.(　　) (2)运动物体的瞬时速度等于路程函数y=s(t)的瞬时变化率.(　　) (3)函数y=f(x)在x=x0处的导数,就是其导函数f'(x)在x=x0处的函数值.(　　) × √ √ 重难探究·能力素养全提升 探究点一　瞬时速度 【例1】 一运动物体的位移s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系是s(t)=3t-t2. (1)求此物体的初速度; (2)求此物体在t=2 s时的瞬时速度. 变式探究 本题中位移与时间的关系式不变,若物体在时刻t0的瞬时速度为 -15 m/s,求t0. 当d→0时,3-2t0-d→3-2t0.因此运动物体在t0时刻的瞬时速度是3-2t0.由3-2t0=-15,得t0=9 s. 规律方法　做变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的,时刻t0的瞬时速度,即为运动物体在[t0,t0+d]的平均速度在d趋近于0时的极限.因此求运动物体的瞬时速度,首先计算运动物体的平均速度. 探究点二　函数的瞬时变化率与函数的导数 【例2】 求函数y=x2- 在x=1处的导数值. 规律方法　1.求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤: 第一步,求函数的增量f(x0+d)-f(x0); 第二步,求平均变化率 ; 第三步,取极限,得到导数f'(x0). 以上步骤简称:一差,二比,三极限. 2.利用定义求函数的导数时要注意函数解析式中有分式时要通分. (2)函数y=x2+4x在x=x0处的导数值为2,求x0的值. 当d→0时,2x0+d+4→2x0+4,所以2x0+4=2,所以x0=-1. 探究点三　导数定义的理解 【例3】 设函数f(x)在x0处可导,且f'(x0)=2,当d→0时求下列各式的值. 规律方法　在导数的定义 中,d的形式是多种多样的,但不论d是哪种形式,定义中的分母必须是改变后的量与改变前的量之差. 变式训练2(1)已知奇函数f(x)满足f'(-1)=1,则当d→0时, 等于(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 A 解析 由f(x)为奇函数,得f(1)=-f(-1),所以 =f'(-1)=1.故选A. (2)若可导函数f(x)的图象过原点,且满足当d→0时, =-5,则f'(0)=(　　) A.-2 B.-5 C.0 D.5 B 本节要点归纳 1.知识清单: (1)运动物体的瞬时速度;(2)函数的瞬时变化率与导数. 2.方法归纳:利用定义求函数的瞬时变化率与导数. 3.特别提示:求运动物体的瞬时速度与函数的瞬时变化率要利用定义.函数f(x)在 x0处存在导数,是指d趋近于0时, 有极限,而函数在x0处的导数f'(x0)只与x0有关,与d无关. 函数在x=x0处的导数f'(x0)是导函数f'(x)在x=x0处的函数值. 成果验收·课堂达标检测 A 级 必备知识基础练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.已知一做直线运动的物体,其位移s与时间t的关系满足s(t)=3t-t2,则此物体在t=2时的瞬时速度为(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 B 解析 因为s(2+d)-s(2)=3(2+d)-(2+d)2-3×2+22=-d-d2,所以v[2,2+d]= =-1-d.当d→0时,-1-d→-1.所以物体在t=2时的瞬时速度为-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若f(x0)-f(x0-d)=2x0d+d2,下列选项正确的是(　　) A.f'(x)=2 B.f'(x)=2x0 C.f'(x0)=2x0 D.f'(x0)=d+2x0 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选题)已知函数f(x)满足f(1)=5,f'(1)=-5,则下列关于f(x)的图象描述正确的是(　　) A.f(x)的图象在x=1处的切线斜率小于0 B.f(x)的图象在x=1处的切线斜率大于0 C.f(x)的图象在x=1处位于x轴下方 D.f(x)的图象在x=1处位于x轴上方 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知函数f(x)=x3,则f(x)在x=1处的瞬时变化率为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 C 解析 函数f(x)=x3在[1,1+d]上的平均变化率为 =d2+3d+3. 当d→0时,d2+3d+3→3,因此f(x)在x=1处的瞬时变化率为3.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知函数f(x)= 在x=1处的导数为-2,则实数a的值是　　　　　.  2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.圆的面积在半径为2时的瞬时变化率为　　　　　,这一瞬时变化率的实际意义是　　　　　　　　 　　　.  4π 半径为2时,圆的周长为4π 解析 圆的面积公式为S=πr2,当半径r从2变到2+d时的平均变化率为 =4π+πd,当d→0时,4π+πd→4π,所以当r=2时,圆的面积的瞬时变化率为4π,这一瞬时变化率的实际意义为半径为2时,圆的周长为4π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.求函数y= +x在x=1处的导数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.某物体的运动位移s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,求物体在t=1 s时的瞬时速度. 当d→0时,2t+d+1→2t+1,即s'(t)=2t+1.当t=1时,s'(1)=3.所以物体在t=1 s时的瞬时速度为3 m/s. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B 级 关键能力提升练 10.火车开出车站一段时间内,速度v(单位:米/秒)与行驶时间t(单位:秒)之间的关系是v(t)=0.4t+0.6t2,当火车的加速度为2.8米/秒时,t=(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知函数f(x)可导,且满足当d→0时, →2 022,则函数y=f(x)在x=3处的导数为(　　) A.-2 021 B.-2 022 C.2 021 D.2 022 B 解析 由于当d→0时, 所以-f'(3)=2 022,所以f'(3)=-2 022.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知函数f(x)在x=x0处可导,若d→0时, →6,则f'(x0)=(　　) A.6 B.12 C.3 D.2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.球的体积在半径r=3时的瞬时变化率为　　　　　,这一瞬时变化率的实际意义是　 .  36π 　r=3时,球的表面积为36π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.如图所示,水波的半径以1 m/s的速度向外扩张,当半径为5 m时,该水波面的圆面积的瞬时膨胀率是　　　　m2/s.  10π 解析 因水波的半径以v=1 m/s的速度向外扩张,则t s 时的水波半径r=vt=t(m),水波面的圆面积S=πr2=πt2, 于是水波面的圆面积在t0时的平均膨胀率为 =2πt0+πd,当d→0时,2πt0+πd→2πt0,即S'(t0)=2πt0.当半径为5 m,即t0=5 s时,2π·5=10π,所以该水波面的圆面积的瞬时膨胀率为10π m2/s. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C 级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.某质点的位移函数是 (其中g≈10 m/s2).当t=2 s时,求它的速度v(t)对t的瞬时变化率(即加速度). 可以记作 解析 =40+d,当d→0时,40+d→40.故选D. 　读作“d趋近于0时,趋近于f'(x0) ” 解 (1)由s(t)=3t-t2可知=3-d, 当d→0时,3-d→3,因此物体的初速度为3 m/s. (2)=-d-1,当d→0时,-d-1→-1,因此物体在t=2 s时的瞬时速度为-1 m/s. 解 运动物体在时间段[t0,t0+d]的平均速度为=3-2t0-d. 解 令y=f(x)=x2-,则f(1+d)-f(1)=(1+d)2--1+1=d2+2d+1-=d2+2d+,所以=d+2+. 当d→0时,d+2+→2+1=3. 因此函数y=x2-在x=1处的导数值为3. 变式训练1(1)如果函数f(x)=在x=x0处的瞬时变化率是,那么x0的值为　　　　　.  . 当d→0时,, 由,解得x0=. 解 令y=f(x)=x2+4x,则 =2x0+d+4. (1); (2). 解 (1)∵=-,且=2, ∴=2, ∴=-=-2. (2)]=]= {[]-[]}= ]+]. 当d→0时,原式=f'(x0)+f'(x0)=2. 解析 因为f(x)的图象过原点,所以f(0)=0,所以当d→0时,=f'(0)=-5.故选B. 解析 由于当d→0时,=d+2x0→2x0,所以f'(x0)=2x0. 3.函数f(x)=在x=处的瞬时变化率为(　　) A.-1 B.-1+d C. D.3 解析 由. 当d→0时,→-1.故选A. 解析 .当d→0时,→-a,∴f'(1)=-a.由题意知-a=-2,∴a=2. 解 令f(x)=y=+x,因为f(1+d)-f(1)=+(1+d)-(1+1)=+d-1, 所以+1, 当d→0时,+1→. 即函数y=+x在x=1处的导数为. 解 由s(t)=t2+t+1可知=2t+d+1, A.秒 B.2秒 C.秒 D.秒 解析 由题意可知==0.4+0.6d+1.2t. 当d→0时,→0.4+1.2t.因此v'(t)=0.4+1.2t,令0.4+1.2t=2.8,得t=2(秒).故选B. =-→-f'(3), 解析 由于= =2×=2[]+[], 由题意,根据导数的定义可知当d→0时,2[]+[]→3f'(x0)=6, 所以f'(x0)=2.故选D. 解析 球的体积公式为V(r)=πr3, (27+9d+d2). 当d→0时,→36π,这一瞬时变化率的实际意义为r=3时,球的表面积为36π. 15.已知函数f(x)=求f'(4)·f'(-1)的值. 解 当x=4时,f(4+d)-f(4)=-. 所以. 当d→0时,.所以f'(4)=. 当x=-1时,==d-2, 当d→0时,d-2→-2,所以f'(-1)=-2. 所以f'(4)·f'(-1)=×(-2)=-. s(t)=2t3-gt2 解 由s(t)=2t3-gt2可知=6t2+6td+2d2-gt-gd.当d→0时,→6t2-gt,即s'(t)=6t2-gt,所以v(t)=6t2-gt.因为=12t-g+6d,当d→0时,→12t-g,所以v'(t)=12t-g,所以v'(2)≈12×2-10=14(m/s2). 即该质点的速度v(t)对t的瞬时变化率约为14 m/s2. $$