1.3.4 导数的应用举例课件-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

1.3.4　导数的应用举例 第1章　导数及其应用 湘教版 数学 选择性必修第二册 课标要求 1.了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用. 2.能利用导数求出某些实际问题的最大值(最小值). 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 成果验收·课堂达标检测 目录索引 基础落实·必备知识全过关 知识点 优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.不少优化问题,可化为求函数的最值问题,而导数是解决这些问题的有效工具. 首先需要建立函数关系式 名师点睛 1.用导数解决最优化问题的基本思路 2.解决最优化问题的注意点 利用导数求解最优化问题,往往归结为函数的最大值或最小值问题.解题中要特别注意以下几点: (1)当问题涉及多个变量时,应根据题意分析它们的关系,找出变量之间的关系; (2)确定函数解析式中自变量的取值范围; (3)所得的结果要符合问题的实际意义. 过关自诊 1.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家的关注.据有关统计数据显示,从上午6 h到9 h,车辆通过该市某一路段的用时y(单位:min)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数表示: A.6 h B.7 h C.8 h D.9 h C 解析 由题意,得 .令y'=0得t=-12(舍去)或t=8.当6≤t<8时,y'>0;当8<t≤9时,y'<0,所以当 t=8时,y有最大值,即此时刻通过该路段用时最多. 2.做一个容积为256 m3的长方体水箱,它的底面是正方形,该水箱无盖,当所用材料最省时(即所用材料的面积最小),它的高为　　　　　m. 4 重难探究·能力素养全提升 探究点一　利润问题 【例1】 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y= +10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克. (1)求a的值; (2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,商场每日销售该商品所获得的利润最大. (x-6)2,3<x<6,从而f'(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)·(x-6),于是,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x (3,4) 4 (4,6) f'(x) + 0 - f(x) 单调递增 极大值42 单调递减 由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点,所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大. 规律方法　关于利润问题的解法 利润最大问题是生活中常见的一类问题,一般根据“利润=收入-成本”或“利润=每件产品的利润×销售件数”建立函数关系式,再根据函数解析式的特征求最大值. 【提醒】关于利润问题的解法需注意的问题:①价格要大于或等于成本,否则就会亏本;②销量要大于0. 变式训练1某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(单位:吨)与每吨产品的售价p(单位:元/吨)之间的函数关系式为 ,且生产x吨产品的成本为R=50 000+200x元.问:该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少? 令f'(x)=0,得x1=200,x2=-200(舍去). ∵在(0,+∞)内只有一个点x=200使f'(x)=0,且x=200是极大值点,∴当x=200时,利润f(x)最大,且最大值为f(200)= ×2003+24 000×200-50 000=3 150 000(元). ∴该厂每月生产200吨产品时,利润达到最大,最大利润为315万元. 探究点二　面积、容积最值问题 【例2】 [北师大版教材例题]如图(1),一边长为48 cm的正方形铁皮,四角各截去一个大小相同的小正方形,然后折起,可以做成一个无盖长方体容器,如图(2).所得容器的容积V(单位:cm3)是关于截去的小正方形的边长x(单位:cm)的函数. 图(1) 图(2) (1)随着x的变化,容积V是如何变化的? (2)截去的小正方形的边长为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少? 解 (1)首先写出V关于x的函数解析式.根据题意,可得V=V(x)=(48-2x)2x. 由实际情况可知函数V(x)的定义域为{x|0<x<24}. 根据导数公式表及导数的运算法则,可得V'(x)=-4x(48-2x)+(48-2x)2=(48-2x) (-6x+48)=12(x-24)(x-8). 解方程V'(x)=0,得x1=8,x2=24.根据x1,x2列出下表,分析V'(x)的符号、V(x)的单调性和极值点. x (0,8) 8 (8,24) V'(x) + 0 - V=V(x) 单调递增 极大值 单调递减 根据上表可知,x=8是函数V=V(x)的极大值点,相应的极大值为 V=V(8)=(48-16)2×8=8 192(cm3). V=(48-2x)2x的大致图象如图. 根据对函数变化规律的讨论可知:当0<x≤8时,函数V=V(x)单调递增;当8≤x<24时,函数V=V(x)单调递减. (2)区间(0,24)内任意点的函数值都不超过V(8),因此,x=8是函数的最大值点. 此时V=V(8)=8 192(cm3)是函数V=V(x)在区间(0,24)内的最大值. 即当截去的小正方形的边长为8 cm时,得到的容器容积最内,最大容积为 8 192 cm3. 规律方法　解决容积、体积最大问题的方法 解决容积、体积最大问题时,需根据几何体的形状,利用立体几何的相关知识,如柱、锥、球的体积公式等,将目标变量表示为自变量的函数,准确确定定义域,再用导数知识求目标函数的最大值.如果已知图形是由简单几何体组合而成,则要分析其组合关系,将图形进行拆分或组合,以便简化求解过程. 变式训练2要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20 cm,要使其体积最大,则高为(　　) D 探究点三　利用三角函数知识求解优化问题 【例3】如图,某校园有一块半径为20 m的半圆形绿化区域(以O为圆心,AB为直径),现对其进行改建,在AB的延长线上取点D,OD=40 m,在半圆上选定一点C,改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成,设∠AOC=θ. (2)若改建后绿化区域的面积为S,写出S关于θ的函数关系式S(θ),试问θ为多大时,改建后的绿化区域面积S取得最大值,最大值为多少? 解 (1)由于∠AOC=θ,因此扇形区域AOC中由弧长公式及余弦定理可得 规律方法　求解与三角函数有关的优化问题的方法 优化问题中,若函数关系式是关于角的三角函数关系式,求解时首先利用三角函数的求导公式结合函数关系式,将所求函数的导数化为只含一个角的三角函数式,结合三角函数的性质研究函数的单调性并求最值. (1)证明:观光专线的总长度随θ的增大而减小. (2)已知修建道路PQ的单位成本是修建道路 的单位成本的2倍.当θ取何值时,修建观光专线的总成本最低?请说明理由. 本节要点归纳 1.知识清单: 生活中的优化问题(利润最大、用料最省、功效最高等). 2.方法归纳:建立函数关系式求导数后求最值. 3.特别提示:在实际问题中,由f'(x)=0常常得到定义域内的根只有一个,如果函数在这 点有极大值(极小值),那么不与端点处的函数值比较,也可以判断该极值就是最大值(最小值).在解决实际问题的过程中,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数解析式表示出来,还应确定出函数解析式中自变量的取值范围,不符合实际意义的应舍去,例如,长度、宽度应大于0,销售价格为正数等. 成果验收·课堂达标检测 A 级 必备知识基础练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1. 将周长为4的矩形ABCD绕AB旋转一周,当所得圆柱体积最大时,矩形ABCD的面积为(　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.某个体户计划在市政府规划的摊位同时销售A,B两种小商品.当投资A,B小商品均为x(x≥0)千元时,可获得的收益分别为f(x)千元与g(x)千元,其中f(x)=2x,g(x)=5ln(2x+1).如果该个体户共投入5千元,为使总收益最大,则A商品需投入(　　) A.4千元 B.3千元 C.2千元 D.1千元 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品,若该商品零售价定为p(p≥20)元,销售量为Q件,销售量Q与零售价p间的关系为Q=8 300-170p-p2,则这批商品的最大毛利润(毛利润=销售收入-进货支出)为(　　) A.30 000元 B.60 000元 C.28 000元 D.23 000元 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.已知轮船在河道中航行时每小时的燃料费和它的速度的立方成正比,当速度为10海里每小时时,燃料费是6元每小时,而其他与速度无关的费用是96元每小时,则当轮船的速度是(　　)时,航行1海里所需的费用总和最小. A.15 B.20 C.25 D.30 B 解析 设速度为v海里每小时的燃料费是p元每小时, 因为每小时的燃料费和它的速度的立方成正比,所以可设p=k·v3,其中k≠0, 因为当速度为10海里每小时时,燃料费是6元每小时,所以k= =0.006,所以p=0.006v3. 设轮船的速度为v海里每小时,航行1海里所需的总费用为y元, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当v>20时,y'>0.故当v=20时,y取得最小值. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.(多选题)将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,做成一个无盖方盒.设方盒的容积为V(x),则下列结论正确的是(　 　) ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.某厂生产某种产品x件的总成本 (单位:万元),又知产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,则产量定为　　　　　件时,总利润最大.  225 解析 设产品单价为m,因为产品单价的平方与产品件数x成反比,所以 0<x<225,由f'(x)<0,得x>225,故函数f(x)在(0,225)上单调递增,在(225,+∞)上单调递减,因此当x=225时,f(x)取得最大值.即产量定为225件时,总利润最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.某地旅行社组织了一个旅游团于近期来到该市国家湿地公园.数据显示,近期公园中每天空气质量指数近似满足函数f(x)=mln x-x+ -6 (4≤x≤22,m∈R),其中x为每天的时刻,若早上6点时,测得空气质量指数为29.6. (1)求实数m的值; (2)求近期每天时段空气质量指数最高的时刻.(参考数值:ln 6≈1.8) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 令f'(x)=0,得x=12. 当x变化时,f'(x),f(x)变化情况如下表所示: x [4,12) 12 (12,22] f'(x) + 0 - f(x) 单调递增 极大值 单调递减 所以函数在x=12时取极大值也是最大值,即每天时段空气质量指数最高的时刻为12时. B 级 关键能力提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大的种植规模是8万千克,每种植一千克藕,成本增加0.5元,如果销售额函数是 (x是莲藕种植量,单位为万千克;销售额的单位为万元,a是常数).若种植2万千克,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年应种植莲藕(　　) A.8万千克 B.6万千克 C.3万千克 D.5万千克 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.(多选题)水库的蓄水量随时间而变化,现用t表示时间,以月为单位,年初为起点,根据历年数据,某水库的蓄水量V(单位:亿立方米)关于t的近似函数关系式为V(t)= 该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期,以i-1<t≤i表示第i月份(i=1,2,…,12),则下列说法正确的是(　 　) A.一年中有6个月是枯水期 B.一年内该水库的蓄水量在4月到10月之间一直增加 C.该水库的蓄水量最大的月份是8月份 D.该水库的最大蓄水量为8e2+50 ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 一个蒙古包型的仓库由上、下两部分组成,上部分的形状是圆锥,下部分的形状是圆柱(如图所示),圆柱的上底面与圆锥的底面相同,要求圆柱的高是圆锥的高的两倍.若圆锥的母线长是1,则该仓库的最大容积是　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度),设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000π元. (1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域; (2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解 (1)∵蓄水池的侧面的总成本为100×2πrh=200πrh(元),底面的总成本为160πr2(元), ∴蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元. 由题意得200πrh+160πr2=12 000π, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 令V'(r)=0,解得r1=5,r2=-5(舍去). 当r∈(0,5)时,V'(r)>0,故V(r)在(0,5)上单调递增; 由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8, 即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图,圆形广场的圆心为O,半径为100 m,并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点,过点A作l的垂线,垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化,设△ABM的面积为S(单位:m2),∠AON=θ(单位:弧度). (1)将S表示为θ的函数; (2)当绿化面积S最大时,试确定点A的位置,并求最大面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解 (1)如题图,BM=AOsin θ=100sin θ,AB=MO+AOcos θ=100+100cos θ, θ∈(0,π), (2)S'=5 000(2cos2θ+cos θ-1)=5 000(2cos θ-1)·(cos θ+1). 当θ变化时,S',S的变化情况如下表: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.某旅游用品商店经销某纪念品,每件产品的成本为5元,并且每件产品需向税务部门上交a元(10≤a≤13)的税收,预计当每件产品的售价为x元(13≤x≤17)时,一年的销售量为(x-18)2万件. (1)求该商店一年的利润L(单位:万元)与每件产品的售价x的函数关系式; (2)求出L的最大值Q(a). C 级 学科素养创新练 解 (1)由题可知,预计当每件产品的售价为x元(13≤x≤17),而每件产品的成本为5元,并且每件产品需向税务部门上交a元(10≤a≤13),所以商店一年的利润L与售价x的函数关系式为L=(x-5-a)(18-x)2,x∈[13,17]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.某公司为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告宣传.经调查,每投入广告费t(单位:百万元),可增加销售额约为-t2+5t(单位:百万元)(0≤t≤5). (1)若该公司将当年广告费的投入控制在3百万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司由此获得的收益最大? (2)现该公司准备共投入3百万元,分别用于广告宣传和技术改造.经预测,每投入技术改造费x(单位:百万元),可增加的销售额约为 (单位:百万元).请设计一个资金分配方案,使该公司由此获得的收益最大.(注:收益=销售额-投入资金) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解 (1)设投入t(单位:百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(单位:百万元),则有f(t)=(-t2+5t)-t=-t2+4t=-(t-2)2+4(0<t≤3). 故当t=2时,f(t)取得最大值4百万元,即投入2百万元的广告费时,该公司由此获得的收益最大. (2)设用于技术改造的资金为x(单位:百万元),则用于广告宣传的资金为 (3-x)(单位:百万元)(0≤x≤3),又设由此而获得的收益是g(x), 所以g'(x)=-x2+4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 令g'(x)=0,解得x=-2(舍去)或x=2. 又当0≤x<2时,g'(x)>0;当2<x≤3时,g'(x)<0, 故g(x)在[0,2)内是增函数,在(2,3]上是减函数. 所以当x=2时,g(x)取得最大值,即将2百万元用于技术改造,1百万元用于广告宣传时,该公司由此获得的收益最大. y=-t3-t2+36t-.在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是(　　)　　　 y'=-t2-t+36=-(t+12)(t-8) 解析 设底面边长为x m,高为h m,则有x2h=256,所以h=.设所用材料的面积为S m2,则有S=4x·h+x2=4x·+x2=+x2.S'=2x-(x3-512),令S'=0,得x=8,当x>8时,S'>0,当0<x<8时,S'<0,所以当x=8时,S=+x2有最小值,此时h==4(m). 解 (1)因为x=5时,y=11,所以+10=11,a=2. (2)由(1)知,该商品每日的销售量y=+10(x-6)2, 所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-3)[+10(x-6)2]=2+10(x-3) p=24 200-x2 解 依题意,知每月生产x吨产品时的利润为f(x)=(24 200-x2)x-(50 000+200x) =-x3+24 000x-50 000(x>0),故f'(x)=-x2+24 000. - A. cm B. cm C. cm D. cm 解析 设圆锥的高为x cm,则底面半径为 cm.其体积为V(x)=πx(202-x2)(0<x<20),V'(x)=π(400-3x2).令V'(x)=0,解得x1=,x2=-(舍去).当0<x<时,V'(x)>0,V(x)单调递增;当<x<20时,V'(x)<0,V(x)单调递减.所以当x=时,体积最大. (1)当θ=时,求改建后的绿化区域边界与线段 CD长度之和L; (注:请利用参考数据π≈3,≈2.6,≈1.7,求出本题中的L与S的结果的具体值) L=+CD=×20+π+20≈20+52=72(m). (2)依题意S(θ)=S扇形AOC+S△COD=×θ×202+×20×40×sin(π-θ)=200θ+400sin θ,θ∈(0,π).S'(θ)=200+400cos θ,令S'(θ)=0,则θ=.当θ∈(0,)时,S'(θ)>0,S(θ)单调递增,当θ∈(,π),S'(θ)<0,S(θ)单调递减.所以当θ=时,S(θ)取得最大值,且 最大值为200×+400×+200≈400+340=740(m2). 变式训练3如图,扇形CAB中,所对的圆心角为,半径为1 km,直线BD表示海岸线,且AB⊥BD.该市拟修建从C通往海岸的观光专线(和线段PQ),其中P为上异于B,C的点,PQ与AB平行,设∠PAB=θ. (1)证明由题意,得∠CAP=-θ,所以的长为-θ,又PQ=AB-APcos θ=1-cos θ,所以观光专线的总长度f(θ)=-θ+1-cos θ=-θ-cos θ++1(0<θ<). 当0<θ<时,f'(θ)=-1+sin θ<0,所以f(θ)在(0,)上单调递减,即观光专线的总长度随θ的增大而减小. (2)解 设修建道路的单位成本为a(a>0), 则总成本g(θ)=a(-θ+2-2cos θ),0<θ<,g'(θ)=a(-1+2sin θ), 令g'(θ)=0,得sin θ=,因为0<θ<,所以θ=. 当0<θ<时,g'(θ)<0,g(θ)单调递减;当<θ<时,g'(θ)>0,g(θ)单调递增.所以当θ=时,g(θ)取得极小值,也是最小值.即当θ=时,修建观光专线的总成本最低. A.1 B. C. D. 则每小时所需的总费用是(0.006v3+96)元,航行1海里所需的时间为, 航行1海里所需的总费用y=(0.006v3+96)=0.006v2+(v>0), y'=0.012v-(v3-8 000),当0<v<20时,y'<0; A.V(x)=(a-2x)2x,x∈(0,) B.V'(x)=12x2-8ax+a2 C.V(x)在区间(0,]上单调递增 D.V(x)在x=时取得最大值 解析 由题意V(x)=(a-2x)2x,0<x<, V'(x)=-4(a-2x)x+(a-2x)2=12x2-8ax+a2, 当0<x<时,V'(x)>0,当<x<时,V'(x)<0,即V(x)在(0,)上单调递增,在()上单调递减,所以V(x)在x=时取得极大值,且极大值也是最大值. 故选ABD. C(x)=1 200+x2 m2=(k≠0),又生产100件这样的产品单价为50万元,所以502=, 故k=250 000,记生产x件产品时,总利润为f(x), 所以f(x)=mx-C(x)=500-1 200-x2,x>0,则f'(x)=x,由f'(x)>0,得 解 (1)由f(6)=29.6,知29.6=mln 6-6+-6,解得m=12. (2)由已知函数求导,得f'(x)=+600=(12-x)[]. f(x)=-x3+ax2+x 解析 依题意,当0<t≤10时,V(t)=(-t2+14t-40)+50<50,化简整理得t2-14t +40>0,解得t<4或t>10,而0<t≤10,则0<t<4;当10<t≤12时,V(t)=4(t-10) (3t-41)+50<50,化简整理得(t-10)(3t-41)<0,解得10<t<,而10<t≤12,则10<t≤12.综上,0<t<4或10<t≤12,所以枯水期为1月,2月,3月,4月,11月,12月共6个月.故A正确.易得V(t)的最大值只能在(4,10)内达到,此时V(t)= (-t2+14t-40)+50,V'(t)=(-t2+t+4)=-(t+2)(t-8),令V'(t)=0,得t=8,当4<t<8时,V'(t)>0,当8<t<10时,V'(t)<0,因此,V(t)在(4,8)上单调递增,在(8,10)上单调递减,则当t=8时,V(t)取得最大值V(8)=8e2+50,因此CD正确.故选ACD. ∴h=(300-4r2). 从而V(r)=πr2h=(300r-4r3). 由h>0,且r>0,可得0<r<5. 故函数V(r)的定义域为(0,5). (2)由(1)知V(r)=(300r-4r3), 故V'(r)=(300-12r2), 当r∈(5,5)时,V'(r)<0,故V(r)在(5,5)上单调递减. 则S=MB·AB=×100sin θ×(100+100cos θ)=5 000(sin θ+sin θcos θ),θ∈(0,π). 令S'=0,得cos θ=或cos θ=-1(舍去),此时θ=. θ (0,) (,π) S' + 0 - S 单调递增 极大值 单调递减 所以,当θ=时,S取得最大值Smax=3 750 m2,此时AB=150 m,即点A到北京路一边l的距离为150 m. (2)∵L=(x-5-a)(18-x)2,x∈[13,17], ∴L'(x)=(28+2a-3x)(18-x). 令L'=0,解得x=或x=18, ∵10≤a≤13,∴16≤≤18, ∴①当13≤<17,即10≤a<11.5时, 当x∈[13,)时,L'(x)>0,L(x)单调递增, 当x∈(,17)时,L'(x)<0,L(x)单调递减, ∴Lmax=L()=(13-a)3; ②当17≤≤18,即11.5≤a≤13时,L'(x)≥0恒成立,所以L(x)在[13,17]上单调递增, ∴Lmax=L(17)=12-a. ∴Q(a)= -x3+x2+3x 则有g(x)=+[-(3-x)2+5(3-x)]-3=-x3+4x+3(0≤x≤3). $$