专题01 整式加减的含参问题及无关型问题（五大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（沪教版2024）

专题01 整式加减的含参问题及无关型问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、已知同类项求指数中字母或代数式的值 2 类型二、整式加减中不含某一项 2 类型三、整式加减中取值与字母无关 3 类型四、图形面积与字母无关 4 类型五、代错值但计算结果正确 6 压轴能力测评 7 一、同类项 1.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 2.合并同类项： （1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项. （2）合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变. （3）合并同类项步骤： ①准确的找出同类项；②逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变；③写出合并后的结果. （4）在掌握合并同类项时注意： ①如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0. ②不要漏掉不能合并的项. ③只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）. 说明：合并同类项的关键是正确判断同类项. 二、整式的加减 几个整式相加减的一般步骤： （1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接. （2）按去括号法则去括号. （3）合并同类项. 类型一、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【例1】若，都不为0，且，则的值是（    ） A． B． C．4 D．1 【例2】先化简，再求值：已知与是同类项，求代数式的值． 【变式1-1】如果单项式与的和是单项式，那么的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【变式1-2】在多项式（其中为正整数）中，恰有两项是同类项，则 ． 【变式1-3】已知，．若与是同类项，求的值． 类型二、整式加减中不含某一项 【例3】在学习了多项式乘多项式以后，老师出了这样一道题：要求计算得到的多项式不含x、y的一次项，其中a，b为常数，请你分析并求出的值 ． 【例4】已知关于、的多项式不含二次项，求的值． 【变式2-1】若多项式与的和不含项，则 ． 【变式2-2】多项式与多项式相减后，结果不含项，则常数的值为 ． 【变式2-3】小明在化简代数式时一不小心将墨水滴在了作业本上，使得前面的系数看不清了，于是小明就打电话询问叶老师，叶老师为了测试小明对知识的掌握程度，于是对小明说：“该题标准答案的结果不含有y”请你通过叶老师的话语，帮小明解决如下问题： (1)■的值为______； (2)请你帮助小明求出该题的标准答案． 类型三、整式加减中取值与字母无关 【例5】已知多项式的值与字母x的取值无关，其中m、n是常数，那么 ． 【例6】已知代数式． (1)求； (2)若，求的值； (3)若的值与x的取值无关，求　　． 【变式3-1】若代数式的值与字母的取值无关，求代数式的值． 【变式3-2】定义新运算：满足 (1)当，化简； (2)如果化简的结果与无关，求的值． 【变式3-3】同一数轴上有点A，C分别表示数a，c，且a，c满足等式，点B表示的数是多项式的一次项系数，点A，B，C在数轴上同时开始运动，点A向左运动，速度为每秒3个单位长度，点B，C均向右运动，速度分别为每秒3个单位长度和每秒4个单位长度，设运动时间为t秒．若存在m使得的值不随时间t的变化而改变，则该定值为 ． 类型四、图形面积与字母无关 【例7】如图，小长方形纸片的长为a，宽为b，且，将7张纸片按图示不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和． （1）当时，的值为 ； （2）若长度保持不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，当的值与的长度无关时，a、b满足的关系式是 ． 【例8】【问题呈现】 （1）已知代数式的值与x的值无关，求m的值； 【类比应用】 （2）将7张长为a，宽为b的小长方形纸片（如图①），按如图②的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的两部分的面积分别记为，，当的长度变化时，的值始终不变，求a与b的数量关系． 【变式4-1】“囧”：是网络流行语，像一个人脸郁闷的神情，如图所示，一张边长为20的正方形的纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案（阴影部分）．设剪去的小长方形长和宽分别为、，剪去的两个小直角三角形的两直角边长也分别为、． (1)用含有、的代数式表示图中“囧”的面积； (2)令“囧”的面积为，若代数式的值与、无关，求此时的值． 【变式4-2】学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把x，y看作字母，m看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的系数为0，即原式，所以，则． (1)若多项式的值与x的取值无关，求a的值； (2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系． 【变式4-3】如图是某住房户型平面图（图中长度单位：米），现需要对地面铺装地板，已知房间i，，，，所铺地板的单价分别为，，，，（单位：元/平方米）． (1)若，，，，，的值分别为90，120，80，100，110，请直接用含a的式子写出： ①这所住宅的面积； ②所购地板的总费用． (2)工程设计过程中，设计师发现，当的值为t时，购买地板的费用与c的长度无关，请求出这个t的值． 类型五、代错值但计算结果正确 【例9】有这样一道题：“求的值，其中，．” (1)甲同学把“”错抄成“”，但他计算的结果却是正确的，请说明理由． (2)这道题的正确结果是__________． 【例10】有这样一道计算题：的值，其中，． (1)小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；小华同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明； (2)求该多项式的值． 【变式5-1】课堂上，在求多项式的值时．王老师将班级分两组比赛：要求第一组把，代入计算，第二组把，代入计算，两组的计算结果相同，并且都正确，这是为什么？说明理由并计算结果． 【变式5-2】有这样一道题，“计算的值，其中”甲同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出正确的结果． 【变式5-3】数学课上老师出了这样一道题目：“当时，求的值．”小王同学把错抄成了，但他的计算结果却是正确的，这是怎么回事？ (1)请你通过化简，说明小王计算结果正确的原因． (2)小红据此又改编了一道题，请你试一试：无论取何值，多项式的值都不变，求的值． 一、单选题 1．若与是同类项，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知：，，若代数式的的值与a无关，则此时b的值为（    ） A． B．0 C． D． 3．已知关于的多项式不含三次项和一次项，则的值为(    ) A． B． C． D． 4．图1是长为a，宽为b（a，b为常数，且）的小长方形纸片，将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，若，且S为定值，则S的定值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．如果与是同类项，那么代数式的值等于 ． 6．小亮在计算的值时，把的值看错了，其结果等于，细心的小敏把正确的的值代入计算，其结果也是．为了探究明白，她又把代入，结果还是．则的值为 ． 7．已知，． （1）当，时，的值为 ； （2）若无论取何值时，总成立，则的值为 ． 三、解答题 8．已知 (1)设，是否存在实数，使得能化简为，若能，请求出满足条件的值；若不能，请说明理由； (2)若，且的值与无关，求的值． 9．若关于x，y的两个多项式与的差为多项式C，通过计算小明发现多项式C的结果与x的大小没有关系． (1)求a，b的值； (2)求多项式的值． 10．定义：若，则称a与b是关于数n的平均数．比如3与是关于的平均数，7与13是关于10的平均数． (1)填空：2与_______是关于的平均数，______与是关于2的平均数； (2)现有与（k为常数），且a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关，求n的值． 11．A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a，点B对应的数记为b，且是关于x、y的三次二项式．解答下列问题： (1)________，________； (2)若数轴上有一点C，且，求点C对应的数； (3)若点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度为m个单位长度每秒，点N的速度是3个单位长度每秒，点P、Q分别为线段、线段的中点.设运动时间为t秒，在点M，N的运动过程中，若的长度与t的取值无关，求m的值及的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 整式加减的含参问题及无关型问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、已知同类项求指数中字母或代数式的值 2 类型二、整式加减中不含某一项 3 类型三、整式加减中取值与字母无关 5 类型四、图形面积与字母无关 8 类型五、代错值但计算结果正确 12 压轴能力测评 14 一、同类项 1.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 2.合并同类项： （1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项. （2）合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变. （3）合并同类项步骤： ①准确的找出同类项；②逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变；③写出合并后的结果. （4）在掌握合并同类项时注意： ①如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0. ②不要漏掉不能合并的项. ③只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）. 说明：合并同类项的关键是正确判断同类项. 二、整式的加减 几个整式相加减的一般步骤： （1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接. （2）按去括号法则去括号. （3）合并同类项. 类型一、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【例1】若，都不为0，且，则的值是（    ） A． B． C．4 D．1 【答案】A 【详解】∵， ∴，， 解得，， ∴． 故选：A． 【例2】先化简，再求值：已知与是同类项，求代数式的值． 【答案】， 【详解】解：与是同类项， 原式， 当 时， 原式． 【变式1-1】如果单项式与的和是单项式，那么的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【详解】∵单项式与的和是单项式，即单项式与是同类项， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：． 【变式1-2】在多项式（其中为正整数）中，恰有两项是同类项，则 ． 【答案】3或5 【详解】解：若与为同类项， 则， 解得：， ∴； 若与为同类项， 则， 解得：， ∴． 故答案为：3或5． 【变式1-3】已知，．若与是同类项，求的值． 【答案】63 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵与是同类项， ∴， ∴， ∴原式 ． 类型二、整式加减中不含某一项 【例3】在学习了多项式乘多项式以后，老师出了这样一道题：要求计算得到的多项式不含x、y的一次项，其中a，b为常数，请你分析并求出的值 ． 【答案】 【详解】解： 因为这个多项式不含一次项， 所以， 解得，． 所以． 故答案为：． 【例4】已知关于、的多项式不含二次项，求的值． 【答案】13 【详解】解：∵， 又关于、的多项式不含二次项， ∴， 解得：， ∴． 【变式2-1】若多项式与的和不含项，则 ． 【答案】3 【详解】解： ， 多项式与的和不含项， ，解得， 故答案为：． 【变式2-2】多项式与多项式相减后，结果不含项，则常数的值为 ． 【答案】 【详解】解： ， ， ∵结果不含项， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】小明在化简代数式时一不小心将墨水滴在了作业本上，使得前面的系数看不清了，于是小明就打电话询问叶老师，叶老师为了测试小明对知识的掌握程度，于是对小明说：“该题标准答案的结果不含有y”请你通过叶老师的话语，帮小明解决如下问题： (1)■的值为______； (2)请你帮助小明求出该题的标准答案． 【答案】(1)4 (2) 【详解】（1）解：设的值为． 则 ． 由于结果不含有，所以． 所以． 故答案为：4． （2）解：∵在（1）得■的值为4，∴． 所以该题的标准答案为：． 类型三、整式加减中取值与字母无关 【例5】已知多项式的值与字母x的取值无关，其中m、n是常数，那么 ． 【答案】 【详解】解： ， ∵多项式的值与字母x的取值无关， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【例6】已知代数式． (1)求； (2)若，求的值； (3)若的值与x的取值无关，求　　． 【答案】(1) (2)的值为28或或或32 (3) 【详解】（1）解： ． （2）∵， ， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，的值为28或或或32． （3）， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得． 【变式3-1】若代数式的值与字母的取值无关，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：原式 由题意得：，， 解得：，， 故原式． 【变式3-2】定义新运算：满足 (1)当，化简； (2)如果化简的结果与无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， ； （2）解：原式 ， 化简的结果与无关 ， ， 当时，原式． 【变式3-3】同一数轴上有点A，C分别表示数a，c，且a，c满足等式，点B表示的数是多项式的一次项系数，点A，B，C在数轴上同时开始运动，点A向左运动，速度为每秒3个单位长度，点B，C均向右运动，速度分别为每秒3个单位长度和每秒4个单位长度，设运动时间为t秒．若存在m使得的值不随时间t的变化而改变，则该定值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∵点B表示的数是多项式的一次项系数， ∴点B表示的数为， ∵点A向左运动，速度为每秒3个单位长度，点B，C均向右运动，速度分别为每秒3个单位长度和每秒4个单位长度， ∴点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， ∴ ， ∵m使得的值不随时间t的变化而改变， ∴，则， ∴， 故答案为：． 类型四、图形面积与字母无关 【例7】如图，小长方形纸片的长为a，宽为b，且，将7张纸片按图示不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和． （1）当时，的值为 ； （2）若长度保持不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，当的值与的长度无关时，a、b满足的关系式是 ． 【答案】 24 【详解】解：（1）由图可知：， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）设， 则： ； ∵的值与的长度无关， ∴， ∴； 故答案为：． 【例8】【问题呈现】 （1）已知代数式的值与x的值无关，求m的值； 【类比应用】 （2）将7张长为a，宽为b的小长方形纸片（如图①），按如图②的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的两部分的面积分别记为，，当的长度变化时，的值始终不变，求a与b的数量关系． 【答案】（1）3；（2） 【详解】解：（1）原式． 由题意得，含x项的系数为0，即． 所以． （2）设， 则，， 所以， 由题意得，含n项的系数为0，即． 【变式4-1】“囧”：是网络流行语，像一个人脸郁闷的神情，如图所示，一张边长为20的正方形的纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案（阴影部分）．设剪去的小长方形长和宽分别为、，剪去的两个小直角三角形的两直角边长也分别为、． (1)用含有、的代数式表示图中“囧”的面积； (2)令“囧”的面积为，若代数式的值与、无关，求此时的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：根据题意得“囧”的面积： ； （2） ， 把代入，得 ， 代数式的值与无关， ， ． 【变式4-2】学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把x，y看作字母，m看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的系数为0，即原式，所以，则． (1)若多项式的值与x的取值无关，求a的值； (2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， 多项式的值与x的取值无关， ， ； （2）解：设， 由题意得， ， 的值与无关， ， ． 【变式4-3】如图是某住房户型平面图（图中长度单位：米），现需要对地面铺装地板，已知房间i，，，，所铺地板的单价分别为，，，，（单位：元/平方米）． (1)若，，，，，的值分别为90，120，80，100，110，请直接用含a的式子写出： ①这所住宅的面积； ②所购地板的总费用． (2)工程设计过程中，设计师发现，当的值为t时，购买地板的费用与c的长度无关，请求出这个t的值． 【答案】(1)①；② (2) 【详解】（1）解：①根据题意可知i，，，，面积分别为：，，，， 这所住宅的面积为： ②根据i，，，，面积分别为：，，，，， ，，，，的值分别为90，120，80，100，110， 可得所购地板的总费用为： （2）解：依题意，总费用可表示为 上面式子的值与c无关                即              即： 【点睛】此题考查列代数式，整式的加减运算，读懂题目，根据已知条件正确列出代数式是解题关键． 类型五、代错值但计算结果正确 【例9】有这样一道题：“求的值，其中，．” (1)甲同学把“”错抄成“”，但他计算的结果却是正确的，请说明理由． (2)这道题的正确结果是__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）原式 原式的值与x的取值无关， 所以他计算的结果是正确的； （2）当时，原式， 故答案为：． 【例10】有这样一道计算题：的值，其中，． (1)小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；小华同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明； (2)求该多项式的值． 【答案】(1)理由见解析； (2)． 【详解】（1）解： 化简后的结果不含，所以取值与无关，故小明看错结果也会是正确的； 又时，， 故小华看错，结果也是正确的； （2）解：原式 ． 【点睛】此题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式5-1】课堂上，在求多项式的值时．王老师将班级分两组比赛：要求第一组把，代入计算，第二组把，代入计算，两组的计算结果相同，并且都正确，这是为什么？说明理由并计算结果． 【答案】理由见解析，. 【详解】解：原式 ， 因为原式化简后不含字母， 所以原式的值与的值无关． 所以把代入上式，得， 原式. 【点睛】本题考查了整式的加减化简求值，特别是与某个字母无关，解答时，熟练化简，是解题的关键. 【变式5-2】有这样一道题，“计算的值，其中”甲同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出正确的结果． 【答案】理由见解析，值为5 【详解】 = = 当y=-1时，原式=5． 因为原式化简的结果不含x，所以甲同学把“”错抄成“”但他计算的结果也是正确． 【点睛】考查了整式的加减-化简求值，解题关键是先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算． 【变式5-3】数学课上老师出了这样一道题目：“当时，求的值．”小王同学把错抄成了，但他的计算结果却是正确的，这是怎么回事？ (1)请你通过化简，说明小王计算结果正确的原因． (2)小红据此又改编了一道题，请你试一试：无论取何值，多项式的值都不变，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)8 【详解】（1）解： ， 原式的化简结果与无关， 无论取何值，都不会影响结果； （2）解： 无论取何值，多项式的值都不变， ，，即，， ． 一、单选题 1．若与是同类项，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：． 2．已知：，，若代数式的的值与a无关，则此时b的值为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴ ； ∵代数式的的值与a无关， ∴ 解得：， 故选：A． 3．已知关于的多项式不含三次项和一次项，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵的多项式中不含三次项和一次项， ∴，， ∴，， ∴． 故选：A． 4．图1是长为a，宽为b（a，b为常数，且）的小长方形纸片，将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，若，且S为定值，则S的定值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，面积为的长方形一边为，设另一边为；面积为的长方形一边为，设另一边为，则， 由图知：，即， ∴， ∵为定值， ∴， 即， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了列代数式及多项式中的无关问题，关键是设两个长方形的另一边长，并表示其面积，由面积差为定值求得与的关系． 二、填空题 5．如果与是同类项，那么代数式的值等于 ． 【答案】 【详解】解：由与为同类项得 ， 解得， ∴ ． 故答案为：． 6．小亮在计算的值时，把的值看错了，其结果等于，细心的小敏把正确的的值代入计算，其结果也是．为了探究明白，她又把代入，结果还是．则的值为 ． 【答案】 【详解】解： ， 所以这个结果与n的取值无关，是25， ∵， ∴； 故答案为：． 7．已知，． （1）当，时，的值为 ； （2）若无论取何值时，总成立，则的值为 ． 【答案】 3 【详解】解：（1）当，时， ， 故答案为：； （2） ， ∵总成立， ∴，解得， 故答案为：3． 三、解答题 8．已知 (1)设，是否存在实数，使得能化简为，若能，请求出满足条件的值；若不能，请说明理由； (2)若，且的值与无关，求的值． 【答案】(1)能， (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， 将代入得：， 即， 解得：， 则能化简为，此时； （2）， ， 由的值与无关，得到即， 则原式； 9．若关于x，y的两个多项式与的差为多项式C，通过计算小明发现多项式C的结果与x的大小没有关系． (1)求a，b的值； (2)求多项式的值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解： ， ∵多项式C的结果与x的大小没有关系， ∴， ∴． （2）解： ， 当时，． 10．定义：若，则称a与b是关于数n的平均数．比如3与是关于的平均数，7与13是关于10的平均数． (1)填空：2与_______是关于的平均数，______与是关于2的平均数； (2)现有与（k为常数），且a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关，求n的值． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：设2与m是关于的平均数， ∴， ∴； 设n与是关于2的平均数， ∴， ∴； 故答案为：；； （2）解：∵与， ∴ ， ∵a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a，点B对应的数记为b，且是关于x、y的三次二项式．解答下列问题： (1)________，________； (2)若数轴上有一点C，且，求点C对应的数； (3)若点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度为m个单位长度每秒，点N的速度是3个单位长度每秒，点P、Q分别为线段、线段的中点.设运动时间为t秒，在点M，N的运动过程中，若的长度与t的取值无关，求m的值及的长度． 【答案】(1)， (2) (3)， 【详解】（1）解：∵是关于x、y的三次二项式， ∴， ∴． 故答案为：，． （2）解：设点C对应数为c， ∵点A对应的数记为，点B对应的数记为12，， ∴， 当时，有，解得：，不符合题意； 当时，有，解得：，符合题意； 当时，有，解得：，不符合题意． 综上，设点C对应数为． （3）解：设运动时间为t秒，则点M表示，点N表示， P、Q为、的中点 点P表示，点Q表示， ， ， 的长度与t无关， ， ∴当时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$