精品解析：上海市闵行区上海师范大学附属中学闵行分校2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题

上师大附中闵行分校2023学年第二学期 高一年级数学期末考试试题 时间：120分钟 满分：150分 命题人：丁奇峰 审题人：张曦文 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 若复数是纯虚数，则实数___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用纯虚数的定义，列式计算作答. 【详解】复数是纯虚数，则有，解得， 所以实数. 故答案为： 2. 已知向量，，若，则实数_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量垂直时数量积等于零，可列方程，即可求出． 【详解】因为，，， 所以，解得． 故答案为：. 3. 函数的最小正周期是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用降幂公式化简函数，再求函数的最小正周期. 【详解】，所以函数的最小正周期. 故答案为： 4. 若角的终边过点，则的值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得 x＝4，y＝﹣3，r＝5，再由任意角的三角函数的定义可得 ，由诱导公式化简，代入即可求解． 【详解】解：∵角α的终边过点P（4，﹣3），则 x＝4，y＝﹣3，r＝5，， ． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题． 5. 在等差数列中，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列的性质，有,结合已知，即可求得. 【详解】等差数列中，， 因为, 所以 故答案为：. 6. 设，向量，．若在方向上的数量投影为1，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据数量投影的概念及数量积的坐标运算求解. 【详解】∵，， ∴在方向上的数量投影为，解得， 故答案为：3． 7. 方程在区间上的所有解的和为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用倍角余弦公式得到关于的一元二次方程求解，由正弦函数值求，即可得结果. 【详解】由，即，解得或， 在，当时，当时或， 所以所有解的和为. 故答案为： 8. 关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，若，则实数___________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意利用判别式与韦达定理得到的取值范围与的表达式，从而得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】由题意可得，， ，， 解得或， 又，，． 故答案为：． 9. 已知函数在有且仅有5个零点，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由 的范围, 可得 的范围, 由题意可得 的范围, 进而求出 的范围. 【详解】因为 , 所以 , 要使函数有 5 个零点, 则 , 解得 的范围为 . 故答案为: . 10. 设无穷数列的前项和为．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用与间的关系，求出，从而得到，再利用等比数列前和公式即可求出结果. 【详解】因为，当时，， 两式相减得到，又，满足，所以， 所以， 故答案为：. 11. 疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，为路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角，已知，.则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题知，底边上的高，又，可得，根据余弦定理和均值不等式得到，则计算可得答案. 【详解】 设中，定点到底边的距离为h， 已知，，，， 则 又， 则， 即， 在中，由余弦定理： ， 当且仅当时，等号成立， 故，而， 所以，则， 所以的最小值为. 故答案为：. 12. 设是由正整数组成且项数为的增数列，已知，，数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1，若对于中任意序数不同的两项和，在剩下的项中总存在序数不同的两项和，使得，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】本题为数列的新定义题，由已知可推出，当时，或，根据，可推出数列前6项，结合题意，应有，，，…，，中间各项为公差为1的等差数列时，可使得值最小，同理推出数列后6项，即可得出最小值. 【详解】因为数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1，，所以， 又是由正整数组成且项数为的增数列，所以或， 当时，，此时， 这与在剩下的项中总存在序数不同的两项和，使得矛盾， 所以，类似地，必有，，，， 由得前6项任意两项之和小于等于3时，均符合， 要最小，则每项尽可能小，且值要尽量小， 则，， 同理，，，…，，当中间各项为公差为1的等差数列时，可使得值最小，且满足已知条件. 由对称性得最后6项为，， 则的最小值. 【点睛】对于数列的新定义题，关键在于读懂题意.根据题意，可得出当时，或，根据已知，可推出数列的前6项以及后6项， 进而推得中间项和取的最小值应满足的条件. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知等差数列中，，那么 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得，，再结合诱导公式即可得解. 【详解】∵等差数列中，， ∴， ∴， ∴， ∴. 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查诱导公式的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 14. 已知函数，，则下列判断不正确的是（ ） A. B. 在区间上只有个零点 C. 的最小正周期为 D. 直线为函数图象的一条对称轴 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式变形函数式，再根据正弦函数的图像及性质逐一判断各选项作答. 【详解】由题意，， 对于A，因为，则，即，A正确； 对于B，由得，即，满足的有，B错误； 对于C，的最小正周期为，C正确； 对于D，当时，，则，因此是图象的一条对称轴，D正确. 故选：B 15. 设O是△ABC的外心，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取BC的中点D，连接OD，AD，设，根据向量的数量积运算可求得，代入可得答案. 【详解】解：取BC的中点D，连接OD，AD，因为O是△ABC的外心，所以， 设，则 所以，所以， 故选：C. 16. 已知复数，和满足，若，则的最大值为（ ） A. B. 3 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先利用复数的模与加减法的几何意义，及三角形两边之和大于第三边得到，再将时各复数的取值取出，即可得到的最大值. 【详解】根据题意，得， 当，，时，，此时， 所以. 故选：B. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 已知复数是纯虚数，是实数. （1）求； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设且，代入化简，然后由复数的分类求解； （2）由（1）代入求得，再由复数模的性质与定义计算． 【小问1详解】 设且. 则为实数， 所以，所以， 所以 ； 【小问2详解】 由（1），， 所以． 18. 已知函数 的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为． （1）求的解析式和周期． （2）当 时，求的值域． 【答案】（1），周期为 （2） 【解析】 【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，可得函数的解析式，即可求解； （2）当时，得到，利用正弦型函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为， 可得最小正周期，所以. 又由图象上一个最低点为，可得， 且，即，可得， 即，因，所以， 所以函数的解析式为，且由最小正周期，可得的周期为. 小问2详解】 解：由（1）知， 当时，可得， 所以，当时，即时，函数取得最小值为； 当时，即，函数取得最大值为， 所以函数的值域为. 19. 某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第一年的维护费用是4万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加2万元,从第八年开始,每年的维护费用比上年增加25% （1）设第年该生产线的维护费用为,求的表达式; （2）若该生产线前年每年的平均维护费用大于12万元时,需要更新生产线,求该生产线前年每年的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线? 【答案】（1）；（2）9 【解析】 【详解】（1）当时，数列是首项为4，公差为2的等差数列，， 当时，数列是首项为，公比为的等比数列，又， 的表达式为 设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得 当时， 当时，由， 该生产线前年每年平均维护费用 当时，为递增数列， 当时，，也为递增数列， 又，，. 则第9年初需要更新该生产线 20. 在直角坐标平面上的一列点，，…，，…，简记为．若由构成的数列满足，，2，…，其，则称为“点列”． （1）判断，，，…，，是否为“点列”，并说明理由； （2）判断，，，…，…是否为“点列”，请说明理由，并求出此时列的前项和． （3）若为“点列”，且点在的右上方，任取其中连续三点，，，判断的形状（锐角三角形､直角三角形､钝角三角形），并予以证明． 【答案】（1）不是，理由见解析；（2）是，理由见解析；；（3）钝角三角形，证明见解析． 【解析】 【分析】 （1）根据“点列”的定义，结合题中条件，即可得出结果； （2）根据题中条件，得出，结合“点列”的定义，即可判断出结果；再利用裂项相消法，即可求出数列的和； （3）先由题意，得到与的坐标，表示出向量数量积，利用“点列”的性质，判断，即可判断三角形的形状. 【详解】（1）根据题意得，， ∴不满足，故不是“点列”． （2）根据题意得，， ∴，显然有， ∴是点列． 则． （3）因为为“点列”，所以，， 所以，， 则， ∵点在点的右上方，∴， ∵为点列，∴， ∴，则， 即， 又为的内角， ∴为钝角，∴为钝角三角形． 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于对“点列”的理解，要判断一个点列为“点列”，必须满足为增数列；求解“点列”中构成的三角形形状时，则需要结合“点列”的性质，结合向量数量积求解即可. 21. 定义向量的“对应函数”为；函数的“对应向量”为（其中为坐标原点），记平面内所有向量的“对应函数”构成的集合为 （1）设，求证： （2）已知且，是函数的“对应向量”，，求 （3）已知，向量的“对应函数”在处取得最大值，当变化时，求的取值范围 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到对应的向量为，即可得证； （2）化简函数，得到，进而求得的值； （3）根据题意，由函数 在处取得最大值，得到，求得，结合三角函数的有界性求得，结合单调性，即可求解. 【小问1详解】 证明：因为， 根据题意，可得函数对应的向量为， 又因为平面内所有向量的“对应函数”构成的集合为，所以； 【小问2详解】 由函数 ， 因为，所以， 又因为，所以， 可得. 【小问3详解】 由函数 ，其中， 因为在处取得最大值，所以， 即，此时， 令，可得， 即，其中， 可得，所以，所以， 当时，单调递减，； 当时，单调递减，. 综合可得的取值范围为. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键时理解对应向量以及对应函数的定义，明确其内涵，能根据该定义结合向量的坐标运算进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上师大附中闵行分校2023学年第二学期 高一年级数学期末考试试题 时间：120分钟 满分：150分 命题人：丁奇峰 审题人：张曦文 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 若复数是纯虚数，则实数___________． 2. 已知向量，，若，则实数_________. 3. 函数的最小正周期是_____________． 4. 若角的终边过点，则的值为_____________. 5. 在等差数列中，则_________. 6. 设，向量，．若在方向上的数量投影为1，则______． 7. 方程在区间上的所有解的和为__________. 8. 关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，若，则实数___________． 9. 已知函数在有且仅有5个零点，则实数的取值范围是___________． 10. 设无穷数列的前项和为．若，则______． 11. 疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，为路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角，已知，.则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为_____________. 12. 设是由正整数组成且项数为的增数列，已知，，数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1，若对于中任意序数不同的两项和，在剩下的项中总存在序数不同的两项和，使得，则的最小值为___________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知等差数列中，，那么 A. B. C. D. 14. 已知函数，，则下列判断不正确的是（ ） A. B. 在区间上只有个零点 C. 最小正周期为 D. 直线为函数图象一条对称轴 15. 设O是△ABC的外心，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 16. 已知复数，和满足，若，则最大值为（ ） A. B. 3 C. D. 1 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 已知复数是纯虚数，是实数. （1）求； （2）若，求 18. 已知函数 的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为． （1）求的解析式和周期． （2）当 时，求的值域． 19. 某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第一年的维护费用是4万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加2万元,从第八年开始,每年的维护费用比上年增加25% （1）设第年该生产线的维护费用为,求的表达式; （2）若该生产线前年每年的平均维护费用大于12万元时,需要更新生产线,求该生产线前年每年的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线? 20. 在直角坐标平面上的一列点，，…，，…，简记为．若由构成的数列满足，，2，…，其，则称为“点列”． （1）判断，，，…，，是否为“点列”，并说明理由； （2）判断，，，…，…是否为“点列”，请说明理由，并求出此时列的前项和． （3）若为“点列”，且点在的右上方，任取其中连续三点，，，判断的形状（锐角三角形､直角三角形､钝角三角形），并予以证明． 21. 定义向量的“对应函数”为；函数的“对应向量”为（其中为坐标原点），记平面内所有向量的“对应函数”构成的集合为 （1）设，求证： （2）已知且，是函数“对应向量”，，求 （3）已知，向量的“对应函数”在处取得最大值，当变化时，求的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $