第07讲 积的乘方 幂的运算综合应用（二类知识点+八大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（沪教版2024）

第07讲 积的乘方 幂的运算综合应用（八大题型） 学习目标 1、学会积的乘方运算及其逆用； 2、掌握幂的运算综合及其应用。 一、积的乘方法则 (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 【方法规律】（1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 二、注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式或整式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 【即学即练1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【即学即练2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【即学即练3】计算： ． 【即学即练4】已知，那么 ． 【即学即练5】已知，，则的值为 ． 题型1：积的乘方 【典例1】．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【典例2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【典例3】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型2：幂的运算综合 【典例4】．计算 (1) (2) (3) (4) 【典例5】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型3：积的乘方的逆用—因数互为倒数 【典例6】．计算： ． 【典例7】．计算： ． 【典例8】．计算： ． 题型4：幂的运算的应用—求代数式的值 【典例9】．（1）已知，，求的值； （2）已知，，求的值． 【典例10】．（1）已知，，用，表示的值； （2）已知，，求的值． 【典例11】．已知，，求的值． 【典例12】．若x3n＝3，则（2x3n）3＋（﹣3x2n）3＝ ． 【典例13】．已知：.试用含x，y，z的代数式表示下列各式： (1) (2) (3) 题型5：幂的运算的应用—表示关系 【典例14】．已知2m=x ，43m=y ，用含有字母x  的代数式表示y ，则y= ． 【典例15】．若，，则代数式与之间关系是 ． 【典例16】．若，则代数式xy与之间关系是 ． 题型6：幂的运算的应用—求参数的值 【典例17】．已知27b＝9×3a+3，16＝4×22b﹣2，则a+b的值为 ． 【典例18】．若（且，、是正整数），则． 利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，则___________； (2)如果，求的值． (3)如果，求的值． 【典例19】．下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1)计算： ①； ② (2)若，请求出n的值． 【典例20】．若（且，m，n都是正整数），则． 利用上述结论解决下列问题： (1)若，求n的值； (2)若，求x的值． 题型7：幂的运算的应用—比较大小 【典例21】．阅读：已知正整数，，，若对于同底数，不同指数的两个幂和，当时，则有；若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有>，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程] (1)比较大小：______，______；（填“>”、“<”或“=”） (2)比较与的大小； (3)比较与的大小． 【典例22】．在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣． （i）阅读和学习下面的材料： 比较，，的大小． 分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下： 解：，，， ． （ii）阅读和学习下面的材料： 已知，，求的值． 分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解：，， ． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题： (1)比较，，的大小（用“<”号连接起来）． (2)计算：． 【典例23】．阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵，且 ∴，即 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小 材料二：比较和的大小 解：∵，且 ∴，即 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 【方法运用】 (1)比较、、的大小 (2)比较、、的大小 (3)已知，，比较a、b的大小 题型8：新定义、阅读材料题 【典例24】．在数学兴趣小组中，同学们从书上学到了很多有趣的数学知识．其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣．根据，知道a，n可以求b的值．如果知道a，b可以求n的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，那么．例如：，则． (1)填空： ， ； (2)计算：； (3)若，，，则a、b、c满足什么关系式，并证明． 【典例25】．阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律： ， 的末尾数字是1， 的末尾数字是1， 的末尾数字是3， 同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 【典例26】．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 一、单选题 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（    ） A． B．1 C． D． 4．若，则的值为（    ） A．9 B．－9 C．6 D．－6 5．若，，则的值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．24 6．若，为正整数，则（    ） A． B． C． D． 7．计算：的结果为（    ） A． B． C． D． 8．已知，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 9．已知，，，那么、、之间满足的等量关系是（    ） A． B． C． D． 10．通常一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格中只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有三名同学对的理解如下： 甲：就是200个2相乘； 乙：的个位数字是6； 丙：我知道，所以我估计比大． 下列判断正确的是 （ ） A．只有乙错 B．甲错，丙对 C．乙对，丙错 D．甲、乙、丙都对 二、填空题 11．计算： ． 12．计算 ． 13．已知，，则 ． 14．已知 ，，则 ． 15．已知一个正方形的边长是，则它的面积是 （用科学记数法表示）． 16．已知，则的值为 ． 17．式子的值的个位数是 ． 18．已知整数满足且，则的值为 ． 三、解答题 19．计算： (1)； (2)． 20．计算： (1) (2)； (3) (4) (5) (6)． 21．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．若（且，m、n是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求a的值． 23．比较下列各题中幂的大小： （1）已知，比较a、b、c的大小关系； （2）比较这4个数的大小关系； （3）已知，比较P，Q的大小关系； 24．若 (且是正整数)，则，你能利用上面的结论解决下面的问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)已知，，用含，的式子表示______． 25．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空：＝__________；（_________，16）＝4； (2)计算＝_________，并说明理由； (3)利用“雅对”定义说明：，对于任意非0整数n都成立． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 积的乘方 幂的运算综合应用（八大题型） 学习目标 1、学会积的乘方运算及其逆用； 2、掌握幂的运算综合及其应用。 一、积的乘方法则 (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 【方法规律】（1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 二、注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式或整式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 【即学即练1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查积的乘方和幂的乘方． （1）直接利用积的乘方运算法则进行运算即可； （2）直接利用积的乘方和幂的乘方运算法则进行运算即可； （3）直接利用积的乘方和幂的乘方运算法则进行运算即可； （4）直接利用积的乘方和幂的乘方运算法则进行运算即可 【解析】（1） ； （2） ； （3） （4） 【即学即练2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； 【分析】 （1）根据同底数幂的乘法运算法则及幂的乘方的运算法则即可解答； （2）幂的乘方的运算法则及同底数幂的运算法则即可解答； （3）先利用积的乘方的运算法则及同底数幂的运算法则计算，再利用整式的加减法则计算即可解答； （4）利用逆用积的乘方的运算法则化简，再利用积的乘方的运算法则即可解答． 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了积的乘方的运算法则，同底数幂测运算法则，幂的乘方运算法则，掌握积的乘方运算法则是解题的关键． 【即学即练3】计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了积的乘方逆运算，根据积的乘方逆运算先将原式化为，再计算乘法即可，熟练掌握积的乘方逆运算法则是解题的关键 【解析】解： 故答案为 【即学即练4】已知，那么 ． 【答案】 【分析】根据积的乘方的运算法则进行计算即可求解． 【解析】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方的运算法则是解题的关键． 【即学即练5】已知，，则的值为 ． 【答案】512 【分析】根据幂的乘方和积的乘方进行运算即可． 【解析】解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：512． 【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，熟练掌握计算法则是突破本题的关键． 题型1：积的乘方 【典例1】．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】分别根据积的乘方的运算法则计算即可． 【解析】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查了积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【典例2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)﹣a3b6c9 【分析】（1）根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可得解． （2）根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可得解． （3）根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可得解． （4）根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可得解． 【解析】（1）解： （2） （3） （4） 【点睛】本题考查积的乘方，掌握积的乘方是解题关键. 【典例3】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据积的乘方可进行求解； （2）根据积的乘方及合并同类项可进行求解； （3）根据同底数幂的乘法、积的乘方及整式的加减运算可进行求解； （4）根据同底数幂的乘法、积的乘方及整式的加减运算可进行求解． 【解析】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【点睛】本题主要考查积的乘方、同底数幂的乘法及整式的加减运算，熟练掌握各个运算是解题的关键． 题型2：幂的运算综合 【典例4】．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【分析】（1）先利用同底数幂的乘法和幂的乘方法则计算，再合并同类项即可． （2）式子适当变形后，再按照同底数幂的乘法计算即可． （3）逆运用同底数幂的乘法，再计算乘法，然后按照偶次幂的符号法则即可得出答案． （4）先利用积的乘方运算法则计算，再利用同底数幂的乘法计算即可． 【解析】（1）解： （2）解： = = （3）解： = = （4）解： = = = 【点睛】本题考查幂的相关运算．主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【典例5】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)0； (6)． 【分析】（1）先运算幂的乘方，然后利用同底数的幂的乘法运算解题； （2）先运算幂的乘方，然后合并解题即可； （3）先运算幂的乘方，同底数的幂的乘法，然后合并解题即可； （4）先运算积的乘方，然后利用同底数的幂的乘法运算解题； （5）先运算幂的乘方，然后同底数的幂的乘法，最后合并解题即可； （6）先运算幂的乘方，然后同底数的幂的乘法，最后合并解题即可． 【解析】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式； （5）原式； （6）原式． 【点睛】本题主要考查幂的运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 题型3：积的乘方的逆用—因数互为倒数 【典例6】．计算： ． 【答案】1 【分析】根据积的乘方运算法则进行计算即可． 【解析】解：． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握乘方运算法则． 【典例7】．计算： ． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算进行计算即可． 【解析】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算，掌握运算法则是解题的关键． 【典例8】．计算： ． 【答案】 【分析】根据积的乘方的逆运算计算即可． 【解析】， 故答案为：． 【点睛】题考查积的积的乘方逆用，熟练掌握运算法则并能正确运用是解题的关键． 题型4：幂的运算的应用—求代数式的值 【典例9】．（1）已知，，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）320；（2）5400． 【分析】（1）根据同底数幂的除法法则计算即可； （2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可． 【解析】解：（1）∵，， ∴ ； （2）∵，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方的逆用，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 【典例10】．（1）已知，，用，表示的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1） （2）5． 【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，逆用法则可得．再将，，代入，即可解决此题． （2）先根据幂的乘方得到，再将，代入，即可解决此题． 【解析】解：（1），， . （2），， 原式. 【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法法则是解决本题的关键． 【典例11】．已知，，求的值． 【答案】-39 【分析】由幂的乘方的逆运算，同底数幂的逆运算进行计算，即可得到答案． 【解析】解：∵，， ∴ ． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的逆运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 【典例12】．若x3n＝3，则（2x3n）3＋（﹣3x2n）3＝ ． 【答案】-27 【分析】将原式转化为（2x3n）3﹣27（x3n）2，再将x3n＝3整体代入计算即可． 【解析】解：∵x3n＝3， ∴（2x3n）3＋（﹣3x2n）3 ＝（2x3n）3﹣27（x3n）2 =（2×3）3﹣27×32 =216-243 =-27 故答案为：-27． 【点睛】本题考查积的乘方的逆运算及代数式求值，解题关键是运用整体代入思想． 【典例13】．已知：.试用含x，y，z的代数式表示下列各式： (1) (2) (3) 【答案】(1)x z3 (2)x3 y3 (3)x4 y6 【分析】(1)把所求的式子进行整理，使其含有已知条件的形式，从而可求解； (2)把所求的式子进行整理，使其含有已知条件的形式，从而可求解； (3)把所求的式子进行整理，使其含有已知条件的形式，从而可求解． 【解析】（1）解：54a=(2×27)a =2a×27a=2a×33a =2a×(3a)3 =xz3； （2）解：8a+b=8a×8b =(2a)3×(2b)3 =x3y3； （3）解：42a+3b=42a×43b =24a×26b =(2a)4×(2b)6 =x4 y6． 【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与灵活运用． 题型5：幂的运算的应用—表示关系 【典例14】．已知2m=x ，43m=y ，用含有字母x  的代数式表示y ，则y= ． 【答案】 【解析】∵y= ，又∵=x ∴y=. 故答案为. 【典例15】．若，，则代数式与之间关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查幂的乘方和积的乘方，解题的关键是熟练掌握以上知识点．利用幂的乘方和积的乘方的运算法则进行计算即可． 【解析】解：∵，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【典例16】．若，则代数式xy与之间关系是 ． 【答案】 【分析】由条件可得可得而从而可得答案． 【解析】解：∵， ∴ ∴ 而 ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算，积的乘方的逆运算，掌握“利用幂的运算与逆运算进行变形”是解本题的关键． 题型6：幂的运算的应用—求参数的值 【典例17】．已知27b＝9×3a+3，16＝4×22b﹣2，则a+b的值为 ． 【答案】3 【分析】根据“27b＝9×3a+3”可得3b=a+5，根据“16＝4×22b-2”可得2b=4，分别解出a，b的值即可得出答案. 【解析】∵，即 ∴3b=a+5① ∵，即 ∴2b=4② 由②得b=2，代入①中解得a=1 ∴a+b=1+2=3 故答案为3. 【点睛】本题考查的是幂的乘方和同底数幂的乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂相乘和幂的乘方的运算法则是解题的关键. 【典例18】．若（且，、是正整数），则． 利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，则___________； (2)如果，求的值． (3)如果，求的值． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方对式子进行变形． （）根据（且，是正整数），则即可求解； （）根据幂的乘方法则计算即可； （）根据同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方法则计算即可； 【解析】（1）解：∵， ∴， 故答案为：4 （2）∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3） ∵， ∴， ， ∴， ∴， 解得：． 【典例19】．下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1)计算： ①； ② (2)若，请求出n的值． 【答案】(1)①；② ； (2) 【分析】本题考查的是积的乘方运算的逆运算，同底数幂的乘法运算的逆运算，幂的乘方运算，熟记运算法则是解本题的关键； （1）①先把原式化为，再计算即可；② 先把原式化为，再计算即可； （2）先把原式化为，可得，再解方程即可. 【解析】（1）解：①； ② ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 解得：. 【典例20】．若（且，m，n都是正整数），则． 利用上述结论解决下列问题： (1)若，求n的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)3 (2)2 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方逆运算法则，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形． （1）根据幂的乘方逆运算法则把与化为底数为3的幂，再根据同底数幂的乘除法法则解答即可； （2）根据同底数幂的乘法逆运算法则把变形为即可解答． 【解析】（1）解：， ， 即，解得． n的值为3． （2）解：， ， 即， 解得． x的值为2． 题型7：幂的运算的应用—比较大小 【典例21】．阅读：已知正整数，，，若对于同底数，不同指数的两个幂和，当时，则有；若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有>，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程] (1)比较大小：______，______；（填“>”、“<”或“=”） (2)比较与的大小； (3)比较与的大小． 【答案】(1)>，< (2)< (3)< 【分析】（1）根据“同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有>，”即可比较和的大小；根据“对于同底数，不同指数的两个幂和，当时，则有，即可比较和的大小； （2）据“对于同底数，不同指数的两个幂和，当时，则有”，即可比较与的大小； （3）利用作商法，即可比较和的大小． 【解析】（1）解：， ∴>， ∵，，122<123， ∴<， 故答案为：，； （2）解：∵，，8<9， ∴<． （3）解：∵， ∴<． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方及有理数大小比较，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键． 【典例22】．在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣． （i）阅读和学习下面的材料： 比较，，的大小． 分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下： 解：，，， ． （ii）阅读和学习下面的材料： 已知，，求的值． 分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解：，， ． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题： (1)比较，，的大小（用“<”号连接起来）． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方法则逆用、同底数幂的乘法逆用与幂的乘方法则的逆用，读懂材料并逆用这三个法则是关键； （1）发现指数606，404，202都是101的倍数，于是把这三个数都转化为指数为101的幂，然后通过比较底数的方法，即可比较大小； （2）把化为后，再利用幂的乘方及逆用同底数幂的法则、逆用积的乘方即可求解． 【解析】（1）解：，，， 而， ； （2）解： ． 【典例23】．阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵，且 ∴，即 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小 材料二：比较和的大小 解：∵，且 ∴，即 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 【方法运用】 (1)比较、、的大小 (2)比较、、的大小 (3)已知，，比较a、b的大小 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． （1）根据，，，再比较底数的大小即可； （2）根据，，，再比较底数的大小即可； （3）根据，，即可得出结论． 【解析】（1）解：∵， ， ， ∵， ∴， 即； （2）解：∵， ， ， ∵， ∴， 即； （3）解：∵，， 又∵， ∴． 题型8：新定义、阅读材料题 【典例24】．在数学兴趣小组中，同学们从书上学到了很多有趣的数学知识．其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣．根据，知道a，n可以求b的值．如果知道a，b可以求n的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，那么．例如：，则． (1)填空： ， ； (2)计算：； (3)若，，，则a、b、c满足什么关系式，并证明． 【答案】(1)2，3； (2)1； (3)，证明见解析． 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，熟记有理数乘方运算法则是解答本题的关键． （1）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可； （2）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可； （3）结合有理数的乘方，根据新定义运算先求出a，b的值然后解题即可． 【解析】（1）解：， ∴； ∵， ∴； 故答案为：2，3； （2）解：∵，， ∴； （3）解：． ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【典例25】．阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律： ， 的末尾数字是1， 的末尾数字是1， 的末尾数字是3， 同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 【答案】(1)3，6； (2)6； (3)见解析． 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是4，的末尾数字是6，于是得解； （2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论； （3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9推出的末尾数字是5，则命题即可得证． 【解析】（1）解：， 的末尾数字为3； 的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，… 的末尾数字是4，的末尾数字是6， 的末尾数字是6； 故答案为：3，6； （2）解：， 的末尾数字是6， 的末尾数字是6； （3）证明：的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… 的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， 的末尾数字为6； 同理可得： 的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1； 的末尾数字9， 的末尾数字是5， 能被5整除． 【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键． 【典例26】．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)4，64 (2) (3)①；② 【分析】（1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）①由题意可得出，，再根据，，即可求出；②根据，即得出，结合题意可得出．由①知，即得出，进而得出，即说明，代入中求值即可． 【解析】（1）解：， ； ，且， ． 故答案为：，； （2）解：，，，若， ，，． ， ，即， ； （3）解：①，， ，， ，， ； ②， ， ． 由①知：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查有理数的乘方，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键． 一、单选题 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方，根据积的乘方的法则，进行计算即可． 【解析】解：； 故选A． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂，幂的乘方，合并同类项，积的乘方，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据整式混合运算的法则进行判断即可． 【解析】解：A、根据同底数幂相乘底数不变，指数相加，可得，故错误； B、根据幂的乘方时底数不变，指数相乘，可得，故正确； C、根据合并同类项，可得，故错误； D、根据积的乘方可得，，故错误． 故选：B． 3．计算的结果是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，积的乘法运算，先按照同底数幂的乘法的逆用将 转化为，然后根据积的乘法运算先计算，最后再乘以即可． 【解析】解： ， 故选：C． 4．若，则的值为（    ） A．9 B．－9 C．6 D．－6 【答案】A 【分析】本题考查了求代数式的值，积的乘方的逆运算，熟练掌握积的乘方的逆运算是解题的关键． 【解析】∵， ∴． 故选：A． 5．若，，则的值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】C 【分析】首先根据，可得，然后根据，求出的值即可．此题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，解答此题的关键是要明确：（1）①，是正整数）；②是正整数）；（2）同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【解析】解：， ， ， ． 故选：C． 6．若，为正整数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先依据乘法的意义个相加得到，然后根据积的乘方的运算法则计算即可． 【解析】解：， ，选项符合题意， 故选：． 【点睛】本题考查了积的乘方的运算法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键：积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 7．计算：的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂相乘以及积的乘方的逆运用，先整理原式得，再结合积的乘方的逆运用进行运算，即可作答． 【解析】解： 8．已知，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先把左右两边分别计算，再对应字母指数相等求值即可． 【解析】∵ ∴， ∴， 解得， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查单项式的乘法，幂的综合运算，熟记同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方运算法则是解题的关键． 9．已知，，，那么、、之间满足的等量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用积的乘方、幂的乘方运算法则将原式变形得出答案． 【解析】A选项：，即，A错误； B选项：，即，B错误； C选项：，即，C错误； D选项：，D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了积的乘方运算，幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键． 10．通常一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格中只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有三名同学对的理解如下： 甲：就是200个2相乘； 乙：的个位数字是6； 丙：我知道，所以我估计比大． 下列判断正确的是 （ ） A．只有乙错 B．甲错，丙对 C．乙对，丙错 D．甲、乙、丙都对 【答案】D 【分析】由乘方的定义可知，就是200个2相乘；通过计算可得的尾数2，4，8，6循环，由循环规律可确定的个位数字是6；由积的乘方运算可得，，由此可得，从而可求解． 【解析】解：∵就是200个2相乘， ∴甲的判断正确； ∵，，，，，…， ∴的尾数2，4，8，6循环， ∵， ∴的个位数字是6， ∴乙的判断正确； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴丙的判断正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，掌握乘方的性质，积的乘方运算法则，尾数的循环规律是关键． 二、填空题 11．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了积的乘方运算，解题的关键是掌握积的乘方运算法则． 直接根据积的乘方运算法则计算即可． 【解析】解：， 故答案为： 12．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，合并同类项．熟练掌握积的乘方与合并同类项的法则是解题的关键． 先计算积的乘方，然后合并同类项即可． 【解析】解：， 故答案为：． 13．已知，，则 ． 【答案】6 【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则，进行计算即可解答．本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解题的关键． 【解析】解：，， ， 故答案为：6． 14．已知 ，，则 ． 【答案】17 【分析】此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，解答此题的关键是要明确：①m,n是正整数；②n是正整数． 将变形为，然后代入，，计算即可． 【解析】解：， 故答案为：17． 15．已知一个正方形的边长是，则它的面积是 （用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，以及积的乘方计算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【解析】解： 故答案为： 16．已知，则的值为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了幂的运算．利用积的乘方和幂的乘方化简，再整体代入即可求解． 【解析】解：∵， ∴ ． 故答案为：20． 17．式子的值的个位数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了积的乘方运算，以及数字的规律，解题的关键是正确找到的个位数． 根据题意，分别找出和的个位数即可． 【解析】解：原式＝， ∵……， ∴的个位数是每四个数一个循环，即2、4、8、6、2……， ∵ ∴的末位数是6； ∵ ∵ ∴的个位数为2 故答案为：2． 18．已知整数满足且，则的值为 ． 【答案】2 【分析】根据3不是10000的公约数，可得b=0，由和即可得到a，b，c，d的值，故可求解． 【解析】∵，3不是10000的公约数， ∴ 则b=0 ∴ ∵整数满足 ∴符合题意 ∴a=-2，b=0，c=3，d=4 ∴=-8+0+6+4=2 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则及特点． 三、解答题 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】解：（1）原式． （2）原式 ． 20．计算： (1) (2)； (3) (4) (5) (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，注意：（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看作整体的代数式通常要用括号括起来．同时考查了实数的运算． （1）根据同底数幂的乘法法则计算即可求解； （2）根据幂的乘方计算即可求解； （3）逆用积的乘方计算即可求解； （4）先算同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，再合并同类项即可求解； （5）先算幂的乘方，再算积的乘方； （6）先算积的乘方，再根据同底数幂的乘法法则计算即可求解． 【解析】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解：． ． 21．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了积的乘方，再算幂的乘方、同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 按顺序进行计算，先算积的乘方，再算幂的乘方、同底数幂的乘法，最后算加减． （1）先算积的乘方，再算幂的乘方、同底数幂的乘法； （2）先算积的乘方，再算幂的乘方、同底数幂的乘法； （3）先算积的乘方，再算幂的乘方、同底数幂的乘法，最后算加减； （4）先算积的乘方，再算幂的乘方、同底数幂的乘法，最后算加减． 【解析】（1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 22．若（且，m、n是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求a的值． 【答案】(1)4 (2)3 【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答； （2）根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答． 【解析】（1）解：（1）， ， ， ， ， ， 解得：， 的值为4． （2）解：， ， ， ， 解得：， 的值为3． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键． 23．比较下列各题中幂的大小： （1）已知，比较a、b、c的大小关系； （2）比较这4个数的大小关系； （3）已知，比较P，Q的大小关系； 【答案】（1）a＞b＞c；（2）；（3）P=Q 【分析】（1）根据幂的乘方公式，化为底数是3的形式进行比较； （2）根据幂的乘方公式，化为指数是11的形式进行比较； （3）利用作商法，结合积的乘方法则计算，根据结果判断． 【解析】解：（1）∵， ， ， ∴a＞b＞c； （2）， ， ， ， ∵， ∴； （3）∵， ∴P=Q． 【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，灵活运用运算法则是解题的关键． 24．若 (且是正整数)，则，你能利用上面的结论解决下面的问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)已知，，用含，的式子表示______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意利用幂的乘方为底数为2，根据同底数幂的乘方进行计算，根据等式相等，指数相等，得出关于的一元一次方程，解方程即可求解． （2）根据题意，化为指数相等的两个数，进而根据底数相等，根据负整数指数幂进行计算即可求解； （3）根据幂的乘法与积的乘方运算化为含有，的式子，进而即可求解． 【解析】（1）解：∵， ∴， 解得：， （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， （3）∵，， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方运算，积的乘方运算法则，负整数指数幂是解题的关键． 25．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空：＝__________；（_________，16）＝4； (2)计算＝_________，并说明理由； (3)利用“雅对”定义说明：，对于任意非0整数n都成立． 【答案】(1)3，±2 (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）由于，，根据“雅对”的定义可得，； （2）设，，利用新定义得到，，根据同底数幂的乘法得到，然后根据“雅对”的定义得到，从而得到； （3）设：，，利用新定义得到，，根据幂的乘方得到，从而得到，所以，对于任意自然数n都成立． 【解析】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：3，±2； （2）； 理由如下： 设，，则，， ∴， ∵， ∴； 故答案为： （3）设，， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， 即，对于任意自然数n都成立． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即（m，n是正整数）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $$