第6周知识点梳理+测评-【培优好卷】2024-2025学年八年级上册数学同步测试卷（人教版）

! 第 ! 页!共 " 页" ! 第 # 页!共 " 页" ! 第 $ 页!共 " 页" &' !"#$% 第六周知识点梳理 ! 测评 ! #!# " 等腰三角形 " !#!$ " 课题学习 " 最短路径问题" " 知识点梳理 " 本周知识点 概念#基本性质#判定及定理 名师点睛 等腰 三 角 形的 有 关 概念 有两边相等的三角形是等 腰三角形"相等的两条边 叫做腰"另一条边叫做底 边"两腰所夹的角叫做顶 角"腰与底边的夹角叫做 底角 ! 对于底和腰不相等的等腰三 角形"若条件中没有明确底 和腰时"需要进行分类讨论" 对求出的结果要根据三角形 三边关系进行验证"把不符 合的情况舍去 ! 等腰 三 角 形的性质 !! 等腰三角形的两个底角 相等 ! %简写成'等边对等 角(& " -! 等腰三角形的顶 角平分线$底边上的中线$ 底边上的高相互重合 ! %简 写成'三线合一(& !! 应用'三线合一(性质的前 提条件必须是等腰三角形" 且必须是底边上的中线$底 边上的高和顶角的平分线互 相重合"若是一腰上的高与 中线就不一定重合 ! " -! 等 腰三角形是轴对称图形"顶 角平分线%或底边上的高$底 边上的中线&所在的直线是 它的对称轴 ! 等腰 三 角 形的判定 如果一个三角形有两个角 相等"那么这两个角所对 的边也相等 ! %简写成'等 角对等边(& 利用等腰三角形的性质与判 定的互逆关系来学习等腰三 角形的判定是很重要$很常 见的一种研究问题的方法 ! 具体地可结合习题"学习此 类问题的解决方法 ! 等边三角形 及其性质 !! 定义!三边都相等的三 角形是等边三角形 ! " -! 性质!等边三角形三个内 角都相等"并且每个角都 等于 /&' #等边三角形是等 腰三角形 ! 等腰三角形与等边三角形的 区别和联系!等边三角形是 特殊的等腰三角形"等边三 角形一定是等腰三角形"而 等腰三角形不一定是等边三 角形 ! 等边 三 角 形的判定 !! 定义法!三条边都相等 的三角形是等边三角形 ! " -! 三个角都相等的三角 形是等边三角形 ! " #! 有 一个角是 /&' 的等腰三角 形是等边三角形 ! 等边三角形是特殊的等腰三 角形"因此"等腰三角形'三 线合一(的性质也适用于等 边三角形 ! 含 #&' 角的 直角 三 角 形的性质 在直角三角形中"如果一 个锐角等于 #&' "那么它所 对的直角边等于斜边的 一半 ! 含有 #&( 角的直角三角形的 性质是直角三角形中很重要 的一个性质"以后经常要用 到"一定要记准条件和结论 ! 最短 路 径 问题 在解决最短路径问题"我 们通常利用轴对称$平移 等变换把已知问题转化为 容易解决的问题"从而作 出最短路径的选择 ! 为了能顺利地求解有关最短 路径的问题"通常需要通过 作对称点或作垂线的方法来 求解 ! " 知识点练习 " 知识点一 " 等腰三角形的有关概念 !! 如图!点 $ 在 #% 上! #%4#& ! #$4$&4%& !则图中的等腰三 角形共有 " "" # ("$ 个 ."- 个 0"# 个 1" 无法确定 第 $ 题 """"""" 第 - 题 知识点二 " 等腰三角形的性质 "! 如图!在等腰三角形 #%& 中! #%4#& ! %$ 平分 ' #%& ! ' #4 #/' !则 ' $ 的度数为 " "" # ("#/' ."/&' 0")-' 1"$&%' #! 已知等腰三角形的一个内角为 3&' !则这个等腰三角形的顶角为 " "" # ("3&' ."%&' 0"3&' 或 %&' 1",&' 或 /3' 知识点三 " 等腰三角形的判定 $! 在 & #%& 中! ' # 和 ' % 的度数如下!能判定 & #%& 是等腰三角 形的是 " "" # (" ' #43&' ! ' %4)&' ." ' #4)&' ! ' %4,&' 0" ' #4#&' ! ' %42&' 1" ' #4%&' ! ' %4/&' %! 小华画了一个 & #%& !且 ' # ( ' % ( ' &4$ ( $ ( - !则小华画的 & #%& 是 " "" # (" 等腰三角形 ." 直角三角形 0" 等边三角形 1" 等腰直角三角形 &! %安徽淮北期末&如图!已知 & #%& 中! #%4# ! #&43 ! %&4) !在 & #%& 所在平面内画一条直线!将 & #%& 分割成两个三角形!使 其中有一个边长为 # 的等腰三角形!则这样的直线最多可画 " "" # ("3 条 .", 条 0"# 条 1"- 条 第 / 题 """" 第 ) 题 知识点四 " 等边三角形及其性质 '! 如图! & #%& 是等边三角形!点 $ 在 #& 边上! ' $%&4#3' !则 ' #$% 的度数为 " "" # ("-3' ."/&' 0"%3' 1"23' (! 如图!直线 6 $ ( 6 - !将等边三角形如图放置 ! 若 '! 4#3' !则 ' " 等于 " "" # ("#3' ."#&' 0"-3' 1"$3' 知识点五 " 等边三角形的判定 )! 等腰三角形补充下列条件后!一定不会成为等边三角形的是 " "" # (" 有一个内角是 /&' "" ." 有一个外角是 $-&' 0" 其中一个角是另一个角的 # 倍 "" 1" 腰与底边相等 !*! 下列三角形% ! 有两个角等于 /&' 的三角形$ " 有一个角等于 /&' 的等腰三角形$ # 三个角都相等的三角形$ $ 三边都相等的三角 形 ! 其中是等边三角形的有 ! %填序号& 知识点六 " 含 #&' 角的直角三角形的性质 !!! 已知直角三角形中 #&' 角所对的直角边长为 -*+ !则斜边的长为 " "" # ("-*+ .",*+ 0"/*+ 1"%*+ !"! 如图所示!已知 & #%& 中! ' #&%42&' ! &$ ) #% 于点 $ ! ' # 4#&' !且 #%4%*+ !则 %&4 """" *+ ! ' $&%4 """" ! %$ 4 """" *+ ! #$4 """" *+! 第 $- 题 """"" 第 $# 题 知识点七 " 最短路径问题 !#! 如图!点 ) 是直线 / 外一点! )% ) / !点 # ! % ! & ! $ 都在直线 / 上!下列线段中最短的是 " "" # (")# .")% 0")& 1")$ !$! %河北邯郸月考&如图!在 ,9, 的正方形网格中!有 # ! % 两点! 在直线 / 上求一点 ) !使 )#!)% 最短!则点 ) 的位置应选在 " "" # ("& 点 ."$ 点 0"' 点 1"+ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 点 %! ! 第 % 页!共 " 页" ! 第 & 页!共 " 页" ! 第 " 页!共 " 页" " 本周测评 " 一#选择题 !! 等腰三角形的一个内角是 )&' !它的底角大小为 " "" # (")&' 或 33' .")&' 或 ,&' 0")&' 1",&' "! 等腰三角形的对称轴是 " "" # (" 底边上的中线 ." 顶角平分线 0" 底边上的高 1" 底边的垂直平分线 #! 晓波用一条长为 -,*+ 的细线围成一边长为 /*+ 的等腰三角形! 则该等腰三角形的腰长为 " "" # ("/*+ ."2*+ 0"/*+ 或 2*+ 1"$-*+ $! 如图所示!在等边三角形 #%& 中! #$ ) %& ! ' 为 #$ 上一点! ' &'$43&' !则 ' #%' 等于 " "" # ("$&' ."$3' 0"-&' 1"-3' 第 , 题 """"" 第 3 题 %! 将一个有 ,3' 角的三角板的直角顶点放在一张宽为 #*+ 的纸带边 沿上!另一个顶点在纸带的另一边沿上!测得三角板的一边与纸 带的一边沿所在的直线成 #&' 角!如图所示!则三角板的直角边的 长为 " "" # ("#*+ ."/*+ 0")*+ 1"%*+ &! 如图!已知 #%4#&4%$ !那么 ' $ 与 ' - 之间的关系满足 " "" # (" ' $4- ' - ."- ' $! ' -4$%&' 0" ' $!# ' -4$%&' 1"# ' $6 ' -4$%&' 第 / 题 """"" 第 % 题 '! %河南济源期末&关于等腰三角形!有以下说法% " $ #有一个角为 ,/' 的等腰三角形一定是锐角三角形$ " - #等腰三角形两边的中线一定相等$ " # #两个等腰三角形!若一腰以及该腰上的高对应相等!则这两个 等腰三角形全等$ " , #等腰三角形两底角的平分线的交点到三边的距离相等 ! 其中!说法正确的个数为 " "" # ("$ 个 ."- 个 0"# 个 1", 个 (! %河南洛阳月考&如图所示!在 & #%& 中! #%4#& ! $ 是 %& 边上 的点! $' ) #% ! $+ ) #& !垂足分别为 ' ! + ! ' %#&4$-&' ! %&4 $& !则 $'!$+ 的值为 " "" # ("3 ."% 0"$& 1"$3 二#填空题 )! 如图!在 & #%& 中! #%4#& ! %$4&$ ! ' %4 )&' !则 ' %#$4 '! " !*! 如图!下列三角形中!若 #%4#& !则能被一条 直线分成两个小等腰三角形的是 ! %填 序号& !!! 如图!在 & #%& 中! #%4# ! #&4, ! #% ) #& ! '+ 垂直平分 %& ! 点 ) 为 直 线 '+ 上 一 动 点!则 & #%) 周 长 的 最 小 值 是 ! 第 $$ 题 """" 第 $- 题 !"! 如图!在 & #%' 中! %#4%' ! + 为 #' 中点 ! 若 ' #%&4#,' ! ' &43&' !则 ' #$%4 ! !#! 如图!在 & #%& 中! ' &42&' ! ' #4$3' ! ' $%&4/&' ! %&4, ! 则 #$4 ! 三#解答题 !$! 如图!在 & #%& 中! #%4#& ! $ 是 %& 的中点!过点 # 作 '+ ( %& !且 #'4#+ !求证% $'4$+! !%! 如图!在一条河的同岸有两个村庄 # 和 % !两村要在河上合修一 座桥!桥修在什么位置可以使两村到桥的距离之和最短' 保留 作图痕迹并说明理由 ! !&! 如图!在 & #%& 中! #%4%& ! ' #%&4$-&' ! %' ) #& 于点 $ ! 且 $'4$% !试判断 & &'% 的形状!并说明理由 ! !'! 如图!在 & #%& 中!点 $ ! ' 分别是 #% ! #& 边上的点! %$4 &' ! ' #%'4 ' #&$ ! %' 与 &$ 相交于点 +! 求证% & #%& 是 等腰三角形 ! * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * &! 相得：面4内，F+工字，于=F+军.下+4需年+正金神：m指寻w各件军三 这 二AD直平D年E-军 程推由F场，求的槽4.草上件t,上的毛0 三：推解，n球y,场NCD星甲位W4C14∠：∠s1E,CD果时 销尾业线上，-3，Py-机=名mPy-kT,N=,六w-m-L 6QDY-M-I-1N eNEtNO-1+1.3-4. 以，Y4n家D.品=∠因x.∠A事子4相=便E一，△顺4△n山 二，T。形了.” ,品∠A=z笔∠p∠黑 中在【每折]物用：选站PLP化盖P灵A和，的◆直4米A的发k, 特4把 经40 411 推4[时新】具一14：专L相海10无子r轴时轴：5一1山=46计P r.∠-Cu62D△ua△∠w-∠ 风通月是后. m4, 1412 2AFE-∠学，.A5K 三1细：4：青志形A仪是长复形，好前日长表形候的两条对释轴W:轴衡r轴罐立平面 女不-，求1厂，(=第，△是等边已果 t镜量用：g,建f:∠A区=且-1C银酒=∠孩A年4度 A烧2HL C25认.一E时满自定门长地业日的其. 心=：品某甲D词■积为1=钱 Ar-rE 轴蓝延联某F.是AE=.4藏乐8A家48AF中，∠AO-∠L8A果 ∠21nn∠分+∠山=其a四在△h"-+归gr.解得=7W.山 =∠月表.∠+∠下-∠∠，2=..△A是 视三角相 arss的，w-a花-2AE学∠-∠叶∠1∠D-∠L 4.超，，N分湖里发严天于M国的时书A:,g化学一N上义养国其为 莱十型章相律套 ∠A=∠D+∠A图=∠Ant+∠LD=∠AC,存△Ag青△LA中国 AleC 多A【新小止同平国得AA料钠L转止平每病：军线：的：六AA的L4童魅为A以女 ∠AF-24A-=2An0A,AF-A-ARA-2国 知保点满可 A一，一LH两A厘集的注道关参见天子卡轴附《周国A 解，商信：建点)作家1年工系计屏为老「，7度是角平分线，机和 支[脑积】度6度中，D=巴有两件持度1少度通，A=妈4中善成之时e:”植= 国E子子n+940-子4l-w 4 /r--寸C--∠t立之ax-1-/-∠r-r-- ∠童∠C-',年十r4解再4=4iCA=∠=r4∠-山r,【∠A RD银期nN-以的-棒里人：∠M=1N=r,品∠9=了∠N= F,∠MYC,D平分镇，边I春额B 星-∠b△a,A4队在收人 601,08C鸟C14①8④E儿，且房11年月hA D加所点u度为等建3角.A,/=C=.片迷8候，比=∠2 丰质得 -=时i,A建为等连4典取，A博=，山■：D,春-Un一8=4： 与R达平◆，u=Y人E=球.△I1CA例l3, 1.h 上D延销]线县泽睡正周形州性请可知，精周平家线，孟暗上的中属，地上的局两A的真真民平 具日[群解]知网，成A作4军特于AE,项由分AM,tAM作了WL度十，：的平 2=F 学∠A，LA,N.N-E-+,九时3◆，AV ADAB. 查店明0中，成液特备直平争风是一勤鬼我-泽今是意一成连 Y意每样N特值直人？工商型Aa的意物净，妹-4：六寸4比-法-L甲 期月，1，从=A0一过=一= 4C[餐辆]F套羊生三南和AF中：AA1C输。直平直C.”上是0 1且解：每时线k到生广，常好一站奖1中干点4，速挂， 年Enh和△中， ∠M-∠，△nM B F老有s出%#AM=家=，M=∠从∠u -2品1-2-一∠1，海1∠1一∠=1t4L =,52ED十∠n球=r,4∠AP=CD在色AD中 kAn所-a-,-∠第1.年1制-∠ 1D解辆]国：器△n是平睡4库形，帝互种情C中好-5时，作周是小铃命直平9 FE-CA. 指川一用-科人0有落G作不秀卡作若，车止Ah克于点：其静主，期◆委本养A =1:经生人 EuA, 二，】及铜上商博角重时】卡】：军线满风三角形：风光道件他见不风生写州为时： 推印知辆们时①中风4的票◆气等口样星等转无黄制守风为个十等区身利：周@中单角两 里三线紧线起值学十整洋 J∠41，能内减工两与：之时等■工角期种网天为44中1=生 ,通有开◆是出州且州免晚品修4两十十平程天晚料：国经灵平轴正备八角电，预我的+◆两 住解断】国，对A0作射内，总（与山发↑AD,4与位 1C三有LC LB LC E其 成手点长线电线用纳◆直乎专我山料文十A一纳 家净C中物两个有：即T确年三青形穿角角卜小羊作三鼻和性多量为⊙ A鱼叫T等行中门，C ∠=.”∠1xgtI=了i∠A=∠=r.A 手D.李广和)建争响，P学明雄录}，风鱼平于种民 丰网测评 1—1+期直。2A目=1两十内人，.2年21 112 AD[解们F△A度内△An日类于LAM作对称，P为N主H金一A,△AHP无季推4 I2.过编物]F心A世卡：=AE秀A比◆具，品I用是A四 十∠从，叶∠n=之， 角每：N◆重牛◆AL-△与色A且4行函起相平：通嘴A,「电所44：华直周 确争直，C度-3r,∠h-了，20-对品∠相- 415 ALAL无争直AN时将，库电或点一克在V人喝国椅线减透 4-4 以线[】作1泰是寿从+两泰，-4， 11春琴输】∠【=，C-广，品∠=了/-3=21a-义4=远 D-∠-r=超--，我通A 三L-w-￥2-寸-：F-不，8 1[解度1达一从，暂再点关于对难：=5==一×1×=，是 三、4罐周围，益罐A号=，山一，-4D.华群，4pL平，星四以