精品解析：广东省阳江市2023-2024学年高二下学期期末测试数学试题

【新结构】2023-2024学年广东省阳江市高二下学期期末测试数学试题❖ 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题解出一元二次不等式，再取解集范围内的自然数，从而求得B集合的解集， 再求其与集合A的交集即可得出结果. 【详解】， 又，. 故选：B 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】由双曲线，可得， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C． 3. 已知为平面的一个法向量，l为一条直线，为直线l的方向向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质及其法向量与方向向量的关系，即可判断得出结论. 【详解】根据题意可知，如下图所示： 若，则可以在平面内，即，所以充分性不成立； 若，易知，由线面垂直性质可知，即必要性成立； 所以可得“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量，则. B. 若随机变量的方差，则. C. 若，则事件与事件独立. D. 若随机变量服从正态分布，若，则. 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，利用二项分布的期望公式分析判断，对于B，利用方差的性质分析判断，对于C，利用条件概率公式结合独立事件的定义分析判断，对于D，利用正态分布的性质分析判断. 【详解】对于A，因为随机变量，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，由，得， 因为，所以事件A与事件B独立，故C正确； 对于D，因为，所以. 因为随机变量服从正态分布，所以 所以，故D正确. 故选：B 5. 展开式中的系数为（ ） A. 17 B. 20 C. 75 D. 100 【答案】A 【解析】 【分析】由，先求出的通项，令和即可得出答案. 【详解】因为， 因为的通项为：， 令可得，令可得， 所以展开式中的系数为：. 故选：A. 6. 已知正数x，y满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式可得，结合完全平方公式计算即可求解. 【详解】因为，即， 当且仅当时等号成立， 所以． 故选：C． 7. 若函数，在其定义域上只有一个零点，则整数a的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先根据零点存在定理判断出在上有唯一实数根，于是时，无解，根据导数可判断时，有最小值，只需最小值大于零即可. 【详解】根据指数函数性质在上单调递增， 故当时，则在上单调递增， ， 根据零点存在定理，在存在唯一零点， 则当时，无零点 时，， 令，则，时，则； 在上单调递减，在上单调递增， 于是时，有最小值 依题意，，解得，所以最小整数为 故选：C 8. 记表示不超过的最大整数，，如，已知数列的通项公式为，数列满足，则（ ） A. 23 B. 22 C. 24 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】利用取整函数的定义及，直接计算即可. 【详解】由于， 而， 故. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对取整函数定义的理解. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若直线与圆相交于两点，则的长度可能等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线过定点，可得，即可根据圆的弦长公式求解. 【详解】设圆心到直线的距离为， 由于直线恒过原点，且，故， 又，即， 故选：BCD． 10. 下列定义在上的函数中，满足的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A、B、D：借助函数性质与基本不等式逐项计算即可得；对C：借助余弦函数的性质计算即可得. 【详解】对A：，则， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对B：，则， 当且仅当时，等号成立，不满足条件，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：， ， 当且仅当时，等号成立，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知正方体的棱长为2，点M，N分别为棱的中点，点为四边形（含边界）内一动点，且，则（ ） A. 平面 B. 点的轨迹长度为 C. 存在点，使得面 D. 点到平面距离的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由正方体的性质及线面平行的判定定理判断即可，对于B，求出的长，即可判断点的轨迹，对于CD，建立空间直角坐标系，求出相关向量的坐标即可判断. 【详解】对于A，由正方体的性质可知，‖， 因为点M，N分别为棱的中点，所以‖， 所以‖， 因为平面，平面， 所以‖平面，所以A正确， 对于B，因为， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧， 所以其轨迹的长为，所以B错误， 对于C，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设，则 ， 因为面，面， 所以，， 所以，解得，所以， 所以， 所以， 所以不存在点，使得面，所以C错误， 对于D，设平面的法向量为， 则，令，则， 因为， 所以点到平面的距离， 因为，所以，则令， 所以，其中， 所以点到平面距离的最大值为，所以D正确， 故选：AD 【点睛】关键点点睛：此题考查线面平行的判定，考查立体图形中点的轨迹问题，考查点到面的距离，解题的关键是根据题意求得，从而可得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的极小值点为______． 【答案】 【解析】 【分析】求得导函数，分析导函数的正负，得到函数的单调性，进而确定极值点的情况. 【详解】， 令，得或，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极小值点为. 故答案为：. 13. 已知过椭圆的右顶点作直线交轴于点，交椭圆于点，若是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，设，结合，求得，代入椭圆的方程得到，再由离心率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，由椭圆对称性不妨设，且， 因为，可得，可得， 可得，解得，即， 代入椭圆的方程，可得，解得，所以． 故答案为：. 14. 现有甲、乙两个盒子，甲盒有2个红球和1个白球，乙盒有1个红球和1个白球.先从甲盒中取出2个球放入乙盒，再从乙盒中取出2个球放入甲盒.记事件A为“从甲盒中取出2个红球”，事件B为“乙盒还剩1个红球和1个白球”，则______，______. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】利用条件概率与独立事件的概率公式即可得解. 【详解】第一空：， 第二空：从甲盒中取出的是一个红球和一个白球， 乙盒中还剩下两个红球或者两个白球. 则 故答案为：；. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据的关系由：求解即可； （2）根据通项分奇偶分别计算求和，结合裂项相消和等比数列求和公式即可. 【小问1详解】 当时，. 当时，， 当时，也符合. 综上，. 【小问2详解】 由 则 ， 故的前项和. 16. 在直四棱柱中，底面为矩形，，分别为底面的中心和的中点，连接． （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 因为分别为底面的中心和的中点， 所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，即，进而得到平面，证明出面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用法向量的夹角余弦公式求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为空间坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 由已知得， 所以， 又， 设平面与平面的法向量分别为， 所以，解得，令，则， 故， 所以，解得，令，则， 故， 因为，所以， 设平面与平面所成角的大小为， 所以． 17. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若恒成立，求实数的取值集合. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义分析判断； （2）对函数求导后，分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间； （3）由题意可得不合题意，当时，由（2）可得，所以将问题转化为，构造函数，利用导数求解即可. 【小问1详解】 当时，， 所以，即切点坐标为，切线的斜率， 所以曲线在点处的切线方程为； 【小问2详解】 由题意得：的定义域为， 当时，，则单调递减区间为，无单调递增区间， 当时，令，解得：， 所以当时，，当时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 综上所述：时，则的单调递减区间为，无单调递增区间， 时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问3详解】 当时，，不合题意， 当时，由（2）知， 则， 令，则， 所以当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 实数的取值集合为 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是将问题转化为恒成立，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 18. 时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下： 主播的学历层次 直播带货评级 合计 优秀 良好 本科及以上 60 40 100 专科及以下 30 70 100 合计 90 110 200 （1）依据小概率值的独立性检验，分析直播带货的评级与主播学历层次是否有关？ （2）现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数的概率分布和数学期望； （3）统计学中常用表示在事件条件下事件发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件条件下发生有优势．现从这200人中任选1人，表示“选到的主播带货良好”，表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件条件下发生是否有优势． 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）有； （2）分布列见解析，； （3），在事件条件下发生有优势 【解析】 【分析】（1）根据列联表计算卡方，与临界值比较即可求解， （2）根据分层抽样得带货优秀的有3人，直播带货良好的有2人，即可利用超几何分布的概率公式求解概率，由期望公式求解即可， （3）根据所给的公式，结合条件概率公式可得，结合表中数据即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 由于，依据小概率值的独立性检验， 可以认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联； 【小问2详解】 按照分层抽样，直播带货优秀的有3人，直播带货良好的有2人， 随机变量的可能取值为1，2，3， ，， ， 所以的分布列为： 1 2 3 所以数学期望； 【小问3详解】 ， 因为，所以认为在事件条件下发生有优势． 19. 如图，抛物线是抛物线内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与抛物线相交于点与抛物线相交于点，，当恰好为线段的中点时，． （1）求抛物线的方程； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设直线，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，依题意可得，再由弦长公式得到方程，解得即可； （2）根据数量积的运算律得到，又，同理可得，再由基本不等式计算可得. 【小问1详解】 解法一：设直线， 联立，得， 所以． 又因为是的中点，所以， 又 ， 代入化简得，解得． 故抛物线的方程为． 解法二：设直线的倾斜角为，再设、的坐标都为， 代入抛物线方程得， 化简得． 则，， 因为是的中点，所以，即． 又因为， 将代入化简得， 即，所以抛物线的方程为． 【小问2详解】 解法一： ， 由（1）可得，， 因为 ， 同理， 所以， 当且仅当时，等号成立，即所求最小值为． ， 而， 所以CD的倾斜角为或，同理可求得， 即， 当且仅当或时，等号成立，即所求最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【新结构】2023-2024学年广东省阳江市高二下学期期末测试数学试题❖ 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知为平面的一个法向量，l为一条直线，为直线l的方向向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量，则. B. 若随机变量的方差，则. C. 若，则事件与事件独立. D. 若随机变量服从正态分布，若，则. 5. 展开式中的系数为（ ） A. 17 B. 20 C. 75 D. 100 6. 已知正数x，y满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数，在其定义域上只有一个零点，则整数a的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 记表示不超过的最大整数，，如，已知数列的通项公式为，数列满足，则（ ） A. 23 B. 22 C. 24 D. 25 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若直线与圆相交于两点，则的长度可能等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 下列定义在上的函数中，满足的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知正方体的棱长为2，点M，N分别为棱的中点，点为四边形（含边界）内一动点，且，则（ ） A. 平面 B. 点的轨迹长度为 C. 存在点，使得面 D. 点到平面距离的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的极小值点为______． 13. 已知过椭圆的右顶点作直线交轴于点，交椭圆于点，若是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为______． 14. 现有甲、乙两个盒子，甲盒有2个红球和1个白球，乙盒有1个红球和1个白球.先从甲盒中取出2个球放入乙盒，再从乙盒中取出2个球放入甲盒.记事件A为“从甲盒中取出2个红球”，事件B为“乙盒还剩1个红球和1个白球”，则______，______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和. 16. 在直四棱柱中，底面为矩形，，分别为底面的中心和的中点，连接． （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面所成角的余弦值． 17. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若恒成立，求实数的取值集合. 18. 时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下： 主播的学历层次 直播带货评级 合计 优秀 良好 本科及以上 60 40 100 专科及以下 30 70 100 合计 90 110 200 （1）依据小概率值的独立性检验，分析直播带货的评级与主播学历层次是否有关？ （2）现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数的概率分布和数学期望； （3）统计学中常用表示在事件条件下事件发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件条件下发生有优势．现从这200人中任选1人，表示“选到的主播带货良好”，表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件条件下发生是否有优势． 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 19. 如图，抛物线是抛物线内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与抛物线相交于点与抛物线相交于点，，当恰好为线段的中点时，． （1）求抛物线的方程； （2）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $