广东省九师联盟2024届高三上学期开学考试数学试题

高三数学参考答案、提示及评分细则 1.B由题意得A=[1,十∞)，B=[0,2],则A∩B=[1,2].故选B 2C产告合+受所以音宁+别=四散选C 3B1e-(g-e)川2=1-0e+e:2=1-)+21-0·合+2=2-+1=(x-）+是，所以当1=2时. 1e-《e-e)lm-放选B 1CA,B站在一起有龙种，将AB看成一个整体与C,DF进行全排列，同时要求C在D的左边，共有线 120(种).故选C 元A因为)在0，x)有且仅有2个极值点，所以2x<m十吾<3x,解得号<w<名因为)在（停，贵）上单调递 增，又（停品）二0，.所以 11 解得号<<4，所以号<w<名故选A 员+吾≤2 6.C因为2>2.82>e2,所以2>e子，所以ln2>号，即6>a;令f(x)=sinx-ln(1+x)(0<x<1),f(x)=cosx 十zf)=-sinx+a当0<x<1时，x)单满递减，f0)=1>0,了1)=-sn1+<-sn+ -29+<0,所以日∈0,1，使得r)=0,当E0.广e0/单满道增：当Ea,1,广<0. 广a)单调递减，而f0)=0,f1)=c0s1一>c0s哥-名=0，从而fa)>0,所以/x)在0,1D止单调递增，所以 f(1)>f(0)=0,所以sin1-ln2>0,即c>b.故选C. 7.D由+2a=1,得a+2一am=2(a1一an),又a2一a=1,所以数列{a1一a}是以2为公比，1为首项的等比数 3an+1 列，所以a+1一an=2w-1,则an=(a,一am-1)十(a1一am-2)十…+(a2一a）十a=2”2+23+…+2+2”+1=2w1, 22 进而可得S,=2"-1,不等式(2+)(S,十1 )logd>loga+1恒成立，即2(21-1D(2+)>,2+A>2)·2.设 7n2 (十1)2 -2r+2-1 6.-2mD·交，则6+1-b=2m·g2m-·2-2m-1)2+·2,当n≥1时，br+-,<0, 么，)为递减数列，所以(6，)=6=之，所以2十>号，解得X心-号放选D 1叶台·→y-20y=0,所以+9=2 卫 &.A设直线MN:x=y+号，联立 则 y=2px, y·2=一2， 2十=1(y十为)十p=2p2+力，得E(p2+号，加)，线段MN的中垂线方程为x=- （y-0)+0+号，令y=0,得x=p0+号所以R(pr+号，0），所以RF=+p, |EP|=2+p,所以|RF|=|EP|.又RF∥EP,所以四边形EPFR为平行四边形， 1ER=PF所以=1.放选A 9.ABC由题可知，P(X<80)=1-P(X≥80)=0.8，A正确；由对称性可知P(X≤60)=0.2，所以P(60<X<80)=1- P(X≥80)一P(X≤60)=0.6，P(X>60)=1一P(X60)=0.8,BC正确，D错误.故选ABC. 【高三开学考·数学参考答案第1页（共6页）】 XG 10.BC若d(A,B)=1,由题意可知d(A,B)=|a-1|+|b-1|=1,令x=a-1,y=b-1,则|x+|y|=1,作出其图象 如图. 易知，点A(a,b)的轨迹可由正方形x|+|y=1右移1个单位长度，再上移1个单位长度得到，故B正确；对于A,s= a2+b2+2a十4b=(x+1)2+(y+1)2+2(x+1)+4(y+1)=x2+y2+4x+6y+8=(x+2)2+(y+3)2-5,结合图象可 得√c十2+y十3的最小值即为，点（一2，-3》到直线十y十1=0（即点(0.-1D)的距离-23+1=22，此时 √2 s取得最小值3，故A错误；对于C,√(x+2)+(y十3)产的最大值即为点(-2，一3)到点(1,0)，(0,1)的距离中的最大 值max{3√2,25}=2√5，故s的最大值为15，故C正确；若d(A,B)≤1，则|x|+|y≤1表示正方形及其内部区域，易 知其面积为2×2×2=2，故D错误.故选BC 11.ACOA=OC=OB=√J4-12=2,直线SB与平面SAM所成的角即直线SB与平面SAC所成的角，当B为弧AC 中点时，易知∠0B为所求，a∠0S=号号，所以∠OSB=音，散A正箱： 圆能S0的内切球的半径即为△S4C内切圆的半径，Sas=3X分×4Xr=合X4X2月=45，=号尽，V-=号x -号尽x故B错误： 棱长为学巨的正四面体可以从棱长为专的正方体裁，所以该正四面体和正方体的外接球是同一个外接球，2R=亭厅， 即R=号，所以该正四面体可以放在圆锥S0的内切球内，故C正确： 如图建立空间直角坐标系，A(0,-2,0),C(0,2,0),S(0,0,2√3)，B(x,y,0),则x2+y2=4, x≠0，不妨设M为SC的中点，则M(0,1,W3),Ai=(0,3,W3),S苏=(，y,-2√3)，设直线 AM与直线SB的夹角为0，cos9=1c0sA,S》1=13y二6，因为-2<y<2,所以cos0 8√3 ≠0，故不存在点B,满足SBLAM,故D错误. 另解：假设SB⊥AM,过B作BD垂直于AC,垂足为D,连接SD,因平面SAC⊥底面ABC, B 平面SAC∩平面ABC=AC,所以BD⊥平面SAC,又AMC平面SAC,所以BD⊥AM,可得 AM⊥平面SBD,所以SDLAM,因△SAC为正三角形，M为SC的中点，所以SC⊥AM,即 C,D两点重合，与题设矛盾，故D错误.故选AC a>1, 2ABD由b>0.可6或0又b>ta之8>8令)>0，fm当z3 0,)时，f)单满速减，当xE①，+∞)时，fx)单调递增，当0C1·且a>,此时号<号与题意不符合；当 10<b<1, 自a>力时号>芳放>6>1.令p)>D力号当xe0,+o0时，单调避诚又0 >1所以号<台<.所以总<号<，所以ln台<n日haK-1,放A正确：令h)-=nu>1,(u) =血1=+1，i记g(x)=xnx-x+1(x>1D,g(）=lnx+1-1=lnx>0,所以g(x)>g(1)=0,(x)>0,所以 xlnx 在，十eo止单商递增，所以Aa>0,即n>合，即a-1Dh6>-1Dha,所以n>n,即 >,放B正确g)-兰，g()=上，当∈0，e时，g)单调递指，当∈e,十e∞)时，g()单调递减， 【高三开学考·数学参考答案第2页（共6页）】 XG a+1>b+1>2,当2<6+1<a+1<e时，ga十1）>g(6+1),即na+D>nD,即(6+1)n(a+1)> a+11 b+1 +言吉贵6 1 a+1n6+1.放C错误：令r)千)=三 ln2(1+x) xlnx,m'(x)=1十lnx>1,即m(x)在(1，十∞)上单调递增，所以(x+1)ln(x+1)>xlnx,t'(x)>0,t(x)在(1，十o∞)上 单泻递增，所以8>n即1ega>hg6,放D正确故选AD 13.172/46如图，过D作DE⊥平面A'B'C'D',E为垂足，D'E=8√2-5√2=3√2，DE= B √8-(32F=√6，V=号18+16x10+10)×6=172V4压. 14.否 由sin(a-B)=2 sin Bcos a,可得sin acos B=3 sin Bcos a→tana=3tanR.tan(a-B) tan atanB 2tan B 2 2 中amm中3aB3tan叶aA2√3ang·mA 一 卡，当且仅当an9马 山即m得时取等号.又-吾<。受所以。9的最大值为答 设P(m,),C(x,y.),△PFF内切圆与PF,PF,FF2分别相切于点M,N,T,则|PM=|PN|, |FM=IF,T|,|F2N|=|FT|,所以|FT+|PN|+INF2|=a+c,即IFT|+|PF|=a+c,所以 |BT=a+)-|Pm,l,又Prl=-o+g-√6-z+2+(1-4）=VFa-2a+a=a-em (e为椭圆的离心率，而F,T=x十c,所以x十c=a十0）-(a-em)=c十e,即x=台.S所6=（(2a十2)· =7·2·,所以=a千，C(合na千).m= a十_a= a k_a kop b2' 16.5由题意可知xe-elnx+e>mx,即x-lnx+1>恒成立，令fx)=x-nx+1,fw=1-是=，当x∈ (0,1),f(x)<0,f(z)单调递减，当x∈(1，+∞)，f(x)>0,(x)单调递增，x)m=f1)=2;令g(x)=号，则g(x) -。浮-1号，当re0,Dgu0,g)单调通增，当re,十o,g0,8弹周逆减g=g) (e)2 =。所以{/）)-mg)m=f1)-mg1)=2->0,得m<2e∈(5,6)，所以正整数m的最大值为5. 1n.解：1)2bin2A+5=月icsin Bb1-cosA+B)]=5 csin B, 2 即b(1+cosC)=√5 csin B今sinB(1+cosC)=3 sin Csin B.…2分 又mB≠0，所以1+osC-5mC,即2osg号=25n号os号 C 易知号c(0,子)，所以2w号≠0，可得oms号-5sn号即m号-原 所以号=吾，即C=子 …5分 (2)因为△ABC为锐角三角形，所以D在边AB上，且不与A,B重合. 设∠ACD=a,∠CD=吾-a,在△ACD中，AC-C= cos a cos 在△BCD中，BC=CD 2 …7分 cos(-a）cos(-a】 所-cG冬-号·品。 2 os(-a）cosa·(2cosa+/号sina 【高三开学考·数学参考答案第3页（共6页）】 XG 5 co 2 sin ai于. 由题意e(0,),则(2a+)∈（悟，）， 当2a十=受，即a=时，等号成立. 9分 当△ABC的面积取最小值时，设△ABC内切圆的半径为r,易得△ABC为等边三角形， 则5m=8x分×2三X寺B3r子 所以△ABC内切圆的面积S=2-音x 10分 2 2 18.(1)解：由a,=8十5得S-S1=s十5，即-8=222) 2 -2 又当=2时，a:=s千Sa千2，即a+2ae-2=0解得a=-1士/5， 考虑到am>0,可得a2=5-1,从而S-S=(a十2)2-a=(1+5-1)2-1=2, 所以{S}是以1为首项，2为公差的等差数列， …2分 所以S%=1十2(-1)=21-1，又{am}是正项数列，所以S,=√2-I. 当n≥2时，a=S-S1=√/2-I-√/2n-3, 当n=1时，a=1不符合≥2时an的形式. …5分 1,n=1, 所以an= …6分 √21-1-√2-3，n≥2. (2)证明：b,= S+S 2-1+2m+1 An 1 ·S+1(21-1)2·(21+1D-(2n-1)2·(2+1D= 2(2-1)2(2+1)2 ,…10分 下-+%+叶a=[片守+吉+@，D 1 (2+1)2 … ……12分 19.解：(1)设事件B=“任选一人答对”，A,=“答题人来自于第i组”(i=1,2,3), 则样本空间2=AUA2UA3,且A1,A2,A两两互斥，… …2分 根据题意得 P(A1)=0.3,P(A2)=0.3,P(A3)=0.4,P(BA1)=0.90,P(BA2)=0.95,P(BA3)=0.90.…4分 由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A2)+P(A)P(B|A) =0.3×0.90+0.3×0.95+0.4×0.90=0.915, 所以任选一人，此人答对该题的概率为0.915.… …6分 (2)由题可知，X的可能取值为0,1,2,3. 由题意得P(X=0)-号-，P(X=1CGC-号 C 351 PX=2)e-器，PX=3)8-美 …10分 放X的数学期望E(X)=0X需+1×号+2×器+3×壳-号 12分 20.解：(1)线段CF上存在一点N,使MN∥平面AEFD.理由如下： …1分 过M作MG⊥CD,垂足为G,M为BC中点，又AB=CD=2,所以CG= 1,过G作一条平行DF的直线交FC于N点，此时NG∥FD.…2分 易知MG∥AD,ADC平面AEFD,MG丈平面AEFD,所以MG∥平面 AEFD. 同理GN∥平面AEFD,又MG∩NG=G,所以平面MGN∥平面AEFD,所以MN∥平面AEFD, 【高三开学考·数学参考答案第4页（共6页）】 XG 放线段CF上存在-点N,使MN/平面AEFD,且祭品= …5分 (2)作DHLCD交下底圆D于H,因为AD⊥DC,DHLDC,AD⊥DH, 如图，以D为原点，DH,DC,DA所在直线分别为x轴，y轴，之轴，建立 空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(0,0,2),F(25,2,0),C(0,4,0), B(0,2,2),P(0,2,0),M(0,3,1), D市=(23,2,0)，DA=(0,0,2),Fd=(-23,0,0),亦=(23，-1，-1. DA·n=0,m2x=0, 设平面AEFD的法向量n=(x,y,),由 得 d.n=0,特25x+2y=0. 令x=1,则n=(1,-√5,0)： 1m·Fp=0,∫-25.x=0, 设平面MFP的法向量m=(x,y,为)，由 m·M亦=0,25-y-=0, 令y=1,则m=(0,1,-1). … …9分 设平面AEFD与平面MFP的夹角为0，则cos0=|cos(m,)| m·n 2√2 4 故平面AEFD与平面MFP夹角的余弦值为⑤ 4 12分 21.(1解：渐近线：y-合，南近线：=一名 …1分 设O为坐标原点，由题意，不妨设M在l1上，N在l2上，OM是线段NF2的中垂线， △F2OM≌△NOM, 所以∠FOM=∠NOM. …2分 由对称性，∠F,OM=∠FON, 所以∠F,OM-∠NOM=∠FON,从而∠F,OM=S: F,M- b,在Rt△F,OM中，sin∠FOM=b=b=E」 c4=2, 解得b=2√5. …4分 所以心=-8=4-12=4放C的方程为号-益=1. …5分 (2)证明：设P(,y),Q(2,2),S(3,),T(x4,y4),设直线PQ:y=k(x-6). 可得直线PS:y=叶4钱.6分 联立 +. 片益1， 得[3(m+4)2-y].x2-8y好x-16y-12(x+4)2=0, 8 则+=3(0千4-又=3好-12， 8(3x-12) 24(x3-4)_2(-42 所以x+2=3(十4)-(3-12)24+60 2x+5 …7分 所以x3= 5.0+8 2+5%-+4·(- y 3.+123y 2x1+5 2+51 所us(器”)同型T(许) ……9分 3y1 3y2 则ksr 2+52z2+5 3y(2x2+5)-32(2m+5) 5+8 5x2+8 -(5x+8)(2.2+5)+(2x1+5)(5x2+8) 2x1+5 222+5 =3k(m-6)(2+5)-3k(9-6)(2+5)=3k(17西-17.2=-17k -(5x+8)(2x2+5)+(2.x+5)(5.x2+8) 9(x2-x) 3 10分 【高三开学考·数学参考答案第5页（共6页）】 XG 直线ST:y- 令y=0,得x= 中9器所以直线5T过定点(-器0）， 17(2)+5) 12分 22.解：(1)当a=。时，f)=xe1-x-lnx-1, 所以fx)=(x+1)e-士=(x+1)(e1-), …1分 因为x>0,x+1>0, g(x)=e1-在(0，十0∞)上单调递增，且g(1)=0,…2分 x 所以x∈(0,1)时，g(x)<0,∫(x)<0,f(x)单调递减：x∈(1，十∞)时，g(x)>0,(x)>0,f(x)单调递增， ……3分 所以当0<t≤1时，h(t)=f(t)=te1-t-lnt-1: 当t>1时，h(t)=f(1)=-1, 所以D一血一1,0CS1, …5分 (2)①因为f(x)=axe-x-lnx-1=a.xe-ln(xe)-1, 设t=xe,则t=e在(0，十∞)上单调递增，且t的取值范围是(0，十o∞)， 设t=xe,t2=2e2,f(x)有2个零点x1,2(x<x2)即方程at-lnt-1=0有2个不同实根6，t2, 即a血有2个不同实根1，.…7分 t 设F()=血中，则F()=n, t 12> 当t∈(0,1)时，F(t)>0,F(t)单调递增；当t∈(1，+o∞)时，F(t)<0,F(t)单调递减， 所以F(t)mx=F(1)=1,当t>0,且t>0时，F(t)→一∞；当t>+o∞时，F(t)→0. 令F(D=0,得1=日，所以函数y一0的图象过点（日，0） 函数y=F(t)的大致图象如图： F(t)-Int+1 所以，仅当0<a<1时，方程at-nt-1=0有2个不同实根t,t2, 即∫(x)有2个零点时a的取值范围是(0,1).…9分 ②证明：要证<动即证西·<分，即证6 由①得a=ln十1，a=hte十l,所以a=血二nL, t2一t 所以问题转化为证明名>正，即证会>2加√兵， 即√√-h√>0 10分 设√兵=m(m>1,即证m品-2hm>0, 设Hm)=w六-2加mm心1D则H(m)=1+d品-（分-1）°≥0， 所以H(m)为增函数，H(m)>H(1)=0, 所以<之成立，即e+<成立. … 12分 a xixz 【高三开学考·数学参考答案第6页（共6页）】 XG 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知单位向量的夹角为，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 4. 从2023年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有（ ） A. 480种 B. 240种 C. 120种 D. 60种 5. 已知函数在有且仅有2个极值点，且在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 7. 设数列的前项和为．对任意恒成立，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，线段的中点为，过作线段的中垂线交轴于点，过两点分别作的准线的垂线，垂足分别为．线段的中点为，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 某市高三一模物理成绩近似服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，点间的折线距离，已知，记，则（ ） A. 若，则有最小值8 B. 若，则A点轨迹是一个正方形 C. 若，则有最大值15 D. 若，则点A的轨迹所构成区域的面积为 11. 已知为圆锥底面圆的直径，，，点为圆上异于的一点，为线段上的动点（异于端点），则（ ） A. 直线与平面所成角的最大值为 B. 圆锥内切球的体积为 C. 棱长为的正四面体可以放在圆锥内 D. 当为的中点时，满足的点有2个 12. 已知（且），若，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 高台建筑流行于战国到西汉时期，当时重要宫殿台榭多采用此建筑形式．高台建筑以高大的夯土台为基础和核心，在夯土版筑的台上层层建屋，木构架紧密依附夯土台而形成土木混合的结构体系．如图是一个非常简易的高台建筑，塔下方是一个正四棱台形夯土台，已知该四棱台上底边长，下底边长，侧棱长，则此四棱台的体积为______． 14. 已知，且，则的最大值为______． 15. 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任一点，为的内心，为坐标原点，则直线与的斜率之比______．（用表示） 16. 若不等式xex－ex ln x＞mx－ex恒成立，则正整数m的最大值为________． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 记锐角的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若边上的高，当的面积取最小值时，求内切圆的面积． 18. 已知数列的各项均为正数，为的前项和，且． （1）求的通项公式； （2）设，记的前项和为，求证：． 19. 自古以来，杭州就被称为“人间天堂”，无数文人墨客在此毫不吝啬地为之挥洒笔墨，留下千古诗篇名句，在宋代柳永的诗中这样描写到“东南形胜，三吴都会，钱塘自古繁华”，就连马可·波罗都称之为“世界上最美丽华贵之天城”．第19届亚运会将在被称为“人间天堂”的杭州举办，组委会计划采用志愿服务知识问答和技能考核的形式，从报名者中择优选取一部分成为正式的亚运会志愿者、 （1）已知报名者组人数之比为，将这3组报名者混在一起进行亚运会志愿服务知识问答，假设组中的每一个人答对某道题的概率分别为，从中任选一人，求此人答对该题的概率； （2）从4名女性报名者和3名男性报名者中随机选出3名进行亚运会服务技能考核，记为其中女性的人数，求的数学期望． 20. 如图1，直角梯形中，，将直角梯形绕旋转一周得到如图2的圆台，为圆台的母线，且是的中点． （1）在线段上是否存在一点，使平面？说明理由； （2）若为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 21. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且，过作其中一条渐近线的垂线，垂足为，延长交另一条渐近线于点，且． （1）求的方程； （2）如图，过作直线（不与轴重合）与曲线的两支交于两点，直线与的另一个交点分别为，求证：直线经过定点． 22. 已知． （1）若，求在上的最小值； （2）若有2个零点， ①求的取值范围； ②求证：． 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABC 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】AC 【12题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】## 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】5 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【17题答案】 【答案】（1）； （2）． 【18题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析 【19题答案】 【答案】（1）0.915； （2）． 【20题答案】 【答案】（1）存在，理由如下： 线段上存在一点，使平面．理由如下： 过作，垂足为为中点，又， 所以，过作一条平行的直线交于点，此时． 易知平面平面，所以平面AEFD． 同理平面，又，平面， 所以平面平面，平面， 所以平面， 故线段上存在一点，使平面，且； （2）． 【21题答案】 【答案】（1） （2）证明:设，设直线．    可得直线． 联立 得， 则，又， 所以， 所以， 所以，同理． 则 直线， 令，得，所以直线过定点． 【22题答案】 【答案】（1） （2）①； ②证明:要证，即证，即证， 由①得，所以， 所以问题转化为证明，即证， 即证． 设，即证， 设，则， 所以在单调递增，， 所以成立，即成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $