广东省九师联盟2024届高三上学期开学考试数学试题

高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A 1 B. C. D. 3. 已知单位向量的夹角为，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 4. 从2023年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有（ ） A. 480种 B. 240种 C. 120种 D. 60种 5. 已知函数在有且仅有2个极值点，且在上单调递增，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 7. 设数列的前项和为．对任意恒成立，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，线段的中点为，过作线段的中垂线交轴于点，过两点分别作的准线的垂线，垂足分别为．线段的中点为，则（ ） A 1 B. C. 2 D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 某市高三一模物理成绩近似服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，点间的折线距离，已知，记，则（ ） A. 若，则有最小值8 B. 若，则A点轨迹是一个正方形 C. 若，则有最大值15 D. 若，则点A的轨迹所构成区域的面积为 11. 已知为圆锥底面圆的直径，，，点为圆上异于的一点，为线段上的动点（异于端点），则（ ） A. 直线与平面所成角的最大值为 B. 圆锥内切球的体积为 C. 棱长为的正四面体可以放在圆锥内 D. 当为的中点时，满足的点有2个 12. 已知（且），若，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 高台建筑流行于战国到西汉时期，当时重要宫殿台榭多采用此建筑形式．高台建筑以高大的夯土台为基础和核心，在夯土版筑的台上层层建屋，木构架紧密依附夯土台而形成土木混合的结构体系．如图是一个非常简易的高台建筑，塔下方是一个正四棱台形夯土台，已知该四棱台上底边长，下底边长，侧棱长，则此四棱台的体积为______． 14. 已知，且，则的最大值为______． 15. 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任一点，为的内心，为坐标原点，则直线与的斜率之比______．（用表示） 16. 若不等式xex－ex ln x＞mx－ex恒成立，则正整数m的最大值为________． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 记锐角的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若边上的高，当的面积取最小值时，求内切圆的面积． 18. 已知数列的各项均为正数，为的前项和，且． （1）求的通项公式； （2）设，记的前项和为，求证：． 19. 自古以来，杭州就被称为“人间天堂”，无数文人墨客在此毫不吝啬地为之挥洒笔墨，留下千古诗篇名句，在宋代柳永的诗中这样描写到“东南形胜，三吴都会，钱塘自古繁华”，就连马可·波罗都称之为“世界上最美丽华贵之天城”．第19届亚运会将在被称为“人间天堂”的杭州举办，组委会计划采用志愿服务知识问答和技能考核的形式，从报名者中择优选取一部分成为正式的亚运会志愿者、 （1）已知报名者组人数之比为，将这3组报名者混在一起进行亚运会志愿服务知识问答，假设组中的每一个人答对某道题的概率分别为，从中任选一人，求此人答对该题的概率； （2）从4名女性报名者和3名男性报名者中随机选出3名进行亚运会服务技能考核，记为其中女性的人数，求的数学期望． 20. 如图1，直角梯形中，，将直角梯形绕旋转一周得到如图2的圆台，为圆台的母线，且是的中点． （1）在线段上是否存在一点，使平面？说明理由； （2）若为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 21. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且，过作其中一条渐近线的垂线，垂足为，延长交另一条渐近线于点，且． （1）求的方程； （2）如图，过作直线（不与轴重合）与曲线的两支交于两点，直线与的另一个交点分别为，求证：直线经过定点． 22. 已知． （1）若，求在上的最小值； （2）若有2个零点， ①求取值范围； ②求证：． 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABC 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】AC 【12题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】## 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】5 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【17题答案】 【答案】（1）； （2）． 【18题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析 【19题答案】 【答案】（1）0915； （2）． 【20题答案】 【答案】（1）存在，理由见解析 （2）． 【21题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析 【22题答案】 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$高三数学参考答案、提示及评分细则 1.B 由题意得A=[1,+),B-[0,2],则AOB-[1,2].故选B 2.C #--2-+31#以--+3 1410 .故选C. le-(ee) .故选B 120(种).故选C. 增,又(吾。)(0#x),以{ {#二 解得A所以~7.故选A. #1# f(1)f(0)-0,所以sin1-ln20,即c>b.故选C. 3: 列,所以a1-a=2,则a=(a-a-)+(a1-a-)++(a-a)+a=2+2+.+2+2+1-2-. (n1){} ()为递减数列,所以(b)mxb一,所以2十→>,解得)>-。故选D. r-t_-2pty-p”-0,所以 y+-2pt. 8.A 则 -2. +x=1(y+y)十p=2p^{}+p,得E(p+号,pt),线段MN的中垂线方程为x= (yp)十+p^+号,令y-0,得x-p{+3.所以R(p^+.o),所以1RFl-p^+p, |EP 一^*十,所以RF =EP.又RF/EP,所以四边形EPFR为平行四边形 1ERl一1PF,所以=1.故选A. PFi 9.ABC 由题可知,P(X<80)-1-P($ 80)-0.8.A正确;由对称性可知P(X 60)=0.2.所以P(60 $X<80)=1 P($>80)-P($ 60)=0.6.P(X60)-1-P(X 60)=0.8.BC正确,D错误.故选ABC 【高三开学考·数学参考答案 第1页(共6页)】 XG 10.BC 若d(A,B)=1,由题意可知d(A,B)-a-1|+|b-1|-1,令x=a-1,y-b-1,则|x + y =1,作出其图象 如图. 易知,点A(a,b)的轨迹可由正方形x十y一1右移1个单位长度,再上移1个单位长度得到,故B正确;对于A,s ++2a+4b=(x+1)}+(y+1)+2(x+1)+4(y+1)=++4x+6y+8-(x+2){}+(y+3)-5,结合图象可 2 s取得最小值3.故A错误;对于C. (r十2)十(y十3)的最大值即为点(-2.一3)到点(1,0).(0,1)的距离中的最大 值max3v2,2/5)-2v5,故;的最大值为15,故C正确;若d(A,B)<1,则lxl+yl<1表示正方形及其内部区域,易 知其面积为x2X2-2,故D错误.故选BC. 11.AC OA-OC-OB- 4-12-2,直线SB与平面SAM所成的角即直线SB与平面SAC所成的角,当B为孤AC 中点时,易知乙OSB为所求,tanOSB-2_ 圆锥SO的内切球的半径即为△SAC内切圆的半径,Ssc-3××4×r-×4×2/3-4v3,r-3.V-4- 如图建立空间直角坐标系,A(0.-2.0).C(0.2.0),S(0,0.2③),B(x,y.0),则^+-4 0.不妨设M为SC的中点,则M(0,1,③),AM-(0.3.v③),5B-(x,y,-23),设直线 8③ 子0.故不存在点B.满足SB|AM,故D错误 另解:假设SB AM,过B作BD垂直于AC,垂足为D.连接SD,因平面SAC底面ABC. 平面SACO平面ABC-AC,所以BD1平面SAC,又AMC平面SAC,所以BD AM,可得 AM 平面SBD,所以SDIAM,因△SAC为正三角形,M为SC的中点,所以SC1AM,即 C.D两点重合,与题设矛盾,故D错误.故选AC 12.ABD由log/0,可知 _1 l01. 0I (0.1)时,/(x)单调递减,当x(1,十oo)时,/(x)单调递增,当 101. , 1. _ >1,所以<<.所以<<#,所以1n<n→nb-<-1,故A正确;令(c)-(c(1)#n(cx) ln -ìn+1,记q(x)=xìnx-x+1(c>1),(c)-lnx+1-1-lnx→0,所以(x)>(1)-0.h'(c)>0,所以 xln) >,故B正确;g(z)-ln,g'(c)-1-ln,当xc(0.e)时,g(x)单调递增,当xe(e,十oo)时,g(x)单调递减, 。 _2 【高三开学考·数学参考答案 第2页(共6页)】 XG 1 1 (x+1)ln(1+x)-xnx令n(x)- lr(1+x) x(r十1)ln(1+x) xlnx,n'(x)-1+lnx1,即m(x)在(1,+oo)上单调递增,所以(x+1)ln(x十1)xlnx,f(x)>0,i(x)在(1,+)上 13.172V46 如图,过D作DE1平面A'B'C'D',E为垂足,DE-8/2-5v2-32,DE 8-(32)#-46.V-(16-+16×10+10-)×46-17246. 14. 由 sin(a-③-2sin}cosa,可得 sin acos {-3sin 3cos a→tana=3tanB. tan(a-= tan-tan3_2tan 设P(xo,).C(x.,y),△PFF。内切圆与PF,PF,F.F。分别相切于点M,N.T,则|PMl=PNl, |FM|=FTI,FN|=|FT|,所以|F Tl+|PN|+|NF|=a+c即|F T|+|PF|=a+c.所 一 一 2 -rg1-,当x(0,1),g'(c)>o,g(x)单调递增,当xe(1,+oo),g’(x)<0,g(x)单调递减,g(x)nux=g(1) (e)2 m_ 17.解:(1)2bsin*A+B-3csin B→6[1-cos(A+B)]-3csin B., 即b(1+cos C)-/3csin B→sin B(1+cosC)-3sin Csin B. ............................................................... .分 又 sin B-zo,所以1+cos C-3sin C,即2osC-2/3sin 易知C(0.),所以2cos ####一一。# ......................................................................................5分 (2)因为△ABC为锐角三角形,所以D在边AB上,且不与A,B重合. 在△BCD中,BC-_CD cos(-o)co(-) .........................................................................分 所以Sc-CA·CBsin.. 4cosa cos(-a)cosa(cosa+sin) 【高三开学考·数学参考答案 第3页(共6页)】 XG 由题意,(o),则(2a十)(吾,5n). 当△ABC的面积取最小值时,设△ABC内切圆的半径为r,易得△ABC为等边三角形, 10分 2 考虑到a>0,可得a=③-1,从而$-S-(a +a)-a^-(1+③-1)-1-2 所以(S)是以1为首项,2为公差的等差数列, 所以S-1+2(n-1)-2n-1.又(a)是正项数列,所以S.=v2n-1. 当n2时,a.-S.-S-,-v②n-1-v2n-3. 当n.....不往.n....的形式................................................................................5分 [1,n-1. 所以a.一 2n-T-②n-3,n2. ............................................................................6分 一 22_1+21 (2 )(2)[1)(2)] 2n-1+2n十1 ............. (2)证明:.一 10分 1-#1## 19.解:(1)设事件B一“任选一人答对”,A.一“答题人来自于第i组”(i一1,2,3). 则样本空间2-AUAUA,且A.A,A:两两互斥, .........................................................2分 根据题意得 P(A )=0.3.P(A)-0.3.P(A)-0.4.P(B A)-0.90.P(BA)-0.95.P(B A)=0.90. .....................4分 由全概率公式得P(B)=P(A)P(B A)+P(A)P(B A)+P(A)P(B A) -0.3×0.90+0.3×0.95+0.4×0.90-0.915. 所以任..........对该.的概率为.......................................................................6分. (2)由题可知,X的可能取值为0,1,2,3. 由题意得P(X-0)- 3 10分 故x的数学期望E(X)-0×35+1×32+2×18+3×-12. ............................1..... 20.解:(.1)线段C..存...N...N/.平面..EF.理.如下.............................1分. 过M作MGICD.垂足为G,M为BC中点,又AB-CD-2.所以CG= 1.过G作一条平行DF的直线交FC于N点,此时NG/FD.........2分 易知MG/AD,ADC平面AEFD,MG平面AEFD,所以MG/平面 AEFD. 同理GN/平面AEFD,又MGONG=G,所以平面MGN/平面AEFD,所以MN/平面AEFD. 【高三开学考·数学参考答案 第4页(共6页)】 XG ....................................................分 (2)作DH CD交下底圆D于H.因为AD DC.DH DC.AD DH 如图,以D为原点,DH,DC,DA所在直线分别为x轴,y轴,:轴,建立 空间直角坐标系,则D(0.0.0),A(0,0.2).F(2v3,2,0).C(0.4.0). B(0.2.2).P(0.2,0).M(0.3.1). D-(2/3,2.0),DA-(0.0.2),F-(-2/3,0.0).M-(2/3.-1,-1). 设平面AEFD的法向量n一(x,y,~),由 {D.n-0.” 123x+2y-0. 令x-1,则n-(1,-/3,0) n.F-o. (-23x-0. 设平面MFP的法向量n一(x,,),由 n.M-o.得 得 12v3x---0. 令y-1,则m-(0.1,-1). .................................................................................分.. )) ............................................................ ..分 B 设O为坐标原点,由题意,不妨设M在L上,N在/.上,OM是线段NF。的中垂线, ) △FOM△NOM. 所以......................................分.. 由对称性。FOM-FON. # FM-- =b,在Rt△F-OM中,sinF:OM--3. ()) 4- C 2 解得-2③. ..........................................................................4分 .................................................................分 (2)证明:设P(x.y).Q(x.y).S(x·y).Tx,y).设直线PQ:y-(x-6). .............................................分. #.# 联立 {_1 得[3(x+4)-]-8x-16-12(x+4)-0 8 则十一 3(x:4)-又-a--12 8(3-12) 所以:十一- 24(r-4)2(x-4) 3(x十4)-(3xr-12) 24.c1+60 .........................................................分. 2x十5 #(4). 5x计8 所以。一 3x十123 (-)间( 1+42+52x1+5 所以s( 3y_ 3 22+52 则一 ) 3y(2r+5)-3(2r+5) -(5.x+8)(2x+5)+(2x:+5)(5x+8) 3(r-6)(2x+5)-3{(-6)(2x+5)3k(17.x.-17x)17k 10分 -(5x+8)(2x+5)+(2x+5)(5.x+8) 9(一.) 【高三开学考·数学参考答案 第5页(共6页)】 XG 直线 $T(-87. 76x+190 令y-0,得x-- 17(2r+5) .......................1..分 22.解:(1)当a-1时,f(x)-xre-l-x-lnx-1. 2 因为x0,x十10. 所以x(0,1)时,g(x)<0.f(x)<0.f(x)单调递减;xE(1,+oo)时,g(x)>0./(x)0.f(x)单调递增 ........................................................................................................分 所以当0 1时,h(t)-f()-te1-1-lnt-1; 当1时,h(t)-f(1)--1. [t--lnt-1,0<<1. 所以(t)一 1-1,t>1. .................................................................................5分 (2)①因为f(x)-are-x-lnx-1=are-ln(xe)-1 设/-xe,则/-xe在(0,十o)上单调递增,且的取值范围是(0,十). 设t=xe,t=xe,f(x)有2个零点x,x(x x)即方程at-ln-1=0有2个不同实根t,t 即_ln+1有2个不同实根t,12. ....................7分 当(0.1)时,F(t)0.F(t)单调递增;当t(1,+)时,F(t)<0.F(t)单调递减 所以F(t)=F(1)-1,当0.且→0时,F(t)→-o;当t→+时,F(t)→0. 令F(t)-0,得t-1,所以函数y-F(t)的图象过点(-,0). 函数y一F(t)的大致图象如图: /_n+ 所以,仅当0 a<1时,方程at-ln1-1-0有2个不同实根t,t。. 即/(x)有2个零点时a的取值范围是(0,1). ...................... .............................................分 ②证明:要证e+<1,即证xe·xae{<,即证tt<1 由①得at-lnt+1,at:-lnz:+1,所以a-1 lnt-lnt. t一 1####2#_0- ............................................................................................. 10分 所以H(n)为增函数,H(n)一H(1)-0. 所以成立,即_成立。 ^{T】2 ................................................................. ..分 【高三开学考·数学参考答案 第6页(共6页)】 XG