精品解析：上海市民办尚德实验学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

2023-2024学年度第二学期高二年级数学学科教学期末质量监测试卷2024.6 出卷人 贺珍珍 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知集合，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合交集运算即可. 【详解】由于，则. 故答案为：. 2. 函数的定义域是__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据根式定义域结合绝对值不等式求解即可. 【详解】依题意，，即，，即. 故答案为： 3. 若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据导数的定义和导数的求导法则计算即可． 【详解】，又，故. 故答案为：3. 4. 关于x的方程的解集为________． 【答案】； 【解析】 【分析】分，，和，讨论求解. 【详解】解：当时，原不等式为，解得，不成立； 当时，原不等式，解得，不成立； 当时，原不等式为，恒成立； 当时，原不等式为，解得，不成立； 所以原不等式的解集为， 故答案为： 5. 设，，则__________．（结果用和表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据换底公式求解即可. 【详解】. 故答案为： 6. 已知，且且，则__________ 【答案】1 【解析】 【分析】依题意是的两根，再根据韦达定理求解即可. 【详解】依题意，故是的两根，故. 故答案为：1 7. 设，则满足的x的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合指数运算法则解不等式即可. 【详解】，解得. 故x的取值范围为. 故答案为： 8. 曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得函数的导数，根据导数的几何意义求得切线的斜率，根据点斜式求得切线方程． 【详解】曲线 所以 点在曲线上，所以 所以由点斜式可得 化简可得 【点睛】本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，属于基础题． 9. 已知，若实数且，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用奇函数得到等量关系，用基本不等式‘1’的代换处理即可. 【详解】易知，且，，故是奇函数， 又易得函数单调递增，必有，化简得，则， 当且仅当，即时取等，则的最小值是. 故答案为： 10. 采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，它的值是固定的．当炸药包埋的深度为_______可使爆破体积最大． 【答案】 【解析】 【分析】先将圆锥的体积转化为关于深处的关系式，再利用导数与函数性质的关系求得的最大值点，从而得解. 【详解】结合图形，可知圆锥的体积为， 又因为，即， 所以，，则， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最大值， 所以炸药包要埋在深处. 故答案为：. 11. 已知函数与，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性计算，确定的值域包含，考虑和两种情况，根据二次函数性质计算值域得到答案. 【详解】，函数单调递减，，故， 对任意的，都存在，使得， 故的值域包含， ①当时，，解得， 此时，成立； ②当时，函数在上单调递减，，成立， ，解得，即； 综上所述：. 故答案为： 12. 已知函数有三个不同的零点，其中则的值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】令，则原函数会转化为关于的一元二次方程的根，通过韦达定理确定根的情况，同时研究内层函数的图象，数形结合研究零点的范围. 【详解】设， ， 当时，； 当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 且时，；时，， ∴， 作出的图象，如图 要使有三个不同的零点，其中 令，则需要有两个不同的实数根（其中） 可得， ∵，∴，则 ∴，则，且 ∴， 故答案为：1. 【点睛】关键点点睛：数形结合的思想来确定零点所在的区间，以及零点之间的关系，再利用韦达定理化简进而求得结果。 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据充分性和必要性的定义判断即可. 【详解】若“”则“”成立，是充分条件； 当时，“”，，是不必要条件； “”是“”的充分非必要条件， 故选：A. 14. 下列求导计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的运算法则及复合函数的求导公式依次分析选项，综合可得答案． 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误． 故选：B． 15. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则（    ） A. 有2个极值点 B. 在处取得极小值 C. 有极大值，没有极小值 D. 在上单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】通过导函数图象分析函数的单调性即可得出结论. 【详解】由题意及图得，当时，；当时 ，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 则有一个极大值，没有极小值，故ABD错误，C正确， 故选：C. 16. 设非空集合S={x| m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S . 给出如下三个命题： ①若m=1，则S={1}；②若m= ，则 ≤ l ≤ 1；③ l=，则 其中正确命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合中元素与集合的关系，分别列不等式求出范围，即可判断． 【详解】非空集合S={x|m⩽x⩽l}满足：当x∈S时,有∈S. 对于①，若m=1,可得，则，则，∴①对； 对于②，若m=,满足∈S时,有，∴ ≤ l ≤ 1，②对； 对于③，若l=，可得，则.∴③对 故选：D. 【点睛】本题主要考查集合与元素的关系，理清元素的性质，根据三个结论列不等式是解题的关键，属于难题. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 17. 已知．求： （1）函数的单调区间及极值； （2）函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】（1）函数的单调增区间为和，函数的单调减区间为；函数极大值为，极小值为. （2）函数在区间上的最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求导数，令，得函数的单调增区间，令，得单调减区间，进而可得函数的极值； （2）结合（1）中单调性，求出端点值，比较大小即可得解． 【小问1详解】 的定义域为，， 令，得或，令，得， 函数的单调增区间为和，函数的单调减区间为， 当时，函数取得极大值，当时，函数取到极小值， 函数极大值为，极小值为. 【小问2详解】 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，， 又, ， 函数在区间上的最大值为，最小值为． 18. 已知. （1）当时，求不等式的解集； （2）若时，有零点，求的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）化简不等式，再求解即可； （2）转化为方程有解，再分离参数，求函数的值域即可. 【小问1详解】 当时，， 所以由可得， 即，所以，解得， 故不等式的解集为. 【小问2详解】 因为时，有零点， 所以在上有解， 即在上有解， 令， 因为，， 所以，故， 所以. 19. 随着环保意识的增强，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于）测试发现：①汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从地经高速公路（最低限速，最高限速）驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为，汽车到达B地后至少要保留的保障电量.（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）. （1）判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由； （2）若途经服务区充电桩功率为（充电量=充电功率时间），求到达地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）. 【答案】（1）该车不能在不充电的情况下到达B地，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）假设该车匀速行驶至B地，列出耗电量的表达式并利用单调性即可求得最小耗电量，可得出结论； （2）根据耗电量与充电量、保障电量之间的关系，列出不等关系，由基本不等式即可求得结果. 【小问1详解】 设匀速行驶速度为，耗电量为， 则， 由对勾函数性质可知函数在区间单调递增， ，即最小耗电量大于电池存量减去保障电量， 所以该车不能在不充电的情况下到达B地； 【小问2详解】 设匀速行驶速度，总时间为，行驶时间与充电时间分别为. 若能到达B地，则初始电量+充电电量-消耗电量保障电量， 即， 解得. . 当且仅当，即时取到等号 所以该汽车到达B地的最少用时为. 20. 已知函数（且） （1）若，求函数的值域； （2）若，是否存在正数，使得函数是偶函数，请说明理由. （3）若，，且函数在上是严格增函数，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用分离常数法由指数函数值域即可求出该函数值域为, （2）由函数奇偶性定义即可解得， （3）利用函数单调性定义并根据基本不等式计算即可求得实数的取值范围是. 【小问1详解】 若可得函数， 由指数函数值域易知，所以， 因此可得， 即该函数的值域为； 【小问2详解】 若，则函数，显然定义域为， 假设存在正数，使得函数是偶函数，即满足， 又易知，即可得，即， 解得， 此时为偶函数，符合题意， 所以存在正数，使得函数是偶函数； 【小问3详解】 若，，则， 取，且 则， 若函数在上是严格增函数，则可知, 由于，所以， 又易知，所以在上恒成立即可， 即，因此求得即可， 因此可不予考虑，只需考虑时成立即可； 当，易知, 显然为减函数，所以； 当且仅当时，等号才成立，显然取不到等号， 因此. 即实数的取值范围为. 21. 对于在某个区间上有意义的函数，如果存在一次函数使得对于任意的，有恒成立，则称函数是函数在区间上的弱渐近函数． （1）判断是否是函数在区间上的弱渐近函数，并说明理由． （2）若函数是函数在区间上的弱渐近函数，求实数m的取值范围； （3）是否存在函数，使得是函数在区间上的弱渐近函数？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）首先代入与并化简整理成，然后判断函数的单调性，最后利用函数单调性即可得，进而得证结论； （2）首先代入与，根据题意可得在区间上恒成立，解绝对值不等式得在区间上恒成立，根据解恒成立问题可得参数取值范围； （3）利用反证法，然后求出满足恒成立条件的参数的范围，通过是无解的导出矛盾，进而验证结论. 【小问1详解】 因为为恒正函数且在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减，故当时取得最大值，最大值为 故，得证． 【小问2详解】 因为函数是函数在区间上的弱渐近函数， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 整理得：在区间上恒成立， 因为在上的最小值为， 得． 【小问3详解】 不存在. 假设存在，则有 即，对任意成立， 等价于，对任意成立． 等价于，对任意成立 令，令，得， 当时，取得最大值，最大值； 令，令，得， 易知 可得，不存在． 所以，假设不成立，不存在函数是函数在区间上的弱渐近函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期高二年级数学学科教学期末质量监测试卷2024.6 出卷人 贺珍珍 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知集合，则_______． 2. 函数的定义域是__________ 3 若，则______． 4. 关于x方程的解集为________． 5. 设，，则__________．（结果用和表示） 6. 已知，且且，则__________ 7. 设，则满足的x的取值范围为______． 8. 曲线在点处的切线方程为______． 9. 已知，若实数且，则的最小值是______． 10. 采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，它的值是固定的．当炸药包埋的深度为_______可使爆破体积最大． 11. 已知函数与，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围是__________. 12. 已知函数有三个不同的零点，其中则的值为__________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13. 已知，则“”是“”（ ） A 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 下列求导计算正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则（    ） A. 有2个极值点 B. 在处取得极小值 C. 有极大值，没有极小值 D. 在上单调递减 16. 设非空集合S={x| m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S . 给出如下三个命题： ①若m=1，则S={1}；②若m= ，则 ≤ l ≤ 1；③ l=，则 其中正确命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 17. 已知．求： （1）函数的单调区间及极值； （2）函数在区间上的最大值与最小值． 18. 已知. （1）当时，求不等式的解集； （2）若时，有零点，求的范围. 19. 随着环保意识的增强，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于）测试发现：①汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从地经高速公路（最低限速，最高限速）驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为，汽车到达B地后至少要保留的保障电量.（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）. （1）判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由； （2）若途经服务区充电桩功率为（充电量=充电功率时间），求到达地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）. 20. 已知函数（且） （1）若，求函数的值域； （2）若，是否存在正数，使得函数是偶函数，请说明理由. （3）若，，且函数在上是严格增函数，求实数的取值范围. 21. 对于在某个区间上有意义函数，如果存在一次函数使得对于任意的，有恒成立，则称函数是函数在区间上的弱渐近函数． （1）判断是否是函数在区间上的弱渐近函数，并说明理由． （2）若函数是函数在区间上的弱渐近函数，求实数m的取值范围； （3）是否存在函数，使得是函数在区间上的弱渐近函数？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$