精品解析：山东省临沂市临沭县第一中学2023-2024学年高二下学期6月教学质量检测数学试题

临沭一中2024-2025学年高二下学期6月教学质量检测 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 已知函数，则“有极值”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 今年2月份教育部教育考试院给即将使用新高考卷吉林、黑龙江、安徽、云南命制了一套四省联考题，测试的目的是教考衔接，平稳过渡．假如某市有40000名考生参加了这次考试，其数学成绩服从正态分布，总体密度函数为，且，则该市这次考试数学成绩超过90分的考生人数约为（ ） A. 4000 B. 3000 C. 2000 D. 1000 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 高考期间，为保证考生能够顺利进入考点，交管部门将5名交警分配到该考点周边三个不同路口疏导交通，每个路口至少1人，至多2人，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 90种 C. 125种 D. 150种 7. 某商场有，两种抽奖活动，，两种抽奖活动中奖的概率分别为，，每人只能参加其中一种抽奖活动．甲参加，两种抽奖活动的概率分别为，，已知甲中奖，则甲参加抽奖活动中奖的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 常数项是24 B. 所有项的系数的和为1 C. 第3项的二项式系数最大 D. 第4项系数最大 10. 袋内有大小完全相同2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取1个小球，直至取到白球后停止取球，则（ ） A. 抽取2次后停止取球的概率为0.6 B. 停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为0.9 C. 取球次数的期望为1.5 D. 取球3次的概率为0.1 11. 已知函数及其导函数的定义域均为为奇函数，为偶函数．对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是奇函数，则__________. 13. 若，且，则的最小值为__________. 14. 已知函数，设，若只有一个零点，则实数a的取值范围是______；若不等式的解集中有且只有三个整数，则实数a的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知函数． （1）求的单调区间和极值； （2）求在区间上的最值． 16. 某高中学校组织乒乓球比赛，经过一段时间的角逐，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取7局4胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立． （1）求比赛结束时恰好打了5局的概率； （2）若前三局比赛甲赢了两局，记还需比赛的局数为X，求X的分布列及数学期望． 17. 某地2019年至2023年五年新能源汽车保有量如下表． 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份编号 1 2 3 4 5 保有量(万辆) 18 20 23 25 29 （1）请用相关系数说明与的线性相关程度； （2）求关于的回归直线方程，并预测2025年该地新能源汽车保有量． 附：相关系数． 在回归直线方程中，．取． 18. 为研究某市居民身体素质与户外体育锻炼时间的关系，对该市某社区100名居民平均每天的户外体育锻炼时间进行了调查，统计数据如下表： 平均每天户外体育锻炼的时间（分钟） 总人数 10 18 22 25 20 5 规定：将平均每天户外体育锻炼时间在分钟内的居民评价为“户外体育锻炼不达标”，在分钟内的居民评价为“户外体育锻炼达标”． （1）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与户外体育锻炼是否达标有关联？ 户外体育锻炼不达标 户外体育缎练达标 合计 男 女 10 55 合计 （2）从上述“户外体育锻炼不达标”的居民中，按性别用分层抽样的方法抽取5名居民，再从这5名居民中随机抽取3人了解他们户外体育锻炼时间偏少的原因，记所抽取的3人中男性居民的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望； （3）将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有居民中随机抽取3人，求其中恰好有2人“户外体育锻炼达标”的概率. 参考公式：，其中． 参考数据：（独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值） 0.10 005 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求实数m的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 临沭一中2024-2025学年高二下学期6月教学质量检测 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义写出结论即可． 【详解】命题“，”否定是“，”. 故选：C. 2. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先求集合，再求即得. 【详解】由可得，则，故， 则即中元素的个数为8. 故选：C. 3. 已知函数，则“有极值”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】求出导函数，再求出有极值时的取值范围，利用充分条件和必要条件的定义即可判断. 【详解】，若有极值，则有两个不相等的实数根， ，解得； 反之，时，有两个不相等的实数根，有极值. 所以“有极值”是“”的充要条件. 故选：C. 4. 今年2月份教育部教育考试院给即将使用新高考卷的吉林、黑龙江、安徽、云南命制了一套四省联考题，测试的目的是教考衔接，平稳过渡．假如某市有40000名考生参加了这次考试，其数学成绩服从正态分布，总体密度函数为，且，则该市这次考试数学成绩超过90分的考生人数约为（ ） A. 4000 B. 3000 C. 2000 D. 1000 【答案】C 【解析】 【分析】由对称性计算概率，进而得出所求人数. 【详解】由总体密度函数解析式可知，， 由对称性可知，， 则该市这次考试数学成绩超过90分的考生人数约为人. 故选：C 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性即可排除BD，再由即可排除C，从而得到结果. 【详解】由题可知，函数的定义域为，且， 故函数为奇函数，排除BD，由，，故C错误. 故选：A 6. 高考期间，为保证考生能够顺利进入考点，交管部门将5名交警分配到该考点周边三个不同路口疏导交通，每个路口至少1人，至多2人，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 90种 C. 125种 D. 150种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：将5名交警分成1、2、2的三组；将分好的三组全排列，对应3个路口，由分步乘法计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分2步进行分析： 将5名交警分成1、2、2的三组，有种分组方法； 将分好的三组全排列，对应3个路口，有种情况， 则共有种分配方案. 故选:B. 7. 某商场有，两种抽奖活动，，两种抽奖活动中奖的概率分别为，，每人只能参加其中一种抽奖活动．甲参加，两种抽奖活动的概率分别为，，已知甲中奖，则甲参加抽奖活动中奖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式及条件概率公式计算即得. 详解】用事件，分别表示甲参加，两种抽奖活动，表示甲中奖， 则，，，， 由全概率公式得， 所以甲参加抽奖活动中奖的概率． 故选：D 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造，，求导，结合函数单调性分析，即可判断. 【详解】令，则， 令，有，令，有， 故函数在单调递增，在单调递减， 故，即，所以，即， 令，则， 令，有，令，有， 故函数在单调递增，在单调递减， 故，即，所以，即， 综上：. 故选：D 【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 常数项是24 B. 所有项的系数的和为1 C. 第3项的二项式系数最大 D. 第4项系数最大 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用二项式定理求出的展开式，再逐项分析判断即得. 【详解】依题意，， 对于A，常数项是24，A正确； 对于B，当时，所有项系数的和为，B正确； 对于C，的展开式第3项的二项式系数最大，C正确； 对于D，展开式第4项系数最小，D错误. 故选：ABC 10. 袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取1个小球，直至取到白球后停止取球，则（ ） A. 抽取2次后停止取球的概率为0.6 B. 停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为0.9 C. 取球次数的期望为1.5 D. 取球3次的概率为0.1 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据离散型随机变量的分布列,求出随机变量的所有可能取值以及对应的概率,即可求解. 【详解】设 为取球的次数,则可取， 故可知：， ， ， 对于A，抽取2次后停止取球的概率为：， 故A错误； 对于B，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为：， 故B正确； ， 故C正确； 取球三次的概率为， 故D正确. 故选：BCD 11. 已知函数及其导函数的定义域均为为奇函数，为偶函数．对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由已知奇偶性得出函数的图象关于点对称且关于直线对称，再得出函数的周期性，可以判断AB，结合单调性及极值点的概念可以判断CD． 【详解】因为为奇函数，为偶函数， 所以的图象关于点对称，且关于直线对称， 所以，，， 所以 所以，所以是周期函数，4是它的一个周期． 对于A，， 所以，A正确； 对于B，因为，所以， 则，是偶函数，B错； 对于C，对任意的，且，都有， 即时，，所以在是单调递增，即， 又因为的图象关于直线对称，所以在是单调递减，即， 所以是的极大值点， 因为导函数的定义域均为，即存在，所以，C正确； 对于D，，，， ，∴，故D错． 故选：AC． 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握函数关于点对称与轴对称的性质，从而由函数的奇偶性推得所需式子，由此得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是奇函数，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用奇函数定义，列式求解即得. 【详解】函数的定义域为， 由是奇函数，得，即， 因此，即有，所以. 故答案为：2 13. 若，且，则的最小值为__________. 【答案】##08 【解析】 【分析】运用基本式中的“1”的活用，即可得出结果． 【详解】，，， ， ， ，当且仅当时，即时取等号． 故答案为：． 14. 已知函数，设，若只有一个零点，则实数a的取值范围是______；若不等式的解集中有且只有三个整数，则实数a的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用导数，确定的单调区间及最值，作出图象，由可得或，再根据只有一个零点，结合的图象求解，即可得第一空答案；由，可得，分，结合题意和的图象求解，即可得第二空答案． 【详解】，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； ∴；当时，；当时，；． 据此可作出图象如图所示： 令，则或， 由，可得； 又∵只有一个零点，∴无解，或， ∴，或， ∴的取值范围是． 令，则． ①当时，则或， 由，可得，无整数解，∴中有3个整数解， 结合的图象可知此三个整数解为， ∵， ∴； ②当时，， 由，得，不满足题意； ③当时，由，得或， ∵的解集中无整数，的解集中有若干个整数，不满足题意； 综上，的取值范围为． 故答案为：；． 【点睛】关键点点睛：本题的第一空的关键是采用整体法，解出或，再利用导数得出的图象与性质，结合图象即可得到的范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的单调区间和极值； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1）单调递减区间为,函数单调递增区间为．极小值为,无极大值； （2）最小值为,最大值为2． 【解析】 【分析】（1）求导,得到,令得,或（舍去）,将定义域分成几段考虑导数正负,得出单调区间,由单调性,得到函数的极值. （2）与（1）方法相同(只是定义域发生改变),求出极值后再与端点值比较即可得到最值. 【小问1详解】 函数的定义域为, ． 令得,或（舍去）, 当时,,函数单调递减； 当时,,函数单调递增, 所以函数单调递减区间为,函数单调递增区间为． 函数的极小值为,无极大值． 【小问2详解】 由（1）知,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增, 所以,,, 又因为,所以函数在区间的最小值为,最大值为2． 16. 某高中学校组织乒乓球比赛，经过一段时间的角逐，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取7局4胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立． （1）求比赛结束时恰好打了5局的概率； （2）若前三局比赛甲赢了两局，记还需比赛的局数为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】（1）； （2）分布列见解析，． 【解析】 【分析】（1）根据题意求出恰好打了5局，甲获胜的概率和乙获胜的概率，再利用互斥事件的概率公式可求得结果； （2）由题意可知，X的取值范围是，然后求出相应的概率，从而可求出X的分布列及数学期望． 【小问1详解】 比赛结束时， 恰好打了5局，甲获胜的概率为， 恰好打了5局，乙获胜的概率为， 所以比赛结束时恰好打了5局的概率为； 【小问2详解】 由题意可知，X的取值范围是． ， ， ， 所以X的分布列如下： X 2 3 4 P 数学期望． 17. 某地2019年至2023年五年新能源汽车保有量如下表． 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份编号 1 2 3 4 5 保有量(万辆) 18 20 23 25 29 （1）请用相关系数说明与的线性相关程度； （2）求关于的回归直线方程，并预测2025年该地新能源汽车保有量． 附：相关系数． 在回归直线方程中，．取． 【答案】（1）与的线性相关程度较强； （2），33.8万辆． 【解析】 【分析】（1）根据题干数据求出，，，，，即可求出相关系数，即可判断； （2）根据所给数据求出，，即可求出，，从而得到回归直线方程，再令求出，即可得解. 【小问1详解】 因为，， 所以 ， ， ， 所以． 因为的值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强， 所以与的线性相关程度较强． 【小问2详解】 因为，， ， ， 所以，， 所以回归直线方程为． 当时，， 所以预测2025年该地新能源汽车保有量为万辆． 18. 为研究某市居民的身体素质与户外体育锻炼时间的关系，对该市某社区100名居民平均每天的户外体育锻炼时间进行了调查，统计数据如下表： 平均每天户外体育锻炼的时间（分钟） 总人数 10 18 22 25 20 5 规定：将平均每天户外体育锻炼时间在分钟内的居民评价为“户外体育锻炼不达标”，在分钟内的居民评价为“户外体育锻炼达标”． （1）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与户外体育锻炼是否达标有关联？ 户外体育锻炼不达标 户外体育缎练达标 合计 男 女 10 55 合计 （2）从上述“户外体育锻炼不达标”的居民中，按性别用分层抽样的方法抽取5名居民，再从这5名居民中随机抽取3人了解他们户外体育锻炼时间偏少的原因，记所抽取的3人中男性居民的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望； （3）将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有居民中随机抽取3人，求其中恰好有2人“户外体育锻炼达标”的概率. 参考公式：，其中． 参考数据：（独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，认为性别与户外体育锻炼否达标无关联； （2）分布列见解析，; （3）. 【解析】 【分析】（1）根据所给的数据列出列联表，即可得出结果； （2）由题意，可知可取0,1,2,3，求出分布列，再求数学期望即可； （3）设所抽取的4名学生中，课外体育达标的人数为，可知,即可得解. 【小问1详解】 户外体育锻炼不达标 户外体育锻炼达标 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 零假设为:性别与户外体育锻炼是否达标无关联. 根据列联表中的数据，经计算得到, 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立, 因此可以认为成立，即认为性别与户外体育锻炼是否达标无关联. 【小问2详解】 易知，所抽取的5名居民中男性为名，女性为名. 的所有可能取值为0,1,2, ，，， 所以的分布列为 0 1 2 所以. 【小问3详解】 设所抽取的3名居民中 “户外体育锻炼达标”的人数为， 列联表中居民“户外体育锻炼达标”的频率为， 将频率视为概率则， 所以， 所以从该市所有居民中随机抽取3人,其中恰有2人“户外体育锻炼达标”的概率为. 19. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求实数m的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1） （2）； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）只需分别求出的值即可求解； （2）构造函数，原题条件等价于在上恒成立，求得，从而分是否小于1进行讨论即可求解. （3）由（2）可知得即，进一步有，从而累加即可得证. 【小问1详解】 当时，，所以， 所以，， 所以函数在处的切线方程为即； 【小问2详解】 若在上恒成立，则在上恒成立， 设，，所以， ， ①当时，， 当时，， 所以在上单调递减， 所以，即在不恒成立． ②当时，， 当时，，在上单调递增， 又，此时， 综上所述，所求m的取值范围是； 【小问3详解】 由（2）知，当时，在上恒成立， 取，得即，当且仅当时等号成立， 令，， 则， 所以， 所以 ， 所以． 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是利用第二问的结论得到，由此即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$