专题1.1集合的概念与表示（七个重难点突破）-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第一册）

专题1.1集合的概念与表示 一、集合的概念 四、利用集合的互异性求参数 二、用列举法、描述法表示集合 五、根据集合中元素的个数求参数 三、元素与集合的关系 六、根据元素的特征求集合元素个数 ①判断元素与集合的关系 七、集合新定义 ②根据元素与集合的关系求参数 知识点1 元素与集合的概念 1．元素与集合的概念 （1）元素：一般地,把研究对象统称为元素,元素常用小写的拉丁字母表示． （2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）,集合通常用大写的拉丁字母表示． （3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 （1）确定性：给定的集合,它的元素必须是确定的．也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说,集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后,没有顺序的．简记为“无序性”． 注意：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素,研究集合问题的核心即研究集合中的元素,因此在解决集合问题时,首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点,也可以是一些人或一些物． 知识点2 元素与集合的关系 （1）属于：如果是集合A的元素,就说属于集合A,记作． （2）不属于：如果不是集合A的元素,就说不属于集合A,记作． 温馨提示：（1）符号刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素与一个集合A而言,只有“”与“”这两种结果． （2）和具有方向性,左边是元素,右边是集合,形如是错误的． 知识点3 常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 知识点4 集合的表示方法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 温馨提示：（1）元素与元素之间必须用“，”隔开． （2）集合中的元素必须是明确的． （3）集合中的元素不能重复． （4）集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 （1）定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． （2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 注意：（1）写清楚集合中元素的符号．如数或点等． （2）说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等． （3）不能出现未被说明的字母． 重难点一 集合的概念 1．下列研究的对象能构成集合的是（    ） A．我不喜欢的人 B．高大的山 C．好吃的西瓜 D．中国所有的级景区 2．下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．下列各组对象可构成一个集合的是（    ） A．与10非常接近的数 B．本班视力差的女生 C．中国漂亮的工艺品 D．我校学生中的女生 4．(多选)下列各组对象能组成集合的是（    ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．函数图象上所有的点 给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素，没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素． 重难点二 用列举法、描述法表示集合 5．集合是指（    ）． A．第一象限内的所有点 B．第三象限内的所有点 C．第一象限和第三象限内的所有点 D．不在第二象限、第四象限内的所有点 6．用不同的方法表示下列集合： （1） ； （2） ； （3）所有被5除余1的正整数所构成的集合 ； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合 ． 7．已知集合，用列举法表示为 . 8．把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； 9．用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)； (3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合； (4)不等式的解集． 1.列举法：求出集合的元素，把元素—一列举出来，且相同元素只能列举一次，用花括号括起来 2.描述法：（1）用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示． （2）用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围． （3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内． 重难点三 元素与集合的关系 ①判断元素与集合的关系 10．已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．2 C．3 D．5 12．已知非零实数、，代数式的值组成集合，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 13．下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 14．用符号“”或“”填空： （1）若，则-1 A； （2）若，则3 B； （3）若，则8 C，9.1 C. （4） ； （5） ； （6）2017 . （7） ， ， ， ． ②根据元素与集合的关系求参数 15．若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 17．已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．已知集合，其中.若1是集合中的一个元素，则集合（    ） A． B． C． D． 19．若集合，且，则 ． 20．若，则 ． 判断元素和集合关系的两种方法： （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 重难点四 利用集合的互异性求参数 21．若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 22．集合中实数的取值范围是(　　) A．或 B．且 C．或 D．且 23．若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D． 24．已知集合中含有2个元素，，则满足的条件是 ． 25．含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 26．已知集合，，若，，则 . 互异性的主要作用是警示我们做题后要检验．特别是题中含有参数(字母)时，一定要检验求出的参数是否使集合的元素满足互异性． 重难点五 根据集合中元素的个数求参数 27．若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．(多选)已知集合，则下列说法中错误的是（    ） A．若A中只有一个元素，则 B．若A中至少有一个元素，则 C．若A中至多有一个元素，则 D．若A中恰有两个元素，则 29．(多选)已知集合，则满足A中有8个元素的m的值可能为（    ） A．6 B． C．9 D． 30．若集合，且中只有一个元素，则 ； 31．已知集合中仅有3个整数，则的取值范围为 ． 32．已知集合中只有一个整数元素，则实数的取值范围为 由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤： 根据集合中元素的确定性，解出字母的所有取值，根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验写出所有符合题意的字母的取值 重难点六 根据元素的特征求集合元素个数 33．设集合，，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 34．若集合，则中的元素个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 35．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 36．若集合，则集合的元素个数为（    ） A．19 B．20 C．81 D．100 重难点七 集合新定义 37．用表示非空集合A中元素的个数，定义，若，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 38．定义若则中元素个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 39．对于任意两个正整数m、n，定义运算“*”：当m、n都是偶数或奇数时，；当m、n中一个为偶数、另一个为奇数时，.在此定义下，集合中的元素个数是 40．已知集合，，定义集合，则中元素的个数为 . 41．已知集合，，定义集合，之间的运算“*”：，求中的所有元素数字之和． 一、单选题 1．下列各组对象中不能组成集合的是（    ）． A．2023年男篮世界杯参赛队伍 B．中国古典长篇小说四大名著 C．高中数学中的难题 D．我国的直辖市 2．下列说法中正确的是（    ） A．1与表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 3．数集中的不能取的数值的集合是（   ） A． B． C． D． 4．集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则集合中元素的个数为（    ） A．30 B．28 C．26 D．24 6．若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 二、多选题 7．已知为非零实数，代数式的值组成的集合A，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 8．集合中有且仅有一个元素，则实数的值可能为（    ） A．1 B． C．0 D．2 三、填空题 9．集合，当时，若，，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素为 . 10．用符号“”和“”填空： （1） N；    （2）1 ；    （3） R； （4） ；    （5） N；    （6）0 ． 11．若集合恰有8个整数元素，写出a的一个值： ． 四、解答题 12．用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)不等式的解集； (2)二元二次方程组的解集； (3)由大于且小于9的偶数组成的集合. 13．若， 证明：. 14．已知含有两个元素的集合，其中． (1)实数m不能取哪些数？ (2)若，求实数m的值． 15．由，，4所组成的集合记为A. （1）是否存在实数a，使得A中只含有一个元素？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由； （2）若A中只含有两个元素，求a的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1集合的概念与表示 一、集合的概念 四、利用集合的互异性求参数 二、用列举法、描述法表示集合 五、根据集合中元素的个数求参数 三、元素与集合的关系 六、根据元素的特征求集合元素个数 ①判断元素与集合的关系 七、集合新定义 ②根据元素与集合的关系求参数 知识点1 元素与集合的概念 1．元素与集合的概念 （1）元素：一般地,把研究对象统称为元素,元素常用小写的拉丁字母表示． （2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）,集合通常用大写的拉丁字母表示． （3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 （1）确定性：给定的集合,它的元素必须是确定的．也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说,集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后,没有顺序的．简记为“无序性”． 注意：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素,研究集合问题的核心即研究集合中的元素,因此在解决集合问题时,首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点,也可以是一些人或一些物． 知识点2 元素与集合的关系 （1）属于：如果是集合A的元素,就说属于集合A,记作． （2）不属于：如果不是集合A的元素,就说不属于集合A,记作． 温馨提示：（1）符号刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素与一个集合A而言,只有“”与“”这两种结果． （2）和具有方向性,左边是元素,右边是集合,形如是错误的． 知识点3 常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 知识点4 集合的表示方法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 温馨提示：（1）元素与元素之间必须用“，”隔开． （2）集合中的元素必须是明确的． （3）集合中的元素不能重复． （4）集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 （1）定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． （2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 注意：（1）写清楚集合中元素的符号．如数或点等． （2）说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等． （3）不能出现未被说明的字母． 重难点一 集合的概念 1．下列研究的对象能构成集合的是（    ） A．我不喜欢的人 B．高大的山 C．好吃的西瓜 D．中国所有的级景区 【答案】D 【详解】由于我不喜欢的人，高大的山，好吃的西瓜，都不具有确定性， 故不能构成集合，只有中国所有的级景区能构成集合. 故选：D 2．下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】对于①，很小的实数是个不确定的概念，不可以构成集合，故错误； 对于②，R表示一切实数组成的集合，故正确； 对于③，给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是无限集，故错误； 对于④，2023年联合国常任理事国有中国、俄罗斯、英国、法国、美国，能组成一个集合，故正确． 故选：C． 3．下列各组对象可构成一个集合的是（    ） A．与10非常接近的数 B．本班视力差的女生 C．中国漂亮的工艺品 D．我校学生中的女生 【答案】D 【详解】由集合的确定性可得，仅“我校学生中的女生”满足确定性. 故选：D 4．(多选)下列各组对象能组成集合的是（    ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．函数图象上所有的点 【答案】ACD 【详解】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性；而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合． 故选：ACD 给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素，没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素． 重难点二 用列举法、描述法表示集合 5．集合是指（    ）． A．第一象限内的所有点 B．第三象限内的所有点 C．第一象限和第三象限内的所有点 D．不在第二象限、第四象限内的所有点 【答案】D 【详解】,说明同号，包括零. 则表示不在第二，四象限内的所有点. 故选：D． 6．用不同的方法表示下列集合： （1） ； （2） ； （3）所有被5除余1的正整数所构成的集合 ； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合 ． 【答案】 【详解】（1）因为，，所以均符合题意， 所以原集合可以表示为. （2）因为，所以，又因为，所以， 又因为，所以，所以原集合可以表示为. （3）设，则被5除余1的正整数所构成的集合可以表示为 . （4）设平面直角坐标系中第一、三象限的点为，则， 所以平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合可表示为. 故答案为：；；；. 7．已知集合，用列举法表示为 . 【答案】 【详解】， 故答案为：. 8．把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； 【答案】(1){且} (2) (3) 【详解】（1）可以表示成{且}； （2）根据题意可列举得； （3）易知. 9．用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)； (3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合； (4)不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）由得，，解得，， 所以集合为； （2）由，得x为，，0，1，2， 当或时，； 当或时，； 当时，． 所以集合为； （3）； （4）解不等式得， 所以不等式的解集可表示为． 1.列举法：求出集合的元素，把元素—一列举出来，且相同元素只能列举一次，用花括号括起来 2.描述法：（1）用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示． （2）用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围． （3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内． 重难点三 元素与集合的关系 ①判断元素与集合的关系 10．已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由元素与集合的关系可知：若集合，则. 故选：B. 11．给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误. 故选：A. 12．已知非零实数、，代数式的值组成集合，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当、均为正数时，代数式； 当、为一正一负时，代数式或； 当、均为负数时，代数式， 故集合， 故选：B. 13．下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意. 故选：D. 14．用符号“”或“”填空： （1）若，则-1 A； （2）若，则3 B； （3）若，则8 C，9.1 C. （4） ； （5） ； （6）2017 . （7） ， ， ， ． 【答案】 【详解】（1），故； （2），故； （3），故； （4），； （5） （6）因为2017不能被表示为的形式，所以； （7） ②根据元素与集合的关系求参数 15．若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 16．已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【答案】D 【详解】由题意若，解得或，若，解得， 当时，满足题意， 当时，违背了集合中元素间的互异性， 当时，满足题意， 综上所述，a的值可能为，8. 故选：D. 17．已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 18．已知集合，其中.若1是集合中的一个元素，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 集合中的方程为， 解得或， ， 故选：C． 19．若集合，且，则 ． 【答案】或 【详解】因为，且， 所以或， 当时，，此时，满足题意； 当时，，此时，满足题意， 综上所述，或. 故答案为：或2 20．若，则 ． 【答案】2 【详解】因为， 所以或， 若，，不满足互异性； 若或2，又，所以， 故答案为：2. 判断元素和集合关系的两种方法： （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 重难点四 利用集合的互异性求参数 21．若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，则，符合题意， 当时，有或，已知当时符合题意， 当时，则，符合题意， 故的取值集合为. 故选：C. 22．集合中实数的取值范围是(　　) A．或 B．且 C．或 D．且 【答案】D 【详解】由集合元素的互异性可知，，解得且， 所以实数的取值范围为且. 故选：D. 23．若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以①或②，由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，符合题意，由②得，符合题意，两种情况代入得. 故选：C. 24．已知集合中含有2个元素，，则满足的条件是 ． 【答案】且 【详解】由集合中元素的互异性可知，，解得且， 故答案为：且 25．含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 【答案】0 【详解】因为，且，所以， 则有， 所以，且，得， 所以， 故答案为：0 26．已知集合，，若，，则 . 【答案】 【详解】解：因为，所以或或， 解得或或， 因为，所以或或， 解得或或， 又因为，所以或，即. 故答案为： 互异性的主要作用是警示我们做题后要检验．特别是题中含有参数(字母)时，一定要检验求出的参数是否使集合的元素满足互异性． 重难点五 根据集合中元素的个数求参数 27．若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，方程有两个不等的实根，则且，解得且， 所以实数m的取值范围为且. 故选：C 28．(多选)已知集合，则下列说法中错误的是（    ） A．若A中只有一个元素，则 B．若A中至少有一个元素，则 C．若A中至多有一个元素，则 D．若A中恰有两个元素，则 【答案】ACD 【详解】对于选项A：若A中只有一个元素， 即方程有一个根，或两个相等实根， 当时，原方程变为，此时符合题意， 当时，方程有两个相等实根， 所以，即， 所以当A中只有一个元素时，则或，故A错误； 对于选项B：若A中至少有一个元素，即A中有一个元素或两个元素， 当A中有一个元素时，由前面可知，或； 当A中有两个元素时，方程有两个不等实根， 所以即且， 所以若A中至少有一个元素，则，故B正确； 对于选项C：若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素， 当A中有一个元素时，由前面可知，或； 当A中没有元素时，即方程无实根， 所以即， 所以若A中至多有一个元素，则或；故C错误； 对于选项D：若A中恰有两个元素，由前面可知，且，故D错误； 故选：ACD 29．(多选)已知集合，则满足A中有8个元素的m的值可能为（    ） A．6 B． C．9 D． 【答案】AB 【详解】当时，满足的有6，3，2，1，，，，，即集合中有8个元素，符合题意，故A可选， 当时，满足的有6，3，2，1，，，，，即集合中有8个元素，符合题意，故B可选， 当时，满足的有9，3，1，，，，即集合中有6个元素，不符合题意，故C不可选， 当时，满足的有9，3，1，，，，即集合中有6个元素，不符合题意，故D不可选， 故选：AB． 30．若集合，且中只有一个元素，则 ； 【答案】或 【详解】因为，表示关于的方程的解集， 当时，由，解得，所以，符合题意； 当时，要使中只有一个元素，则，解得， 此时方程，解得，所以，符合题意； 综上可得或. 故答案为：或 31．已知集合中仅有3个整数，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为，所以在数轴上集合A的端点关于点1对称， 从而A中的三个整数为， 所以，且，解得． 即实数a的取值范围为 故答案为： 32．已知集合中只有一个整数元素，则实数的取值范围为 【答案】 【详解】集合中只有一个整数元素， 则，，即，此时，故，解得. 故. 故答案为：. 由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤： 根据集合中元素的确定性，解出字母的所有取值，根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验写出所有符合题意的字母的取值 重难点六 根据元素的特征求集合元素个数 33．设集合，，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】，时，的值依次为，有4个不同值，即，因此中有4个元素． 故选：B． 34．若集合，则中的元素个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】依题意可得，则中的元素个数为5. 故选：B. 35．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由题意可知只有，符合题意.即. 故选：A 36．若集合，则集合的元素个数为（    ） A．19 B．20 C．81 D．100 【答案】B 【详解】由题意可知，即， 当是偶数时，是奇数， 当，此时，解得，满足条件， 以此类推，，共10个n，每一个n对应位于的m， 当是奇数时，是偶数，此时共10个n， 综上可知满足条件的n有20个数，每一个n对应唯一的m, 所以集合A的元素个数为20个． 故选：B． 重难点七 集合新定义 37．用表示非空集合A中元素的个数，定义，若，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】由于，，且， 则或. 显然，则，故， 当是的根时，则，解得， 此时方程为，解得，满足题意； 当不是的根时，有两个相等的实数根， 故，从而， 综上所述，. 故选：B. 38．定义若则中元素个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】D 【详解】因为且， 当时，可能为，此时的取值为：； 当时，可能为，此时的取值为：； 当时，可能为，此时的取值为：； 综上可知：，所以集合中元素个数为5， 故选：D. 39．对于任意两个正整数m、n，定义运算“*”：当m、n都是偶数或奇数时，；当m、n中一个为偶数、另一个为奇数时，.在此定义下，集合中的元素个数是 【答案】17 【详解】当a，b都是偶数或奇数时，因为1+15=16，2+14=16，3+13=16，4+12=16，5+11=16，6+10=16，7+9=16，8+8=16； 当a，b一奇一偶时，1×16=16； 集合M中的元素是有序数对，所以集合M中的元素共有8×2+1=17个. 故答案为：17. 40．已知集合，，定义集合，则中元素的个数为 . 【答案】 【详解】因为， ， 又， 所以 ，， 所以中元素的共个. 故答案为： 41．已知集合，，定义集合，之间的运算“*”：，求中的所有元素数字之和． 【答案】21 【详解】因为，所以中的元素有： ，，，，（舍去），，（舍去），， 所以， 所以中的所有元素数字之和为21． 一、单选题 1．下列各组对象中不能组成集合的是（    ）． A．2023年男篮世界杯参赛队伍 B．中国古典长篇小说四大名著 C．高中数学中的难题 D．我国的直辖市 【答案】C 【详解】A，B，D所表示的对象都能确定，能组成集合，选项C高中数学中的难题，怎样算难题不能确定，不能组成集合， 故选：C． 2．下列说法中正确的是（    ） A．1与表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 【答案】B 【详解】对于A，1不能表示一个集合，故错误； 对于B，因为集合中的元素具有无序性，故正确； 对于C，因为集合的元素具有互异性，而中有相同的元素，故错误； 对于D，因为集合中有无数个元素，无法用列举法表示，故错误. 故选：B. 3．数集中的不能取的数值的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由集合的互异性可得，即， 所以不能取的数值的集合是， 故选：D. 4．集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，解得， 所以. 故选：C 5．已知集合，，则集合中元素的个数为（    ） A．30 B．28 C．26 D．24 【答案】B 【详解】，， 因为， 当时，为偶数，共有个元素. 当时，为奇数， 此时，共有个元素. 当时，为奇数， 此时，有重复数字，去掉，共有个元素. 综上中元素的个数为个. 故选：B 6．若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【详解】若仅有①成立,则必有成立,故①不可能成立； 若仅有②成立,则,,,成立,此时有,两种情况； 若仅有③成立,则,,,成立,此时仅有成立； 若仅有④成立,则,,,成立,此时有三种情况， 综上符合条件的所有有序数组的个数是6个， 故选：B 二、多选题 7．已知为非零实数，代数式的值组成的集合A，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】依题意，当都为正数，代数值等于4； 当中只有一个负数两个正数，代数值为0； 当中只有一个正数两个负数，代数值为0； 当都为负数，代数值为. 故选：CD 8．集合中有且仅有一个元素，则实数的值可能为（    ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】AC 【详解】集合有且仅有一个元素， 即方程有且仅有一个解， 时，解为，符合， 时，方程为一元二次方程，由，得， 综上，或，可知AC符合． 故选：AC． 三、填空题 9．集合，当时，若，，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素为 . 【答案】5 【详解】对于元素，，故不满足孤立元素的定义； 对于元素，，故不满足孤立元素的定义； 对于元素，，故不满足孤立元素的定义； 对于元素，，，故满足孤立元素的定义； 故答案为：5. 10．用符号“”和“”填空： （1） N；    （2）1 ；    （3） R； （4） ；    （5） N；    （6）0 ． 【答案】 【详解】由所表示的集合，由元素与集合的关系可判断 （1）（2）（3）（4）（5）（6）. 故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）（6）. 11．若集合恰有8个整数元素，写出a的一个值： ． 【答案】7（答案不唯一，实数a满足即可） 【详解】依题意可得，解得， 则． 所以集合的整数元素的最小值为3，从而最大值为10， 所以，解得． 故答案为：7（答案不唯一）. 四、解答题 12．用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)不等式的解集； (2)二元二次方程组的解集； (3)由大于且小于9的偶数组成的集合. 【答案】(1)，无限集 (2)，有限集 (3)，有限集 【详解】（1）因为，所以解集为，为无限集； （2）二元二次方程组，所以，解得或， 所以解集为，为有限集； （3）大于且小于9的偶数有， 所以解集为，为有限集. 13．若， 证明：. 【答案】证明见解析 【详解】因为，所以存在，使得， 则，， 因为，所以. 14．已知含有两个元素的集合，其中． (1)实数m不能取哪些数？ (2)若，求实数m的值． 【答案】(1)不能取0和4； (2)． 【详解】（1）根据题意，可得，解得且， 因此，实数m不能取0和4； （2）由（1）的结论，可知m≠4， 若，则，解得（不符合题意）， 因此，实数m的值是． 15．由，，4所组成的集合记为A. （1）是否存在实数a，使得A中只含有一个元素？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由； （2）若A中只含有两个元素，求a的值. 【答案】（1）存在，（2）或 【解析】(1)由题意可利用即可求得满足条件的实数； (2)由题意可得，或，或，分别解得即可得出答案. 【详解】(1)存在，理由如下：由题意知若A中只含有一个元素，则这三个数相等，即， 由解得. 此时，所以符合条件. 故当时，A中只有一个元素. （2）由题意可知，这三个数中必有两个数相等即有，或，或 若，解得； 若，解得； 若，无解； 综上可得，当或时，集合A中只含有两个元素. 【点睛】本题考查了集合元素性质的应用，属于一般难度的题. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$