精品解析：贵州省黔西南州金成实验学校2023-2024学年高一下学期期末检测数学试题

2023—2024学年度金成实验学校高一数学 期末考试试卷 年级：高一年级 科目：数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. 10 D. 3. 若事件与相互独立，且，则的值等于 A. 0 B. C. D. 4. 在中，角的对边分别是，已知，，，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A. B. C. D. 6. 在下列关于直线与平面的命题中，真命题是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 7. 在中，角，，对边分别为，b，，若，则角的值为（ ）． A. B. C 或 D. 或 8. 秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，其公式为：.若，，，则利用“三斜求积术”求的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 给定一组数据165，168，170，172，172，175，176，176，176，180，下列判断正确的是（ ） A. 众数为176 B. 中位数为173 C. 平均数为173.5 D. 极差为15 10. 已知平面向量，，则（ ） A. 当时， B. 若，则 C. 若，则 D. 若与的夹角为钝角，则 11. 已知，则关于事件与事件，下列说法正确的有（ ） A 事件与可能相互独立 B. 事件与一定不互斥 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知i是虚数单位，则复数的共轭复数为________． 13. 若向量的夹角，，则___________. 14. 在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角中，为斜边上的高，，现将沿翻折成，使得四面体为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为________ 四、解答题 15. 在中，a，b，c分别是角A，B，C所对边，且． （1）求大小； （2）若，求的大小． 16. 已知平面向量，. （1）求的值； （2）求向量与的夹角. 17. 如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，是的中点，是的中点，记． （1）用向量表示向量； （2）利用向量法证明：． 18. 某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求、的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和中位数（精确到0.1）； （3）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率. 19. 如图，在直三棱柱中，点D为线段AC的中点． （1）证明：平面； （2）若，，，求到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度金成实验学校高一数学 期末考试试卷 年级：高一年级 科目：数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集的概念直接求解即可. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：B 2. 若，则（ ） A. B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【详解】由，则. 故选：A 3. 若事件与相互独立，且，则的值等于 A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】事件“”表示的意义是事件与同时发生，因为二者相互独立，根据相互独立事件同时发生的概率公式得：. 4. 在中，角的对边分别是，已知，，，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理解三角形. 【详解】由余弦定理， 将，，，代入得， 则有，且，解得. 故选：B. 5. 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率. 【详解】设2名男同学为，3名女同学为， 从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能， 选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能 则选中的2人都是女同学的概率为， 故选D. 6. 在下列关于直线与平面的命题中，真命题是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用线面垂直判定条件说明、推理判断AB；利用线面平行的判定说明判官CD作答. 【详解】对于A，，当平面的交线为时，满足，此时，A错误； 对于B，由，得存在过直线的平面，，由于， 则平面与平面必相交，令，于是， 显然，而，则，同理，又是平面内的两条相交直线，因此，B正确； 对于C，平面为一正三棱柱的两个侧面所在平面，直线为底面正三角形的一边所在直线， 显然，与平面不平行，C错误； 对于D，，令，当直线在平面内，且时，满足，此时不成立，D错误. 故选：B 7. 在中，角，，的对边分别为，b，，若，则角的值为（ ）． A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理先计算出的值，然后即可求解出的值. 【详解】解：， ，即， 且有意义即， ， 在中，为或， 故选：． 8. 秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，其公式为：.若，，，则利用“三斜求积术”求的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理得，又，代入面积公式计算即可. 【详解】因为，， 所以， 则， 故选：D. 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 给定一组数据165，168，170，172，172，175，176，176，176，180，下列判断正确的是（ ） A. 众数为176 B. 中位数为173 C. 平均数为173.5 D. 极差为15 【答案】AD 【解析】 【分析】先把数据按大小排列，然后根据众数、中位数、平均数和极差的定义求解． 【详解】把数据从小到大排列：165，168，170，172，172，175，176，176，176，180，共10个. 出现次数最多的是176，则众数为176，故A正确； 处在第5位的数是172，第6位的数是175，则中位数为，故B错误； 平均数为，故C错误； 极差为，故D正确. 故选：AD． 10. 已知平面向量，，则（ ） A. 当时， B. 若，则 C. 若，则 D. 若与的夹角为钝角，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量加法坐标公式计算可判断A；根据向量平行的坐标公式计算即可判断B；根据向量垂直坐标公式计算即可判断C；根据向量数量积坐标公式计算即可判断D. 【详解】对A，当时，，所以，故A正确； 对B，若，则，解得，故B错误； 对C，若，则，解得，故C正确； 对D，若与的夹角为钝角，则且与不共线， 解得且，即，故D正确， 故选：ACD 11. 已知，则关于事件与事件，下列说法正确的有（ ） A. 事件与可能相互独立 B. 事件与一定不互斥 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据独立事件概率乘积公式判断A选项，根据互斥事件定义判断B选项，根据和的概率公式求解即可判断C选项，应用对立事件概率和为1判断D选项. 【详解】由，可知事件与不是相互独立事件，故A不正确； 由，可知事件与一定不互斥，故B正确； ，故C正确； ，故D正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知i是虚数单位，则复数的共轭复数为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法运算及共轭复数的概念，求结果. 【详解】由题意可得，，所以复数的共轭复数为． 故答案为：. 13. 若向量的夹角，，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】直接根据平面向量数量积的概念以及向量模的表示即可得结果. 【详解】因为向量，的夹角为，，， 所以， 所以 故答案为：2. 14. 在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角中，为斜边上的高，，现将沿翻折成，使得四面体为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为________ 【答案】 【解析】 【分析】找出鳖臑外接球的球心，并得出外接球的半径，结合球的表面积公式即可求解. 【详解】由题设，都是直角三角形，只需平面即可， 所以鳖臑外接球的球心在过中点且垂直于平面的直线上， 而在直角三角形中，的中点到点的距离都相等， 所以的中点是外接球的球心，所以． 故答案为：. 四、解答题 15. 在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且． （1）求的大小； （2）若，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意和余弦定理，得到，即可求解； （2）由，得到，进而求得的值. 【小问1详解】 解：由题意，在中，满足， 根据余弦定理可得， 又因为，所以. 【小问2详解】 解：因， 由正弦定理得，所以， 又因为，所以. 16. 已知平面向量，. （1）求的值； （2）求向量与的夹角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算，由模长公式即可求解， （2）利用夹角公式即可求解. 【小问1详解】 已知平面向量，，则，则 【小问2详解】 , 设与的夹角为，则 ， 17. 如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，是的中点，是的中点，记． （1）用向量表示向量； （2）利用向量法证明：． 【答案】（1） （2）证明详见解析 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算求得正确答案. （2）通过证明来证得结论成立 【小问1详解】 连接，则 【小问2详解】 ， 所以 ， 所以. 18. 某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求、的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和中位数（精确到0.1）； （3）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率. 【答案】（1） （2）平均数为，中位数为 （3） 【解析】 【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，所有频率之和为1，即可求出a，b； （2）根据频率分布直方图中各个数字特征求法计算即可求解； （3）先分层抽样求出第四、五组抽取的人数，利用列举法求出古典概型的概率即可. 【小问1详解】 因为第三、四、五组的频率之和为0.7， 所以，解得， 所以前两组的频率之和为， 即，解得； 【小问2详解】 由（1）知，平均数为； 前两组频率之和为0.3，前三组频率之和为0.75， 所以中位数位于组内，且，即中位数为69.4； 【小问3详解】 第四、五两组志愿者分别有20人、5人， 故按照分层抽样抽得第四组志愿者人数为4，分别设为， 第五组志愿者人数为1，设为， 这5人选出2人，所有情况有，共10种， 其中选出的2人来自同一组的有，共6种， 所以选出的2人来自同一组的概率为. 19. 如图，在直三棱柱中，点D为线段AC的中点． （1）证明：平面； （2）若，，，求到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作辅助线，利用中位线得到线线平行，结合线面平行的判定得证结论； （2）利用等体积法可求到平面的距离. 【小问1详解】 连接，交于，连接， 因为四边形为矩形，所以为的中点， 因为D为线段AC的中点，所以， 因平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为，，D为线段AC的中点， 所以，且，， 因为直棱柱中平面，面，所以， 因为，平面，所以平面， 即点到平面的距离为，由线面垂直的性质易得， 在直角三角形中，，， 所以面积，又三角形的面积为. 设到平面的距离为，因为，所以， 所以，解得，即到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$