浙江台州市2025-2026学年高二下学期6月期末质量评估数学试题

台州市$舞高二年级期末质量评估试题 数学 2026.06 本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时问120分钟。请考生按规定用笔将所有试题 的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.已知一组数据为：1,2,2,3,3,3,4,6,8,9，则该组数据的第70百分位数是 A.4 B.5 C.6 D.7 2.在平面直角坐标系中，已知向量ā=(1,2)，6=(2，y),若ā∥b,则y= A.4 B.-4 C.1 D.-1 3.若变量x与y正相关，且由观测数据算得样本的平均数元=2，)=2.5，则由该观测数据算得的线性 回归方程可能是 A.=0.4x+1 B.=-0.6x+3.7C.=0.5x+1.5 D.=-2x+7 4.已知集合A={x0<x<1},B={x(x+3)x-1)<0},则“x∈A”是“x∈B”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到x2=5.974.依据=0.05的独立性检验，结论为 A.变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01 a 0.10.050.01 B.变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 2.706 3.841 6.635 C.变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01 D.变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 (第5题) 6.己知正方体ABCD-AB,C,D,的8个顶点都在球O的球面上，且过A,B,C三点的平面截球O所 得截面面积为8π，则球O的体积为 A.18元 B.24元 C.36元 D.72π 7.在(1+x)3+(1+x)+…+(1+x)7的展开式中，设含x2项的系数为k,则k2025除以8的余数为 A.1 B.3 C.5 D.7 8.如图，在△ABC中，M=AC,N=BA,CP=CB,AP分别交BM,CN于D,R两 3 3 3 点，BM交CW于B点，记△DBF的面积为S,△ABC的面积为，则g= S, 1 B. 6 8 市高二数学期末质量评估试愿第1页共4页 (第8题) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数z=cos0+isin0,0∈R,i为数单位，则 A.当日=π时，z为纯虚数 B.2=1 C.2-(1+i训的最大值为1+√2 D.若复数m满足m2=z+二+2，则m一定为实数 10.某工厂有甲、乙两条生产线生产同一种零件.甲生产线的产量占全部产量的二，乙生产线的产量占全 部产量的，甲生产线的次品率为6%，乙生产线的次品率为3%。现从该红生产的袋件中随机抽取 一件，设事件A表示“抽到的零件为次品”，设事件B表示“抽到的零件来自甲生产线”，定义随机 变量X= 「0，抽到的零件为正品， 1,抽到的零件为次品， 则 AP④=六 B.P0=号 c00器 D.D5X-=24 5 11.已知直线AB,CD,AB∩CD=O,点A,B位于O的两侧，现将半平面ACD沿直线CD翻折， 设二面角A-CD-B的大小为a,∠A0B=,∠A0C=90<< ,则 2 A.当a=T时，B为钝角 B.当0=T时，2B-a≤元 C.当a=28时，B的最小值为2 D.翻折过程中，不存在某个位置，使得B=2α=28 非选择题部分（共92分) 频竿 组距 0.032 0.024 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知某校高二年级有50人参加市高中数学联赛，其取得的成绒绘制成如图 0.004…"""☐ 所示的频率分布直方图，则成绒在区间90,120内的人数为▲ o 60708090100110120成 (第12题) 13.已知函数/网=io3:月，则关于x的方程f-)=了（但 的解集为 14.用4种不同的颜色给如图8个方格涂色，要求有公共边的方格不同色， 则不同的涂色方法一共有▲_种.（用数字作答) (第14题) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分)在一个口袋中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中随机摸出2个 球，设随机变量X为摸到红球的个数. (1)求恰好揽到2个红球的概率： (2)求X的分布列及数学期望. 16.(15分)已知函数f)=a-3+2 x3,a∈R. 3+1 (1)当a=-2时，求证：函数f(x)是奇函数： (2)当a>-2时，求f(1)+ y 一的最小值 f(- 17.(15分)为了研究某地区高三学生的学习与生活，随机抽取了该地区部分高三学生，并对其一周内的 睡眠时长进行统计分析，得知该地区高三学生一周内的日均睡眠时长X(单位：小时)服从正态分布 N(7,0.52) (1)若从该地区随机抽取1名高三学生，求其日均睡眠时长X不低于6.5小时的概率（精确到0.001）： (2)若从该地区随机抽取名高三学生，假定一周内每个学生的日均睡眠时长相互独立，记事件A=“至 少有1人日均睡眠时长不低于6.5小时”，且P(A)≥0.99，求n的最小值. 参考数据：①若随机变量X服从正态分布N(4,o),则P(4-o≤X≤4+σ)≈0.6827， P(μ-2o≤X≤μ+2o)≈0.9545：②1n0.159≈-1.839,1n10≈2.303. 18.(17分)如图，在三梭锥A-BCD中，∠ACB=∠ACD=2,∠BCD=,亚=D,CF=CD, 3 3 BF⊥CE. (1)求CD 的值： (2)求证：平面ABF⊥平面ACE: (3)当AC=BC时，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值. (第18题) 19.（17分)已知函数f(x)=acosx+bc0s2x,其中a,b∈R. (1)若a=b=1,求不等式f(x)≤0的解集： (2)若对任意x∈R,f(x)≤1恒成立，求b的最大值： (3)若对任意x∈R,f(x)≥sin2x恒成立，求a+b的取值范围. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1 2 5 6 7 8 B A C A B c D B 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9 10 11 BCD ABD ABC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.16 13.{-11} 14.4116 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分)解：（1)由题意知，X服从超几何分布， 因此，恰好摸到2个红球的概率为P(X=2)= …分 C-10 (2)X的所有可能取值为0,1,2， 因为X服从想几何分布，所以PX=0)==3,PX=)=CS=。 C2101 1 由(1)知P(X=2)= 10 …10分 得X的分布列为： X 0 1 2 3 6 1 10 1010 6 184 故E(X)=0×,+1× +2× …13分 101010105 16.(15分)(1)当a=-2时，f)=-2)3+2+x,定义城为R, 3+1 因为f问+f0-对=-2)3+2+x2+-2)3+2x 3x+1 3-x+1 =-2)3*+2+-2)+23* 3+1 1+3x =0,即f(-x)=-f(冈， 所以函数f(x)是奇函数. …7分 (2)由函数解析式可得 f0-a3+2+1=30+6-3+2,f-=a3+2-1P=a+2x3-1=a+2 3+1 44 3-+1 3+1 得f0+=3a+2）+42,由a>-2,得a+2>0, f(-1)4a+2 根据基本不等式，3a+2+4≥2 3(a+2).4=25, 4 a+21 4a+2 当且仅当3(a+2)、4 4 Q+2'即as4v -2时，了)+1取到最小值2V5.…15分 3 f(-1) 17(15分)（1)因为日均睡眠时长X服从正态分布N(7,0.52), 所以P(X26.5)=二P(7-0.5≤X≤7+0.5)+P(X≥7) 2 =2×0.6827+0.5=0.84135≈0.8341， 2 故其日均睡眠时长X不低于6.5小时的概率为0.841， …6分 (2)由已知，一周内每个学生的日均睡眠时长相互独立， 因此，P()=1-[P(A)]=1-0.159”, 因为P(A)20.99,所以1-0.159"≥0.99，即0.159”≤0.01，得n≥1og.1590.01, 又因为1og015,0.01=血0.01-2×n10-2×2.303 2.5， 1n0.159n0.159-1.839 所以n的最小值为3. 4…15分 18.(17分)(1)法-：因为C2=2C8+CD,B丽=CD-CB,且BF⊥CB, 3 3 所以酝原=西+可0-西-可'-西2=0， 3 即CD2=4CB2,得CD=2CB,故 CD 2 …5分 CB 法二：设BF∩CE=M,取ED中点G,连接GF, 则GF是△DEC的中位线，得GF∥EM, 因为E是BG的中点，所以M也是BF的中点， 由已知CM⊥BF,得△BCF为等腰三角形，即CB=CF, 又因为CD=2CF,所以C2=2. CB (2)设BF∩CE=M,连接AM, 由(1)知，CD=2CB,因此，CB=CF, 又因为CM⊥BF,所以点M为BF的中点， 在△ACB和△ACF中，CB=CF,∠ACB=∠ACF,CA=CA, 因此，△ACB兰△ACF,得AB=AF, 因为点M为BF的中点，所以BF⊥AM, 由已知BF⊥CE,AMc平面ACE,CEc平面ACE,AM∩CE=M, 所以BF⊥平面ACE, 又因为BFC平面ABF,所以平面ABF⊥平面ACE.…I1分 (3)不妨设AC=BC=1,则CD=2, 在△ACB中，AB2=AC2+CB2-2AC.CB.coS∠ACB=1+1+1=3,得AB=V3, 在△ACD中，AD2=AC2+CD2-2AC.CD.cos.∠ACD=1+4+2=7,得AD=√万， 在Rt△BCF中，BF2=BC2+CF2=1+1=2,BF=√2， 由(2)知，BF⊥平面ACE,BFC平面BCD,得平面ACE⊥平面BCD, 设点A在平面BCD内的射影为H,则点H在直线EC上，且AH⊥平面BCD, 连接AH,HD,则∠ADH为直线AD与平面BCD所成角， 2 得cos∠ACM=4C2+CM2-AM:1+}-点 =22=- 2x1x V2 2 ,即cos∠ACM=135°， 2AC.CM 因此，MH=AC.sin45=1x2_V2 22 √2 在Rt△AD中，sin∠ADH=A_= 2 14 AD√714’ 放直线AD与平面BCD所成角的正弦值为Y4 …17分 14 19.(17分)(1)当a=b=1时，f(x)=2cos2x+cosx-1, 1 由f(x)≤0，即2cos2x+cosx-1≤0，解得-1≤cosx≤ …2分 2 由余弦函数图象知， 写+2m≤x≤5r+2玩，飞Z 3 故不等式f(x)≤0的解集为 2+2，kez.4分 (2)由二倍角公式得f(x)=2bcos2x+acosx-b，设cosx=t,t∈[-1,1]， 则问题等价于：对任意t∈[-1,1]，存在实数a,使得不等式2bt2+at-b≤1恒成立， 记g()=2bt2+at-b,te[-1,1], ①当b>0时，因为函数g()的图象开口向上， 所以g()的最大值为max{g(I),g(-1)}=max{b+a,b-a}, 得b+a≤1且b-a≤1，即b-1≤a≤1-b, 因此，要存在实数a,则b-1≤1-b,得b≤1， 当b=1时，a=0,此时函数(x)=cos2x≤1恒成立： ②当b≤0时，易知b<1: 综上，b的最大值为1.… …10分 (3)由(2)知f(x)=2bcos2x+acosx-b,设cosx=t,t∈[-1,1]， 则问题等价于：对任意t∈[-1，]，不等式2bt2+at-b22V1-恒成立， 记h(t)=2bt2+at-b,t∈[-1,1]， ①当b≠0时，因为△=a2+8b2>0,所以关于t的方程2bt2+at-b=0在R上有两个不同 做6a6=宁w4号0小影-o 香则小克与4巧=号矛后， 2 不4-空小=p4-o,2小F0 2b2+at-b≥2V1-2不成立，因此，当b≠0时，不满足条件： ②当b=0时，问题等价于：对任意t∈[-1,1]，不等式a≥2W1-t2恒成立， 易知，当t=0时，2W1-t2取到最大值2，得a≥2， 因此，当b=0,a≥2时，对任意te[-1,],不等式2bt2+at-bl≥21-t2恒成立： 综上，b=0,a≥2，故a+b∈(-oo,-2]U[2,+o). …17分