精品解析： 重庆市长生桥中学校2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷

长生桥中学校高2023级高一下5月考试卷（数学） 命题人：周小东 审题人：刘红梅 （考试时间：120分钟 总分150分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数z满足，则z在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法求得复数后可得其对应点的坐标，得其所在象限． 【详解】解：由，得， ∴z在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限． 故选：D． 2. 如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，由直观图的特征推出原平面图形的形状及相关边长，再利用梯形面积公式计算原平面图形的面积． 【详解】在直观图中作，垂足分别为E，F， 则 确定原平面图形的形状及部分边长： 在斜二测画法中，平行于y轴的线段，在原图形中长度变为直观图中对应线段长度的倍． 已知直观图是底角为，腰和上底均为的等腰梯形，因为直观图中腰长为且平行于y轴，所以原平面图形为直角梯形，其直角腰长为直观图中腰长的倍，即；上底边长在斜二测画法中长度不变，所以原平面图形上底边长为． 原图如下： 将原平面图形上底，下底，高代入公式，可得． 原平面图形的面积是． 故选：A． 3. 已知向量与的夹角为，，，则（ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算法则，直接计算，即可得出结果. 【详解】因为向量与的夹角为，，， 所以. 故选：B. 4. 已知，是空间两个不同的平面，，是空间两条不同的直线，下列说法中正确的是（ ） A. ，则 B. ，，则 C. 平面内的不共线三点到平面β的距离相等，则与平行 D. 如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与此平面内的无数条直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】，则或，判断选项A， ，，则或，判断选项B，当两个面相交时，可以在平面内找到的不共线三点到平面β的距离相等，判断选项C，根据平行的传递性判断选项D. 【详解】，则或，故选项A错误； ，，则或，故选项B错误； 当平面与平面相交时，可以在平面内找到不共线三点到平面β的距离相等，故选项C错误； 如果一条直线与一个平面平行，那么平面内必有一条直线与给定直线平行，而平面内与一条直线平行的直线有无数条，根据平行的传递性，这些直线都与给定直线平行，所以有无数条，故选项D正确. 故选：D. 5. 在中，分别是，，的对边.若，且，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，且，得到，利用余弦定理求解. 【详解】因为，且， 所以， 所以 ， 因为 ，所以 ， 故选：A 6. 下图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2cm､底面边长为1cm的正三棱锥，后段是高为0.6cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出内切圆半径为r，再分别利用三棱锥体积与圆柱体积公式即可求出总体积. 【详解】因为正三棱锥的底面边长为1，设其内切圆半径为r，由等面积法，可得：，解得：，所以其内切圆半径为. 由三棱锥体积与圆柱体积公式可得：. 故选：D. 7. 如图所示，四棱锥中，平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，，M为PD的中点，则CD与平面ACM所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点D 作于点N，证明平面，得CD与平面ACM 所成的角为，在中，求的余弦值. 【详解】如图，过点D 作于点N， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又四边形ABCD为矩形，，，平面AMD， 所以平面AMD，因为平面AMD，所以， 在中，，M为PD 的中点，所以且， 又，平面CDM，所以平面CDM， 因为平面ACM，所以平面平面， 因为平面平面，，平面， 所以平面，所以CD与平面ACM 所成的角为. 因为平面，平面，所以， 在中，. 故选：B. 8. 在中，角、、的对边分别为、、，若，又的面积，且，则（ ） A. 64 B. 84 C. -69 D. -89 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式整理可求得关系，再由三角形面积公式和余弦定理求得三边，再由数量积运算得到结果 【详解】由，得， 所以， 则，即，即， 又，即， 又，得， 联立、、，解得， 则，即， 由，平方知， 所以. 故选：C. 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. 图中 B. 估计样本数据的第60百分位数约为85 C. 若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为79.5 D. 若按各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取30名成绩低于80分的学生，则成绩在内的学生应抽取10人 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用频率分布直方图各小矩形面积和为1计算判断A；利用频率分布直方图结合第p百分位数、平均数的意义计算判断BC；利用分层抽样求出抽取的人数作答. 【详解】对于A，由图知，解得，A错误； 对于B，成绩在内对应的频率为， 成绩在内对应的频率为， 因此第60百分位数位于区间内，， 所以估计样本数据的第60百分位数约为85，B正确； 对于C，平均数约为，C正确； 对于D，成绩低于80分的三组学生的人数之比为，则应选取成绩在内的学生人数为，D正确. 故选：BCD 10. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式可求得的值，结合同角三角函数的基本关系可判断A选项的正误；利用余弦定理求出的值，可判断BC选项的正误；利用三角形的面积公式可判断D选项的正误. 【详解】，， 由正弦定理可得，可得，故为锐角， 所以，，A选项正确； 由余弦定理可得， 即，解得或， 若，则，，此时，与题意不符， 所以，，即选项B正确，选项C错误； 的面积，即选项D错误. 故选：AB. 11. 正方体的棱长为分别是和的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 平面截正方体所得的截面是梯形 C. 线段长度的最小值为 D. 是面积为的等腰三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出三棱锥的体积判断；由，且，可得四边形是梯形判断B；根据当为的中点时，的长度最小，最小值是判断C；求得判断D. 【详解】对于，点到平面的距离为，所以三棱锥的体积是定值，正确； 对于，平面截正方体所得的截面是四边形，因为，且，所以四边形是梯形，B正确； 对于，当为的中点时，的长度最小，最小值是，C不正确； 对于D，是等腰三角形且面积为正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若一个正四棱台的上、下底面边长分别为2、4，它的高为2，则该四棱台的表面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据棱台表面积公式，结合正方形的面积公式、等腰梯形的面积公式进行求解即可. 【详解】如下图所示：， 所以， 所以该四棱台的表面积为：， 故答案为： 13. 某班成立了A，B两个数学兴趣小组，A组有5名学生，B组有10名学生，在某次测验中，A组学生的成绩如图所示，B组学生的平均成绩为117分，方差为14.若将A组学生、B组学生该次测验的成绩混合在一起，产生一组新的数据，则这组新数据的方差为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定的茎叶图求出组学生该次测试成绩的平均成绩及方差，再求出两组学生混合在一起的平均数，最后利用分层抽样的方差公式计算即得. 【详解】由茎叶图知，组5名学生的测试成绩分别为， 组5名学生测试成绩的平均分为， 方差为， 而组学生的平均成绩为，方差为， 因此新数据组的平均分， 方差. 故答案为：. 14. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵中，，，AB＝8，则鳖臑外接球的表面积为___，阳马体积的最大值为___． 【答案】 ①. ②. 64 【解析】 【分析】将鳖臑外接球即为堑堵的外接球，从而求出外接球直径为，得到外接球表面积，利用基本不等式得到，求出体积的最大值 【详解】鳖臑外接球即为堑堵的外接球，可将堑堵补成长方体， 则外接球直径为， ∴其表面积为． ∵，当且仅当时取等号， 所以， ∴阳马的体积为． 故答案为：，64 四、解答题（本大题共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响. （1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）令甲、乙、丙家庭回答正确分别为事件，由，，根据相互独立事件性质可求解； （2）令甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题为事件，即三个家庭中有一个家庭回答错误或者三个家庭都回答正确 则：，代入第一问数据即可. 【小问1详解】 设甲、乙、丙家庭回答正确分别为事件， 根据题意，则有，则， 又，所以，即， 又，所以. 所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为和. 【小问2详解】 设甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题为事件， 则有 ， 所以甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率为. 16. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） 证明：连接交于点， 因为且，所以，四边形为平行四边形， 因为，则为的中点， 又因为为的中点，所以，， 平面，平面，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）计算出三棱锥的体积以及的面积，利用等体积法可求得点到平面的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接、， 平面，、平面，，， ，，、平面，平面， 且，故四边形为矩形，则， 故， 由勾股定理可得，， 所以，，且， ，， 设点到平面的距离为，则，解得. 因此，点到平面的距离为. 17. 在中，内角的对边分别为的面积为S，已知，且． （1）求； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式及余弦定理计算可得，再根据弦化切计算即可； （2）利用正弦定理结合（1）化简得，再结合角的范围及三角函数的性质计算即可. 【小问1详解】 因为，所以， 在中，由余弦定理，得， 因为，所以， 所以，所以，因为，所以． 【小问2详解】 在中，由正弦定理，得， 所以 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围为． 18. 如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形所在平面互相垂直，Q为的中点. （1）求证：； （2）在线段上是否存在一点N，使得平面平面，若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论，若不存在，请说明理由； （3）求二面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在点N为AB中点，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明线面垂直，从而利用线面垂直证明线线垂直； （2）根据线面垂直的性质、正方形的性质，结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理进行证明即可； （3）利用三垂线定理作出二面角的平面角并证明，在三角形中求解即可. 【小问1详解】 正三角形中，为的中点，故， 因为侧面底面，侧面底面，所以底面， 又底面，所以； 【小问2详解】 存在点N，当N为AB中点时，平面平面，证明如下： 由（1）知：底面，又底面，所以， 因为四边形ABCD是正方形，Q为AD的中点，N为AB中点，所以， ，所以，所以， 因为，所以，所以， 而平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； 【小问3详解】 过Q点作，连接PM，因为底面，平面，所以， 又，、平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角，在正三角形中，， 在三角形中，，所以在中，， 所以二面角的正切值为. 19. 已知向量，其中，． （1）若，且，求向量在向量上的投影向量； （2）设、、是坐标平面内三点，，其，，．若为等边三角形，求θ的所有可能值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出的坐标，根据平面向量共线的坐标表示结合同角三角函数的基本关系求出、的值，可得出向量的坐标，再利用投影向量的定义可求得向量在向量上的投影向量的坐标； （2）求出向量、的坐标，进而可求得向量、的坐标，根据为等边三角形可得出，，利用三角恒等变换可得出，结合角的取值范围可求得角的值，求出的取值范围，结合可求得角的取值. 【小问1详解】 解：因为，，所以，， 又因为，其中，，所以，， 因为，则，由，解得， 所以，，则，， 所以，在方向上的投影向量为. 【小问2详解】 解： ， ， 所以，， ， 因为为等边三角形，所以，， 所以，， 所以， ， ，，，所以，， 因为，所以，， 因为，所以，，解得或. 【点睛】关键点点睛：解本题第二问的关键在于计算出、的坐标，抓住为等边三角形这个条件，从边和角这两个层面进行分析，利用向量数量积这一工具，结合三角恒等变换求出三角函数值，再结合角的取值范围得出答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长生桥中学校高2023级高一下5月考试卷（数学） 命题人：周小东 审题人：刘红梅 （考试时间：120分钟 总分150分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数z满足，则z在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量与的夹角为，，，则（ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 4. 已知，是空间两个不同的平面，，是空间两条不同的直线，下列说法中正确的是（ ） A. ，则 B. ，，则 C. 平面内的不共线三点到平面β的距离相等，则与平行 D. 如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与此平面内的无数条直线平行 5. 在中，分别是，，的对边.若，且，则的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 下图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2cm､底面边长为1cm的正三棱锥，后段是高为0.6cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，四棱锥中，平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，，M为PD的中点，则CD与平面ACM所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角、、的对边分别为、、，若，又的面积，且，则（ ） A. 64 B. 84 C. -69 D. -89 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. 图中 B. 估计样本数据的第60百分位数约为85 C. 若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为79.5 D. 若按各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取30名成绩低于80分的学生，则成绩在内的学生应抽取10人 10. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 正方体的棱长为分别是和的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 平面截正方体所得的截面是梯形 C. 线段长度的最小值为 D. 是面积为的等腰三角形 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若一个正四棱台的上、下底面边长分别为2、4，它的高为2，则该四棱台的表面积为______． 13. 某班成立了A，B两个数学兴趣小组，A组有5名学生，B组有10名学生，在某次测验中，A组学生的成绩如图所示，B组学生的平均成绩为117分，方差为14.若将A组学生、B组学生该次测验的成绩混合在一起，产生一组新的数据，则这组新数据的方差为______. 14. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵中，，，AB＝8，则鳖臑外接球的表面积为___，阳马体积的最大值为___． 四、解答题（本大题共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响. （1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 16. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离． 17. 在中，内角的对边分别为的面积为S，已知，且． （1）求； （2）求的取值范围． 18. 如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形所在平面互相垂直，Q为的中点. （1）求证：； （2）在线段上是否存在一点N，使得平面平面，若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论，若不存在，请说明理由； （3）求二面角的正切值. 19. 已知向量，其中，． （1）若，且，求向量在向量上的投影向量； （2）设、、是坐标平面内三点，，其，，．若为等边三角形，求θ的所有可能值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $