精品解析：新疆乌鲁木齐市第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

乌鲁木齐市第一中学2023—2024学年第二学期2026届高一年级期末考试 数学试卷Ⅰ （请将答案写在答题纸上） 命题人：靳艳军 审题人：王永亮 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 甲、乙两名同学参加了一次篮球比赛的全部7场比赛，平均每场得分都是16分，标准差分别为3.5和4.62，则甲、乙两名同学在这次篮球比赛中，发挥更稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 甲、乙相同 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平均数、标准差的意义即可判断作答. 【详解】因甲、乙平均每场得分相同，都是16分，而甲的标准差3.5小于乙的标准差4.62， 即甲每场比赛的得分波动较乙的小，甲发挥更稳定. 故选：A 2. 设为两条直线，为两个平面，若，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若且，则与平行、相交或异面，所以A不正确； 对于B中，若且，则与平行、相交或异面，所以B不正确； 对于C中，若且， 如图所示，取点，过点，作，则， 设，可得，因为，且平面， 所以平面，又因为平面，所以， 所以为与所成角的平面角，由，可得，即， 所以四边形为矩形，所以，所以，所以C正确； 对于D中，若且，则与平行、相交或异面，所以D不正确. 故选：C. 3. 对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设{两弹都击中飞机}，{两弹都没击中飞机}，{恰有一弹击中飞机}，{至少有一弹击中飞机}，下列说法不正确的是（ ） A. A⊆D B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据样本空间、事件的运算和含义即可解答. 【详解】由于至少有一弹击中飞机包括两种情况：两弹都击中飞机，只有一弹击中飞机， 对于A，有，故A正确； 对于B，事件B、D不可能同时发生，两事件互斥，所以，故B正确； 对于C，成立，故C正确； 对于D，{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件，而为必然事件，故D不正确． 故选:D． 4. 中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ） A. 16 B. C. D. 21 【答案】D 【解析】 【分析】由祖暅原理知不规则几何体的体积与正六棱台体积相等即可求解. 【详解】由祖暅原理，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等， 故. 故选：D 5. 某工厂生产三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5.现用分层抽样的方法抽取1个容量为的样本，若样本中种型号的产品有16件，则样本容量（ ） A. 40 B. 60 C. 80 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】设种型号的产品有件，利用分层抽样性质列方程可求. 【详解】设种型号的产品有件， 因为三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5， 所以种型号的产品有件，种型号的产品有件， 由已知可得， 所以， 故选：C. 6. 某人有4把钥匙，其中2把能打开门，如果随即地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率有多大？（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由古典概型概率计算公式结合乘法公式即可求解. 【详解】根据题意，第二次才能打开门，说明第一次没有打开门，故第一次没有打开门的概率为， 把没有打开门的钥匙扔掉，故剩下3把钥匙，所以此时能打开门的概率是， 故第二次才能打开门的概率是． 故选：B． 7. 如图，点N为正方形ABCD的中心，为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段EB的中点，则（ ） A. DM≠EN，且直线DM、EN是异面直线 B. DM＝EN，且直线DM、EN是异面直线 C. DM≠EN，且直线DM、EN是相交直线 D. DM＝EN，且直线DM、EN是相交直线 【答案】D 【解析】 【分析】连接，可得是的中点，可得与相交，进而可证，从而可得，从而可得. 【详解】连接， 因为点N为正方形ABCD的中心，所以是的中点， 所以平面，所以与相交， 因为四边形ABCD是正方形，所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面，因为平面，所以， 又因为是等边三角形，所以， 所以，所以，又因为是的中点， 所以. 故选：D. 8. 已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算求半径为，再计算球体积和圆锥体积，计算得到答案. 【详解】如图所示：设球半径为，则，解得. 故求体积为：，圆锥的体积：，故. 故选：. 【点睛】本题考查了圆锥，球体积，圆锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）一组数据，，，，的平均值为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记，，，，的平均值为，方差为，极差为，中位数为，则（    ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平均数、方差、极差、中位数定义及性质求解即可． 【详解】由题意可得，，，. 故选：ACD． 10. 某中学为研究本校高二学生在市联考中的语文成绩，随机抽取了位同学的语文成绩作为样本，得到以，，，，，，分组的样本频率分布直方图如图.则下列说法正确的是（ ） A. B. 样本内语文分数在有位同学 C. 用该图表估计本次联考该校语文成绩的中位数为 D. 从全校高二学生中随机选出人，则该学生成绩在中的概率为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据频率和为可构造方程求得的值，知A正确；由频率和频数的关系可求得B正确；根据频率分布直方图估计中位数的方法可求得C正确；用频率估计概率可知D错误. 【详解】对于A，，，A正确； 对于B，样本内语文分数在的频率为， 样本内语文分数在的有人，B正确； 对于C，，， 中位数位于之间，设中位数为， 则，解得：，即中位数为，C正确； 对于D，由频率分布直方图知：样本中学生成绩在中的频率为， 用频率估计概率，则全校高二学生中随机选出人，该学生成绩在中的概率为，D错误. 故选：ABC. 11. 棱长为1的正方体中，点为线段上一点（不包括端点），点为上的动点，下列结论成立的有（ ） A. 过的截面截正方体所得的截面多边形为等腰梯形 B. 的最小值为 C. 当点为线段中点时，三棱锥的外接球的半径为 D. 两点间的最短距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据面面平行的性质可判断A；将两半平面折成一个平面，从而求得线段和的最小值，判断B；确定三棱锥的外接球的球心位置，列式求解，可判断C；求解异面直线的公垂线段的长可判断D. 【详解】在正方体中，平面平面， 设过的截面截正方体所得的截面为，M为截面与的交点， 因为平面平面，平面平面， 所以，又，故， 即∽，而， 则， 又点为线段上一点（不包括端点），， 即过的截面截正方体所得的截面多边形为等腰梯形，A正确； 根据正方体性质可知≌， 故可将沿转到和重合位置，则的最小值为的长， 而正方体棱长为1，故，即的最小值为，B正确； 当点为线段中点时，设的中点为N，连接， 由于，故， 连接交于G，连接，则四边形为矩形， 故，平面， 故平面，又，则N为的外心， 故三棱锥的外接球的球心在上，设为H，而, ，则， 设三棱锥的外接球半径为r，则， 解得，C错误； 当分别为的中点时，由C的分析可知Q位于N点位置， 此时，即此时间距离最短，最短距离为，D正确， 故选：ABD 【点睛】难点点睛：本题综合考查了几何体截面问题、线段和最小以及外接球半径和异面直线间的最短距离问题，难度较大，解答时要发挥空间想象能力，明确空间的位置关系，特别是求外接球半径时，要确定球心位置，再列式求解. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某新能源汽车店五月份的前8天汽车销量（单位：辆）分别为：，则这组数据的分位数为______． 【答案】13 【解析】 【分析】将数据从小到大排列，然后算出分位数的位置，由百分位数的定义，即可得到答案. 【详解】将这8个数据从小到大排列得， 因为，所以这组数据的分位数为． 故答案为：13 13. 已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是______. 【答案】0.79. 【解析】 【分析】 由甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，利用对立事件概率计算公式列出方程，由此能求出a的最大值. 【详解】解：甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a， ∵甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率， ∴， 解得. ∴a的最大值是0.79. 故答案为：0.79. 【点睛】此题考查对立事件概率的应用，属于基础题 14. 已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，为圆锥底面圆的直径，是的中点，是母线的中点，则圆锥的表面积为______．异面直线与所成角的余弦值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）直接求出底面积和侧面积，即可求出表面积； （2）延长至点，使，连接，，，可以证明为异面直线与所成的角（或补角），在中，利用余弦定理求出异面直线与所成角的余弦值. 【详解】 由圆锥的底面半径为2，母线长为4， 则圆锥的表面积为. 延长至点，使，连接，，． 因为是母线的中点，所以， 所以为异面直线与所成的角（或补角）． 由题意知，，又是的中点，所以， 所以在中，．因为， 所以，所以．在中，， 则由余弦定理得：， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：， 四、解答题：本大题5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校高二年级共有800名学生参加2021年全国高中数学联赛初赛，为了解学生成绩，现随机抽取40名学生的成绩(单位:分)，并列出频数分布表如下: 分组 频数 5 7 13 10 5 （1）试估计该年级成绩不低于90分的学生人数； （2）成绩在区间上的5名学生中有3名男生，2名女生，现从中随机选出2名学生参加访谈，求恰好选中一名男生和一名女生的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，计算出样本中成绩不低于90分的频率，即可求出结果； （2）根据条件，列出样本空间中的样本点及事件包含的样本点，再利用古典概型概率公式，即可求出结果. 【小问1详解】 估计该年级成绩不低于90分的学生人数为. 【小问2详解】 分别记男生为1，2，3号，女生为4，5号，从中随机选出2名学生，对应的样本空间， 共有10个样本点，每个样本点发生的可能性相等. 设事件 “恰好选中一名男生和一名女生”，则事件包含的样本点有：，共6个， 所以. 16. 如图，四棱锥中，四边形为矩形，为等腰三角形，，平面平面且分别为和的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面. 【答案】 （1）因为四边形为矩形，、分别为、的中点 连接， 因为与相交且互相平分，交点为中点； 过点，且为中点； 、分别为、的中点， 在中， 为三角形的中位线， ； 面，面 面； （2）四边形为矩形，， 平面平面，面面，面， 面， 面， ， 又， ，（已证）， 平面； 平面； 平面平面； 即：平面平面； 【解析】 【分析】（1）利用三角形的中位线有；利用线面平行的判定定理证明．（2）利用线面垂直的性质和面面垂直的判定定理证明即可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 17. 某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛. 小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响. （1）求小明在第一轮得40分的概率； （2）以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？ 【答案】（1）； （2）小明更容易晋级复赛. 【解析】 【分析】（1）对A类的5个问题进行编号：，设小明只能答对4个问题的编号为：，列出所有的样本空间，即可求出小明在第一类得40分的概率； （2）依题意能够晋级复赛，则第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分；或第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答对一题得分，第二轮答对两题得分；分别求出小芳和小明晋级复赛的概率，进行比较得出结论. 【小问1详解】 对A类的5个问题进行编号：，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答， 则有共种， 设小明只能答对4个问题的编号为：， 则小明在第一轮得40分，有共种， 则小明在第一轮得40分的概率为：； 【小问2详解】 由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为， 则小明在第一轮得0分的概率为：， 依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分 当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为： ； ； 当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为： ；； 当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为： ；； 当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时， 小芳晋级复赛的概率分别为： ； 小芳晋级复赛的概率为：； 小明晋级复赛的概率为：； ， 小明更容易晋级复赛. 18. 如图，直四棱柱中，底面为矩形，且 （1）求直线与平面所成的角的大小； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线到平面的距离. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得直四棱柱是长方体，则 平面，所以 即为直线与平面所成的角，然后在中求解即可； （2）由长方体的性质可得，，所以得为二面角的平面角，然后在中求解即可； （3）由长方体的性质可得∥，则∥平面，所以点B到平面的距离即为直线到平面的距离，然后利用等体积法可求得结果. 【小问1详解】 因为在直四棱柱中，底面为矩形， 所以直四棱柱是长方体， 即在长方体中， 平面, 即 平面，则 即为直线与平面所成的角， 因为， 所以在中，，，故 即直线与平面所成的角为 【小问2详解】 由（1）知直四棱柱是长方体，则在长方体中， 平面， 因为，平面，所以，， 又平面，平面， 由二面角的平面角的定义知为二面角的平面角， 因为，所以在中， ，， 故，则 ， 即二面角的余弦值为； 【小问3详解】 由（1）知直四棱柱是长方体，则在长方体中， 由于∥ ，故四边形是平行四边形， 故∥， 而平面，平面， 故∥平面， 则点B到平面的距离即为直线到平面的距离， 而 ， 故 , 设点B到平面的距离为h，则，即 , 则 ，即直线到平面的距离为. 19. 在体育比赛中，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入半决赛的有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入总决赛，败者进入败者组，之前进入败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示）.双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为，其中对阵其他三个队伍时获胜的概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为，最初分组时，同组，同组. （1）若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？ （2）分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 【答案】（1）获得冠军的概率为，获得冠军的概率为. （2）在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为；在“双败赛制”赛制下，获得冠军的概率为；双败赛制对强者更有利 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率公式进行求解即可； （2）首先利用独立事件的概率公式分别求出两种赛制下获得冠军的概率，再利用作差法比较大小即可. 【小问1详解】 结合题意可得获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 所以获得冠军的概率为. 结合题意可得获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 所以获得冠军的概率为. 【小问2详解】 在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为. 在“双败赛制”赛制下，讨论进入胜者组､败者组两种情况： 当进入胜者组，若在胜者组失败，后两局都胜，方可得冠军；若在胜者组胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军， 此时获得冠军的概率为； 当进入败者组，后三局都胜，方可得冠军， 此时获得冠军的概率为. 综上，获得冠军的概率为. 令， 则， 由得. 若A为强队，则，此时. 即，所以. 所以双败赛制对强者更有利. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第一中学2023—2024学年第二学期2026届高一年级期末考试 数学试卷Ⅰ （请将答案写在答题纸上） 命题人：靳艳军 审题人：王永亮 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 甲、乙两名同学参加了一次篮球比赛的全部7场比赛，平均每场得分都是16分，标准差分别为3.5和4.62，则甲、乙两名同学在这次篮球比赛中，发挥更稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 甲、乙相同 D. 不能确定 2. 设为两条直线，为两个平面，若，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设{两弹都击中飞机}，{两弹都没击中飞机}，{恰有一弹击中飞机}，{至少有一弹击中飞机}，下列说法不正确的是（ ） A. A⊆D B. C. D. 4. 中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ） A. 16 B. C. D. 21 5. 某工厂生产三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5.现用分层抽样的方法抽取1个容量为的样本，若样本中种型号的产品有16件，则样本容量（ ） A. 40 B. 60 C. 80 D. 100 6. 某人有4把钥匙，其中2把能打开门，如果随即地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率有多大？（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点N为正方形ABCD的中心，为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段EB的中点，则（ ） A. DM≠EN，且直线DM、EN是异面直线 B. DM＝EN，且直线DM、EN是异面直线 C. DM≠EN，且直线DM、EN是相交直线 D. DM＝EN，且直线DM、EN是相交直线 8. 已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为 A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）一组数据，，，，的平均值为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记，，，，的平均值为，方差为，极差为，中位数为，则（    ） A. B. C. D. 10. 某中学为研究本校高二学生在市联考中的语文成绩，随机抽取了位同学的语文成绩作为样本，得到以，，，，，，分组的样本频率分布直方图如图.则下列说法正确的是（ ） A. B. 样本内语文分数在有位同学 C. 用该图表估计本次联考该校语文成绩的中位数为 D. 从全校高二学生中随机选出人，则该学生成绩在中的概率为 11. 棱长为1的正方体中，点为线段上一点（不包括端点），点为上的动点，下列结论成立的有（ ） A. 过的截面截正方体所得的截面多边形为等腰梯形 B. 的最小值为 C. 当点为线段中点时，三棱锥的外接球的半径为 D. 两点间的最短距离为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某新能源汽车店五月份的前8天汽车销量（单位：辆）分别为：，则这组数据的分位数为______． 13. 已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是______. 14. 已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，为圆锥底面圆的直径，是的中点，是母线的中点，则圆锥的表面积为______．异面直线与所成角的余弦值为______． 四、解答题：本大题5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校高二年级共有800名学生参加2021年全国高中数学联赛初赛，为了解学生成绩，现随机抽取40名学生的成绩(单位:分)，并列出频数分布表如下: 分组 频数 5 7 13 10 5 （1）试估计该年级成绩不低于90分的学生人数； （2）成绩在区间上的5名学生中有3名男生，2名女生，现从中随机选出2名学生参加访谈，求恰好选中一名男生和一名女生的概率. 16. 如图，四棱锥中，四边形为矩形，为等腰三角形，，平面平面且分别为和的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面. 17. 某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛. 小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响. （1）求小明在第一轮得40分的概率； （2）以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？ 18. 如图，直四棱柱中，底面为矩形，且 （1）求直线与平面所成的角的大小； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线到平面的距离. 19. 在体育比赛中，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入半决赛的有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入总决赛，败者进入败者组，之前进入败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示）.双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为，其中对阵其他三个队伍时获胜的概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为，最初分组时，同组，同组. （1）若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？ （2）分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $