精品解析：甘肃省武威市第七中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

武威七中2024年春学期高二年级期末考试试卷 数学 （满分150分考试时间120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再根据交集，补集和子集得定义即可得解. 【详解】， 所以，， 故ABD错误，C正确. 故选：C. 2. 设,则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由可推出同号,则根据分类讨论可得出,根据,两边同乘可得,即可选出选项. 【详解】解:由题知,则同号, 当时,有, 当时,有, 故能推出, 当成立时,又, 对不等式两边同时乘以可得, 故“”是“”的充分必要条件. 故选:C 3. 设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性求出，求出函数的导数，根据导数的几何意义，利用点斜式即可求出结果． 【详解】函数的定义域为，若为奇函数，则 则，即， 所以， 所以函数，可得； 所以曲线在点处的切线的斜率为，则曲线在点处的切线方程为，即． 故选：C． 4. “哥德巴赫猜想”被誉为数学皇冠上的一颗明珠，是数学界尚未解决的三大难题之一．其内容是：“任意一一个大于2的偶数都可以写成两个素数（质数）之和．”若我们将10拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，在加数都大于2的条件下，两个加数均为素数的概率是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出两个加数都大于2的情况，即两个加数都为素数的情况，即可得出概率. 【详解】记“两个加数都大于2”为事件A，“两个加数都为素数”为事件B， 在加数都大于2的条件下则事件A有这5种情况 事件B有这3种情况，故. 故选：B. 5. 已知正方体中，点M在棱上，直线平面，则点M的位置是（ ） A. 点D B. 点 C. 的中点 D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，，由题意，则，由此求出值即可得出答案. 【详解】如图，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，， ， ， ∵，∴， ∵直线平面，平面， ∴，∴， ∴，解得，此时点M与点D重合． 故选：A． 6. 已知若，则实数的值为（ ） A 1 B. 4 C. 1或4 D. 2 【答案】B 【解析】 分析】分和，求解，即可得出答案. 【详解】当时，，则，解得：（舍去）； 当时，，则，解得：. 故选：B. 7. 某地区有名学生参加某次考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该地区学生本次考试数学成绩在分以上的人数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的对称性求出的值，再乘以即可得解. 【详解】由正态分布曲线的对称轴为，以及， 得， 因此， 故估计该地区学生本次考试数学成绩在130分以上的人数为． 故选：B． 8. 已知：偶函数定义域为且上有.，若，则不等式的解集是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件得函数在上单调递增，在上单调递减，且，由此可得选项. 【详解】由偶函数对任意的上有，所以函数在上单调递增， 又由于偶函数的图象关于y轴对称，所以函数在上单调递减， 因为，所以， 所以不等式的解集是， 故选：B. 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性综合运用，求解不等式的问题，属于中档题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 为研究如何合理施用有机肥，使其最大限度地促进某种作物的增产，同时减少对周围环境的污染，某研究团队收集了7组某种有机肥的施用量和当季该种作物的亩产量的数据，并对这些数据进行了初步处理，得到如表所示的一些统计量的值，其中，有机肥施用量为（单位：千克），当季该种作物的亩产量为（单位：百千克）. 1 2 4 6 11 13 19 19 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4 现有两种模型可供选用，模型I为线性回归模型，利用最小二乘法，可得到关于的经验回归方程为，模型II为非线性经验回归方程，经计算可得此方程为，另外计算得到模型I的决定系数和模型II的决定系数，则（ ） A. B. 模型II的拟合效果比较好 C. 在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量一定增加0.17个单位 D. 若7组数据对应七个点，则至少有一个点在经验回归直线上 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，计算出，代入中，求出；B选项，越大，拟合效果越好；CD选项，根据线性回归方程的意义作出判断； 【详解】A选项，由题意得， ， 模型的经验回归方程为，所以，即，故A正确； B选项，因为越大，拟合效果越好，所以模型II的拟合效果比较好，故B正确； C选项，在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量平均增加0.17个单位，故C错误； D选项，因为有可能没有数据点在经验回归直线上，所以D错误. 故选：AB 10. 下列四个命题中假命题是（ ） A. ， B. ， C. ，使 D. ， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据全称命题与存在性命题的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，，所以A为假命题； 对于B中，当时，，所以B假命题； 对于C中，当时，，所以C为真命题； 对于D中，由，解得，其中都为无理数，所以D为假命题. 故选：ABD. 11. 我国古代数学名著《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为“堑堵”．现有一如图所示的“暂堵”，其中，若，则（ ） A. 该“堑堵”的体积为2 B. 该“堑堵”外接球的表面积为 C. 若点P在该“堑堵”上运动，则的最大值为 D. 该“堑堵”上，与平面所成角的正切值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据棱柱的体积公式计算即可判断A；先求出外接球的半径，再根据球的表面积公示即可判断B；当点与重合时，最大，求出即可判断C；证明平面，可得即为与平面所成角的平面角，解即可判断D. 【详解】对于A，由题意，故A正确； 对于B，设该“堑堵”外接球的半径为， 因为两两垂直， 所以，所以， 所以该“堑堵”外接球的表面积为，故B正确； 对于C，当点与重合时，，故C错误； 对于D，连接， 因为平面， 所以平面， 所以即为与平面所成角的平面角， 在中，， 所以， 即与平面所成角的正切值为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，且，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式，即可求解. 【详解】，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：1 13. 如图，二面角的大小为，其棱l上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若则两点间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的线性关系可得，两边平方可求的长度. 【详解】因为二面角的大小为，， . ,即两点间的距离为. 故答案为： 14. 已知函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数判断函数在上的单调性，结合偶函数性质即可将原题不等式等价转换为，从而转换为一元二次不等式即可得解. 【详解】因为，的定义域为全体实数， 所以，即为偶函数， 当时，，令， ，即在上单调递增， 所以，故在上单调递增， 因为，所以，所以， 解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，且满足，，求实数，的值. 【答案】，. 【解析】 【分析】先求出集合，然后结合集合的交集，并集运算及方程的根与系数关系可求. 【详解】因为，， 又，， 故，即，是方程的根， 所以，， 故，. 16. 已知件产品中有件合格品和件次品，现从这件产品中分别采用有放回和不放回的方式随机抽取件，设采用有放回的方式抽取的件产品中合格品数为，采用无放回的方式抽取的件产品中合格品数为． （1）求； （2）求的分布列及数学期望； （3）比较数学期望与的大小． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二项分布结合对立事件的概率运算求解； （2）根据题意结合超几何分布求分布列和期望； （3）根据二项分布求期望，进而比较大小. 【小问1详解】 因为采用有放回的方式抽取，可知每次取到合格品的概率， 由题意可知：， 所以. 【小问2详解】 由题意可知：的可能取值为，则有： ， 所以的分布列为 0 1 2 数学期望. 【小问3详解】 由（1）可知：的分布列及数学期望， 所以. 17. 已知函数，（注：是自然对数的底数）． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若只有一个极值点，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出在的切线斜率，即可得出切线方程； （2）由只有一个极值点，得出只有一个根，即只有一个解，根据的值域即可求出实数a的取值范围，再进行验证即可． 【小问1详解】 当时，， ， 所以在处的切线斜率为， 又， 所以在处的切线方程为，即， 所以在处的切线方程为． 【小问2详解】 若只有一个极值点，则只有一个根， 所以方程只有一个根，即只有一个解， 即与只有一个交点， 因为， 所以， 所以， 所以，当时，，当时，， 所以只有一个极小值点， 故a的取值范围为． 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点. （1）证明平面； （2）证明平面； （3）求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】法一：（1）连接，交于，连接要证明平面，只需证明直线平行平面内的直线； （2）要证明平面，只需证明垂直平面内的两条相交直线、即可； （3）必须说明是二面角的平面角，然后求二面角的大小． 法二：如图所示建立空间直角坐标系，为坐标原点，设． （1）连接，交于，连接，求出，即可证明平面； （2）证明，，即可证明平面； （3）求出，利用，求二面角的大小． 【小问1详解】 方法一： 证明：连接，交于，连接． 因为底面是正方形，所以点是的中点， 在中，是中位线，所以， 而平面且平面， 所以，平面. 方法二： 证明：如图所示为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设. 连接，交于，连接． 依题意得．,,， 因为底面是正方形，所以是此正方形的中心， 故点的坐标为且．，， 所以，这表明． 而平面且平面，所以平面． 【小问2详解】 方法一：证明：由底面，面，得， 因为底面是正方形，有， 又，平面，所以平面， 而平面，所以， 因为，可知是等腰三角形，而是边的中点，所以， 又，平面，所以平面， 而平面，所以， 又，，平面，所以平面． 方法二：证明：依题意得，， 又，故， 所以， 由已知，且，面，所以平面. 【小问3详解】 方法一：解：由（2）知，，又已知，故是二面角的平面角． 由（2）知，，， 设正方形的边长为， 则，，， ，， 在中，， 在中，，所以， 所以，二面角的大小为． 方法二：解：设点的坐标为，，则， 从而，，， 所以， 由条件知，，即，解得， 所以点的坐标为，且，， 所以 即，故是二面角的平面角． 因为， 且，， 所以 所以 所以，二面角的大小为. 19. 为了研究学生每天整理数学错题的情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”. 已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占.    数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 不经常整理 合计 （1）求图1中的值； （2）根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关? 附： 【答案】（1） （2）列联表见解析；认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于； 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各矩形面积和为1建立方程求解即可； （2）根据题目数据补全列联表，代入公式求出观测值，将其与临界值进行对比，进而求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，解得； 【小问2详解】 数学成绩优秀的有人，不优秀的人人， 经常整理错题的有人， 不经常整理错题的是人，经常整理错题且成绩优秀的有人，则 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 35 25 60 不经常整理 15 25 40 合计 50 50 100 零假设为：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关， 根据列联表中的数据，经计算得到可得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 武威七中2024年春学期高二年级期末考试试卷 数学 （满分150分考试时间120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设,则“”是“”（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 3. 设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. “哥德巴赫猜想”被誉为数学皇冠上的一颗明珠，是数学界尚未解决的三大难题之一．其内容是：“任意一一个大于2的偶数都可以写成两个素数（质数）之和．”若我们将10拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，在加数都大于2的条件下，两个加数均为素数的概率是（ ）． A. B. C. D. 5. 已知正方体中，点M在棱上，直线平面，则点M位置是（ ） A. 点D B. 点 C. 的中点 D. 不存在 6. 已知若，则实数值为（ ） A. 1 B. 4 C. 1或4 D. 2 7. 某地区有名学生参加某次考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该地区学生本次考试数学成绩在分以上的人数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知：偶函数定义域为且上有.，若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 为研究如何合理施用有机肥，使其最大限度地促进某种作物的增产，同时减少对周围环境的污染，某研究团队收集了7组某种有机肥的施用量和当季该种作物的亩产量的数据，并对这些数据进行了初步处理，得到如表所示的一些统计量的值，其中，有机肥施用量为（单位：千克），当季该种作物的亩产量为（单位：百千克）. 1 2 4 6 11 13 19 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4 现有两种模型可供选用，模型I为线性回归模型，利用最小二乘法，可得到关于的经验回归方程为，模型II为非线性经验回归方程，经计算可得此方程为，另外计算得到模型I的决定系数和模型II的决定系数，则（ ） A. B. 模型II的拟合效果比较好 C. 在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量一定增加0.17个单位 D. 若7组数据对应七个点，则至少有一个点在经验回归直线上 10. 下列四个命题中假命题是（ ） A. ， B. ， C. ，使 D. ， 11. 我国古代数学名著《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为“堑堵”．现有一如图所示的“暂堵”，其中，若，则（ ） A. 该“堑堵”体积为2 B. 该“堑堵”外接球的表面积为 C. 若点P在该“堑堵”上运动，则的最大值为 D. 该“堑堵”上，与平面所成角的正切值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，且，则的最大值为______. 13. 如图，二面角的大小为，其棱l上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若则两点间的距离为______． 14. 已知函数，则不等式的解集为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，且满足，，求实数，的值. 16. 已知件产品中有件合格品和件次品，现从这件产品中分别采用有放回和不放回的方式随机抽取件，设采用有放回的方式抽取的件产品中合格品数为，采用无放回的方式抽取的件产品中合格品数为． （1）求； （2）求的分布列及数学期望； （3）比较数学期望与的大小． 17. 已知函数，（注：是自然对数的底数）． （1）当时，求曲线在点处切线方程； （2）若只有一个极值点，求实数a的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点. （1）证明平面； （2）证明平面； （3）求二面角的大小. 19. 为了研究学生每天整理数学错题的情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”. 已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占.    数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 不经常整理 合计 （1）求图1中的值； （2）根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关? 附： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$