精品解析：江苏省南京市中华中学2023-2024学年高三上学期期初检测数学试卷

2023-2024学年高三年级第一学期中华期初检测 数学试卷 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. M B. N C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求集合M，然后由并集运算可得. 【详解】因为，且，所以， 又，所以. 故选：C 2. 已知复数满足（为虚数单位），是的共轭复数，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法运算可求得，根据共轭复数定义可得，由复数乘法运算可求得结果. 【详解】由得：，， . 故选：A. 3. 已知向量，则向量在向量上的投影向量（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出，，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D 4. 若正三棱锥的高为，，其各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出外接圆的半径，再由勾股定理列式求解多面体外接球的半径，代入球的表面积公式得答案． 【详解】已知正三棱锥的底面边长为，高为，且三棱锥的四个顶点都在同一球面上， 如图所示： ， 设点为的中心，为外接球的球心，可能在三棱锥内部，也可能在外部， ，即，解得． 该球的表面积为． 故选：C 5. 在等比数列中，有，数列是等差数列，且，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据等比数列性质求得，再由等差数列性质求解． 【详解】∵是等比数列，∴，，所以，即， ∵是等差数列，所以． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列和等比数列的性质，掌握等差数列和等比数列的性质是解题关键，设是正整数，，若是等差数列，则，若是等比数列，则．时，上述结论也成立． 6. 已知是双曲线的一个焦点，为的虚轴的一个端点，（为坐标原点），直线垂直于的一条渐近线，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不妨设为右焦点，为的虚轴的端点且在轴的正半径轴上，则，再由可得，从而可表示出直线的斜率，然后由直线垂直于的一条渐近线，列方程可求出离心率. 【详解】不妨设为右焦点，为的虚轴的端点且在轴的正半径轴上，则，则， 因为，所以，即， 所以直线的斜率为， 因为双曲线渐近线方程为， 因为直线垂直于的一条渐近线，所以， 所以，所以， 所以，解得， 因为，所以， 故选：A 7. 已知函数的定义域为，值域为，若，函数为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】推导出函数为周期函数，确定该函数的周期，求出、、、的值，结合周期性可求得的值. 【详解】由可得，① 对任意的，，所以，，② 由①②可得，所以函数是周期为的周期函数． 因为为偶函数，则， 因为，由可得，且， 由可得， 因为，所以，，故函数为偶函数， 因为，则，所以，， 由可得， 因为，所以， 故选：B. 8. 已知，对任意正数x都有恒成立，则t的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用特值法判断不合题意，当时，令，利用单调性可得，即，，再利用导数求得的最大值即可得答案. 【详解】若，则时，，即不恒成立，不合题意； 若，则时，，即不恒成立，不合题意； 当时，令，对任意正数x都有， 在上递增， 当，时，恒成立， 当，时，， 因为，所以， 则，即， 所以，， 设，则， 由，在上递增； 由，在上递减， 所以， 则，即t的最小值为， 故选：B . 【点睛】关键点点睛：对于求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数, 这样就把问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式，便于问题的解决. 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强 B. 数据的第80百分位数为15 C. 将4个人分到三个不同的岗位工作，每个岗位至少1人，有72种不同的方法 D. 若随机事件满足，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据相关系数的性质分析判断，对于B，根据百分位数的定义求解判断，对于C，先从4个人中抽取2人组成一组，然后再排列即可，对于D，根据全概率公式结合题意求解即可. 【详解】对于A：相关系数越接近1，线性相关程度越强；越接近0，线性相关程度越弱，故A错误； 对于B：由于，所以数据的第80百分位数为15，故B正确； 对于C：先捆绑再排列，先从4个人中抽取2人一组，故有，故C正确； 对于D：由全概率公式，得，故D正确； 故选：BD. 10. 已知函数，将图像上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像．若为奇函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图像关于点中心对称 B. 函数在区间上单调递减 C. 不等式的解集为 D. 方程在上有2个解 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图像变换求出函数与的解析式，利用三角函数的对称，单调性分别进行判断即可. 详解】根据题意可得，， 又因为最小正周期为，则，且，则， 即， 又因为为奇函数，则 解得，且， 所以当时，，所以， 则， 对于A，当时，，所以点是的对称中心，故正确； 对于B，令，解得，所以不是的子集，故错误； 对于C，因为，即， 所以，解得，故正确； 对于D，分别画出与在的图像，通过图像即可得到共有两个交点，故正确. 故选:ACD 11. 已知直线与圆，下列说法正确的是（ ） A. 所有圆均不经过点 B. 若圆关于直线对称，则 C. 若直线与圆相交于、，且，则 D. 不存在圆与轴、轴均相切 【答案】ABD 【解析】 【分析】A假设存在圆经过点，将代入圆的方程判断是否有解；B由在直线上，代入即可判断；C几何法先求到直线的距离，结合点线距离列方程求；D根据题设，假设存在圆与数轴相切，判断是否有解. 【详解】A：将代入，则， 所以，此时， 所以不存在值，使圆经过点，对； B：若圆关于直线对称，则在直线上， 所以，则，对； C：由题意，到直线的距离， 所以，则，可得或，错； D：若圆与轴、轴均相切，则，显然无解，即不存在这样的圆，对； 故选：ABD 12. 函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若函数在上为减函数，则 B. 若函数的对称中心为，则 C. 当时，若有三个根，且，则 D. 当时，若过点可作曲线的三条切线，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导得到导函数，根据单调区间解得A正确，代入点计算得到，B错误，求导得到函数的单调区间，确定，，代入计算得到C正确，设出切点，计算切线方程，得到，构造函数，计算极值得到D正确，得到答案. 【详解】对选项A：，， 函数在上为减函数，则，解得，正确； 对选项B：函数的对称中心为，则，，错误； 对选项C：，， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； ，，，故，， 要证，即， 整理得到，，不等式成立，正确； 对选项D：设切点为，则，， 则切线方程为， 将代入上式，整理得，方程有三个不同解， 设，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 极小值，极大值，故，正确； 故选：ACD 【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的单调区间，函数的切线问题，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，将参数的范围转化为求函数的极值是解题的关键. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，且，则的值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据求出，再利用二倍角公式和两角差的正弦公式化简原式即可求得． 【详解】由题意，， 又，所以，则， 所以， 故答案为： 14. 已知四边形是边长为2的菱形，为的中点，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合平面向量基本定理将用表示出，然后利用数量积的运算律求解即可. 【详解】因为四边形是边长为2的菱形，， 所以， 因为为的中点，所以， 所以 . 故答案为：. 15. 已知在正方体中，，是的中点，是侧面内（含边界）的动点，若，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据线面垂直可得点的轨迹是线段，进而根据等面积法即可求解最小值. 【详解】取中点，连接， 在直角中，， 故,所以， 又在正方体中，平面平面又平面， 所以平面，平面，所以， 又，平面,则平面，即点的轨迹是线段， 在直角中，， 当时，最小，此时， 即的最小值为． 故答案为： 16. 已知函数，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出在上的单调性与极大值，即可画出函数的图象，依题意可得关于的方程恰有个不相等的实数根，令，则关于的有两个不相等的实数根，且，，令，则，即可求出参数的取值范围. 【详解】当时，则，所以当时， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极大值，，且时，当时， 当时，函数在上单调递增， 所以的图象如下所示： 对于函数，令，即， 令，则， 要使恰有个不相等的实数根， 即关于的有两个不相等的实数根，且，， 令，则有两个不相等的零点均位于之间， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是利用导数说明函数的单调性，得到函数的大致图象，将函数的零点问题转化为一元二次方程根的分布问题. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或验算步骤. 17. 如图，在中，点在边上，. （1）求证：； （2）若，求和的长. 【答案】（1）证明见解析； （2）， 【解析】 【分析】（1）在和分别利用正弦定理结合可证得结论； （2）在中利用余弦定理可求得，再由可求得，由题意可得，两边平方化简可求得结果. 【小问1详解】 在中， 由正弦定理可得：， 可得：， 在中，，则， 由于， 所以， 即. 【小问2详解】 在中，， 由余弦定理， 即， 整理得， 因为，所以， 因为，所以， 所以 ， 所以 所以， 所以. 18. 设数列的前n项和为．已知，，． （1）求证：数列是等差数列； （2）设数列的前n项和为，且，令，求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)应用,结合等差数列定义证明即可; (2)先求等比数列的通项公式,再两次应用错位相减或裂项相消 【小问1详解】 ①， 当时，②， ①－②得：, 即， 所以，且， 所以是以1为公差的等差数列． 【小问2详解】 由（1）得，． 当时，；当时，； 又满足上式，所以． 所以，记数列的前n项和为． 方法一：（两次错位相减） ，① ，② ①－②得，③ 则，④ ③－④得 ， 所以． 方法二：（裂项） 因为， 所以 ． 19. 2021年7月18日第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照，，，，，，，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数； （2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，，，，的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在，的人数，求的分布列和数学期望； （3）转化为百分制后，规定成绩在，的为等级，成绩在，的为等级，其它为等级．以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物学竞赛的同学中随机抽取100人，其中获得等级的人数设为，记等级的人数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？ 【答案】（1），68 （2）分布列见解析， （3），，1，3，，40，40 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为列方程，化简求得的值，根据由频率分布直方图计算中位数的方法，计算出中位数. （2）结合超几何分布的知识计算出的分布列和数学期望. （3）根据二项分布的知识求得，由此列不等式，解不等式来求得的最大值时对应的的值. 【小问1详解】 由频率分布直方图的性质可得，， 解得， 设中位数为， ，解得． 【小问2详解】 ，，，，，的三组频率之比为， 从，，，，，中分别抽取7人，3人，1人， 所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 故． 【小问3详解】 等级的概率为， ，，1，3，，100， 令①，②， 由①可得，，解得，由②可得，，解得， 故时，取得最大． 20. 在三棱台中，为中点，，，. （1）求证：平面； （2）若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）易证得四边形为平行四边形，由此可得，结合，由线面垂直的判定可得结论； （2）根据垂直关系，以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，由二面角的向量求法可构造方程求得，利用体积桥可求得结果. 【小问1详解】 在三棱台中，为中点，则， 又，， ，四边形为平行四边形，， 又，， ，，， ，平面，平面. 小问2详解】 ，，， 又，，平面，平面， 连接，，，为中点，； 以为正交基底，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 设，则，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，解得：，，； 又平面的一个法向量， ，解得：，即， 平面，平面平面，平面， . 21. 已知椭圆M：的一个焦点为，左、右顶点分别为A，B，经过点F的直线与椭圆M交于C，D两点． （1）当直线的斜率为1时，求线段CD的长； （2）记与的面积分别为和，求的最大值． 【答案】（1） （2）有最大值． 【解析】 【分析】（1）利用已知条件求出，然后求解，得到椭圆方程．由弦长公式即可求解. （2）设出直线方程，利用直线与椭圆联立，利用韦达定理弦长公式表示三角形的面积，通过基本不等式求解最值即可． 【小问1详解】 为椭圆的焦点，， 又，， 椭圆的方程为； 设直线方程为， 和椭圆方程联立消掉，得， 计算知， 方程有两实根，且， 所以 【小问2详解】 当直线无斜率时，此时直线方程为，则两点关于轴对称，所以，则， 当直线斜存在时，依题意，知，设直线方程为， 和椭圆方程联立消掉，得则， 显然，方程有两实根，且， 由于两点在轴的上下两侧，所以异号， 此时 ， 将上式变形，得， 由于，当且仅当，即时等号成立， 当时，有最大值． 【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 22. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数的零点分别为，且，证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求函数的定义域和导函数，结合导数与函数单调性的关系判断函数的单调性； （2）由已知结合两点定义可得，由分析可得要证明，只需证明， 设，则只需证明，设，再利用导数求函数的最值即可证明结论. 【小问1详解】 函数的定义域为，导函数， ①当时，，则在上单调递增； ②当时，令，则， ∴当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减； 【小问2详解】 由（1）知，方程的两个不等的正实根，即， 亦即，从而， 设，又，即， 要证，即证， 只需证， 即证， 即证， 即证， 即证， 即证， 即证， 令，则 设，则 则在上单调递增，有， 于是，即有在上单调递增， 因此，即， 所以成立，即． 【点睛】关键点点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年高三年级第一学期中华期初检测 数学试卷 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. M B. N C. D. 2. 已知复数满足（为虚数单位），是共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，则向量在向量上的投影向量（ ） A. B. C. D. 4. 若正三棱锥的高为，，其各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 在等比数列中，有，数列是等差数列，且，则等于（　　） A. B. C. D. 6. 已知是双曲线的一个焦点，为的虚轴的一个端点，（为坐标原点），直线垂直于的一条渐近线，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，值域为，若，函数为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，对任意正数x都有恒成立，则t的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强 B. 数据的第80百分位数为15 C. 将4个人分到三个不同的岗位工作，每个岗位至少1人，有72种不同的方法 D. 若随机事件满足，则 10. 已知函数，将的图像上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像．若为奇函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. 函数图像关于点中心对称 B. 函数在区间上单调递减 C. 不等式的解集为 D. 方程在上有2个解 11. 已知直线与圆，下列说法正确的是（ ） A. 所有圆均不经过点 B. 若圆关于直线对称，则 C. 若直线与圆相交于、，且，则 D. 不存在圆与轴、轴均相切 12. 函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若函数在上为减函数，则 B. 若函数的对称中心为，则 C. 当时，若有三个根，且，则 D. 当时，若过点可作曲线的三条切线，则 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，且，则的值为_______. 14. 已知四边形是边长为2菱形，为的中点，则的值为__________. 15. 已知在正方体中，，是中点，是侧面内（含边界）的动点，若，则的最小值为___________． 16. 已知函数，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围为______． 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或验算步骤. 17. 如图，在中，点在边上，. （1）求证：； （2）若，求和的长. 18. 设数列的前n项和为．已知，，． （1）求证：数列是等差数列； （2）设数列的前n项和为，且，令，求数列的前n项和． 19. 2021年7月18日第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照，，，，，，，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数； （2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，，，，的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在，的人数，求的分布列和数学期望； （3）转化为百分制后，规定成绩在，的为等级，成绩在，的为等级，其它为等级．以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物学竞赛的同学中随机抽取100人，其中获得等级的人数设为，记等级的人数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？ 20. 在三棱台中，为中点，，，. （1）求证：平面； （2）若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积. 21. 已知椭圆M：一个焦点为，左、右顶点分别为A，B，经过点F的直线与椭圆M交于C，D两点． （1）当直线的斜率为1时，求线段CD的长； （2）记与的面积分别为和，求的最大值． 22. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数的零点分别为，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $