北京市第十二中学2023-2024学年高二下学期期末数学试题

2024北京十二中高二(下)期末 数 学 考生注意: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合,,则( ) A. B. C. D. 2.若复数,则( ) A.0 B.1 C. D.2 3.已知向量,,若,则实数m=( ) A.-5 B.5 C. D. 4.已知等比数列中,,,则( ) A.16 B.4 C.2 D.1 5.已知抛物线C:的焦点为F,A是C上一点,O为坐标原点,若,则 AOF的面积为( ) A. B.3 C. D.6 6.已知角满足,则( ) A. B. C. D. 7.已知函数的图象的一个对称中心的横坐标在区间内,且两个相邻对称中心之间的距离大于,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 8.已知函数存在零点a,函数存在零点b,且,则实数m的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9.2014—2022年(2022年为上半年)中国国内生产总值(GDP)统计如下,且已知2022年全年中国国内生产总值(GDP)为121.01万亿元,则下列结论中正确的是( ) A.2022年下半年中国GDP为64.75万亿元 B.2022年中国GDP大于2014年与2015年的GDP之和 C.2014—2021年中国GDP同比增长率超过10%的有2017年、2018年、2021年 D.2014—2021年中国GDP同比增长最快的是2021年 10.已知函数,则下列结论中正确的是( ) A.当时,是R上的增函数 B.当时,直线y=a与的图象没有公共点 C.当时,的单调递减区间为 D.当有一个极值点为0时,的极大值为 11.已知椭圆C:的左、右焦点分别为,,离心率为,P,Q为C上的动点,的最大值为6,则下列结论中正确的是( ) A.椭圆C的短轴长为 B.当P,Q分别在x轴的上方和下方时四边形的周长的取值范围是 C.存在四个不同的点P,使得 D.若为锐角三角形,则点P横坐标的取值范围是 12.如图,在三棱柱中,AB⊥BC,平面ABC,BC=2,三棱锥的外接球O的表面积为,记直线AC与所成的角为,直线与平面ABC所成的角为,则下列结论中正确的是( ) A. B.三棱柱的体积的最大值为6 C.球心O到平面的距离为 D. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.若的展开式中的系数为15,则实数a=_. 14.某足球队共有30名球员练习点球,其中前锋6人,中场16人,后卫8人.若前锋点球进门的概率均是0.9,中场点球进门的概率均是0.8,后卫点球进门的概率均是0.7,则任选一名球员点球进门的概率是_.(结果保留两位小数) 15.已知函数的定义域为R,是偶函数,当时,,则不等式的解集为_. 16.已知在四面体P-ABC中,PA=PB=PC=BC=6,,则该四面体外接球的体积为_. 四、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(10分) 已知在等差数列中,,. ( )求的通项公式; ( )若是等比数列,且,,求数列的前n项和. 18.(12分) 已知在 ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且. ( )求C; ( )若c=2, ABC的面积为,求证: ABC是正三角形. 19.(12分) 如图,在长方体中,,AD=8,交于点O. ( )证明:平面; ( )求直线AB与平面所成角的正弦值. 20.(12分) 2023年5月15日至21日是第二个全国家庭教育宣传周,为进一步促进家校共育,某校举行“家教伴成长,协同育新人”主题活动,最终评出了8位“最美家长”,其中有6位妈妈,2位爸爸,学校准备从这8位“最美家长”中每次随机选出一人做家庭教育经验分享. ( )若每位“最美家长”最多做一次家庭教育经验分享,记第一次抽到妈妈为事件A,第二次抽到爸爸为事件B,求和; ( )现需要每天从这8位“最美家长”中随机选1人,连续4天分别为低年级、中年级、高年级和全体教师各做1场经验分享,1天只做1场,且人选可以重复,记这4天中爸爸做经验分享的天数为X,求X的分布列和数学期望. 21.(12分) 已知函数. ( )证明:在上单调递减; ( )若函数(为的导函数),且单调递增,求实数a的取值范围. 22.(12分) 已知点在双曲线C:上,过C的右焦点F的动直线l与C交于A,B两点. ( )若点,分别为C的左、右顶点,Q为C上异于,的点,求(k表示斜率)的值; ( )证明以AB为直径的圆恒过x轴上的定点,并求该定点的坐标. 参考答案 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分. 1.A 2.B 3.D 4.C 5.A 6.C 7.B 8.D 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.每小题全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9.ACD 10.ABC 11.AD 12.BD 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.或1 14.0.79 15. 16. 四、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.解析 ( )设的公差为d. 由得解得 所以. ( )由( )可知,, 则,. 因为是等比数列,所以公比为, 所以,所以. 所以. 18.解析 ( )由及正弦定理得, 所以, 所以, 所以. 因为,所以,所以. 因为,所以. ( )因为,所以ab=4. 由余弦定理可得,所以,即, 所以a+b=4,所以a=b=2,所以a=b=c, 所以 ABC是正三角形. 19.解析 ( )如图,连接,BD. 因为且, 所以四边形为平行四边形,所以. 又平面,平面, 所以平面. 同理可证,平面. 又,,平面,所以平面平面, 又平面,所以平面. ( )以A为坐标原点,直线AB,AD,分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则,,,,, 所以,,. 设平面的法向量为. 由得 令y=1,得平面的一个法向量为. 设直线AB与平面所成的角为, 则, 故直线AB与平面所成角的正弦值为. 20.解析 ( )根据题意可知,, . ( )爸爸做经验分享的天数X的所有可能取值为0,1,2,3,4,且, 故,,,,, 故X的分布列为: X 0 1 2 3 4 P 根据二项分布的期望公式可知,. 21.解析 ( )由题可知的定义域为,. 令,则,. 令,得,令,得. 故在上单调递增,在上单调递减, 故. 所以对任意恒成立, 所以在上单调递减. ( )由题可知, 则. 因为单调递增,所以, 即. 令, 则,. 当时,,此时单调递增, 当时,,此时单调递减, 所以,则,解得. 所以a的取值范围为. 22.解析 ( )∵点在双曲线C:上 ∴,解得, ∴双曲线C的方程为,则,. 设Q点坐标为,则,, ∴. ∵点Q在双曲线C上,∴, ∴. ( )设以AB为直径的圆与x轴的交点为. 由( )可知双曲线的右焦点F为. 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,,, ∵,∴, 整理得到①. 由消去y可得. ∵直线l与双曲线C有两个不同的交点, ∴且, ∴. 由题设有①对任意的总成立, ∵,, ∴①可转化为, 整理得到对任意的总成立, 故解得,即点M的坐标为. 当直线l的斜率不存在时,l:x=2, 此时,或,, 则,即M在以AB为直径的圆上. 综上,以AB为直径的圆恒过x轴上的定点,且定点的坐标为. 第1页/共1页 学科网(北京)股份有限公司 $$