精品解析：内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗第二中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

2023-2024学年度高一数学期末考试卷 一、单选题 1. =（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式以及两角差的正弦公式即可求得答案. 【详解】 ， 故选：A 2. 已知函数的部分图象如图，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据图像求出函数的解析式，再利用两角和的正弦公式计算即可. 【详解】根据函数，，的部分图象知， ，，，解得； 由五点法画图知，，解得； ， 故选：B． 3. 如果，，，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量模长的计算公式求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 故选：A. 4. 设向量满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量模长公式即可求解. 【详解】因为，所以, 故选：B 5. 已知（为虚数单位），则复数的虚部为 A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】，的虚部是，故选D. 6. 如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据几何关系可知异面直线与所成角为或其补角，然后利用余弦定理求解出结果. 【详解】连接， 因为，所以四边形是平行四边形， 所以，所以异面直线与所成角为或其补角， 又因为且四棱柱为底面是正方形的直四棱柱， 所以， 所以， 故选：A. 7. 已知表示三条不同直线，下列四种说法： ①a与b异面，b与c异面，则a与c异面； ②a与b相交，b与c相交，则a与c相交； ③a与b平行，b与c平行，则a与c平行； ④a与b垂直，b与c垂直，则a与c垂直． 其中正确说法的个数为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】画出一个正方体，利用其中的三条直线，对四种说法逐一进行判断，从而得出正确选项. 【详解】画出一个正方体如下图所示.与异面，与异面，而，故①错误.与相交，与相交，而与异面，故②错误.根据平行公理可知③正确.，而，故④错误.综上所述，有个正确的说法，故选D. 【点睛】本小题主要考查空间直线的位置关系，考查异面直线、相交直线、平行直线的概念及辨析，属于基础题. 8. 中，若，则的形状是 A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理，得到，进而得到，再由两角和的正弦公式，即可得出结果. 【详解】因为，所以，所以， 即，所以， 又因此， 所以，即三角形为直角三角形. 故选D 【点睛】本题主要考查三角形形状的判断，熟记正弦定理即可，属于常考题型. 二、多选题 9. 已知甲､乙两组数据分别为，和，若甲､乙两组数据的平均数相同，则（ ） A. 甲组数据的中位数为10 B. 乙组数据的第75百分位数为9.5 C. 甲､乙两组数据的极差相同 D. 甲组数据的方差小于乙组数据的方差 【答案】AD 【解析】 【分析】利用平均数相同求出参数，后利用平均数，中位数，极差，方差的计算公式求解即可. 【详解】甲组共有5个数据，从小到大排列后，10为中间数字，所以甲组数据的中位数为选项正确； 由题意得甲､乙两组数据的平均数相同，且易知甲组数据的平均数均为10， 故乙组数据的平均数也为10，故得，所以， 又，乙组数据从小到大排列为， 所以乙组数据的第75百分位数为选项错误； 易知甲组数据极差为4，乙组数据极差为选项错误； 两组数据平均数相同，乙组数据离散程度更大，方差更大，D选项正确， 故选：AD． 10. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 圆柱与球的表面积之比为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据圆柱、圆锥、球的表面积、体积公式计算可得. 【详解】对于A：圆锥的母线，所以圆锥的侧面积，故A错误； 对于B：圆柱的侧面积，则圆柱的表面积， 球的表面积，所以圆柱与球的表面积之比为，圆柱的侧面积与球的表面积相等，故B、C正确； 对于D：圆柱的体积，圆锥的体积， 球的体积， 所以圆柱、圆锥、球的体积之比为，故D正确. 故选：BCD 11. 从甲袋中摸出一个红球的概率为，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球.下列结论正确的是（ ） A. 2个球都是红球的概率为 B. 2个球不都是红球的概率为 C. 至少有1个红球的概率为 D. 2个球中恰有1个红球的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设从甲袋中摸出一个红球为事件，从乙袋中摸出一个红球为事件，分别根据相互独立事件的概率公式计算即可． 【详解】解：设从甲袋中摸出一个红球为事件，从乙袋中摸出一个红球为事件，则，， 则2个球都是红球的概率为，故正确， 2个球不都是红球的概率为，故不正确． 至少有1个红球的概率为，故正确， 2个球中恰有1个红球的概率为，故正确， 故选：． 三、填空题 12. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的表面积为_____. 【答案】. 【解析】 【分析】根据正方体的表面积，可得正方体边长，然后计算外接球的半径，利用球的表面积的公式，可得结果. 【详解】设正方体边长，正方体外接球的半径为 由正方体的表面积为24，所以 则，又，所以 所以外接球的表面积为： 故答案为： 【点睛】本题考查正方体外接球的表面积，属基础题. 13. 棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽测了20根棉花的纤维长度（单位：），按从小到大排序结果如下： ，则估计这批棉花的第45百分位数为__________. 【答案】61.5## 【解析】 【分析】直接由百分位数的定义即可得解. 【详解】由题意，所以这批棉花的第45百分位数为从小到达排列的第9个数与第10个数的平均数，即. 故答案为：61.5. 14. 正方体中，二面角的大小为________. 【答案】. 【解析】 【分析】确定是二面角的平面角，即可求得结论． 【详解】在正方体中， 面， 是二面角的平面角． ， 二面角的大小为． 故答案为：． 【点睛】本题考查面面角，解题的关键是利用线面垂直确定面面角，属于容易题． 四、解答题 15. 已知函数 (1)求函数的最小正周期； (2)当时，求的最大值和最小值. 【答案】（1）最小正周期是；（2）最小值为，最大值为1. 【解析】 【分析】由两角和差正余弦公式可知， (1)由最小正周期公式可知函数的最小正周期是； (2)结合函数的定义域和三角函数的性质可知函数的最小值为，最大值为1. 【详解】由题意结合两角和差正余弦公式可知， （1），的最小正周期是. （2），， 所以，当时，；当时，. 【点睛】本题主要考查三角函数最值的求解，辅助角公式的应用，三角函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 16. 某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂的满意程度进行打分，所得分数均在内，现将所得数据分成6组：，，，，，，并得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计这200名员工所得分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）求这200名员工所得分数的中位数（精确到0.1）； （3）现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，求这组中抽取的人数． 【答案】（1）， （2）72.9 （3） 【解析】 【分析】（1）根据小矩形面积和为1得到关于的方程，解出值，再利用频率分布直方图中平均数公式即可； （2）首先确定中位数所在区间，再设中位数为，列出方程，解出即可； （3）求出各区间人数，再根据分层抽样的特点即可得到答案. 【小问1详解】 由题意知， 解得. 估计这200名员工所得分数的平均数 ， . 【小问2详解】 的频率为， 的频率为， 所以中位数落在区间，设中位数为， 所以， 解得，即估计这200名员工所得分数的中位数为72.9. 【小问3详解】 的人数：， 的人数：， 的人数：， 所以这组中抽取的人数为：. 17. 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响. （1）求甲、乙各射击一次均击中目标的概率； （2）求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率； （3）若乙在射击中出现连续2次未击中目标就会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由于两人射击是否击中目标相互之间没有影响，所以由相互独立事件的概率公式求解即可； （2）记事件表示“甲第次射击击中目标”，并记“甲射击4次，恰有3次连续击中目标”为事件C，则，且与是互斥事件，再由独立事件和互斥事件的概率求解即可； （3）记事件表示“乙第次射击击中目标”，事件D表示“乙在第4次射击后被终止射击”，则，且与是互斥事件，再利用由独立事件和互斥事件的概率求解即可. 【小问1详解】 用事件A表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”. 依题意知，事件A和事件B相互独立， 因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为. 【小问2详解】 用事件表示“甲第次射击击中目标”，并记“甲射击4次，恰有3次连续击中目标”为事件C，则，且与是互斥事件. 由于，，，之间相互独立， 所以与（i，，且）之间也相互独立. 由于， 所以， 故 . 所以甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率为. 【小问3详解】 用事件表示“乙第次射击击中目标”，事件D表示“乙在第4次射击后被终止射击”， 则，且与是互斥事件. 由于，，，之间相互独立， 所以与（i，，且）之间也相互独立. 因为， 所以， 故 . 所以乙恰好射击4次后被终止射击的概率为. 18. 如图，三棱锥中，，，为正三角形. （1）证明：； （2）若平面平面，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：取的中点，连接、， ，为正三角形，为的中点， 所以，， 又，平面，平面，. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，证明出平面，即可得出； （2）设，由（1）可知是二面角的平面角，作交延长线于点，证明出平面，计算出、的值，即可求得的值，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知是二面角的平面角， 作交延长线于点， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面，， 又，，平面， 设，则在中，，则，，， 所以，，， 所以二面角的余弦值为. 19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求角A； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角关系，结合三角形内角性质得，进而得解； （2）由余弦定理求得，再利用三角形面积公式即可得解． 【小问1详解】 因为， 由正弦定理，又， ，即，由，得. 【小问2详解】 由余弦定理知， 即，则，解得（负值舍去）， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度高一数学期末考试卷 一、单选题 1. =（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的部分图象如图，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如果，，，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 设向量满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知（为虚数单位），则复数的虚部为 A. B. 1 C. D. 2 6. 如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知表示三条不同直线，下列四种说法： ①a与b异面，b与c异面，则a与c异面； ②a与b相交，b与c相交，则a与c相交； ③a与b平行，b与c平行，则a与c平行； ④a与b垂直，b与c垂直，则a与c垂直． 其中正确说法的个数为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 中，若，则的形状是 A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 直角三角形 二、多选题 9. 已知甲､乙两组数据分别为，和，若甲､乙两组数据的平均数相同，则（ ） A. 甲组数据的中位数为10 B. 乙组数据的第75百分位数为9.5 C. 甲､乙两组数据的极差相同 D. 甲组数据的方差小于乙组数据的方差 10. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 圆柱与球的表面积之比为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为 11. 从甲袋中摸出一个红球的概率为，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球.下列结论正确的是（ ） A. 2个球都是红球的概率为 B. 2个球不都是红球的概率为 C. 至少有1个红球的概率为 D. 2个球中恰有1个红球的概率为 三、填空题 12. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的表面积为_____. 13. 棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽测了20根棉花的纤维长度（单位：），按从小到大排序结果如下： ，则估计这批棉花的第45百分位数为__________. 14. 正方体中，二面角的大小为________. 四、解答题 15. 已知函数 (1)求函数的最小正周期； (2)当时，求的最大值和最小值. 16. 某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂的满意程度进行打分，所得分数均在内，现将所得数据分成6组：，，，，，，并得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计这200名员工所得分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）求这200名员工所得分数的中位数（精确到0.1）； （3）现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，求这组中抽取的人数． 17. 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响. （1）求甲、乙各射击一次均击中目标的概率； （2）求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率； （3）若乙在射击中出现连续2次未击中目标就会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率. 18. 如图，三棱锥中，，，为正三角形. （1）证明：； （2）若平面平面，求二面角的余弦值. 19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求角A； （2）若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $