精品解析：福建省厦门市第十一中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题

2022－2023学年福建省厦门十一中八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本题共40分，每小题4分）在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意的． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，数轴上点表示的数为1，，且，以原点为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数为（　　　） A. B. C. D. 3. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 1，1，1 B. 2，3，4 C. D. 4. 菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则它的面积是（　　） A. 6cm2 B. 12cm2 C. 24cm2 D. 48cm2 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 菱形和矩形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直 7. 如图，直线，和的夹角，且，则两平行线和之间的距离是（　　） A. 25 B. 50 C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A，C的坐标分别是，，点B在x轴上，则点B的横坐标是（ ） A. 4 B. C. D. 5 9. 如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列有四种说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是S的函数；④S是h的函数．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 10. 如图，点是正方形外一点，连接、和，过点作垂线交于点．若，．下列结论：①；②；③点到直线的距离为；④．则正确结论的个数是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是_______． 12. 如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下面的方法测出A，B间的距离：先在AB外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝15米，由此他知道了A，B间的距离为_____米． 13. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝70°，DB＝DC， CE⊥BD于E，则∠BCE＝_______． 14. 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了__米． 15. 数学活动课上，同学们按照如下步骤折纸，并动手将折纸过程画成如图所示． 第1步：在一张宽为的矩形纸片的一端，折出一个正方形，然后把纸片展平； 第2步：把这个正方形对折，得到两个相等的矩形，折痕为，再把纸片展平； 第3步：折出内侧矩形的对角线，并把折到如图中所示处； 第4步：展平纸片，按照所得的点D折出，得到矩形． 则矩形的面积为______． 16. 如图，菱形的边长为4，，点E是的中点，点M是上一动点，则的最小值是________． 三、解答题（本题共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知，如图，E、F分别为的边、上的点，且，求证：． 19. 先化简，后求值：，其中． 20. 如图，在△ABC中，，CD为边AB上的中线，点E与点D关于直线AC对称，连接AE，CE． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）连接BE，若，，求BE的长． 21. 某天小丽去上学，到班级时发现数学课本还在家里，此时离上课时间还有25分钟，于是她立即步行回家取课本，同时，她妈妈从家里出发骑自行车以小丽步行速度的3倍给她数学课本，两人在途中相遇，相遇后小丽立即骑妈妈的自行车以和妈妈同样的速度赶回学校，下图中线段分别表示小丽取课本、妈妈送课本的过程中，离学校的路程（米）与所用时间（分）之间的函数关系如图， （1）求点的坐标 （2）小丽能否在上课前赶到学校？说明理由． 22. 如图，已知四边形是正方形，点是边上的动点（不与端点重合），点在线段上，，，，为线段的中点，点在线段上（不与点重合），且． （1）求证：； （2）随着点的运动，试猜想的值是否是发生变化，若不变，请求出定值，若变化，请说明理由． 23. 材料阅读： 古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》中提出：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为，这一公式称为海伦公式． 我国南宋时期数学家秦九韶在《数书九章》中提出利用三角形三边a，b，c，求三角形面积的公式，被称之为秦九韶公式． （1）海伦公式与秦九韶公式本质上是同一个公式．你同意这种说法吗？请利用以下数据验证两公式的一致性．如图①，在△ABC中，BC=a=7，AC=b=5，AB=c=6，求△ABC的面积． （2）在（1）的基础上，作∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O．过点O作OD⊥AB，OD的长为____________． 24. 我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出一种你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的图形的名称 ； （2）如图1，若，那么在图中所有格点中是标出一点D，使以、为勾股边的四边形是勾股四边形．并写出D点的坐标； （3）如图2，已知四边形，，，．求证：，即四边形是勾股四边形． 25. 在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD边上的点，则称四边形EFGH为四边形ABCD的内接四边形． （1）如图①，在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，四边形EFGH为□ABCD的内接四边形，对角线EG、FH都经过点O．求证：四边形EFGH为平行四边形； （2）如图②，用无刻度的直尺和圆规在平行四边形ABCD中作出对角线最短的内接矩形EFGH；（不写作法，保留作图痕迹） （3）如图③，在矩形ABCD中，，，若四边形EFGH为矩形ABCD的内接菱形，则AE的取值范围是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022－2023学年福建省厦门十一中八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本题共40分，每小题4分）在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意的． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】A、，则不是最简二次根式，此项不符题意； B、是最简二次根式，此项符合题意； C、，则不是最简二次根式，此项不符题意； D、，则不是最简二次根式，此项不符题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟记定义是解题关键． 2. 如图，数轴上点表示的数为1，，且，以原点为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数为（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质求得的长，然后根据圆的性质即可求解，进而即可判断． 【详解】由已知得， ∵，且， ∴在中，， ∵以原点为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点， ∴， ∴点所表示的数为； 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质，关键是求出的值，然后根据圆的性质即可求解． 3. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 1，1，1 B. 2，3，4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键；因此此题可根据勾股定理逆定理进行排除选项． 【详解】解：A、由可知该三条边不能构成直角三角形，故不符合题意； B、由可知该三条边不能构成直角三角形，故不符合题意； C、由可知该三条边能构成直角三角形，故符合题意； D、由可知该三条边不能构成直角三角形，故不符合题意； 故选C． 4. 菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则它的面积是（　　） A. 6cm2 B. 12cm2 C. 24cm2 D. 48cm2 【答案】C 【解析】 【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积． 【详解】根据对角线的长可以求得菱形的面积， 根据， 故选：C． 【点睛】考查菱形的面积公式，熟练掌握菱形面积的两种计算方法是解题的关键． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加减乘除运算．利用二次根式的加减法的法则对A项和B项进行运算即可，利用二次根式的乘法和除法法则对C项和D项进行运算即可． 【详解】解：A、和，不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 6. 菱形和矩形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查菱形、矩形的性质，掌握菱形、矩形为特殊的平行四边形是解题的关键．由菱形、矩形都为特殊的平行四边形可知两者都具有的性质即为平行四边形所具有的性质，可求得答案． 【详解】解：菱形、矩形都是特殊的平行四边形， 菱形和矩形都具有的性质即为平行四边形所具有的性质，即对角线互相平分， A、C、D都不正确，B符合题意， 故选：B． 7. 如图，直线，和的夹角，且，则两平行线和之间的距离是（　　） A. 25 B. 50 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了两平行线之间的距离，解决本题的关键是作辅助线，构建等腰，然后利用勾股定理，得到，解方程即可． 【详解】解：如图，过点A作于点C， ∵直线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，（舍去）． ∴两平行线和之间的距离为． 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A，C的坐标分别是，，点B在x轴上，则点B的横坐标是（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】分别过点作轴，轴于点，证明，得，从而可得，即可解答此题． 【详解】解：过点作轴，轴于点，如图： ， ∴， ∵点A的坐标是，点C的坐标是 ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中 ， ∴ ∴ ∴， ∴点B的横坐标是5， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，矩形的性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键． 9. 如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列有四种说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是S的函数；④S是h的函数．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的概念求解即可． 【详解】①：由题意可知，对于注水量的每一个数值，水面的面积S都有唯一值与之对应，所以V是自变量，S是因变量，所以S是V的函数，符合题意； ②：由题意可知，对于水面的面积S的每一个数值，注水量V的值不一定唯一，所以V不是S的函数，不符合题意； ③：由题意可知，对于水面的面积S的每一个数值，水面的高度h的值不一定唯一，所以h不是S的函数，不符合题意； ④：由题意可知，对于水面的高度h的每一个数值，水面的面积S都有唯一值与之对应，h是自变量，S是因变量，所以S是h的函数，符合题意； 所以正确的序号有①④， 故选：B． 【点睛】此题考查了函数的概念，解题的关键是熟记函数的概念． 10. 如图，点是正方形外一点，连接、和，过点作垂线交于点．若，．下列结论：①；②；③点到直线的距离为；④．则正确结论的个数是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是由全等三角形的性质证明，由勾股定理求出的长，的长． 由正方形的性质，余角的性质可以证明，由，得到，因此，由勾股定理即可求出的长，得到到直线的距离小于，由等腰直角三角形的性质得到，的长，由勾股定理求出的值，即可求出正方形的面积． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 故①正确； ， ， ， ， ， 故②正确； 是等腰直角三角形， ， ， ， 到直线的距离小于， 故③错误； ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 正方形的面积， 故④正确． 正确的是①②④． 故选：C． 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求自变量的取值范围、分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 12. 如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下面的方法测出A，B间的距离：先在AB外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝15米，由此他知道了A，B间的距离为_____米． 【答案】30 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵点D，E是AC，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴AB＝2DE＝30， 故答案为：30． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 13. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝70°，DB＝DC， CE⊥BD于E，则∠BCE＝_______． 【答案】20° 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得∠BCD=∠A=70°，又由于DB=DC，所以∠DBC=∠DCB=70°；再根据CE⊥BD，最后根据三角形内角和即可解答． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BCD=∠A=70° ∵DB=DC， ∴∠DBC=∠DCB=70° ∵CE⊥BD ∴∠CEB=90° ∴∠BCE=90°-∠DBC=20°． 故填20°． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 14. 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了__米． 【答案】9． 【解析】 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长． 【详解】在Rt△ABC中： ∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米， ∴AB＝＝＝15（米）， ∵CD＝10（米）， ∴AD＝＝6（米）， ∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米）， 答：船向岸边移动了9米， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 15. 数学活动课上，同学们按照如下步骤折纸，并动手将折纸过程画成如图所示． 第1步：在一张宽为的矩形纸片的一端，折出一个正方形，然后把纸片展平； 第2步：把这个正方形对折，得到两个相等的矩形，折痕为，再把纸片展平； 第3步：折出内侧矩形的对角线，并把折到如图中所示处； 第4步：展平纸片，按照所得的点D折出，得到矩形． 则矩形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质及矩形、正方形的性质，勾股定理，根据第1步折叠得到，根据第2步折叠得到，根据勾股定理求出，结合第3步折叠得到，从而得到，即可得到答案； 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵正方形对折，得到两个相等的矩形， ∴， ∴， ∵折到如图中所示处， ∴， ∴， ∴的面积为：， 故答案为：． 16. 如图，菱形的边长为4，，点E是的中点，点M是上一动点，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，与交点即为点，过点作，交延长线于，则，在中，求出，，在中，求出，则可求的最小值． 【详解】解：连接，，与交点即为点，过点作，交延长线于， 菱形， 与关于对称，， ， ， 当点B、M、E三点共线时，取得最小值，且为 ，点是的中点， ， ∵，， ， 在中，，， ∴ ，由勾股定理得， 在中，，， ∴由勾股定理得：， ∴的最小值是， 故答案为． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，菱形的性质，角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系，灵活运用菱形的对称性，将所求的最小值转化为求的长是解题的关键． 三、解答题（本题共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】(1)首先进行二次根式的乘除法运算，再把结果进行化简即可求得； (2)首先二次根式的乘法运算法则进行运算，再合并即可求得结果． 【小问1详解】 解： =12 【小问2详解】 解： 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键． 18. 已知，如图，E、F分别为的边、上的点，且，求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据条件证明，即可得出结论． 【详解】略 19. 先化简，后求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先通分，因式分解，然后进行乘除运算得到化简结果，最后代值求解即可． 【详解】解：原式= 当时，原式= 【点睛】本题考查了分式的化简求值，分母有理化．解题的关键在于熟练运用因式分解进行分式的化简． 20. 如图，在△ABC中，，CD为边AB上的中线，点E与点D关于直线AC对称，连接AE，CE． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）连接BE，若，，求BE的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接DE，DE交AC于O，根据轴对称性质得出AE = AD，CE=CD，根据直角三角形斜边上的中线性质求出AD=CD，再根据菱形的判定得出即可； （2）过E作EM⊥BC，交BC的延长线于M，求出AB和BC长，求出OC =1，根据勾股定理求出CM，再根据勾股定理求出BE即可． 【小问1详解】 证明：∵点E与点D关于直线AC对称， ∴CE＝CD，AE＝AD， ∵∠ACB＝90°，为边上的中线， ∴， ∴CE＝CD＝AD＝AE， ∴四边形AECD是菱形； 【小问2详解】 解：过E作EN⊥BC交BC的延长线于点N， 在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2， ∴， ∴ 由勾股定理得， ∵四边形AECD是菱形， ∴EC＝CD＝2，EC//AD， ∴∠ECN＝30°， ∵∠ENC＝90°， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵∠ENC＝90°， 由勾股定理得． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，菱形的性质和判定，直角三角形斜边上的中线性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，能熟记菱形的性质和判定、直角三角形斜边上的中线性质、含30°三角形的性质是解此题的关键． 21. 某天小丽去上学，到班级时发现数学课本还在家里，此时离上课时间还有25分钟，于是她立即步行回家取课本，同时，她妈妈从家里出发骑自行车以小丽步行速度的3倍给她数学课本，两人在途中相遇，相遇后小丽立即骑妈妈的自行车以和妈妈同样的速度赶回学校，下图中线段分别表示小丽取课本、妈妈送课本的过程中，离学校的路程（米）与所用时间（分）之间的函数关系如图， （1）求点的坐标 （2）小丽能否在上课前赶到学校？说明理由． 【答案】（1）； （2）小丽能在上课前赶到学校，见解析 【解析】 【分析】（1）从图象可以看出，母女俩从出发到相遇花费了15分钟，路程是3600米，可以求出母女俩的速度，B点的纵坐标便可以求出； （2）从第一问中已经知道路程和速度求出小丽赶回学校的时间就知道能否在上课前赶到学校． 【小问1详解】 解：设小丽的速度为千米/小时． 如图可知 ， 解得， 所以， 所以点A的坐标为． 【小问2详解】 解：小丽能在上课前赶到学校． 理由：小丽骑自行车得速度为步行速度得3倍， 所以小丽返回学校需要分钟， 因为， 所以小丽可能在上课前赶到学校． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，结合图象信息，读懂题目意思，从复杂的信息中分离出数学问题即相遇问题是解决本题的关键．另外本题也包含了生活实际与一次函数的联系问题． 22. 如图，已知四边形是正方形，点是边上的动点（不与端点重合），点在线段上，，，，为线段的中点，点在线段上（不与点重合），且． （1）求证：； （2）随着点的运动，试猜想的值是否是发生变化，若不变，请求出定值，若变化，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）不发生变化，AB﹣AN＝2 【解析】 【分析】（1）首先根据点为的中点，得出，进而可得，，然后根据三角形的内角定理可得出，从而得出结论； （2）首先根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，再证和全等，从而得出，然后计算即可得出答案． 【小问1详解】 证明：点为的中点， ， ， ， ，， ， ， 即：， ， 即：； 【小问2详解】 解：猜想的值不发生变化，，理由如下： ，，， ，，， ， 为直角三角形，即：， 由（1）可知：， ， ， 四边形为正方形， ，， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的值不发生变化，值为2． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，乘法公式，勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法与技巧，理解正方形的性质，勾股定理逆定理是解决问题的关键． 23. 材料阅读： 古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》中提出：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为，这一公式称为海伦公式． 我国南宋时期数学家秦九韶在《数书九章》中提出利用三角形三边a，b，c，求三角形面积的公式，被称之为秦九韶公式． （1）海伦公式与秦九韶公式本质上是同一个公式．你同意这种说法吗？请利用以下数据验证两公式的一致性．如图①，在△ABC中，BC=a=7，AC=b=5，AB=c=6，求△ABC的面积． （2）在（1）的基础上，作∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O．过点O作OD⊥AB，OD的长为____________． 【答案】（1）我同意这种说法． （2） 【解析】 【分析】（1）分别代入公式求解，答案一样就是一致的； （2）利用角平分线的性质与判定定理得点O到△ABC三边的距离相等，设OD=x，再利用面积相等即可求解． 【小问1详解】 解：我同意这种说法． 验证：利用海伦公式：p=×（5+6+7）=9． △ABC的面积的面积为：； 利用秦九韶公式： △ABC的面积的面积为 ． ∵， ∴海伦公式与秦九韶公式本质上是同一个公式．且； 【小问2详解】 解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O， ∴点O分别到AB、BC及BC、AC的距离相等， ∴点O到AB、AC的距离相等， ∴O在∠BAC的平分线上， ∴O到三角形的三条边的距离相等，距离为OD的长，设为x， ∴△ABC的面积等于：×（5+6+7）x=6， 解得：x=． 所以OD的长为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，角平分线的判定定理与性质定理，解题的关键是明白海伦公式与秦九韶公式的运用，代入数据即可． 24. 我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出一种你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的图形的名称 ； （2）如图1，若，那么在图中所有格点中是标出一点D，使以、为勾股边的四边形是勾股四边形．并写出D点的坐标； （3）如图2，已知四边形，，，．求证：，即四边形是勾股四边形． 【答案】（1）矩形或正方形 （2），， （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形和正方形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解勾股四边形的定义，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）根据矩形和正方形的四个角都是直角，结合勾股四边形的定义，即可求解； （2）利用坐标两点的距离公式可得，，,再结合勾股四边形的定义，找出使的格点即可； （3）证明是等边三角形，得到，，过点C作于点C，使，连接、，证明是等边三角形，从而推出，得到，，再结合勾股定理，即可证明． 【小问1详解】 解：所学过的特殊四边形中是勾股四边形的图形的名称是：矩形或正方形； 故答案为：矩形或正方形； 【小问2详解】 解：由图1可知，，，, ，, , 以、为勾股边的四边形是勾股四边形， ， ，，都是符合要求的点； 【小问3详解】 证明：，， 是等边三角形， ，， 如图2，过点C作于点C，使，连接、， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， 即四边形是勾股四边形． 25. 在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD边上的点，则称四边形EFGH为四边形ABCD的内接四边形． （1）如图①，在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，四边形EFGH为□ABCD的内接四边形，对角线EG、FH都经过点O．求证：四边形EFGH为平行四边形； （2）如图②，用无刻度的直尺和圆规在平行四边形ABCD中作出对角线最短的内接矩形EFGH；（不写作法，保留作图痕迹） （3）如图③，在矩形ABCD中，，，若四边形EFGH为矩形ABCD的内接菱形，则AE的取值范围是______． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）证明得到，再证明，得到即可证明四边形EFGH为平行四边形； （2）连接AC，BD，交于点O，过点O作AB的垂线交AB于点P，以O为圆心，OP为半径画圆，利用直径所对的圆周角等于直角，作矩形EFGH如图：矩形EFGH有两个． （3）证明，，设，，则，利用矩形边长，，可知，，再利用，即，得：，利用得到：． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，． ∴． 在和中， ∴（ASA）． ∴． 同理：， ∴， ∴四边形EFGH是平行四边形． 【小问2详解】 解：连接AC，BD，交于点O，过点O作AB的垂线交AB于点E，以O为圆心，OE为半径画圆，利用直径所对的圆周角等于直角，作矩形EFGH如图：矩形EFGH有两个． 【小问3详解】 解：作交GH的延长线与点K， ∵， ∴， ∵EFGH是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ABCD为矩形， ∴， 在和中， ∴， 同理可得：， 设，，则， ∵矩形边长，， ∴，， ∵EFGH是菱形， ∴，即，整理得：， ∵， ∴，解得：． 故答案为： 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，作垂线，三角形全等的判定及性质，矩形的性质菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质及定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $