广东省九师联盟2024届高三上学期开学考试数学试题

高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内 作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范困：高考范围。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合A={yly=ln(x2+e)},B={xx=√4-y},则A∩B= A.[1,+∞) B.[1,2] C.[1,2) D.(1,2) 2已知复数x=2+i,则名= A.1 B号 C. 2 D婴 3.已知单位向量e,e的夹角为，则|g一t(e一e2)川（∈R)的最小值为 A司 B号 C.1 D 4.从2023年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地.某大学一个寝室6位同学A,B,C,D,E, F慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求A,B相邻，C在D的左边，则不同的站法共有 A480种 B.240种 C.120种 D.60种 5.已知函数fa)=2cos(ax+看)(o>0)在0，)有且仅有2个极值点，且在（骨，费）上单调递增，则 ω的取值范围为 A[] B[] c[2,] D[,] 6.设a=号，6=h2,c=m1,则 A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 7设数列{a,}的前n项和为S,a+2=1,a1=1,a=2.对任意∈N",(2+D(S.十1)loga> 3aw+1 logia+1恒成立，则 A.A>0 B>-2 C.>-1 D.>- 2 【高三开学考·数学第1页（共4页）】 XG 扫描全能王创建 8.已知抛物线C:y=2ax(p>0)的焦点为F,过点F的直线1交C于M,N两点，线段MN的中点为E, 过E作线段MN的中垂线交x轴于点R,过M,N两点分别作C的雅线的垂线，垂足分别为A,B.线 段AB的中点为P,则累- A.1 B司 C.2 n号 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.某市高三一模物理成绩X近似服从正态分布X~N(70,d2)(g>0),且P(X≥80)=0.2，则 A.P(X<80)=0.8 B.P(60<X<80)=0.6 C.P(X≤60)=0.2 D.P(X>60)=0.7 10.在平面直角坐标系xOy中，点M(x1,),N(x2,)间的折线距离d(M,N)=|x1一x2|+|y一2|， 已知A(a,b),B(1,1),记s=a2+b2+2a+4b,则 A.若d(A,B)=1,则s有最小值8 B.若d(A,B)=1,则A点轨迹是一个正方形 C.若d(A,B)≤1，则s有最大值15 D.若d(A,B)≤1，则点A的轨迹所构成区域的面积为r 11.已知AC为圆锥S0底面圆O的直径，SA=4,SO=2√5，点B为圆O上异于A,C的一点，M为线段 SC上的动点（异于端点），则 A直线SB与平面SAM所成角的最大值为若 B圆维S0内切球的体积为器示 C.棱长为专2的正四面体可以放在圆锥S0内 D.当M为SC的中点时，满足SB⊥AM的点B有2个 12.已知logb>0(a>0且a≠1)，若a>b,且e·b>e·a,则 A.In b-a<-1 B.b-1>a-1 C.(a+1)ln(b+1)>(b+1)ln(a+1) D.loga+1a>l0gs+16 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.高台建筑流行于战国到西汉时期，当时重要宫殿台榭多采用此建筑形 式，高台建筑以高大的夯土台为基础和核心，在夯土版筑的台上层层建 屋，木构架紧密依附夯土台而形成土木混合的结构体系.如图是一个非 常简易的高台建筑，塔下方是一个正四棱台形夯士台，已知该四棱台上 底边长10m,下底边长16m,侧棱长8m,则此四棱台的体积为 m3. 14.已知a,B∈(0，受)，且sin(a-)=2 sin os,则a一B的最大值为 15.已知椭圆号+芳-1a>6>0)的左右焦点分别为R,R,P为椭圆上不与顶点重合的任-点，C为 △PFR,的内心，0为坐标原点，则直线PC与OP的斜率之器- (用a,b表示) l6.若xe-elnx>mx一e恒成立，则正整数m的最大值为 【高三开学考·数学第2页（共4而）】 扫描全能王创建 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分10分) 记锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,bc,已知2simA;P=√3 csin B. 2 (1)求C: (2)若边AB上的高CD=2,当△ABC的面积取最小值时，求△ABC内切圆的而积. 18.(本小题满分12分) 已知数列a)的各项均为正数，=1，S为1a的前项和，且4一-≥20。 (1)求{an}的通项公式； (2设，-，记{.的前n项和为T,求证：T<号 Sg·S%1 19.(本小题满分12分) 自古以来，杭州就被称为“人间天堂”，无数文人墨客在此毫不吝啬地为之挥洒笔墨，留下千古诗篇名 句，在宋代柳永的诗中这样描写到“东南形胜，三吴都会，钱塘自古繁华”，就连马可·波罗都称之为 “世界上最美丽华贵之天城”第19届亚运会将在被称为“人间天堂”的杭州举办，组委会计刘采用志 愿服务知识问答和技能考核的形式，从报名者中择优选取一部分成为正式的亚运会志愿者 (1)已知报名者1,2,3组人数之比为3：3：4，将这3组报名者混在一起进行亚运会志愿服务知识问 答，假设1,2,3组中的每一个人答对某道题的概率分别为0.90,0.95,0.90，从中任选一人，求此 人答对该题的概率； (2)从4名女性报名者和3名男性报名者中随机选出3名进行亚运会服务技能考核，记X为其中女性 的人数，求X的数学期望 【高二开兰老，数学笆3而（止4而）】 扫描全能王创建 20.(本小题满分12分) 如图1，直角梯形ABCD中，AB=CD=2,AD=2,AD1CD,AB/CD,将直角梯形ABCD绕AD 旋转一周得到如图2的圆台，EF为圆台的母线，且CF=4,M是BC的中点。 (I)在线段CF上是否存在一点N,使MN∥平面AEFD?说期理由： (2)若P为线段CD的中点，求平面AEFD与平面MFP夹角的余弦值. 图1 图2 21.(本小题满分12分) 已知双曲线C后一芳=1a>0,b>0)的左右焦点分别为R,F,且FF=8,过F作其中一条 y 渐近线的垂线，垂足为M,延长F2M交另一条渐近线于点N,且|FzM川=|MN|. (1)求C的方程； (2)如图，过A(6,0)作直线(1不与x轴重合)与曲线C的两支交于P,Q两 点，直线FP,FQ与C的另一个交点分别为S,T,求证：直线ST经过 定点 22.(本小题满分12分) 已知f(x)=axe-x-lnx-1(a∈R). (1)若a=是，求f(x)在(0，门(>0)上的最小值h(): (2)若f(x)有2个零点x1,x红(x1<x2). ①求a的取值范围； ②求证：西t<a 1 ■山一T出比h兴竺4云（山云 扫描全能王创建高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内 作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范困：高考范围。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合A={yly=ln(x2+e)},B={xx=√4-y},则A∩B= A.[1,+∞) B.[1,2] C.[1,2) D.(1,2) 2已知复数x=2+i,则名= A.1 B号 C. 2 D婴 3.已知单位向量e,e的夹角为，则|g一t(e一e2)川（∈R)的最小值为 A司 B号 C.1 D 4.从2023年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地.某大学一个寝室6位同学A,B,C,D,E, F慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求A,B相邻，C在D的左边，则不同的站法共有 A480种 B.240种 C.120种 D.60种 5.已知函数fa)=2cos(ax+看)(o>0)在0，)有且仅有2个极值点，且在（骨，费）上单调递增，则 ω的取值范围为 A[] B[] c[2,] D[,] 6.设a=号，6=h2,c=m1,则 A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 7设数列{a,}的前n项和为S,a+2=1,a1=1,a=2.对任意∈N",(2+D(S.十1)loga> 3aw+1 logia+1恒成立，则 A.A>0 B>-2 C.>-1 D.>- 2 【高三开学考·数学第1页（共4页）】 XG 扫描全能王创建 8.已知抛物线C:y=2ax(p>0)的焦点为F,过点F的直线1交C于M,N两点，线段MN的中点为E, 过E作线段MN的中垂线交x轴于点R,过M,N两点分别作C的雅线的垂线，垂足分别为A,B.线 段AB的中点为P,则累- A.1 B司 C.2 n号 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.某市高三一模物理成绩X近似服从正态分布X~N(70,d2)(g>0),且P(X≥80)=0.2，则 A.P(X<80)=0.8 B.P(60<X<80)=0.6 C.P(X≤60)=0.2 D.P(X>60)=0.7 10.在平面直角坐标系xOy中，点M(x1,),N(x2,)间的折线距离d(M,N)=|x1一x2|+|y一2|， 已知A(a,b),B(1,1),记s=a2+b2+2a+4b,则 A.若d(A,B)=1,则s有最小值8 B.若d(A,B)=1,则A点轨迹是一个正方形 C.若d(A,B)≤1，则s有最大值15 D.若d(A,B)≤1，则点A的轨迹所构成区域的面积为r 11.已知AC为圆锥S0底面圆O的直径，SA=4,SO=2√5，点B为圆O上异于A,C的一点，M为线段 SC上的动点（异于端点），则 A直线SB与平面SAM所成角的最大值为若 B圆维S0内切球的体积为器示 C.棱长为专2的正四面体可以放在圆锥S0内 D.当M为SC的中点时，满足SB⊥AM的点B有2个 12.已知logb>0(a>0且a≠1)，若a>b,且e·b>e·a,则 A.In b-a<-1 B.b-1>a-1 C.(a+1)ln(b+1)>(b+1)ln(a+1) D.loga+1a>l0gs+16 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.高台建筑流行于战国到西汉时期，当时重要宫殿台榭多采用此建筑形 式，高台建筑以高大的夯土台为基础和核心，在夯土版筑的台上层层建 屋，木构架紧密依附夯土台而形成土木混合的结构体系.如图是一个非 常简易的高台建筑，塔下方是一个正四棱台形夯士台，已知该四棱台上 底边长10m,下底边长16m,侧棱长8m,则此四棱台的体积为 m3. 14.已知a,B∈(0，受)，且sin(a-)=2 sin os,则a一B的最大值为 15.已知椭圆号+芳-1a>6>0)的左右焦点分别为R,R,P为椭圆上不与顶点重合的任-点，C为 △PFR,的内心，0为坐标原点，则直线PC与OP的斜率之器- (用a,b表示) l6.若xe-elnx>mx一e恒成立，则正整数m的最大值为 【高三开学考·数学第2页（共4而）】 扫描全能王创建 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分10分) 记锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,bc,已知2simA;P=√3 csin B. 2 (1)求C: (2)若边AB上的高CD=2,当△ABC的面积取最小值时，求△ABC内切圆的而积. 18.(本小题满分12分) 已知数列a)的各项均为正数，=1，S为1a的前项和，且4一-≥20。 (1)求{an}的通项公式； (2设，-，记{.的前n项和为T,求证：T<号 Sg·S%1 19.(本小题满分12分) 自古以来，杭州就被称为“人间天堂”，无数文人墨客在此毫不吝啬地为之挥洒笔墨，留下千古诗篇名 句，在宋代柳永的诗中这样描写到“东南形胜，三吴都会，钱塘自古繁华”，就连马可·波罗都称之为 “世界上最美丽华贵之天城”第19届亚运会将在被称为“人间天堂”的杭州举办，组委会计刘采用志 愿服务知识问答和技能考核的形式，从报名者中择优选取一部分成为正式的亚运会志愿者 (1)已知报名者1,2,3组人数之比为3：3：4，将这3组报名者混在一起进行亚运会志愿服务知识问 答，假设1,2,3组中的每一个人答对某道题的概率分别为0.90,0.95,0.90，从中任选一人，求此 人答对该题的概率； (2)从4名女性报名者和3名男性报名者中随机选出3名进行亚运会服务技能考核，记X为其中女性 的人数，求X的数学期望 【高二开兰老，数学笆3而（止4而）】 扫描全能王创建 20.(本小题满分12分) 如图1，直角梯形ABCD中，AB=CD=2,AD=2,AD1CD,AB/CD,将直角梯形ABCD绕AD 旋转一周得到如图2的圆台，EF为圆台的母线，且CF=4,M是BC的中点。 (I)在线段CF上是否存在一点N,使MN∥平面AEFD?说期理由： (2)若P为线段CD的中点，求平面AEFD与平面MFP夹角的余弦值. 图1 图2 21.(本小题满分12分) 已知双曲线C后一芳=1a>0,b>0)的左右焦点分别为R,F,且FF=8,过F作其中一条 y 渐近线的垂线，垂足为M,延长F2M交另一条渐近线于点N,且|FzM川=|MN|. (1)求C的方程； (2)如图，过A(6,0)作直线(1不与x轴重合)与曲线C的两支交于P,Q两 点，直线FP,FQ与C的另一个交点分别为S,T,求证：直线ST经过 定点 22.(本小题满分12分) 已知f(x)=axe-x-lnx-1(a∈R). (1)若a=是，求f(x)在(0，门(>0)上的最小值h(): (2)若f(x)有2个零点x1,x红(x1<x2). ①求a的取值范围； ②求证：西t<a 1 ■山一T出比h兴竺4云（山云 扫描全能王创建高三数学参考答案、提示及评分细则 1.B由题意得A=[1,十∞)，B=[0,2],则A∩B=[1,2].故选B. 2C音告+所以片昌+别=四故选C 3Be-e-e)川=1-00十e:P=(1-)+21-0…2+f=-+1=(-号）+圣，所以当1=号时， 10-a-e1-号放选B CA,B站在一起有A,种，将A,B看成一个整体与C,D,E,F进行全排列，同时要求C在D的左边，共有AA 120(种).故选C 5A因为x)在(0，x有且仅有2个极值点，所以2x<om十吾<3x,解得号<<名.因为x)在（停·员）上单调递 增，又（停费✉）上0，，所以 解得号<w<4,所以号<<吕·故选A 7+吾<2x 11 6.C因为2>2.82>e,所以2>e子，所以ln2>号，即b>a:令f(x)=sinx-ln(1+x)(0<x<1),了(x)=cosx f)=-sm十a当01时，)单调递减f0)=1>0.f)=-n1+<-s血章+} -2平+<0，所以3xE0.1D.使得f)=0,当E0f>0,f)单调道增：当E,.f)<0. 了)单调递减，而了0)=0，f1)=os1-之>c0s吾-号-0，从而f)>0,所以)在(0,1D上单调递增，所以 f(1)>f(0)=0,所以sin1-ln2>0,即>6.故选C 7.D由十24=1，得a+-4+1=2(a1一a,),又a一4=1，所以数列{a1-4}是以2为公比，1为首项的等比数 3aa+1 列，所以a+1-an=2°-1，则a=(a。一am-1)十(an-1-aa-2)十…十(a2-a1)十a1=2+2"-3+…十2+2十1=2"-'， 2 进而可得S=2-1,不等式(2+0(S,+1)1oga>oga恒成立，即2(2m-1D(2+a)>,2+A>(2-）·2,设 n (n十1)2 n -2n2+m2-1 6=(2m-1D）·2·则b+1-=2m十1D·2m一(2n-D·2=2m-1)-2n十+1)·2m,当n≥1时，6+1-a<0. 亿为递减数列，所以，)m==号，所以2十>号，解得>-是.故选D &A设直线MN:x=y叶号，联立 =w+ 3y-2-p=0,所以m+9=2m 则 y=2pr, y·2=一p, 十=（十为）+p=2pr十p,得E(pN+号，p加)，线段MN的中垂线方程为x=一】 （y一m)+r+专，令y=0,得x=N+号A所以R(r+受D,0),所以RF=加+p, IEP|=+p,所以IRF|=|EP|,又RF∥EP,所以四边形EPFR为平行四边形， 1ER=PF1,所以累=1.故选N 9.ABC由题可知，P(X<80)=1一P(X80)=0.8,A正确：由对称性可知P(X≤60)=0.2.所以P(60<X<80)=1一 P(X≥80)-P(X≤60)=0.6，P(X>60)=1-P(X≤60)=0.8，BC正确，D错误.故选ABC 【高三开学考·数学参考答案第1页（共6页）】 XG 10.BC若d(A,B)=1,由题意可知d(A,B)=a-1|+|b-1|=1,令x=a-1,y=b-1,则|x|+|y=1,作出其图象 如图. 易知，点A(,b)的轨迹可由正方形x十|y=1右移1个单位长度，再上移1个单位长度得到，故B正确：对于A,s= a2十+2a+4b=(x+1)2+(y+1)2+2(x+1)+4(y+1)=x2+y2+4.x+6y十8=(x+2)2+(y十3)2-5，结合图象可 得vx十2+y十3的最小值即为点(-2，-3)到直线x十y十1=0（即点(0，-1）)的距离一23+1=22，此时 2 s取得最小值3，故A错误：对于C,√(x十2)十(y+3)产的最大值即为点（一2，一3）到点(1,0)，(0,1)的距离中的最大 值max{3√2,25}=25，故s的最大值为15，故C正确：若d(A,B)≤1，则1x+y≤1表示正方形及其内部区域，易 知其面积为号×2×2=2，故D错误故选C 11.ACOA=OC=OB=√4一12=2，直线SB与平面SAM所成的角即直线SB与平面SAC所成的角，当B为弧AC 中点时，易知∠0B为所求，m0S8品一得，所以∠058=音故A正确 圆维S0的内切球的半径即为△SAC内切圆的半径，Sc=3×号×4Xr=之×4×25=45r=号原，V=号矿 一器，故B错误 棱长为学②的正四面体可以从棱长为号的正方体截，所以该正四面体和正方体的外接球是同一个外接球，2求=一3， 即R=子3，所以该正四面体可以放在圆锥S0的内切球内，故C正确： 如图建立空间直角坐标系，A(0,一2,0)，C(0,2,0),S(0,0,23),B(x,y,0),则x2十y2=4, x≠0，不妨设M为SC的中点，则M0,1,3).AM=(0,33),S第=(x,y,-23),设直线 AM与直线SB的夹角为，cos0=|cosA成，S成|=13y一6，因为-2<y2,所以cos9 83 ≠0，故不存在点B,满足SB_LAM,故D错误. 另解：假设SB⊥AM,过B作BD垂直于AC,垂足为D,连接SD,因平面SAC⊥底面ABC, 平面SAC∩平面ABC=AC,所以BD⊥平面SAC,又AMC平面SAC,所以BD⊥AM,可得 AM⊥平面SBD,所以SD⊥AM,因△SAC为正三角形，M为SC的中点，所以SC⊥AM,即 C,D两点重合，与题设矛盾，故D错误.故选AC (d>1, 12.ABD由logb>0,可知 0又e6>ta→后>若令a)-号>0f)=,当 6>1或01. 2 (0,时，单调谜减，当：∈，十四)时)单调遥增，当且。>h此时号<号与感意不符合：当 l0<b<1. 且。>6时号>若故a>61令)-号>D,p)-号，当re1.+时，)单调遥减：又>b 6>1, >1.所以号<台<所以哈<号<名所以h台<h是→1h4<一1，放A正确：令h()-6>.N） =血-+1，记g(x）=xhx-x+1(x>1),e'(x)=lnx+1-1=nx>0,所以g(x)>g(1)=0,h'(x)>0,所以 In A)在，十o∞)止单调递增，所以Aa>.即n6,即(a-Dn>一Dna,所以n>hc,即 >1,故B正确：g)=兰，g(x)=n二，当x∈(0，e)时，gx)单测递增，当x∈(e,十∞)时，g(x)单调递减， 【高三开学考·数学参考答案第2页（共6页）】 XG a+1>b+1>2,当2<b+1<a+1<e时，g(a+1)>g(b+1),即lnal>血h,即(b+1)n(a十1)> 4十1 b+1 a+1Dln+,放C错误：令r)=n千f()= 上n+1》hhs_兰，令ma 1m(1+x) r(x+1)ln(1+x) xlnx,m'(x)=1十nx>1,即m(x)在(1，十∞)上单调递增，所以(x十1)ln(x十1)>xlnx,'(x)>0,1(x)在(1，十∞)上 单调递增，所以m2>n·即6ga>6g6,故D正确放迹AD 13.172√46如图，过D作DE⊥平面A'B'C'D',E为垂足，DE=8√2-52=3V2,DE= √8-(32-V46,V-号162+6×10+10)×√6=172v6. 4.吾 由sin(a-)=2sin3cosa,可得sin acos B-3sin3cosa→tana-3 tan B.tan(a-)= tan a-tan B 2tan B 2 2 中nam9+8p3m计A2√3am·a 1 号，当且仅当3am月户 品g即mg得时取等号.义-吾<a一K登，所以。9的最大值为各。 设P(xo,w),C(x,),△PFF内切圆与PF,PF,FFg分别相切于点M,V,T,则|PM=|PN, IFM=|F,T|,|FN|=IFT|,所以|F,T+|PN|+INF2|=a十c,即|F,T|+IPF|=a+c,所以 |FTl=a+c)-PE:l,又PFl=Vao-)+=√-2a++(1-是)=V2-2w+a=a-em c为椭圆的离心率.而FT=x+c,所以x十c=(a十0-(a-em)=c+e团，即x=后S所5=号(2a+2)· =专·2·为，所以=千，C(后wa千).m= k序： 16.5由题意可知e-ehx+e>m,即x-hx十1>恒成立，令fx)=x-nx+1,)=1--,当x∈ (0,1),f(x)<0,f(x)单调递减，当x∈(1，+∞)，f(x)>0,fx)单调递增，fx)m=f1)=2:令g(x)=号，则g(x） =e号-1号，当E0,,8>0,8)单调递增，当e1,+∞)，8c)<0,8a单调递减，g)=8D =。所以x)-mg=1D一mg1)=2->0,得m<2∈(6,6)，所以正整数m的最大值为5。 17.(1)2bsin AB=/3csin Bb1-cos(A+B)]=3csin B. 2 即b(1十cosC)=√3 csin Bsin B(1+cosC)=3 sin Csin B.…2分 又mB≠0，所以1+sC=5s血C即2asS=25n号os号 C 易知号∈(0，子)，所以2ms号≠0，可得cms号-5sn号，即m号-停 所以号=吾即C-吾 …5分 (2)因为△ABC为锐角三角形，所以D在边AB上，且不与A,B重合. 设∠ACD=a,∠BCD=号-a,在△ACD中，AC=CD=2 cos a cos a 在△BCD中，BC-CD 2 …7分 os(-a）cos(-a 所以S=CA·CBsin登=·o。 2 【高三开学考·数学参考答案第3页（共6页）】 XG 3 s2%82an(2+语)十享子@ 由题意ae(o,子).则(2a+吾)∈（悟，）， 当2a十否=受，即a=吾时，等号成立.… 9分 当△ABC的面积取最小值时，设△ABC内切圆的半径为r,易得△ABC为等边三角形， 则5m=3x×2三×，=台原r=号 os音 3 所以△ABC内切圆的面积S=r2-号元 ....0.....4............. 10分 2 2 181)解：由a,=8十3一得5-S-1=3十3即号-=2(m≥2)： 2 =2 又当m=2时，a:一s千Sa千2，即a+2a:-2=0,解得a=-1士v5, 考虑到am>0,可得a:=3-1,从而S-S=(a1+a)-a=(1十√3-1)一1=2， 所以{S}是以1为首项，2为公差的等差数列，… …2分 所以S%=1十2(n-1)=2m-1,又{a,}是正项数列，所以S=√21-1. 当n≥2时，4u=S。-SM-1=√2n-I-√2n-3. 当n=1时，=1不符合n≥2时an的形式.… …5分 1,n=1, 所以an= 6分 √2n-I-√2n-3,n≥2. (2)证明：6=$+等 21-1+2n+1 An 1Γ S·S(2n-1)·(2n+1)产-(2m-1)2·(2n+1D=2(2m-1y- (2n+1) …10分 工-4+++a-[是-京+是京+…+aD2D] 1 =1-a]小g +4444… 12分 19.解：(1)设事件B=“任选一人答对”，A=“答题人来自于第i组”(i=1,2,3), 则样本空间2=AUA2UA,且A,A2,Ag两两互斥，… …2分 根据题意得 P(A1)=0.3,P(A）=0.3,P(Aa)=0.4,P(B|A)=0.90,P(B|A)=0.95,P(B|A)=0.90.…4分 由全概率公式得P(B)=P(A)P(BA)+P(A:)P(BA)+P(A)P(B引A) =0.3×0.90+0.3×0.95+0.4×0.90=0.915, 所以任选一人，此人答对该题的概率为0.915.…… …6分 (2)由题可知，X的可能取值为0,1.2,3 由题意得PX=0)-号-名，PX=DCcC-是， C 351 P0X=2》-e-器pX-38-嘉 10分 故X的数学期望EX0=0×需+1×号+2×器+3X嘉-号 12分 20.解：(1)线段CF上存在一点N,使MN∥平面AEFD.理由如下： …1分 过M作MGLCD,.垂足为G,M为BC中点，又AB=合CD=2,所以CG 1,过G作一条平行DF的直线交FC于N点，此时NG∥FD.…2分 易知MG∥AD,ADC平面AEFD,MG中平面AEFD,所以MG∥平面 AEFD. 同理GN∥平面AEFD,又MG∩NG=G,所以平面MGN∥平面AEFD,所以MN∥平面AEFD, 【高三开学考·数学参考答案第4页（共6页）】 XG 故线段CF上存在-点N,使MN/平面AFD,器品= …5分 (2)作DH⊥CD交下底圆D于H,因为AD⊥DC,DH⊥DC,AD⊥DH, 如图，以D为原点，DH,DC,DA所在直线分别为x轴，y轴，x轴，建立 空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(0,0,2),F(23,2,0),C(0,4,0), B(0,2,2),P(0,2,0),M0,3.1), D亦-(23.2,0)，DA=(0.0,2,下-(-23,0,0)，M亦-(2/3，-1.-1. DA·n=0, 12x=0, 设平面AEFD的法向量n=(x,y,~),由 得 D.n=0,H23x+2y=0, 令x=1,则n=(1,-√3,0)： mF币=0，「-23=0， 设平面MFP的法向量m=(少，)，由 得 m·M亦=0,234-y-=0, 令1=1，则m=(0,1,一1). 9分 设平面AEFD与平面MFP的夹角为0，则cos0=|cos(m,n)|= a- 放平面AEFD与平面MFP夹角的余弦值为 12分 21.（1)解：渐近线：y-x,渐近线：y= b …1分 设O为坐标原点，由题意，不妨设M在1上，N在12上，OM是线段NF2的中垂线， △F,OM≌△NOM. 所以∠FOM=∠NOM …2分 由对称性，∠FOM=∠F,ON, 所以∠F:OM=∠NOM=∠FON,从而∠F,OM= F,M= =6,在R△OM中，mROM=名=冬-， ()+1 解得b=23. …4分 所以心=-：=-12=4，放C的方程为号-黄=1. …5分 (2)证明：设P(xm,y),Q(x2,),S(xa,为)，T(x4,y),设直线PQ:y=k(x-6). 可得直线PS:y=少(x十4).…6分 +. 联立 42=1, 得[3(+4)2-3听]x2-87.x-16y-12(.x+4)=0, 8 则4十=3产4-又片=3-12. 8(3.zi-12) 24(i-4)-_2(-42 所以+一3(4+40-(3-12)24x+60 2.x1+5 …7分 所以= 5.x1+8 2十5%= 3.m+12_3y 所以S(2)同理T(-2兴) 9分 3业 则kr= 2.m+52x十5 3ym(2.x2十5)-32(21+5) 5.1+8 5.x2十8 -(5.x1+8)(2x2+5)+(2.x1+5)(5.x2+8) 2.+5（2x+5 =-3k(m-6)(2.+5)-3k(x-6)(2.+5)_3k(17x-17x2=_17k -(5x1+8)(2.+5)+(2+5)(5.xg+8)9(x2-x1） 10分 【高三开学考·数学参考答案第5页（共6页）】 XG 直线ST:y- 2”[-（器+)] 令y=0,得x= 2=器所以直线ST过定点（一器.0） 17(2x+5) …12分 2.解：)当a=时fx)=x心1-x-nx-l 所以f(x)=(r+1)e1-+1=(x+1)(e1-1) 1分 因为x>0,x十1>0， g(x)=e一1二在(0，十6)上单调递增，且g(1)=0, …2分 所以x∈(0,1)时，g(x)<0,f(x)<0,f(x)单调递减；x∈(1，+oo)时，g(x)>0,(x)>0,f(x)单调递增， **++*++**+ …3分 所以当0<t≤1时，h(t)=f(t)=te1-t-lnt-1: 当>1时，h(t)=f(1)=-1, 所以h()=-1,>1. ft-1-t-lnt-1,0<t≤1， …5分 (2)①因为f(x)=a.xc-r-nx-1=a.xc-n(,xc)-1, 设t=xe,则1=xe在(0，十o∞)上单调递增，且t的取值范围是(0，十o∞)， 设t1=x,t2=xe:,f(x)有2个零点，e(x1<x2)即方程at一ln1一1=0有2个不同实根t,t, 即公=h有2个不同实根l.…7分 设F()=血中，则F()=-', 12 当t∈(0,1)时.F(t)>0,F(t)单调递增：当t∈(1，十∞)时.F(t)<0,F(t)单调递减， 所以F(t)m=F(1)=1,当>0，且1→0时，F(t)→-oo:当t++o∞时.F(t)→0. 令F1)=0,得1=。，所以函数)y=F)的图象过点（日0）。 函数y=F(t)的大致图象如图： 1(0)=Int+1 01 所以，仅当0a<1时，方程at一n1一1=0有2个不同实根1,2， 即f(x)有2个零点时a的取值范围是(0,1). …9分 ②证明：要证em<即证e·ee<分，即证4<， 由①得ah=lnt+1,a=ln+1,所以a=h二lh, g-4 所以问题转化为证明n,>√，即证治>2加√会 丝 /ht 10分 设兵=m(m>,即证m一-2nm>0, 设Hm=m点2mmm>D,则r(m)=1+点-品=（分-1）>0， 十mm 所以H(m)为增函数，H(m)>H(1)=0. 所以h成立，即e<成立.…血 a xr 12分 【高三开学考·数学参考答案第6页（共6页）】 XG高三数学参考答案、提示及评分细则 1.B 由题意得A=[1,+),B-[0,2],则AOB-[1,2].故选B 2.C #--2-+31#以--+3 1410 .故选C. le-(ee) .故选B 120(种).故选C. 增,又(吾。)(0#x),以{ {#二 解得A所以~7.故选A. #1# f(1)f(0)-0,所以sin1-ln20,即c>b.故选C. 3: 列,所以a1-a=2,则a=(a-a-)+(a1-a-)++(a-a)+a=2+2+.+2+2+1-2-. (n1){} ()为递减数列,所以(b)mxb一,所以2十→>,解得)>-。故选D. r-t_-2pty-p”-0,所以 y+-2pt. 8.A 则 -2. +x=1(y+y)十p=2p^{}+p,得E(p+号,pt),线段MN的中垂线方程为x= (yp)十+p^+号,令y-0,得x-p{+3.所以R(p^+.o),所以1RFl-p^+p, |EP 一^*十,所以RF =EP.又RF/EP,所以四边形EPFR为平行四边形 1ERl一1PF,所以=1.故选A. PFi 9.ABC 由题可知,P(X<80)-1-P($ 80)-0.8.A正确;由对称性可知P(X 60)=0.2.所以P(60 $X<80)=1 P($>80)-P($ 60)=0.6.P(X60)-1-P(X 60)=0.8.BC正确,D错误.故选ABC 【高三开学考·数学参考答案 第1页(共6页)】 XG 10.BC 若d(A,B)=1,由题意可知d(A,B)-a-1|+|b-1|-1,令x=a-1,y-b-1,则|x + y =1,作出其图象 如图. 易知,点A(a,b)的轨迹可由正方形x十y一1右移1个单位长度,再上移1个单位长度得到,故B正确;对于A,s ++2a+4b=(x+1)}+(y+1)+2(x+1)+4(y+1)=++4x+6y+8-(x+2){}+(y+3)-5,结合图象可 2 s取得最小值3.故A错误;对于C. (r十2)十(y十3)的最大值即为点(-2.一3)到点(1,0).(0,1)的距离中的最大 值max3v2,2/5)-2v5,故;的最大值为15,故C正确;若d(A,B)<1,则lxl+yl<1表示正方形及其内部区域,易 知其面积为x2X2-2,故D错误.故选BC. 11.AC OA-OC-OB- 4-12-2,直线SB与平面SAM所成的角即直线SB与平面SAC所成的角,当B为孤AC 中点时,易知乙OSB为所求,tanOSB-2_ 圆锥SO的内切球的半径即为△SAC内切圆的半径,Ssc-3××4×r-×4×2/3-4v3,r-3.V-4- 如图建立空间直角坐标系,A(0.-2.0).C(0.2.0),S(0,0.2③),B(x,y.0),则^+-4 0.不妨设M为SC的中点,则M(0,1,③),AM-(0.3.v③),5B-(x,y,-23),设直线 8③ 子0.故不存在点B.满足SB|AM,故D错误 另解:假设SB AM,过B作BD垂直于AC,垂足为D.连接SD,因平面SAC底面ABC. 平面SACO平面ABC-AC,所以BD1平面SAC,又AMC平面SAC,所以BD AM,可得 AM 平面SBD,所以SDIAM,因△SAC为正三角形,M为SC的中点,所以SC1AM,即 C.D两点重合,与题设矛盾,故D错误.故选AC 12.ABD由log/0,可知 _1 l01. 0I (0.1)时,/(x)单调递减,当x(1,十oo)时,/(x)单调递增,当 101. , 1. _ >1,所以<<.所以<<#,所以1n<n→nb-<-1,故A正确;令(c)-(c(1)#n(cx) ln -ìn+1,记q(x)=xìnx-x+1(c>1),(c)-lnx+1-1-lnx→0,所以(x)>(1)-0.h'(c)>0,所以 xln) >,故B正确;g(z)-ln,g'(c)-1-ln,当xc(0.e)时,g(x)单调递增,当xe(e,十oo)时,g(x)单调递减, 。 _2 【高三开学考·数学参考答案 第2页(共6页)】 XG 1 1 (x+1)ln(1+x)-xnx令n(x)- lr(1+x) x(r十1)ln(1+x) xlnx,n'(x)-1+lnx1,即m(x)在(1,+oo)上单调递增,所以(x+1)ln(x十1)xlnx,f(x)>0,i(x)在(1,+)上 13.172V46 如图,过D作DE1平面A'B'C'D',E为垂足,DE-8/2-5v2-32,DE 8-(32)#-46.V-(16-+16×10+10-)×46-17246. 14. 由 sin(a-③-2sin}cosa,可得 sin acos {-3sin 3cos a→tana=3tanB. tan(a-= tan-tan3_2tan 设P(xo,).C(x.,y),△PFF。内切圆与PF,PF,F.F。分别相切于点M,N.T,则|PMl=PNl, |FM|=FTI,FN|=|FT|,所以|F Tl+|PN|+|NF|=a+c即|F T|+|PF|=a+c.所 一 一 2 -rg1-,当x(0,1),g'(c)>o,g(x)单调递增,当xe(1,+oo),g’(x)<0,g(x)单调递减,g(x)nux=g(1) (e)2 m_ 17.解:(1)2bsin*A+B-3csin B→6[1-cos(A+B)]-3csin B., 即b(1+cos C)-/3csin B→sin B(1+cosC)-3sin Csin B. ............................................................... .分 又 sin B-zo,所以1+cos C-3sin C,即2osC-2/3sin 易知C(0.),所以2cos ####一一。# ......................................................................................5分 (2)因为△ABC为锐角三角形,所以D在边AB上,且不与A,B重合. 在△BCD中,BC-_CD cos(-o)co(-) .........................................................................分 所以Sc-CA·CBsin.. 4cosa cos(-a)cosa(cosa+sin) 【高三开学考·数学参考答案 第3页(共6页)】 XG 由题意,(o),则(2a十)(吾,5n). 当△ABC的面积取最小值时,设△ABC内切圆的半径为r,易得△ABC为等边三角形, 10分 2 考虑到a>0,可得a=③-1,从而$-S-(a +a)-a^-(1+③-1)-1-2 所以(S)是以1为首项,2为公差的等差数列, 所以S-1+2(n-1)-2n-1.又(a)是正项数列,所以S.=v2n-1. 当n2时,a.-S.-S-,-v②n-1-v2n-3. 当n.....不往.n....的形式................................................................................5分 [1,n-1. 所以a.一 2n-T-②n-3,n2. ............................................................................6分 一 22_1+21 (2 )(2)[1)(2)] 2n-1+2n十1 ............. (2)证明:.一 10分 1-#1## 19.解:(1)设事件B一“任选一人答对”,A.一“答题人来自于第i组”(i一1,2,3). 则样本空间2-AUAUA,且A.A,A:两两互斥, .........................................................2分 根据题意得 P(A )=0.3.P(A)-0.3.P(A)-0.4.P(B A)-0.90.P(BA)-0.95.P(B A)=0.90. .....................4分 由全概率公式得P(B)=P(A)P(B A)+P(A)P(B A)+P(A)P(B A) -0.3×0.90+0.3×0.95+0.4×0.90-0.915. 所以任..........对该.的概率为.......................................................................6分. (2)由题可知,X的可能取值为0,1,2,3. 由题意得P(X-0)- 3 10分 故x的数学期望E(X)-0×35+1×32+2×18+3×-12. ............................1..... 20.解:(.1)线段C..存...N...N/.平面..EF.理.如下.............................1分. 过M作MGICD.垂足为G,M为BC中点,又AB-CD-2.所以CG= 1.过G作一条平行DF的直线交FC于N点,此时NG/FD.........2分 易知MG/AD,ADC平面AEFD,MG平面AEFD,所以MG/平面 AEFD. 同理GN/平面AEFD,又MGONG=G,所以平面MGN/平面AEFD,所以MN/平面AEFD. 【高三开学考·数学参考答案 第4页(共6页)】 XG ....................................................分 (2)作DH CD交下底圆D于H.因为AD DC.DH DC.AD DH 如图,以D为原点,DH,DC,DA所在直线分别为x轴,y轴,:轴,建立 空间直角坐标系,则D(0.0.0),A(0,0.2).F(2v3,2,0).C(0.4.0). B(0.2.2).P(0.2,0).M(0.3.1). D-(2/3,2.0),DA-(0.0.2),F-(-2/3,0.0).M-(2/3.-1,-1). 设平面AEFD的法向量n一(x,y,~),由 {D.n-0.” 123x+2y-0. 令x-1,则n-(1,-/3,0) n.F-o. (-23x-0. 设平面MFP的法向量n一(x,,),由 n.M-o.得 得 12v3x---0. 令y-1,则m-(0.1,-1). .................................................................................分.. )) ............................................................ ..分 B 设O为坐标原点,由题意,不妨设M在L上,N在/.上,OM是线段NF。的中垂线, ) △FOM△NOM. 所以......................................分.. 由对称性。FOM-FON. # FM-- =b,在Rt△F-OM中,sinF:OM--3. ()) 4- C 2 解得-2③. ..........................................................................4分 .................................................................分 (2)证明:设P(x.y).Q(x.y).S(x·y).Tx,y).设直线PQ:y-(x-6). .............................................分. #.# 联立 {_1 得[3(x+4)-]-8x-16-12(x+4)-0 8 则十一 3(x:4)-又-a--12 8(3-12) 所以:十一- 24(r-4)2(x-4) 3(x十4)-(3xr-12) 24.c1+60 .........................................................分. 2x十5 #(4). 5x计8 所以。一 3x十123 (-)间( 1+42+52x1+5 所以s( 3y_ 3 22+52 则一 ) 3y(2r+5)-3(2r+5) -(5.x+8)(2x+5)+(2x:+5)(5x+8) 3(r-6)(2x+5)-3{(-6)(2x+5)3k(17.x.-17x)17k 10分 -(5x+8)(2x+5)+(2x+5)(5.x+8) 9(一.) 【高三开学考·数学参考答案 第5页(共6页)】 XG 直线 $T(-87. 76x+190 令y-0,得x-- 17(2r+5) .......................1..分 22.解:(1)当a-1时,f(x)-xre-l-x-lnx-1. 2 因为x0,x十10. 所以x(0,1)时,g(x)<0.f(x)<0.f(x)单调递减;xE(1,+oo)时,g(x)>0./(x)0.f(x)单调递增 ........................................................................................................分 所以当0 1时,h(t)-f()-te1-1-lnt-1; 当1时,h(t)-f(1)--1. [t--lnt-1,0<<1. 所以(t)一 1-1,t>1. .................................................................................5分 (2)①因为f(x)-are-x-lnx-1=are-ln(xe)-1 设/-xe,则/-xe在(0,十o)上单调递增,且的取值范围是(0,十). 设t=xe,t=xe,f(x)有2个零点x,x(x x)即方程at-ln-1=0有2个不同实根t,t 即_ln+1有2个不同实根t,12. ....................7分 当(0.1)时,F(t)0.F(t)单调递增;当t(1,+)时,F(t)<0.F(t)单调递减 所以F(t)=F(1)-1,当0.且→0时,F(t)→-o;当t→+时,F(t)→0. 令F(t)-0,得t-1,所以函数y-F(t)的图象过点(-,0). 函数y一F(t)的大致图象如图: /_n+ 所以,仅当0 a<1时,方程at-ln1-1-0有2个不同实根t,t。. 即/(x)有2个零点时a的取值范围是(0,1). ...................... .............................................分 ②证明:要证e+<1,即证xe·xae{<,即证tt<1 由①得at-lnt+1,at:-lnz:+1,所以a-1 lnt-lnt. t一 1####2#_0- ............................................................................................. 10分 所以H(n)为增函数,H(n)一H(1)-0. 所以成立,即_成立。 ^{T】2 ................................................................. ..分 【高三开学考·数学参考答案 第6页(共6页)】 XG