精品解析：上海市民办金盟学校（五四制 ）2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

金盟学校2023学年第一学期12月份课堂练习九年级数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 若两个相似三角形的对应中线比是1：4，则它们的周长比是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据周长比等于相似比进行解答即可． 【详解】解：∵两个相似三角形对应中线的比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴它们的周长比是， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的相似比，熟知相似三角形的周长比＝相似比是解本题的关键． 2. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=6，那么下列各式中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先领用勾股定理求得第三边的长，再根据锐角三角函数的定义分别进行求解即可. 【详解】∵∠C=90°，BC=6，AC=4， ∴AB=2， A．sinA==，故此选项错误； B．cosA==，故此选项错误； C．tanA==，故此选项错误； D．cotA==，故此选项正确． 故选D． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 3. 有一山坡，坡面长为200米，山坡的高100米，因此山坡的坡度为（ ） A. 1∶2 B. 1∶ C. 1∶ D. ∶1 【答案】C 【解析】 【分析】根据坡度的定义，竖直距离与水平距离的比可得结果． 【详解】解：由勾股定理得：米， ∴坡度== 1：． 故选C． 【点睛】本题是基础题，考查了坡度坡角问题，以及勾股定理． 4. 抛物线一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别将各点代入解析式，使解析式成立者即为正确答案． 【详解】解：、将代入得，，等式成立，故本选项正确； 、将代入得，，等式不成立，故本选项错误； 、将代入得，，等式不成立，故本选项错误； 、将代入得，，等式不成立，故本选项错误． 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，函数图象上的点的坐标符合函数的解析式． 5. 已知，是两个非零向量，是一个单位向量，下列等式中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】A、得出的是a的方向不是单位向量，故错误； B、左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故错误； C、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误； D、符合向量的长度及方向，故正确. 故选D． 【点睛】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的性质和计算法则是解题的关键． 6. 如果二次函数的图像如图所示，那么下列判断正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向确定a的符号，由对称轴的位置确定b的符号，由抛物线与y轴交点的位置确定c的符号，选择作出答案． 【详解】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，所以b＞0，抛物线与y轴交在正半轴，因此c＞0， 故选：D． 【点睛】考查二次函数的图象和性质，通过开口判断a，对称轴判断b，与y轴的交点判断c． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【结果直接填入答题纸上】 7. 如果线段，那么它们的比例中项是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主考查比例的基本性质，运用方程思想解决问题，根据比例中项的概念结合比例的基本性质得，比例中项的平方等于两条线段的乘积，由此即可求解． 【详解】解：设比例中项为， ∴， ∴， 故答案为：． 8. 计算：=__． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用向量加减的运算法则求解，即可求得答案． 【详解】解：==． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了向量加减的运算法则. 9. 已知点是线段的黄金分割点，厘米，则较长线段长是______厘米． 【答案】## 【解析】 【分析】根据黄金分割点的概念可得，代入即可求解。 【详解】∵点是线段的黄金分割点，且是较长线段， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．正确理解黄金分割点是解题的关键． 10. 在高为30米的高楼窗户处测得地面花坛中心标志物的俯角为，那么这一标志物离高楼的距离为_______ 米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．利用解直角三角形的知识知一边和角求另一边即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：，米， ∵， ∴， ∴米． 故答案为： 11. 如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，CD平分∠ACB，，若AC=10，AE=4，则BC=________． 【答案】15 【解析】 【分析】因为平分，，可证，从而求出DE长，再根据相似三角形即可解题． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形．即． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：15 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质．根据平行线和角平分线得出是等腰三角形是解题关键． 12. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，若，则=_________. 【答案】 【解析】 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB＝CD，即可证得△DEF∽△BAF，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴△DEF∽△BAF， ∴， ∵DE：EC＝2：3， ∴DE：CD＝DE：AB＝2：5， ∴＝4：25，即=． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 13. 抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新拋物线的表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新拋物线的表达式是 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 14. 如果抛物线经过点和点，那么与的大小关系是___（填写“>”或“<”或“=”）. 【答案】＜ 【解析】 【分析】先求得函数的对称轴为x=-3，再判断A（1，y1）、B（3，y2）在对称轴右侧，从而判断出y1与y2的大小关系． 【详解】∵函数的对称轴为， ∴和点在对称轴右侧， ∴抛物线开口向上，对称轴右侧y随x的增大而增大． ∵1＜3，∴＜． 故答案为＜． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象上点的特征，利用已知解析式得出对称轴进而利用二次函数增减性得出是解题关键． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，tan∠ACD=，AB=5，那么CD的长是_____ 【答案】2.4 【解析】 【分析】根据余角的性质得到∠B=∠ACD，由tan∠ACD=，得到tan∠B==，设AC=3x，BC=4x，根据勾股定理得到AC=3，BC=4，根据三角形面积的公式即可得到结论． 【详解】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠ACD+∠BCD=∠BCD+∠B=90°， ∴∠B=∠ACD， ∵tan∠ACD=， ∴tan∠B==， 设AC=3x，BC=4x， ∵AC2+BC2=AB2， ∴（3x）2+（4x）2=52， 解得x=1， ∴AC=3，BC=4， ∵S△ABC=AB×CD=AC×BC， ∴CD==2.4， 故答案为2.4． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积公式，熟记三角形的面积公式是解题的关键． 16. 在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，G是重心，若AG=9cm，则GD=_______cm． 【答案】4.5 【解析】 【分析】由三角形的重心的性质即可得出答案． 【详解】解：∵AB=AC，AD⊥BC于D， ∴AD是△ABC的中线， ∵G是△ABC的重心， ∴AG=2GD， ∵AG=9 cm， ∴GD=4.5cm， 故答案为：4.5． 【点睛】本题考查了三角形的重心，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍． 17. 新定义：平行于三角形一边的直线被其他两边所截得的线段叫做“三角形的弦”，已知等边三角形的一条弦的长度为，且这条弦将等边三角形分成面积相等的两个部分，那么这个等边三角形的边长为_______cm． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 首先根据题意画出图形，由，可得，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得答案． 【详解】解：如图， 根据题意得：，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即这个等边三角形的边长为． 故答案为： 18. 在中，，，，如果将绕着点C施转至的位置，使点落在的角平分线上，与相交于点D，那么线段的长等于______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点作于点F，过点作于点E．利用面积法构建方程即可解决问题． 【详解】如图，过点作于点F，过点作于点E． ∵， ∴，是等腰直角三角形， 在中，，， ∴，， ∴，， ∵， 又， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及锐角三角函数关系和三角形面积求法等知识，利用求出是解题关键． 三、解答题（本大题共7题，19-22题每题10分，23-24题每题12分，25题14分，满分78分） 19. 计算： 【答案】. 【解析】 【分析】牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键，然后根据实数运算法则计算出结果即可． 【详解】原式=． 20. 用配方法将二次函数的解析式化为的形式，并指出该函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴． 【答案】，开口向下，顶点（1，1），对称轴：直线x=1． 【解析】 【分析】先利用配方法直接把二次函数化成顶点式，再利用的正负判断开口方向，通过二次函数顶点式的性质，求出顶点坐标和对称轴即可． 【详解】解：利用配方法可得： 函数开口方向向下． 由二次函数顶点式的性质可知：顶点坐标为（1，1），其对称轴为直线x=1． 【点睛】本题主要是考查了利用配方法把二次函数一般式化为顶点式，通过顶点式求出相应的顶点坐标和对称轴，因此熟练掌握配方法和顶点式的相关性质，是解决本题的关键． 21. 如图，已知△ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、CA上的点，且EF∥AB， =2． （1）设，．试用、表示； （2）如果△ABC的面积是9，求四边形ADEF的面积． 【答案】（1）；（2）4. 【解析】 【分析】（1）由EF∥AB知=，据此可得==2，即==，从而证△BDE∽△BAC得∠BDE=∠A，即可知DE∥AC、四边形ADEF是平行四边形，再利用====及平行四边形法则可得答案； （2）由EF∥AB、DE∥AC知△CFE∽△CAB，△BDE∽△BAC，从而得=（）2==（）2=，进一步得出S△CFE=4、S△BDE=1，从而得出答案． 【详解】（1）∵EF∥AB， ∴= =2， ∴==2， ∴==． ∵∠B=∠B， ∴△BDE∽△BAC， ∴∠BDE=∠A， ∴DE∥AC，则四边形ADEF是平行四边形． ∵= ====，则=+=+； （2）由（1）知=,=． ∵EF∥AB，DE∥AC， ∴△CFE∽△CAB，△BDE∽△BAC， ∴=（）2==（）2=． ∵S△ABC=9，∴S△CFE=4、S△BDE=1， ∴四边形ADEF的面积=S△ABC﹣S△CFE﹣S△BDE=4． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平面向量，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质及向量的计算． 22. 如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆，测得杆顶端点P的仰角是26.6°，向前走30米到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是45°和33.7°求该电线杆的高度（结果精确到1米）．（备用数据：，，，；，，，） 【答案】10米 【解析】 【分析】延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解． 【详解】解：延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米． 在直角△ABE中，∠PBE=45°， 则BE=PE=x米； ∵∠PAE=26.6° 在直角△APE中，AE=PE•cot∠PAE≈2x， ∵AB=AE-BE=30米， 则2x-x=30， 解得：x=30． 则BE=PE=30米． 在直角△BEQ中，QE=BE•tan∠QBE=30×tan33.7°=30×0.67≈20.1米． ∴PQ=PE-QE=30-20=10（米）． 答：电线杆PQ的高度是10米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，注意掌握当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边的长是解答此类题的一般思路． 23. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，，AG分别交线段DE、BC于点F、G，且AD：：， 求证：（1）AG平分； （2）EF·CG=DF·BG． 【答案】 （1）证明：，，， ， 在和中， ∽， ， 平分； （2）证明：在和中， ， ∽， ， 在和中， ， ∽ ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由三角形的内和定理，角的和差求出∠ADE＝∠C，根据两边对应成比例及夹角相等证明△ADF∽△ACG，其性质和角平分线的定义得AG平分∠BAC； （2）由两对应角相等证明△AEF∽△ABG，△ADF∽△AGC，其性质得，，再根据等式的性质求出EF•CG＝DF•BG． 【详解】略 【点睛】本题综合考查了三角形的内角和定理，相似三角形的判定与性质，角的和差，等量代换，等式的性质等相关知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是利用等式的性质将比例式转换成乘积式． 24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像经过点A（0，－3）、B（1，0）、C（3，0），联结AB、AC． （1）求这个二次函数的解析式； （2）点D在线段AC上，联结BD，若SABD∶SBCD＝3∶2，求tan∠DBC的值； （3）点E在该二次函数图像的对称轴上，当AC平分∠BAE时，求点E的坐标． 【答案】（1） （2） （3）E（2，） 【解析】 【分析】（1）将A、B、C的坐标直接代入y=ax2+bx+c即可； （2）过点D作DH⊥BC于H，在△ABC中，设AC边上的高为h，求出AD与DC的比，证△CHD∽△COA，可求出CH，DH，BH的长，可根据正切定义求出结果； （3）求出抛物线对称轴为直线x=2，设直线x=2与x轴交于点G，过点A作AF垂直于直线x=2，垂足为F，证∠OAC=∠OCA=45°，∠FAC=∠OCA=45°，推出∠BAO=∠EAF，证△OAB∽△FEA，即可求出AF的长，EF的长，EG的长，即可写出点E的坐标． 【小问1详解】 解：将A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0）代入y=ax2+bx+c， 得，， 解得，， ∴此抛物线的表达式是； 【小问2详解】 解：过点D作DH⊥BC于H， 在△ABC中，设AC边上的高为h，则 ， 又∵DH平行于y轴， ∴△CHD∽△COA， ∴， ∴CH=DH=， ∴BH=BC-CH=， ∴tan∠DBC=； 【小问3详解】 解：∵y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1， ∴对称轴为直线x=2，设直线x=2与x轴交于点G，过点A作AF垂直于直线x=2，垂足为F，如图2， ∵OA=OC=3，∠AOC=90°， ∴∠OAC=∠OCA=45°， ∵AF平行于x轴， ∴∠FAC=∠OCA=45°， ∵AC平分∠BAE， ∴∠BAC=∠EAC， ∵∠BAO=∠OAC∠BAC，∠EAF=∠FAC∠EAC， ∴∠BAO=∠EAF， ∵∠AOB=∠AFE=90°， ∴△OAB∽△FEA， ∴， ∵AF=2， ∴EF=， ∴EG=GF-EF=AO-EF=， ∴E（2，）． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够由题意作出适当的辅助线构造相似三角形． 25. 如图，△ABC中，AB=5，BC=11，，点P是BC边上的一个动点，联结AP，取AP的中点M，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得到线段PN，联结AN，NC． （1）当点N恰好落在BC边上时，求NC的长； （2）若点N在△ABC内部（不含边界），设BP=x，CN=y，求y关于x的函数关系式，并求出函数的定义域； （3）若△PNC是等腰三角形，求BP的长． 【答案】（1）NC =6（2）（3）BP = 7或或． 【解析】 【分析】（1）根据三角函数定义求出BP，AP即可求出NC； （2）过A作AD⊥BC于D，过M作ME⊥BC与E，过N作NF⊥BC于F，得到△MEP≌△PFN，利用三角函数定义，平行线的性质，求出ME，表示出EP，再由全等表示出NF，PF，FC，用勾股定理即可表示出NC； （3）△PNC是等腰三角形，有三种可能：①PN=NC，②PN=PC，③PC=NC，表示出三边，解方程即可． 【详解】解：（1）如图，当点N恰好落在BC边上时，AP⊥BC， ∵AB=5，， ∴BP=3，AB=4， ∵M为AP的中点， ∴AM=MP=2， ∴PN=MP=2， ∴NC=BC-BP-PN=11-3-2=6； （2）过A作AD⊥BC于D，过M作ME⊥BC与E，过N作NF⊥BC于F， ∵AB=5，， ∴BD=3，AD=4， ∵AD⊥BC，ME⊥BC， ∴AD∥ME， ∵M为AP的中点，BP=x， ∴AM=MP，DE=EP， ∴ME=AD=2，EP=， ∵MP⊥NP， ∴∠MPE+∠NPF=90°， ∵∠MPE+∠PME=90°， ∴∠PME=∠NPF， ∵∠MEP=∠PFN=90°，MP=NP， ∴△MEP≌△PFN， ∴PF=ME=2，NF=EP=， ∴FC=BC-AP-PF=， ∴=NC=， ； （3），，PC=11-x，△PNC是等腰三角形，有三种可能： ①PN=NC，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴x=7， ∴BP=7； ②PN=PC，则， ∴， 解得 ∵， ∴， ∴BP=； ③PC=NC，则， ∴， 解得 ∵， ∴， BP=． 【点睛】本题考查了三角函数，三角形的全等判定，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，是三角形的综合题目，比较难，解决此题的关键是不仅要正确的计算更要有相关知识点的灵活应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金盟学校2023学年第一学期12月份课堂练习九年级数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 若两个相似三角形的对应中线比是1：4，则它们的周长比是（　　） A. B. C. D. 2. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=6，那么下列各式中，正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 有一山坡，坡面长为200米，山坡的高100米，因此山坡的坡度为（ ） A. 1∶2 B. 1∶ C. 1∶ D. ∶1 4. 抛物线一定经过点（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是两个非零向量，是一个单位向量，下列等式中正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如果二次函数的图像如图所示，那么下列判断正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【结果直接填入答题纸上】 7. 如果线段，那么它们的比例中项是______． 8. 计算：=__． 9. 已知点是线段的黄金分割点，厘米，则较长线段长是______厘米． 10. 在高为30米的高楼窗户处测得地面花坛中心标志物的俯角为，那么这一标志物离高楼的距离为_______ 米． 11. 如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，CD平分∠ACB，，若AC=10，AE=4，则BC=________． 12. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，若，则=_________. 13. 抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新拋物线的表达式是______． 14. 如果抛物线经过点和点，那么与的大小关系是___（填写“>”或“<”或“=”）. 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，tan∠ACD=，AB=5，那么CD的长是_____ 16. 在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，G是重心，若AG=9cm，则GD=_______cm． 17. 新定义：平行于三角形一边的直线被其他两边所截得的线段叫做“三角形的弦”，已知等边三角形的一条弦的长度为，且这条弦将等边三角形分成面积相等的两个部分，那么这个等边三角形的边长为_______cm． 18. 在中，，，，如果将绕着点C施转至的位置，使点落在的角平分线上，与相交于点D，那么线段的长等于______． 三、解答题（本大题共7题，19-22题每题10分，23-24题每题12分，25题14分，满分78分） 19. 计算： 20. 用配方法将二次函数的解析式化为的形式，并指出该函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴． 21. 如图，已知△ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、CA上的点，且EF∥AB， =2． （1）设，．试用、表示； （2）如果△ABC的面积是9，求四边形ADEF的面积． 22. 如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆，测得杆顶端点P的仰角是26.6°，向前走30米到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是45°和33.7°求该电线杆的高度（结果精确到1米）．（备用数据：，，，；，，，） 23. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，，AG分别交线段DE、BC于点F、G，且AD：：， 求证：（1）AG平分； （2）EF·CG=DF·BG． 24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像经过点A（0，－3）、B（1，0）、C（3，0），联结AB、AC． （1）求这个二次函数的解析式； （2）点D在线段AC上，联结BD，若SABD∶SBCD＝3∶2，求tan∠DBC的值； （3）点E在该二次函数图像的对称轴上，当AC平分∠BAE时，求点E的坐标． 25. 如图，△ABC中，AB=5，BC=11，，点P是BC边上的一个动点，联结AP，取AP的中点M，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得到线段PN，联结AN，NC． （1）当点N恰好落在BC边上时，求NC的长； （2）若点N在△ABC内部（不含边界），设BP=x，CN=y，求y关于x的函数关系式，并求出函数的定义域； （3）若△PNC是等腰三角形，求BP的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $