2.7 角的和与差 课件 2024-2025学年冀教版（2024）数学七年级上册

2.7 角的和与差 第二章 几何图形的初步认识 知1－讲 感悟新知 知识点 角的和、差 1 1. 角的和与差(数)  两个角的度数的和与差叫作这两个角的和与差 . 感悟新知 知1－讲 特别提醒 1. 两个角的和或差，仍然是一个角，角的和或差的度数，就是它们度数的和或差. 2. 在计算两个角的和或差时要将度与度、分与分、秒与秒分别相加或相减，分、秒相加时逢 60 要进位，相减时要借1当60. 感悟新知 2. 角的和与差(形) 知1－讲 文字描述 数学语言 图示 角的和 ∠ AOC 是 ∠ AOB与 ∠ BOC 的和 ∠ AOC= ∠ AOB+ ∠ BOC 角的差 ∠ AOB 是 ∠ AOC 与 ∠ COB 的差 ∠ AOB= ∠ AOC－ ∠ COB 知1－练 感悟新知 [母题 教材 P87 例题 ]计算： (1) 27° 26′ ＋53° 48′； (2) 90°－79° 18′ 6″； (3) 18° 13′× 5； (4) 49° 28′ 52″ ÷ 4. 例1 解题秘方：利用有理数的运算法则结合角的单位的换算和进制进行计算 . 知1－练 感悟新知 解：27° 26′ +53° 48′ =80° 74′ =81° 14′ . (1) 27° 26′ ＋53° 48′； (2) 90°－79° 18′ 6″； (3) 18° 13′× 5； (4) 49° 28′ 52″ ÷ 4. 90°－79° 18′ 6″ =89° 59′ 60″ －79° 18′ 6″ =10° 41′ 54″ . 18° 13′ × 5=90° 65′ =91° 5′ . 49° 28′ 52″ ÷ 4=48° 88′ 52″ ÷ 4 =12° 22′ 13″ . 知1－练 感悟新知 1-1.若∠ 1+∠ 2=90°，∠ 1=58° 25′，则 ∠ 2的度数是(     ) A.31° 75′ B.31° 35′ C. 41° 75′ D.41° 25′ B 知1－练 感悟新知 1-2.计算： (1)47° 53′ 43″ ＋53° 47′ 42″； (2)92° 56′ 3″ －46° 57′ 54″ . 解：47°53′43″＋53°47′42″＝100°100′85″＝101°41′25″. 92°56′3″－46°57′54″＝91°＋115′＋63″－46°－57′－54″＝45°＋58′＋9″＝45°58′9″. 知1－练 感悟新知 如图 2.7-1，回答下列问题： (1) ∠ AOC 是哪两个角的和？ (2) ∠ AOB 是哪两个角的差？ (3) 如果∠ AOB= ∠ COD，那么∠ AOC 与∠ DOB 相等吗？ 例2 知1－练 感悟新知 解：∠ AOC= ∠ AOB+ ∠ BOC. 解题秘方：根据图中角的位置关系得到角的和差关系 . ∠ AOB= ∠ AOD－∠ BOD= ∠ AOC－∠ BOC. (1) ∠ AOC 是哪两个角的和？ (2) ∠ AOB 是哪两个角的差？ 知1－练 感悟新知 解：∠ AOC= ∠ DOB. 因为∠ AOB= ∠ COD， 所以∠ AOB+ ∠ BOC= ∠ COD+ ∠ BOC， 即∠ AOC= ∠ DOB. (3) 如果∠ AOB= ∠ COD，那么∠ AOC 与∠ DOB 相等吗？ 在等式的两边分别加上相 等的量，所得结果仍是等式. 知1－练 感悟新知 2-1.在所给的：①15°，②65°，③75°，④ 135°，⑤ 145° 角度中，可以用一副三角尺画出来的是(     ) A. ②④⑤ B. ①②④ C. ①③⑤ D. ①③④ D 感悟新知 知2－讲 知识点 角平分线 2 1. 定义  如果从一个角的顶点引出的一条射线把这个角分成的两个角相等，那么这条射线叫作这个角的角平分线 . 感悟新知 知2－讲 表示方法：如图2.7-2，若OC平分∠ AOB，则∠ AOC= ∠ BOC= ∠ AOB， 2 ∠ AOC=2 ∠ BOC= ∠ AOB； 反之，若∠ AOC= ∠ BOC= ∠ AOB， 2∠ AOC=2∠ BOC=∠ AOB，则OC平分∠ AOB. 感悟新知 知2－讲 2. 角的 n 等分线(拓展) 类似角的平分线，从角的顶点引出的射线，将角分成相等的 n 个角，叫作角的 n 等分线，例如角的三等分线、四等分线等 . 3. 角的平分线的作法  (1) 用量角器来画；(2) 通过折叠，使角的两边重合，沿折痕画射线，这条射线即为这个角的角平分线 . 知2－讲 感悟新知 特别提醒 1.角平分线的“三要素”： (1) 是从角的顶点引出的射线； (2)在角的内部； (3)将已知角平分. 2. 角的平分线只有一条. 感悟新知 知2－练 [期末·石家庄裕华区]如图 2.7-3，∠ AOC=90°， OC 平分∠ DOB，∠ DOC=25° 35′，求∠ BOA 的度数． 例3 知2－练 感悟新知 解题秘方：先利用角平分线的定义求出∠ BOC 的度数，再求∠ BOA 的度数． 解：因为OC平分∠ DOB， 所以∠ BOC= ∠ DOC=25° 35′． 又因为∠ AOC=90° ， 所以∠ BOA= ∠ AOC － ∠ BOC=90° － 25° 35′ =64° 25′． 知2－练 感悟新知 3-1. [期末· 廊坊]如图， OC 是 ∠ AOD 的 平分线， OE是∠ BOD的平分线，∠ AOB=130° . (1) 若∠ BOE=45°，求∠ AOC 的度数； 知2－练 感悟新知 (2)求∠ COE 的度数 . 感悟新知 知2－练 [母题 教材 P89 习题 T6 ]如图 2.7-4， O 为直线 AB 上 一点，∠ AOC=50°， OD 平分∠ AOC， ∠ EOD=90° . (1) 求∠ BOD 的度数； (2)小明发现 OE 平分 ∠ BOC，请你通过计算说明理由 . 例4 知2－练 感悟新知 (1) 求∠ BOD 的度数； 解：因为∠ AOC=50° ， OD 平分∠ AOC， 所以∠ DOC= ∠ AOC=25° ， ∠ BOC=180° － ∠ AOC=180° － 50° =130° . 所以∠ BOD= ∠ BOC+ ∠ DOC=130° +25°=155° . 解题秘方：利用∠ BOD= ∠ BOC+ ∠ DOC 求解即可； 知2－练 感悟新知 (2)小明发现 OE 平分 ∠ BOC，请你通过计算说明理由 . 解： 因为∠ DOE=90° ， ∠ DOC=25° ， 所以∠ COE= ∠ DOE － ∠ DOC=90° － 25° =65° . 又因为∠ BOE= ∠ BOD － ∠ DOE=155° － 90° =65° ， 所以∠ COE= ∠ BOE，即 OE 平分∠ BOC. 解题秘方： 分别求出∠ COE 和∠ BOE 的度数即可 . 知2－练 感悟新知 4-1.如图，点 A， O， B在同一条直线上， ∠ BOC=78°，∠ DOE=77°， OD 是 ∠ BOC 的一条靠近 OC 边的三等分线． (1)求∠ COE 的度数． 知2－练 感悟新知 知2－练 感悟新知 (2)OE 是∠ AOC 的平分线吗？说明你的理由. 解：OE是∠AOC的平分线． 理由：因为∠COE＝51°，∠BOC＝78°， 所以∠AOE＝180°－∠COE－∠BOC＝ 180°－51°－78°＝51°. 所以∠AOE＝∠COE， 所以OE是∠AOC的平分线． 感悟新知 知3－讲 知识点 余角和补角 3 1. 余角  如果 ∠ α+ ∠ β=90 ° ，那么我们就称 ∠ α 与 ∠ β 互为余角，简称互余 . 其中， ∠ α(∠ β)叫作∠ β(∠ α) 的余角 . 数学语言：如图 2.7-5，如果 ∠ 1+ ∠ 2=90 ° ，就 说 ∠ 1 是∠ 2 的余角，或∠ 1 与∠ 2 互为余角 . 感悟新知 知3－讲 2. 补角  如果∠ α+ ∠ β=180° ，那么我们就称∠ α 与∠β 互为补角，简称互补 . 其中， ∠ α(∠ β) 叫作∠ β(∠α) 的补角 . 数学语言：如图 2.7-6，如 果 ∠ 3+ ∠ 4=180 ° ，就 说∠ 3 是∠ 4 的补角，或∠ 3 与∠ 4 互为补角 . 感悟新知 知3－讲 3. 邻补角  两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角称为邻补角 . 如图 2.7-7， ∠ AOB 与∠ BOC 互为邻补角 . 知3－讲 感悟新知 特别解读 1. 互余、互补是指两个角之间的数量关系，它们是成对出现的. 2. 若两个角互余，则两个角都是锐角；若两个角互补，则两个角可能都是直角，也可能一个角是锐角，另 一个角是钝角. 3. 互余、互补只与数量有关，与位置无关，若将直角分成两个角，则这两个角互余，若将平角分成两个角，则这两个角互补. 知3－练 感悟新知 一个角的补角为 138°，则这个角的余角为( ) A.38° B.42° C.48° D.132° 例5 知3－练 感悟新知 解题秘方：紧扣余角和补角的定义进行角的和差的计算即可． 解：这个角是 180° － 138° =42° ， 所以这个角的余角是 90° － 42° =48° ． 答案：C 知3－练 感悟新知 5-1. [期 末· 邯 郸]如果一个角与它的余角的度数之比为1∶ 2，则这个角是 _____度，这个角的补角与它的余角的差等于 _______度． 30 90 知3－练 感悟新知 如图 2.7-8，点 O 为直线 AB 上一点， ∠ AOC= ∠ DOE=90° . (1)图中互余的角有几对？各是哪些？ (2) 图中互补的角有几对？各是哪些？ 例6 解题秘方：紧扣余角、补角的定义解答 . 知3－练 感悟新知 (1)图中互余的角有几对？各是哪些？ 解：因为点 O 为直线 AB 上一点， 所以∠ BOC+ ∠ AOC=180°(平角的定义) . 因为∠ AOC=90° ，所以∠ BOC=180°－ ∠ AOC=90° ，又因为∠ DOE=90° ， 所 以 ∠ 1+ ∠ 2=90 ° ， ∠ 2+ ∠ 3=90 ° ， ∠ 3+ ∠ 4=90 ° ，∠ 1+ ∠ 4=90° ， 所以图中互余的角有 4 对，分别是 ∠ 1 和 ∠ 2， ∠ 2 和∠ 3， ∠ 3 和∠ 4， ∠ 1 和∠ 4. 知3－练 感悟新知 (2) 图中互补的角有几对？各是哪些？ 解：由题意得∠ 1+ ∠ BOD=180° ， ∠ 4+ ∠ AOE=180° ，由(1) 易知∠ 1= ∠ 3， ∠ 2= ∠ 4， 所以∠ 3+ ∠ BOD=180° ， ∠ 2+ ∠ AOE=180° . 又因为∠ AOC+ ∠ BOC=180° ， ∠ AOC+ ∠ DOE=180° ，∠ DOE+ ∠ BOC=180° ， 所以图中互补的角有 7 对，分别是∠ 1 和∠ BOD， ∠ 4 和∠ AOE， ∠ 3 和 ∠ BOD， ∠ 2 和 ∠ AOE， ∠ AOC 和 ∠ BOC，∠ AOC 和∠ DOE， ∠ DOE 和∠ BOC. 知3－练 感悟新知 6-1.如图，直线 AB，CD相交于点O， ∠ AOE=∠COF=90 °，则 图中 与 ∠ BOC 互补的角有(     ) A.1个 B.2个 C.3 个 D.4个 C 知3－练 感悟新知 6-2.如图，点 O 为 直线 BE 上一点，∠ AOE= ∠ COD=90 °，则图中与∠ BOC 互余的角有(     ) A.1个 B.2个 C.3 个 D.4个 B 感悟新知 知4－讲 知识点 余角、补角的性质 4 1. 余角的性质  (1) 同角的余角相等 . 如果∠ 1+ ∠ 2=90° ， ∠ 1+ ∠ 3=90° ，那么∠ 2= ∠ 3. (2) 等角的余角相等 . 如果∠ 1+ ∠ 2=90° ， ∠ 3+ ∠ 4=90° ，且∠ 1= ∠ 3， 那么∠ 2= ∠ 4. 同一个角. 度数相等的角. 感悟新知 知4－讲 2. 补角的性质 (1) 同角的补角相等 . 如果∠ 1+ ∠ 2=180° ， ∠ 1+ ∠ 3=180° ，那么∠ 2= ∠ 3. (2) 等角的补角相等 . 如果∠ 1+ ∠ 2=180° ， ∠ 3+ ∠ 4=180° ，且∠ 1= ∠ 3， 那么∠ 2= ∠ 4. 知4－讲 感悟新知 特别提醒 ◆如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角. ◆余角、补角的性质是说明两个角相等的重要依据. 感悟新知 知4－练 如图 2.7-9，已知 O 是直线 AB 上的一点， OC 是一条射线， OD 平分∠ AOC，∠ DOE=90°，则 OE 平分∠ BOC 吗？为什么？ 例7 知4－练 感悟新知 解题秘方：紧扣角平分线的定义，利用余角的性质说明两个角相等 . 知4－练 感悟新知 解：OE 平分∠ BOC. 理由如下： 因为∠ DOE=90° ，所以∠ DOC+ ∠ COE=90° . 又因为∠ AOB=180° ，所以∠ AOD+ ∠ BOE=90° . 因为 OD 平分∠ AOC，所以∠ AOD= ∠ DOC. 所以∠ COE= ∠ BOE. 所以 OE 平分∠ BOC. 知4－练 感悟新知 7-1. [期末· 台州]如图，点 O 在直线 AE 上， ∠ AOB=∠ COD=90°，则图中除了直角外，一定相等的角有(     ) A.3对 B.2对 C.1 对 D.0对 B 感悟新知 知4－练 如图 2.7-10，直线 AB 与∠ COD 的两边OC， OD 分别相交于点 E， F，∠ 1+ ∠ 2=180° . 找出图中与∠ 2 相等的角，并说明理由 . 例8 解题秘方：利用补角的性质找出与∠ 2 相等的角 . 知4－练 感悟新知 解：因为∠ 1+ ∠ 3=180° ， ∠ 1+ ∠ 2=180° ， 所以∠ 3= ∠ 2. 因为∠ 1+ ∠ 4=180° ， ∠ 1+ ∠ 2=180° ，所以∠ 4= ∠ 2. 因为∠ 2+ ∠ 5=180° ， ∠ 6+ ∠ 5=180° ，所以∠ 2= ∠ 6. 所以图中与∠ 2 相等的角有∠ 3， ∠ 4， ∠ 6. 同角的补角相等 知4－练 感悟新知 8-1.如图，点 O 在直线AB上，∠ BOC=90°，∠ BOD和∠ COD互补. (1)请说明∠ AOD=∠ COD； 知4－练 感悟新知 解：因为∠BOD和∠COD互补， 所以∠BOD＋∠COD＝180°. 因为点O在直线AB上，所以∠AOB＝180°. 所以∠BOD＋∠AOD＝180°. 所以∠AOD＝∠COD.(同角的补角相等) 知4－练 感悟新知 (2)求∠ AOD 的度数． 角的和与差 角的和与差 余角和补角 两个角 性质 角平分线 课堂小结 解：因为∠BOE＝45°，OE是∠BOD的平分线， 所以∠BOD＝2∠BOE＝90°. 因为∠AOB＝130°，所以∠AOD＝40°. 因为OC平分∠AOD， 所以∠AOC＝∠AOD＝20°. 解：因为OC平分∠AOD，所以∠DOC＝∠AOD. 因为OE平分∠BOD，所以∠DOE＝∠BOD. 所以∠DOC＋∠DOE＝∠AOD＋∠BOD， 即∠COE＝∠AOB， 因为∠AOB＝130°，所以∠COE＝65°. 解：因为OD是∠BOC的一条靠近OC边的三等分线，∠BOC＝78°， 所以∠COD＝∠BOC＝×78°＝26°. 又因为∠DOE＝77°， 所以∠COE＝∠DOE－∠COD＝77°－26°＝51°. 解：因为∠AOB＝180°，∠BOC＝90°， 所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝180°－90°＝90°. 由(1)知∠AOD＝∠COD， 所以∠AOD＝∠AOC＝45°. $$