精品解析：福建省泉州科技中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

泉州科技中学2023-2024第二学期期中考高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合补集的定义即可求解. 【详解】解：因为，， 所以， 故选：C. 2. 不等式的解集是 A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由,可得,进一步得到不等式的解集. 【详解】解:因为,所以, 所以或. 故选:B. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,属基础题. 3. 复数 （为虚数单位），则的共轭复数的模（ ） A. 5 B. 25 C. 4 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，进而即得. 【详解】因为， 所以. 故选：A． 4. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据特称命题的否定性质进行判断即可. 【详解】命题“，”的否定是“，”， 故选：D 5. 若函数在处取得极值，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，由题设可得，从而可求，注意检验. 【详解】因为，所以， 又函数在处取得极值， 所以，即． 此时， 当或时，，当时，， 故是的极大值点，故符合题意． 故选：D． 6. 若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用求出，然后再利用二项式展开式的通项即可求解. 详解】根据题意可得，解得， 则展开式的通项为，令，得， 所以常数项为：， 故选：B． 7. 设随机变量，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由二项分布的概率公式结合已知条件求出，从而可得，进而可求出的值 【详解】解：因为随机变量， 所以， 解得，所以， 则． 故选：B． 8. 将三颗骰子各掷一次，记事件“三个点数都不同”，“至少出现一个1点”，则条件概率，分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率的含义，明确条件概率，的意义，即可得到答案. 【详解】根据条件概率的含义，其含义为在发生的情况下，发生的概率，即在“至少出现一个1点”的情况下，“三个点都不同”的概率. “至少出现一个1点”的情况数目为，“三个点都不同”则只有一个1点，共种，则， 同理，其含义为在发生的情况下，发生的概率，即在“三个点都不同” 的情况下，“至少出现一个1点” 的概率. “三个点都不同”的情况数目为，“只有一个1点”则三个点都不同，共种，即. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知实数a，b满足，则下列关系式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过举实例判断A，B，C，利用指数函数的单调性判断D． 【详解】A，当，时，满足，但，A错误； B，当，时，满足，但，B错误； C，当，时，满足，但，C错误； D，为增函数，，，D正确． 故选：ABC． 10. 已知的展开式中，有且只有第项的二项式系数最大，则（ ） A. B. 二项展开式的各项系数和为 C. 二项展开式的二项式系数和为 D. 二项展开式中的常数项是第项 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知及二项式系数性质易得并求二项式系数和，应用赋值法求系数和，由展开式求常数项，即可判断各项正误. 【详解】因为的展开式中有且只有第项的二项式系数最大，所以，故A正确； 展开式的二项式系数和为，故C错误； 令，得二项展开式的各项系数和为，故B正确； 二项展开式的通项为， 令，解得，所以第项为常数项，故D正确. 故选：ABD 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知随机变量服从二项分布.则 B. 已知随机变量服从正态分布且，则 C. 已知随机变量的方差为，则 D. “与是互斥事件”是“与互为对立事件”的必要不充分条件 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由二项分布的期望公式直接求解判断，对于B，由正态分布的性质求解，对于C，由方差的性质判断，对于D，由互斥事件和对立事件的定义结合充分条件和必要条件的定义判断即可 【详解】已知随机变量，则，故A错误； 因为随机变量，，所以，所以，故B正确； ，故C错误； 充分性：“与是互斥事件”推不出“与互为对立事件”，充分性不成立； 必要性：“与是互斥事件”“与互为对立事件”，必要性成立.因此“与是互斥事件”是“与互为对立事件”的必要不充分条件，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，且，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】将式子适当变形后，利用基本不等式的性质即可得出． 【详解】，，且，解得， ， ， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，解题关键是对式子进行适当变形，从而利用基本不等式求最值，属于常考题. 13. 已知，若，则___． 【答案】 【解析】 【分析】先通过求出，再令，，将所得式子相减即可. 【详解】由已知得，解得 ， 令得， 令得， 两式相减得， 得. 故答案为：. 14. 设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且，，定义．若，则当时，的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可求得当时，的表达式，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】当时，， 则 ∵，，，∴，当且仅当时，等号成立． 所以，，， ∴，即的最大值为． 答案： 四、解答题：本题共5小题， 15. 已知函数. （1）求在点处的切线方程； （2）求在上的最值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）求导，得出切线的斜率，确定切点的纵坐标，写出切线方程； （2）研究函数在区间上单调性，计算在上的极值及和，然后比较可得最值． 【小问1详解】 ，. ，所以切线方程为，即. 【小问2详解】 在单调递增； 在单调递减， 时，取极大值也是最大值， ， . 16. 某厂为了考察设备更新后的产品优质率，质检部门根据有放回简单随机抽样得到的样本测试数据，制作了如下列联表： 产品 优质品 非优质品 更新前 24 16 更新后 48 12 （1）依据小概率值的独立性检验，分析设备更新后能否提高产品优质率？ （2）如果以这次测试中设备更新后的优质品频率作为更新后产品的优质率.质检部门再次从设备更新后的生产线中抽出5件产品进行核查，核查方案为：若这5件产品中至少有3件是优质品，则认为设备更新成功，提高了优质率；否则认为设备更新失败. ①求经核查认定设备更新失败的概率； ②根据的大小解释核查方案是否合理. 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）可以认为设备更新后能够提高产品优质率 （2）①0.05792；②合理 【解析】 【分析】（1）先计算出的值，根据独立性检验的思想对照临界值得结论； （2）根据二项分布的有关计算公式，求出对应的概率，并根据对应概率的大小，作出正确的判断. 【小问1详解】 零假设为：设备更新与产品的优质率独立，即设备更新前与更新后的产品优质率没有差异. 由列联表可计算， 依据小概率值的独立性检验， 我们可以推断不成立，因此可以认为设备更新后能够提高产品优质率. 【小问2详解】 根据题意，设备更新后的优质率为0.8.可以认为从生产线中抽出的5件产品是否优质是相互独立的. ①设表示这5件产品中优质品的件数，则，可得 ②实际上设备更新后提高了优质率. 当这5件产品中的优质品件数不超过2件时，认为更新失败，此时作出了错误的判断， 由于作出错误判断的概率很小，则核查方案是合理的. 17. 某区教育局为了了解高三学生在疫情期间网上的学习情况，在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了名学生进行了问卷调查为了方便表述，把日学习时间在分钟内的学生称为类；把日学习时间在分钟内的学生称为类；把日学习时间在分钟内的学生称为类随机调查的这名学生的日学习时间人数的频率分布直方图如图所示． （1）在这名学生中，、、三类学生分别有多少人？ （2）在、、三类学生中，用分层抽样的方法从这名学生中随机抽取人，并在这人中任意邀请人进行电话访谈，求在被邀请的人中类学生人数的分布列和数学期望． （3）某校高三班有名学生，某天语文和数学老师计划分别在：：和：：在线上与学生交流学习问题，由于受校园网络平台限制，每次即这两个时间段中的每个时间段都只能容纳个学生登录进行在线学习交流，假设这两个时间段高三班的全部名学生都会积极登录参加学习交流，设是在语文和数学学习交流中至少有一次登录成功的人数，问：当为多少时，其概率最大？ 【答案】（1）20人，50人，30人； （2）分布列见解析，期望为； （3）42 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图即可求出结果. （2）根据分层抽样可知从类中抽2人，类中抽5人，类中抽3人，再根据超几何分布列出分布列，求出期望 （3）学生随机独立参加语文或数学在线辅导所包含的基本事件总数为，事件所包含的基本事件的总数为，由最大，列出不等式组，即可求出结果. 【小问1详解】 类学生有：人， 类学生有：人， 类学生有：人. 【小问2详解】 由（1）知，类中抽人，类中抽人，类中抽人， 设邀请的三人中是类的学生人数为，则可取0，1，2，3， ，，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望. 【小问3详解】 学生随机独立参加语文或数学在线辅导所包含的基本事件总数为， 当时，只参加语文辅导的人数为，只参加数学辅导的人数为， 语文和数学都参加辅导的人数为， 事件所包含基本事件的总数为， 则，若最大，即有， 因此， 而，则，所以当时，其概率最大. 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）讨论极值点的个数. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可得到函数的极值点个数. 【小问1详解】 当时，定义域为， 又， 所以， 由，解得，此时单调递增； 由，解得，此时单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 函数的定义域为， 由题意知，， 当时，，所以在上单调递增， 即极值点的个数为个； 当时，易知， 故解关于的方程得，，， 所以， 又，， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 即极值点的个数为个. 综上，当时，极值点的个数为个；当时，极值点的个数为个. 19. 为纪念中国共产党成立102周年，学校某班组织开展了“学党史，忆初心”党史知识竞赛活动，抽取四位同学，分成甲、乙两组，每组两人，进行对战答题.规则如下：每次每位同学给出6道题目，其中有一道是送分题（即每位同学至少答对1题）.若每次每组答对的题数之和为3的倍数，原答题组的人再继续答题；若答对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题.假设每位同学每次答对的题数等可能，且之间相互独立.求： （1）若第一次由甲、乙组答题是等可能的，求第2次由乙组答题的概率； （2）若第一次由甲组答题，记第次由甲组答题的概率为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用古典概型概率公式求出原答题组继续答题的概率和由对方组答题的概率，再利用互斥事件概率加法和独立事件乘法概率公式求解即可； （2）先求出概率关系，构造等比数列，利用等比数列通项公式求解即可. 【小问1详解】 设第1次由甲组答题记作事件A，第1次由乙组答题记作事件， 第2次由乙组答题记作事件B，因为答对的题数之和为3的倍数分别为，，，，，，，所以答对的题数之和为3的倍数的概率为， 所以答对的题数之和不是3的倍数的概率为， 则； 【小问2详解】 第次由甲组答题，是第次由甲组答题第次继续由甲组答题的事件与第次由乙组答题第次继续由甲组答题的事件和，它们互斥， 又各次答题相互独立，所以第次由甲组答题，第次继续由甲组答题概率为， 第次由乙组答题，第次继续由甲组答题的概率为， 因此，则， 因为第一次由甲组答题，则，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泉州科技中学2023-2024第二学期期中考高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 不等式的解集是 A. B. 或 C. 或 D. 3. 复数 （为虚数单位），则的共轭复数的模（ ） A. 5 B. 25 C. 4 D. 16 4. 命题“，”否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 若函数在处取得极值，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（ ） A. B. C. D. 7. 设随机变量，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 将三颗骰子各掷一次，记事件“三个点数都不同”，“至少出现一个1点”，则条件概率，分别是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知实数a，b满足，则下列关系式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知的展开式中，有且只有第项的二项式系数最大，则（ ） A. B. 二项展开式的各项系数和为 C. 二项展开式的二项式系数和为 D. 二项展开式中的常数项是第项 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知随机变量服从二项分布.则 B. 已知随机变量服从正态分布且，则 C. 已知随机变量的方差为，则 D. “与是互斥事件”是“与互为对立事件”的必要不充分条件 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，且，则的最小值为_________． 13. 已知，若，则___． 14. 设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且，，定义．若，则当时，的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题， 15. 已知函数. （1）求在点处的切线方程； （2）求在上的最值. 16. 某厂为了考察设备更新后的产品优质率，质检部门根据有放回简单随机抽样得到的样本测试数据，制作了如下列联表： 产品 优质品 非优质品 更新前 24 16 更新后 48 12 （1）依据小概率值的独立性检验，分析设备更新后能否提高产品优质率？ （2）如果以这次测试中设备更新后优质品频率作为更新后产品的优质率.质检部门再次从设备更新后的生产线中抽出5件产品进行核查，核查方案为：若这5件产品中至少有3件是优质品，则认为设备更新成功，提高了优质率；否则认为设备更新失败. ①求经核查认定设备更新失败的概率； ②根据的大小解释核查方案是否合理. 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 某区教育局为了了解高三学生在疫情期间网上的学习情况，在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了名学生进行了问卷调查为了方便表述，把日学习时间在分钟内的学生称为类；把日学习时间在分钟内的学生称为类；把日学习时间在分钟内的学生称为类随机调查的这名学生的日学习时间人数的频率分布直方图如图所示． （1）在这名学生中，、、三类学生分别有多少人？ （2）在、、三类学生中，用分层抽样的方法从这名学生中随机抽取人，并在这人中任意邀请人进行电话访谈，求在被邀请的人中类学生人数的分布列和数学期望． （3）某校高三班有名学生，某天语文和数学老师计划分别在：：和：：在线上与学生交流学习问题，由于受校园网络平台的限制，每次即这两个时间段中的每个时间段都只能容纳个学生登录进行在线学习交流，假设这两个时间段高三班的全部名学生都会积极登录参加学习交流，设是在语文和数学学习交流中至少有一次登录成功的人数，问：当为多少时，其概率最大？ 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）讨论极值点的个数. 19. 为纪念中国共产党成立102周年，学校某班组织开展了“学党史，忆初心”党史知识竞赛活动，抽取四位同学，分成甲、乙两组，每组两人，进行对战答题.规则如下：每次每位同学给出6道题目，其中有一道是送分题（即每位同学至少答对1题）.若每次每组答对的题数之和为3的倍数，原答题组的人再继续答题；若答对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题.假设每位同学每次答对的题数等可能，且之间相互独立.求： （1）若第一次由甲、乙组答题是等可能的，求第2次由乙组答题的概率； （2）若第一次由甲组答题，记第次由甲组答题概率为，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$