培优点07数列中的构造问题（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破（新高考版）

培优点07数列中的构造问题（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练） 【考试提醒】 　数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式． 【核心题型】 题型一　形如an＋1＝pan＋f(n)型 形式 构造方法 an＋1＝pan＋q 引入参数c，构造新的等比数列{an－c} an＋1＝pan＋qn＋c 引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y} an＋1＝pan＋qn 两边同除以qn＋1，构造新的数列 命题点1　an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0) 【例题1】（2024·河南·模拟预测）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·天津河西·三模）若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2022·广西柳州·三模）已知数列的首项，其前项和为，若，则 . 【变式3】（23-24高三·山东青岛·期末）已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式 (2)设，记数列的前项和为，证明． 命题点2　an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0) 【例题2】（2023·河南郑州·模拟预测）在数列中，，则的前项和的最大值为（    ） A．64 B．53 C．42 D．25 【变式1】（20-21高三上·天津滨海新·期中）已知数列满足，，则数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·宁夏石嘴山·三模）已知数列的前项和为，若则 . 【变式3】（2024·湖南邵阳·一模）已知数列的首项为，则 . 命题点3　an＋1＝pan＋qn(p≠0,1，q≠0,1) 【例题3】（2022·河南·模拟预测）在数列中，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·湖南永州·三模）已知非零数列满足，则（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【变式2】（2024·四川南充·二模）已知数列，满足，且，则 . 【变式3】（23-24高三上·湖南娄底·期末）已知数列满足则的值为 . 题型二　相邻项的差为特殊数列(形如an＋1＝pan＋qan－1) 　可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an} 【例题4】（22-23高三上·湖北·阶段练习）已知是数列的前项和，且，（），则下列结论正确的是（    ） A．数列为等比数列 B．数列为等比数列 C． D． 【变式1】（2024·山西晋中·模拟预测）若数列满足，，且对任意的都有，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知数列，则的通项公式为 . 【变式3】（23-24高三上·四川·阶段练习）在数列中，，，.设. (1)求证：数列是等比数列； (2)设，记数列的前n项和，求证：. 题型三　倒数为特殊数列 　两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型，求出的表达式，再求an． 【例题5】（2022·浙江·模拟预测）数列满足，，则下列结论错误的是（    ） A． B．是等比数列 C． D． 【变式1】（23-24高三上·山东青岛·期末）设数列的前项和为，已知，若，则正整数的值为（    ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【变式2】（2021·全国·模拟预测）已知数列满足，，若，则 . 【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知数列的首项，且满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)记，求数列的前项和. 【课后强化】 【基础保分练】 一、单选题 1．（2022高三上·河南·专题练习）已知各项均为正数的数列满足，且．若当且仅当时，取得最小值，且，则符合条件的实数组成的集合中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，，记，若存在m，，使得，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·陕西商洛·模拟预测）已知数列的前项和为，，，若，则（    ） A．48 B．49 C．50 D．51 4．（23-24高三上·河北·阶段练习）在数列中，，，且，则实数t的最大值为（    ） A．4 B．5 C． D．6 二、多选题 5．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·辽宁朝阳·一模）已知数列满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．数列为递减数列 B． C． D． 三、填空题 7．（2022·湖南益阳·一模）已知数列中，，，若，则数列的前项和 . 8．（2023·陕西汉中·一模）已知数列满足：，若，则的通项公式为 . 9．（23-24高三下·湖北·阶段练习）已知数列中，，，，则的前项和 ． 四、解答题 10．（2024·陕西西安·二模）已知数列的前项为，，数列为等比数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 11．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，． (1)求证是等比数列，并求的通项公式； (2)设，求证：． 【综合提升练】 一、单选题 1．（2023·四川泸州·三模）已知数列满足，，则此数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河南郑州·模拟预测）已知数列各项均为正数，，且有，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·云南红河·一模）已知数列满足：，则（    ） A．21 B．23 C．25 D．27 4．（2021·四川绵阳·模拟预测）设数列满足，若，且数列的前 项和为，则（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）若数列满足（且），则与的比值为（    ） A． B． C．2 D．3 6．（2024·广东茂名·一模）数列满足，（），，若数列是递减数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2023·四川·模拟预测）在数列中，，，且，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）已知数列的首项，且，，则满足条件的最大整数（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 二、多选题 9．（21-22高三上·山东聊城·期末）已知数列满足，则下列结论正确的有（　　） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递增数列 D．的前n项和 10．（2023·重庆·模拟预测）已知数列满足，，，则下列结论正确的有（    ）． A．数列是递增数列 B． C． D． 11．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．若数列为常数列，则 C．若数列为递增数列，则 D．当时， 三、填空题 12．（2020高三·上海·专题练习）已知数列满足，则 . 13．（2023·四川乐山·三模）已知数列满足，，则 ． 14．（2023·全国·模拟预测）数列满足，，则的值为 ． 四、解答题 15．（23-24高三上·云南楚雄·期末）已知数列满足，. (1)求，； (2)求，并判断是否为等比数列. 16．（23-24高三下·山东·开学考试）已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)，求数列的前项和． 17．（2024·陕西宝鸡·一模）已知数列，若，且. (1)求证：是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求证：. 18．（2024·山西临汾·一模）已知数列的首项，且满足，等比数列的首项，且满足. (1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和 19．（2024·广东深圳·模拟预测）设数列满足：，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【拓展冲刺练】 一、单选题 1．（21-22高三下·青海玉树·阶段练习）已知为数列的前n项和，若，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高三下·四川成都·期中）已知数列满足，，数列满足，，则数列的最小值为（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 3．（2023·江苏淮安·模拟预测）设a，，数列满足，，，则下列说法不正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 4．（2024·安徽安庆·二模）满足，，的数列称为卢卡斯数列，则（    ） A．存在非零实数t，使得为等差数列 B．存在非零实数t，使得为等比数列 C． D． 三、填空题 5．（2023·上海·模拟预测）数列满足，且与的等差中项是5，则 ； 6．（2023·浙江·二模）已知等比数列满足，则公比 . 7．（2023·云南昆明·模拟预测）已知数列满足，，则 ． 四、解答题 8．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知数列满足. (1)证明数列为等差数列，并求； (2)求数列的前项和. 9．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列中，，. (1)证明：是等比数列； (2)求数列的前项和. 10．（2022·全国·模拟预测）已知数列的首项为，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优点07数列中的构造问题（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练） 【考试提醒】 　数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式． 【核心题型】 题型一　形如an＋1＝pan＋f(n)型 形式 构造方法 an＋1＝pan＋q 引入参数c，构造新的等比数列{an－c} an＋1＝pan＋qn＋c 引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y} an＋1＝pan＋qn 两边同除以qn＋1，构造新的数列 命题点1　an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0) 【例题1】（2024·河南·模拟预测）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据递推公式求出，再又得到，从而得到数列是以为首项，为公比的等比数列，即可求出的通项，从而得解. 【详解】因为，又，令，可得，解得， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，整理得，故． 故选：C 【变式1】（2024·天津河西·三模）若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据新定义可证得数列是等比数列，从而可利用等比数列通项求解问题. 【详解】因为正项数列为“对奇数列”，所以， 则，即数列是公比为2的等比数列，又因为， 所以， 故选：C 【变式2】（2022·广西柳州·三模）已知数列的首项，其前项和为，若，则 . 【答案】16 【分析】由题设可得，利用关系求数列通项公式，进而求. 【详解】由题设，，则， 所以，则，又，则， 所以是首项为1，公比为2的等比数列，则，故. 故答案为：16 【变式3】（23-24高三·山东青岛·期末）已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式 (2)设，记数列的前项和为，证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用裂项相消法求和，即可证明． 【详解】（1）由， 当时，则， 可得，则； 当时，则，可得； 综上所述：可得，可知是首项为，公比为的等比数列， 所以的通项公式为. （2）由（1）可知：， 可得． 所以 命题点2　an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0) 【例题2】（2023·河南郑州·模拟预测）在数列中，，则的前项和的最大值为（    ） A．64 B．53 C．42 D．25 【答案】B 【分析】令，则由可得,所以数列是以为首项,2为公比的等比数列,可得到，然后用累加法得到，通过的单调性即可求出的最大值 【详解】由,得, 令,所以,则, 所以数列是以为首项,2为公比的等比数列, 所以,即,即, 由, 将以上个等式两边相加得, 所以, 经检验满足上式，故 当时,,即单调递增,当时,,即单调递减, 因为, 所以的前项和的最大值为， 故选：B 【变式1】（20-21高三上·天津滨海新·期中）已知数列满足，，则数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由递推公式可用累加法求通项公式． 【详解】由得， ∴， ，适用．∴． 故选：B. 【点睛】本题考查由递推公式求通项公式，解题方法是累加法，如果递推式出现数列前后项的差时可考虑用累加法求通项公式 【变式2】（2024·宁夏石嘴山·三模）已知数列的前项和为，若则 . 【答案】 【分析】由分组求和法以及等差数列求和公式即可运算求解. 【详解】由题意. 故答案为：190 【变式3】（2024·湖南邵阳·一模）已知数列的首项为，则 . 【答案】9 【分析】当时，求出，由可得，两式相减可得，所以的偶数项是以为首相，公差为的等差数列，即可得出答案. 【详解】因为，， 当时，，解得：， ，两式相减可得：， 所以的偶数项是以为首相，公差为的等差数列， 所以. 故答案为：9. 命题点3　an＋1＝pan＋qn(p≠0,1，q≠0,1) 【例题3】（2022·河南·模拟预测）在数列中，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题干条件构造等比数列，进行求解. 【详解】令，则， 又，所以是以3为首项，为公比的等比数列， 所以，得． 故选：C 【变式1】（2024·湖南永州·三模）已知非零数列满足，则（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】D 【分析】根据题意，由条件可得，再由等比数列的定义即可得到结果. 【详解】由可得，则. 故选：D 【变式2】（2024·四川南充·二模）已知数列，满足，且，则 . 【答案】24 【分析】由递推关系求出即可求解. 【详解】，且， 当，，所以； 故的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列， 即， 故，则. 故答案为：24 【变式3】（23-24高三上·湖南娄底·期末）已知数列满足则的值为 . 【答案】32 【分析】由递推式推导出构成一个等比数列，利用等比数列的通项公式即可求得（要注意下标为连续的偶数，计算时项数应是下标的一半）. 【详解】因为，所以，两式相除得，故数列是公比为2的等比数列， 由，所以. 故答案为：32. 题型二　相邻项的差为特殊数列(形如an＋1＝pan＋qan－1) 　可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an} 【例题4】（22-23高三上·湖北·阶段练习）已知是数列的前项和，且，（），则下列结论正确的是（    ） A．数列为等比数列 B．数列为等比数列 C． D． 【答案】D 【分析】A选项，计算出，故不是等比数列，A错误； B选项，计算出的前三项，得到，B错误； C选项，由题干条件得到，故为等比数列，得到，故，，……，，相加即可求出，C错误； D选项，在的基础上，分奇偶项，分别得到通项公式，最后求出. 【详解】由题意得：，， 由于，故数列不是等比数列，A错误； 则，，， 由于，故数列不为等比数列，B错误； 时，，即， 又， 故为等比数列，首项为2，公比为3， 故， 故，，……，， 以上20个式子相加得：，C错误； 因为，所以，两式相减得： ， 当时，，，……，， 以上式子相加得：， 故，而也符和该式，故， 令得：， 当时，，，……，， 以上式子相加得：， 故，而也符号该式，故， 令得：， 综上：，D正确. 故选：D 【点睛】当遇到时，数列往往要分奇数项和偶数项，分别求出通项公式，最后再检验能不能合并为一个，这类题目的处理思路可分别令和，用累加法进行求解 【变式1】（2024·山西晋中·模拟预测）若数列满足，，且对任意的都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，由题意可证得数列是等差数列，从而求得，再利用累加法求得，进而利用裂项相消法求即可得解. 【详解】因为对于都有， 则，令， 所以，又， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以，即， 则， 累加得， 所以， 则， 所以 . 故选：C 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知数列，则的通项公式为 . 【答案】 【分析】利用构造法推得是等比数列，再利用累加法即可得解. 【详解】因为当时，，所以， 又，则， 所以是以为首项，4为公比的等比数列， 所以， 从而 ， 当时，满足上式， 所以. 故答案为： 【变式3】（23-24高三上·四川·阶段练习）在数列中，，，.设. (1)求证：数列是等比数列； (2)设，记数列的前n项和，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）把变形为，即，根据等比数列的定义证明即可； （2）由累加法求得，代入得，利用裂项相消法求和，再利用证明即可. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以，又， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列. （2）由（1）可得，当时， ， 当时也成立，所以. 所以， 所以， 又，所以. 题型三　倒数为特殊数列 　两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型，求出的表达式，再求an． 【例题5】（2022·浙江·模拟预测）数列满足，，则下列结论错误的是（    ） A． B．是等比数列 C． D． 【答案】D 【分析】推导出数列是等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得的表达式，可判断C选项；利用等差中项的性质可判断A选项；利用等比数列的定义可判断B选项；计算出、的值，可判断D选项. 【详解】由，且，则，，， 以此类推可知，对任意的，， 所以，，所以，且， 所以，数列是等差数列，且该数列的首项为，公差为， 所以，，则，其中，C对； ，所以，数列是等比数列，B对； 由等差中项的性质可得，A对； 由上可知，则，， 所以，，D错. 故选：D 【变式1】（23-24高三上·山东青岛·期末）设数列的前项和为，已知，若，则正整数的值为（    ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】B 【分析】由题设有，等比数列定义求通项公式，进而有求，再由及放缩法确定范围求参数值. 【详解】，又， 所以是首项为1，公比为的等比数列， 所以， 故，令 由且，则， 由，则， 则，所以， 故，则正整数的值为2023. 故选：B 【变式2】（2021·全国·模拟预测）已知数列满足，，若，则 . 【答案】 【分析】根据条件得到，则数列是首项，公差为的等差数列，得到，则可得，写出，利用错位相减法可求解. 【详解】解：因为，， 所以， 即， 所以数列是首项，公差为的等差数列， 所以， 则， 则， 设①， 则②， ①-②可得 ， 则. 即. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法. 要根据已知条件灵活选择方法求解 【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知数列的首项，且满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义证明； （2）求出的通项公式，利用分组求和和错位相减法求和得解. 【详解】（1）因为，， 所以，，又， 所以数列是以1为首项，以为公比的等比数列. （2）由（1）得，， ， 令，① 则，② ①②得，， ， 【课后强化】 【基础保分练】 一、单选题 1．（2022高三上·河南·专题练习）已知各项均为正数的数列满足，且．若当且仅当时，取得最小值，且，则符合条件的实数组成的集合中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由累加法首先得，进一步结合对勾函数性质得，结合即可求解. 【详解】由题意，得， 故当时，．由，，…，， 累加可得，故，当时，该式也成立， 故． 因为当且仅当时，取得最小值，又， 所以由“对勾函数”的单调性可得，即， 解得． 又，所以符合条件的实数组成的集合为， 该集合中的元素个数为5. 故选：C． 2．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，，记，若存在m，，使得，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解：由两边取倒数得到，利用等比数列的定义，得到．再利用对数运算和指数运算得到，然后利用基本不等式求解. 【详解】解：由两边取倒数可得， 则， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以． 又， 所以，即， 所以． 又，当且仅当，即，时，等号成立． 因为m，，所以等号取不到， 则当，时，；当，时，， 所以当，时，取得最小值， 故选：C． 3．（2023·陕西商洛·模拟预测）已知数列的前项和为，，，若，则（    ） A．48 B．49 C．50 D．51 【答案】A 【分析】根据题意，得到是等比数列，求得，结合，分为偶数和为奇数，列出方程，即可求解. 【详解】因为，所以，且， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 当n为偶数时，，当n为奇数时，， 又由， 当为偶数时，由， 可得，解得或（舍去）； 当为奇数时，由， 可得，解得（舍去）或（舍去）． 综上可知，． 故选：A. 4．（23-24高三上·河北·阶段练习）在数列中，，，且，则实数t的最大值为（    ） A．4 B．5 C． D．6 【答案】A 【分析】由题意首先用反证法得时，，与矛盾；进一步满足题意，由此即可得解. 【详解】由题意得， 若，则．当时，， 所以，当时，，所以，与矛盾； 若，则，得，又，所以，， 所以当时，，所以实数的最大值为4． 故选：A. 【点睛】关键点睛：关键是当时，可以结合累加法证明，与矛盾；由此即可顺利得解. 二、多选题 5．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先利用配凑法求出数列的通项公式，即可判断选项A、B、D；再利用求和方法即可判断选项C. 【详解】由，可得： 所以数列是首项为，公比为2的等比数列， 则， 故. 所以 . 则， 所以选项A错误，选项B、D正确. 因为 所以正确． 故选：BCD． 6．（2023·辽宁朝阳·一模）已知数列满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．数列为递减数列 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据数列的递推公式和首项即可判断选项A和B；利用数列的单调性和累加法求出，进而判断选项C和D. 【详解】因为和可知，数列的各项均为正值， 由可得，所以，则数列为递减数列，故选项A正确； 由选项A的分析可知：数列为递减数列，又因为，所以，故选项B正确； 由两边同时取倒数可得， 则，所以， 因为数列为递减数列， 由可得， 当时，，即， 当时，，即，， ， 不等式累加可得：， 所以，则， 所以，故选项C错误； 由可得， 所以，故选项D正确； 故选：ABD. 三、填空题 7．（2022·湖南益阳·一模）已知数列中，，，若，则数列的前项和 . 【答案】 【分析】根据条件，先构造等比数列求出，再由得，从而可求和. 【详解】由，有， ，两式相除得到， 所以是以为公比，为首项的等比数列， 所以，则， 所以， 所以. 故答案为：. 8．（2023·陕西汉中·一模）已知数列满足：，若，则的通项公式为 . 【答案】 【分析】结合递推公式的结构特点构建一个等差数列，利用等差数列的通项公式求出构建的数列的通项公式，进而得解. 【详解】因为，所以， 则数列是以1为首项，以1为公差的等差数列， 所以，则， 故答案为：. 9．（23-24高三下·湖北·阶段练习）已知数列中，，，，则的前项和 ． 【答案】 【分析】取倒可得，判断是等差数列，即可求解，进而根据裂项相消法求和即可. 【详解】由可得，所以是等差数列，且公差为2， 所以，故， 所以， 所以 故答案为： 四、解答题 10．（2024·陕西西安·二模）已知数列的前项为，，数列为等比数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据等差等比数列的通项公式、求和公式列方程求首项、公比即可得解； （2）根据错位相减法求解即可. 【详解】（1）， 数列是 公差的等差数列，且， . 设等比数列的公比为，由，. 得，解得 数列的通项公式为 （2）， ，     ， ①－② 得 . 11．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，． (1)求证是等比数列，并求的通项公式； (2)设，求证：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）利用定义法证明，可得数列是首项为4，公比为2的等比数列，即可得数列的通项公式，即可求解的通项公式； （2）由（1）可知，无法直接求和，分子分母同时加1，对通项公式进行放缩，然后利用等比数列求和公式即可. 【详解】（1）因为， 又， 所以是首项为4，公比为2的等比数列， 则， 所以； （2）因为， 所以 【综合提升练】 一、单选题 1．（2023·四川泸州·三模）已知数列满足，，则此数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数列递推式，可推得，即说明为等比数列，由此可求得的通项公式，即得答案. 【详解】由，有，所以， 又，所以是以3为首项，2为公比的等比数列， 所以，即，，故C正确， 则，验证以及和， 均不成立，A，B，D错误， 故选：C 2．（2023·河南郑州·模拟预测）已知数列各项均为正数，，且有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据题设中的递推关系可得，故利用等比数列的通项公式可求，从而可求的通项公式. 【详解】，， 显然若，则，则，，与题意矛盾， 所以，，两边同时取倒数，得：， 设，，，， 因为，故，故，所以为等比数列， 所以，故，所以， 故， 故选：D. 3．（2023·云南红河·一模）已知数列满足：，则（    ） A．21 B．23 C．25 D．27 【答案】A 【分析】 应用累加法求数列通项公式，再求出对应项. 【详解】由题设，……，，， 累加可得且，则， 显然也满足上式，所以. 故选：A 4．（2021·四川绵阳·模拟预测）设数列满足，若，且数列的前 项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据的递推关系求出的通项公式，代入的表达式中，求出的通项，即可求解的前 项和 【详解】由可得, ∵, ∴, 则可得数列为常数列，即, ∴ ∴, ∴. 故选: D 5．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）若数列满足（且），则与的比值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】由递推关系，求证数列为等比数列，公比为即可得. 【详解】，由，则， 在等式式两边同取倒数得，， 在两边同加得，， 又，则， 则有，则数列是公比为的等比数列. 则与的比值为. 故选：D. 6．（2024·广东茂名·一模）数列满足，（），，若数列是递减数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将取倒数结合累加法求得，再利用数列单调递减列不等式并分离参数，求出新数列的最大值即可求得答案 【详解】由题意，，两边取倒数可化为，所以，，，由累加法可得，，因为，所以， 所以，因为数列是递减数列，故，即，整理可得，，因为，，所以，故. 故选:D. 7．（2023·四川·模拟预测）在数列中，，，且，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，可得，，两式相除即可求得数列通项，再逐一分析各个选项即可. 【详解】因为，所以，， 两式相除，得， 又，所以， 所以是以为公比的等比数列， 所以， 记，则，所以，所以， 所以， 即，故A错误； 因为，所以， 所以， 同理，，， 所以， 即，故B错误； ， 所以，故C正确； ，所以，故D错误. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据，可得，，两式相除得出是以为公比的等比数列，是解决本题得关键. 8．（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）已知数列的首项，且，，则满足条件的最大整数（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】将已知条件恒等变换为，则有是等比数列，从而得，，根据的单调性，即可得答案. 【详解】因为，所以，所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以，即， 所以 ， 而当时，单调递增， 又因为，且， 所以满足条件的最大整数. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题的关键是发现是等比数列，从而由等比数列前项和公式可将表示出来，结合单调性即可得解. 二、多选题 9．（21-22高三上·山东聊城·期末）已知数列满足，则下列结论正确的有（　　） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递增数列 D．的前n项和 【答案】ABD 【分析】根据已知证明为定值即可判断A；由A选项结合等比数列的通项即可判断B；作差判断的符号即可判断C；利用分组求和法即可判断D. 【详解】因为， 所以+3，所以， 又因为， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确； ，即，故B正确； 因为， 因为，所以， 所以，所以为递减数列，故C错误； ， 则，故D正确. 故选：ABD. 10．（2023·重庆·模拟预测）已知数列满足，，，则下列结论正确的有（    ）． A．数列是递增数列 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对A：根据数列单调性的定义分析证明；对B：先证，结合累加法运算求解；对C：可得，结合裂项相消法分析运算；对D：先证，结合累积法可得，再根据等比数列求和分析运算. 【详解】对A：，当且仅当时，等号成立， 即，注意到，故， 可知对，，即，即， 故数列是递增数列，A正确； 对B：∵， 由A可得：对，，则，当且仅当时，等号成立， 故，即， 则，即； 当时，则也满足； 综上所述：，B正确； 对C：∵，则， 注意到，即， ∴，即， 故， 可得，C正确； 对D：∵， 注意到，则， 故，可得， 则， 当时，则， 当时，， 故. 则，D错误； 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛： （1）根据题意证明，放缩结合等比数列运算求解； （2）根据题意整理可得，裂项相消求和； （3）可证，放缩结合等比数列的通项公式与求和公式运算求解. 11．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．若数列为常数列，则 C．若数列为递增数列，则 D．当时， 【答案】AD 【分析】令可得，据此判断A，令，由递推关系求出即可判断B，根据B及条件数列为递增数列，分类讨论求出或时判断C，通过对取对数，构造等比数列求解即可判断D. 【详解】对于A，当时，，令，则，，故，即，A正确； 对于B，若数列为常数列，令，则，解得或或，B不正确； 对于C，令，则， 若数列为递增数列，则数列为递增数列，则，解得或. 当时，，且， ，此时数列为递增数列，即数列为递增数列； 当时，，且， ，此时数列不为递增数列，即数列不为递增数列； 当时，， ，此时数列为递增数列，即数列为递增数列. 综上，当或，即或时，数列为递增数列，C不正确； 对于D，令，则，，两边同时取以2为底的对数，得，， 数列是首项为1，公比为2的等比数列， ，即，D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题所给数列的递推关系并不常见，对学生的理性思维要求比较高，求解时将已知条件变为是非常关键的一步，再根据每个选项所附加的条件逐一进行判断，既有求解数列的项的取值范围的问题，又考查了数列的单调性、数列通项的求解，要求学生具备扎实的逻辑推理能力.本题难度比较大，起到压轴的作用. 三、填空题 12．（2020高三·上海·专题练习）已知数列满足，则 . 【答案】 【分析】利用构造法，构造等比数列求通项公式. 【详解】∵，由，解得， ∴有， 是首项为3，公比为3的等比数列， 所以，∴. 故答案为：. 13．（2023·四川乐山·三模）已知数列满足，，则 ． 【答案】 【分析】凑配法得出数列是等比数列，由等比数列的通项公式可得结论． 【详解】由得，又， 所以，即是等比数列， 所以，即． 故答案为：． 14．（2023·全国·模拟预测）数列满足，，则的值为 ． 【答案】67 【分析】根据数列的递推公式及等差数列与等比数列的通项公式、对数的运算解决即可． 【详解】因为， 所以， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 两边同时除以： 得． 又，故数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以， 所以． 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高三上·云南楚雄·期末）已知数列满足，. (1)求，； (2)求，并判断是否为等比数列. 【答案】(1) (2)，是等比数列 【分析】1）分别令，，计算可得所求值； （2）利用累加法，结合等差数列、等比数列的求和公式，可求数列的通项公式，可得，得解． 【详解】（1）， （2）因为，所以， 所以，，…，， 将以上各式相加得. 因为，所以， 又也满足，所以， 所以， 所以是等比数列，且首项、公比均为2. 16．（23-24高三下·山东·开学考试）已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用累加法计算可得； （2）由（1）可得，利用并项求和法计算可得. 【详解】（1）因为，即，所以， ， 累加得，又，所以， 经检验时符合，所以. （2）因为，所以， 所以 . 17．（2024·陕西宝鸡·一模）已知数列，若，且. (1)求证：是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）根据等比数列的定义结合递推关系式证明即可得结论，从而根据等比数列的通项公式求得数列的通项公式； （2）根据裂项相消法求解数列的前项和为，再根据的单调性求最值即可得结论. 【详解】（1）证明：， 又， 是首项为2，公比为2的等比数列， ，； （2）证明：，且结合（1）得， ， ， ，是递增数列， 又，， . 18．（2024·山西临汾·一模）已知数列的首项，且满足，等比数列的首项，且满足. (1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）利用定义法判断等比数列并求解通项公式即可. （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）因为， 又因为，所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以 （2）因为，所以，故， 所以， 令，则， 所以， ， 所以 ， ，所以 19．（2024·广东深圳·模拟预测）设数列满足：，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数列递推式可推出，结合等比数列通项公式即可求得答案； （2）利用（1）的结果可得的表达式，利用等差数列、等比数列的前n项和以及错位相减法，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知数列满足：，， 则 ，，故为首项是6，公比为2的等比数列， 故，即， 适合上述结果，故； （2） 设， 则， 设，故； ， ， 作差得到， 故， ， 故 【拓展冲刺练】 一、单选题 1．（21-22高三下·青海玉树·阶段练习）已知为数列的前n项和，若，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由题设求出，再通过构造得，由等比数列的通项公式即可求解. 【详解】令可得，又，解得，又， 则，，即是以2为首项，2为公比的等比数列，则，. 故选：B. 2．（20-21高三下·四川成都·期中）已知数列满足，，数列满足，，则数列的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由递推公式，，两边取倒数可得：，，利用等差数列的通项公式可得，数列满足，，再利用等差数列的求和公式可得，利用导数研究函数的单调性即可得出． 【详解】解：，， ，即，， 数列以1为首项，2为公差的等差数列， ， 数列满足，， 所以 ，时也成立）， 所以， 令，， ， 可得：函数在上单调递减；在上单调递增． 而， ， 数列的最小值为． 故选：． 二、多选题 3．（2023·江苏淮安·模拟预测）设a，，数列满足，，，则下列说法不正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】BCD 【分析】A选项，由，结合基本不等式可得，，即可判断选项正误；BCD选项，注意到，当时，方程有解，则当为方程的根时，则，即可判断选项正误. 【详解】A选项，当时，因为， 所以，又，当且仅当取等号. 故，.故A正确. B选项，当时， 故时，为常数列，且，所以不成立.故B错误； C选项，当时， 故或时，为常数列，且或，所以不成立.故C错误； D选项，当时， 故或时，为常数列，且或， 所以不成立.故D错误； 故选：BCD 4．（2024·安徽安庆·二模）满足，，的数列称为卢卡斯数列，则（    ） A．存在非零实数t，使得为等差数列 B．存在非零实数t，使得为等比数列 C． D． 【答案】BCD 【分析】对A、B：借助等差数列与等比数列定义计算即可得；对C：借助代入即可得；对D：由，得到，从而将展开后借助该式裂项相消即可得. 【详解】对A：若数列为等差数列，则有， 即，由， 故有恒成立，即有，无解， 故不存在这样的实数，故A错误； 对B：若数列为等比数列，则有， 即，由， 故有恒成立，即有， 即，解得，此时， 故存在非零实数t，使得为等比数列，故B正确； 对C：由， 则， 即有，故C正确； 对D：由， 故， 故 ，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：D选项中关键点在于由，得到，从而将展开后可借助该式裂项相消. 三、填空题 5．（2023·上海·模拟预测）数列满足，且与的等差中项是5，则 ； 【答案】 【分析】根据定义得到为等比数列，公比为2，由与的等差中项是5列出方程，求出首项，从而利用等比数列的求和公式计算出答案. 【详解】，则为等比数列，公比为2， 又，解得：， 所以． 故答案为： 6．（2023·浙江·二模）已知等比数列满足，则公比 . 【答案】2 【分析】根据等比数列的性质求解即可. 【详解】由， 等式两边同时除以，得， 解得. 故答案为：2. 7．（2023·云南昆明·模拟预测）已知数列满足，，则 ． 【答案】 【分析】由题意，根据取倒数法构造为等比数列，结合等比数列的通项公式计算即可求解. 【详解】由得：， 即，故数列为等比数列， 则， 所以，得． 故答案为：. 四、解答题 8．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知数列满足. (1)证明数列为等差数列，并求； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据题意构造等差数列，结合等差数列的概念证明并求解通项公式即可； （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以为定值， 所以是首项为，公差为3的等差数列， 所以，所以 （2）由（1）知，， 所以， 所以， 所以 ， 所以 9．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列中，，. (1)证明：是等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由条件推导，即证明是公比为2的等比数列； （2）由（1）可得的通项公式，从而求出，由分组求和即可求出数列的前项和. 【详解】（1）因为数列中，，， 所以，且， 所以是等比数列，公比为2，首项为2 （2）由(1)可得，即， 所以数列的前项和 10．（2022·全国·模拟预测）已知数列的首项为，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先求等式的倒数形式，再配凑为，用定义判断数列为等比数列即可； （2）先求得和的通项公式，用错位相减法求数列的前项和即可. 【详解】（1）由，取倒数得：， 所以， 又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列. （2）由（1）知，， 所以， ，① ，② ①②得：， 所以 1 学科网（北京）股份有限公司 $$