重庆市第八中学2023-2024学年 八年级下学期半期考试数学试题

重庆市第八中学2023-2024学年 八年级下学期半期数学试题 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1．（4分）下列各式中是分式的是（　　） A． B． C．x D． 2．（4分）将多项式m2﹣m进行因式分解，结果正确的是（　　） A．m（m+1） B．m（m﹣1） C．﹣m（m﹣1） D．（m+1）（m﹣1） 3．（4分）若代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠2 B．x≠﹣2 C．x＞2 D．x＞﹣2 4．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个根是3，则m的值为（　　） A．﹣3 B．3或﹣3 C．3 D．0 5．（4分）下列说法正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．对角线垂直的矩形是正方形 6．（4分）若一个正多边形的每一个外角都等于40°，则这个正多边形的边数是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 7．（4分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，∠ABO＝60°，若AB＝2，则点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 8．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝10，BC＝14，则EF的长是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 9．（4分）在国际生物多样性日（每年5月22日）即将到来之际，某校七年级师生到距离学校15km的湿地公园进行相关调查研究．一部分师生骑自行车先出发，过了30min后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为x km/h，根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． （多选）10．（4分）如图，在▱ABCD中，BD是对角线，点O为BD中点，过点O的直线与AD，BC边分别交于点E，点F，连接BE，DF，下列条件中能使得四边形BFDE是菱形的是（　　） A．OE＝OF B．BE∥DF C．BE＝DE D．EF⊥BD 二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。 11．（4分）如果a＝6b，且b≠0，那么＝　 　． 12．（4分）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 　 　． 13．（4分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，，∠AOB的平分线交弧AB于点C，过点C作CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F，则图中阴影部分的面积为 　 　. 14．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分BO，若AB＝3，则AD＝　 　． 三、解答题：（本大题5个小题，第15，16，17题各8分，其余每题各10分，共44分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 15．（8分）计算： （1）； （2）． 16．（8分）解方程： （1）； （2）2x2﹣4x﹣7＝0． 17．（8分）如图，已知点E为▱ABCD对角线AC上一点，连接BE． （1）用直尺和圆规，在▱ABCD内部作∠ADF，使得∠ADF＝∠CBE，射线DF交AC于点F，连接DE，BF（只保留作图痕迹）； （2）求证：四边形BEDF为平行四边形（请完善下面的证明过程）． 证明：∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AD＝BC，　 　 ∴∠DAF＝∠BCE 在△ADF和△CBE中 ∴△ADF≌△CBE（ASA） ∴DF＝BE，∠AFD＝∠CEB ∵∠AFD+∠DFE＝180°，∠CEB+∠BEF＝180° ∴∠DFE＝∠BEF（ 　 　）（填写推理依据） ∴　 　 ∴四边形BEDF为平行四边形 18．（10分）品历史扬华夏文明，鉴古今铸国运长盛，某校初二年级组织进行历史知识竞赛．比赛结束后分别从男生，女生中各随机抽取20名学生成绩进行整理分析（单位：分，满分：50分，成绩均为整数）． 抽取的男生成绩如下：43，44，44，44，45，45，45，47，48，48，49，49，49，50，50，50，50，50，50，50． 抽取的女生成绩用x表示，整理后分成五组（A：40≤x≤42；B：42＜x≤44；C：44＜x≤46；D：46＜x≤48；E：48＜x≤50）并绘制成如图所示扇形统计图，其中D组学生的成绩为：47，47，48，48，48，48． 抽取男生与女生成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 男女生成绩统计表 平均数 中位数 众数 男生 47.5 48.5 c 女生 47.5 b 49 （1）根据上述信息可得：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）根据以上数据，你认为男生的历史知识竞赛成绩更好还是女生的历史知识竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校初二年级有男生800人，女生600人，请估计该校初二年级历史知识竞赛在49分及以上的学生共有多少人． 19．（10分）五一假期将至，某商店看准商机用2000元和2400元分别购进A，B两种水果．已知A种水果每箱的进价比B种水果每箱的进价少20元，且购进A种水果的箱数是B种水果箱数的． （1）求A，B两种水果每箱的进价分别为多少元； （2）商店开始出售这些水果，已知A种水果的售价为60元/箱，出售完40箱后，对剩下部分打a折进行销售；B种水果每箱售价比进价多（2a+6）元，两种水果均全部售出．若要使销售这批水果的总利润率不低于40%，求a的最小值． 四、选择题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡上对应选项的代号涂黑。 20．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝5，点O为对角线BD上一动点，现将∠ABC和∠ADC进行折叠，顶点B，D恰好重合于点O处，EF和GH为折痕，在点O沿BD从点B向点D运动的过程中，下列有关阴影部分周长的说法正确的是（　　） A．先变大，后变小 B．先变小，后变大 C．当点O在BD中点处时，周长最大 D．保持不变 （多选）21．（4分）若关于x的方程有正整数解，且关于y的不等式组有解且至少有两个整数解，则符合条件的整数a的值为（　　） A．0 B．1 C．3 D．5 五、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分）请将每小题的答案直接填写在答题卷中对应的横线上。 22．（4分）已知a+b＝﹣2，ab＝﹣3，则＝　 　． 23．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，E为CD上一点，DE＝DB，连接BE，将△BCE沿BE所在直线翻折至△ABC所在的平面内得到△BC′E，连接AC'，若∠AC′B﹣∠EBC＝15°，BD＝3，则CE＝　 　． 24．（4分）对于一个四位正整数s，如果满足各数位上的数字各不相同，它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，称s为“相等数”，则最小的相等数是 　 　．令相等数s的十位数字与百位数字之差的2倍为T（s），若正整数a，b都是相等数，其中a＝1000n+10m+528，b＝10x+2y+4501（2≤m≤7，1≤n≤6，1≤x≤9，1≤y≤4，且m，n，x，y都是整数），当的值是一个整数的平方时，则满足条件的正整数a的最大值是 　 　． 六、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 25．（10分）阅读材料：为了解方程（x2）2﹣3x2+2＝0，我们可将x2看作一个整体，然后设x2＝t，则原方程可化为t2﹣3t+2＝0，经过计算，该方程的解为t1＝1，t2＝2，然后分别解方程x2＝1，x2＝2，得原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，，．我们通常把以上这种解决问题的方法叫做换元法，即把问题中的某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），它能将复杂的问题转化成简单的问题． 根据以上材料，解决下列问题： （1）方程x4﹣5x2+6＝0的解为：　 　； （2）解方程：（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0； （3）若实数m满足，求m的值． 26．（10分）在平面直角坐标系中，直线分别与y轴，x轴交于A，B两点，将线段AB绕点B顺时针旋转120°得到线段BC． （1）如图1，连接CO，求△BOC的面积； （2）如图2，点P为直线AB上一动点，过点P向x轴，y轴作垂线，垂足分别为D，E两点，连接CP，DE，求|CP﹣DE|的最大值，以及此时E点坐标； （3）在（2）的条件下，点F为直线CE上一点，若△ABF的其中一个内角等于30°，直接写出所有符合条件的点F的坐标． 27．（10分）如图，在▱ABCD中，AC为对角线，∠ACB＝45°，点E为AC上一点，连接BE． （1）如图1，若AB＝AE，∠BAC＝60°，AE＝6，求▱ABCD的面积； （2）如图2，过点A作AF⊥BE交BC于点F，垂足为点G，连接DF交AC于点H，若DF⊥AC，求证：； （3）如图3，若AK⊥BC于点K，M为AK中点，N为直线BC上一点，连接MN，将△KMN沿MN所在直线翻折到▱ABCD所在平面内得到△K′MN，连接CK'，再将线段CK′绕点C顺时针旋转90°得到线段CP，连接MP，点Q为直线BC上一点，连接MQ，PQ，若AK＝6，当MQ+PQ取得最小值时，直接写出△MPQ的面积． 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1．（4分）下列各式中是分式的是（　　） A． B． C．x D． 【分析】如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子（B≠0）叫做分式，由此即可判断． 【解答】解：A、B、C中的式子是整式，不是分式，故A、B、D不符合题意； D中式子是分式，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查分式，关键是掌握分式的定义． 2．（4分）将多项式m2﹣m进行因式分解，结果正确的是（　　） A．m（m+1） B．m（m﹣1） C．﹣m（m﹣1） D．（m+1）（m﹣1） 【分析】提取公因式m即可． 【解答】解：m2﹣m＝m（m﹣1）． 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解，能选择适当的方法分解因式是解此题的关键，注意：因式分解的方法有提取公因式法，公式法，十字相乘法等． 3．（4分）若代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠2 B．x≠﹣2 C．x＞2 D．x＞﹣2 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可． 【解答】解：∵代数式有意义， ∴x+2≠0， ∴x≠﹣2， 故选：B． 【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键． 4．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个根是3，则m的值为（　　） A．﹣3 B．3或﹣3 C．3 D．0 【分析】把x＝3代入方程x2﹣2x+m＝0得32﹣2×3+m＝0，然后求解即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个根是3， ∴32﹣2×3+m＝0， 解得m＝﹣3． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，解答本题的关键是明确能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 5．（4分）下列说法正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．对角线垂直的矩形是正方形 【分析】根据矩形，菱形，正方形 的判定定理判断即可． 【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故不符合题意； B、对角线垂直的平行四边形是菱形，故不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，故不符合题意； D、对角线垂直的矩形是正方形，故符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键． 6．（4分）若一个正多边形的每一个外角都等于40°，则这个正多边形的边数是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数． 【解答】解：∵360÷40＝9， ∴这个多边形的边数是9． 故选：C． 【点评】本题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握． 7．（4分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，∠ABO＝60°，若AB＝2，则点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【分析】由直角三角形的性质可求OA，OB的长，由AAS可证△DAE≌△ABO，可得AE＝OB＝1，DE＝OA＝，即可求解． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥y轴于E， ∵∠ABO＝60°，∠AOB＝90°，AB＝2， ∴OB＝AB＝1，AO＝OB＝， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝90°＝∠DEA＝∠AOB， ∴∠DAE+∠BAO＝90°＝∠BAO+∠ABO， ∴∠DAE＝∠ABO， ∴△DAE≌△ABO（AAS）， ∴AE＝OB＝1，DE＝OA＝， ∴OE＝+1， ∴点D（，+1）， 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 8．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝10，BC＝14，则EF的长是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】由题意，直角三角形斜边上的中线DF等于斜边的一半，中位线DE等于BC的一半，相减即可求得EF的长． 【解答】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，BC＝14， ∴， ∵∠AFB＝90°，且AB＝10， 又∵点D是边AB的中点， ∴， ∴EF＝DE﹣DF＝7﹣5＝2． 故选：D． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质，熟悉以上性质是解题的关键． 9．（4分）在国际生物多样性日（每年5月22日）即将到来之际，某校七年级师生到距离学校15km的湿地公园进行相关调查研究．一部分师生骑自行车先出发，过了30min后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为x km/h，根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用汽车及骑车速度间的关系，可得出汽车的速度是3x km/h，利用时间＝路程÷速度，结合骑车比乘汽车多用30min，可列出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：∵汽车的速度是骑车速度的3倍，且骑车的速度为x km/h， ∴汽车的速度是3x km/h． 根据题意得：＝+， 即＝+． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （多选）10．（4分）如图，在▱ABCD中，BD是对角线，点O为BD中点，过点O的直线与AD，BC边分别交于点E，点F，连接BE，DF，下列条件中能使得四边形BFDE是菱形的是（　　） A．OE＝OF B．BE∥DF C．BE＝DE D．EF⊥BD 【分析】证明△DOE≌△BOF（ASA），得OE＝OF，再证明四边形BFDE是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论． 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点， ∴AD∥BC，OB＝OD， ∴∠EDO＝∠FBO． ∵∠DOE＝∠BOF， ∴△DOE≌△BOF（ASA）， ∴OE＝OF， ∵OB＝OD， ∴四边形BFDE是平行四边形，故选项A不符合题意； B、BE∥DF时，四边形BFDE是平行四边形，故选项B不符合题意； C、BE＝DE时，平行四边形BFDE为菱形，故选项C符合题意； D、EF⊥BD时，平行四边形BFDE为菱形，故选项D符合题意； 故选：CD． 【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。 11．（4分）如果a＝6b，且b≠0，那么＝　 　． 【分析】把a＝6b代入要求的式子，然后进行计算，即可得出答案． 【解答】解：∵a＝6b，且b≠0， ∴＝＝． 故答案为：． 【点评】此题考查了比例的性质，掌握比例的基本性质是解题的关键． 12．（4分）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 　 　． 【分析】根据一元二次方程的定义得出a﹣2≠0且a2﹣2＝2，再求出答案即可． 【解答】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴a﹣2≠0且a2﹣2＝2， 解得：a＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出a﹣2≠0且a2﹣2＝2是解此题的关键． 13．（4分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，，∠AOB的平分线交弧AB于点C，过点C作CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F，则图中阴影部分的面积为 　 　. 【分析】用扇形的面积减去矩形的面积即可求得答案． 【解答】解：∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB， ∴∠EOC＝∠FOC＝45°， ∵CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F， ∴∠ECO＝∠FCO＝45°， ∴OE＝CE＝OF＝CF， ∴四边形OFCE是正方形， ∵OC＝OA＝4， ∴OE＝OF＝4， ∴S阴影＝S扇形OAB﹣S正方形OFCE＝﹣16＝8π﹣16， 故答案为：8π﹣16． 【点评】本题考查了扇形的面积计算及角平分线的性质，解题的关键是了解阴影部分是哪几个规则集合图形面积的和与差，难度不大． 14．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分BO，若AB＝3，则AD＝　 　． 【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA＝AB＝OB，由勾股定理求出AD即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∠BAD＝90°， ∴OA＝OB， ∵AE垂直平分OB， ∴AB＝AO， ∴OA＝AB＝OB， ∵AB＝3， ∴OB＝3， ∴BD＝6， 由勾股定理得：AD＝＝3； 故答案为：3． 【点评】此题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明△ABO是等边三角形是解决问题的关键． 三、解答题：（本大题5个小题，第15，16，17题各8分，其余每题各10分，共44分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 15．（8分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先将除法变成乘法，再进行约分计算即可； （2）先通分对括号里的进行计算，再将除法变成乘法，计算出结果即可． 【解答】解：（1） ＝ ＝； （2） ＝ ＝ ＝． 【点评】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是根据计算法则进行计算． 16．（8分）解方程： （1）； （2）2x2﹣4x﹣7＝0． 【分析】（1）两边都乘以（x+2）（x﹣2），化分式方程为整式方程，解之求出x的值，再检验即可得出答案； （2）利用配方法求解即可． 【解答】解：（1）两边都乘以（x+2）（x﹣2）得：（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝16， 整理，得：﹣4x+8＝16， 解得x＝﹣2， 当x＝﹣2时，（x+2）（x﹣2）＝0， 所以原分式方程无解； （2）∵2x2﹣4x﹣7＝0， ∴2x2﹣4x＝7， 则x2﹣2x＝， ∴x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝， ∴x﹣1＝±， ∴x1＝1+，x2＝1﹣． 【点评】本题主要考查解分式方程和一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 17．（8分）如图，已知点E为▱ABCD对角线AC上一点，连接BE． （1）用直尺和圆规，在▱ABCD内部作∠ADF，使得∠ADF＝∠CBE，射线DF交AC于点F，连接DE，BF（只保留作图痕迹）； （2）求证：四边形BEDF为平行四边形（请完善下面的证明过程）． 证明：∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AD＝BC，　 　 ∴∠DAF＝∠BCE 在△ADF和△CBE中 ∴△ADF≌△CBE（ASA） ∴DF＝BE，∠AFD＝∠CEB ∵∠AFD+∠DFE＝180°，∠CEB+∠BEF＝180° ∴∠DFE＝∠BEF（ 　 　）（填写推理依据） ∴　 　 ∴四边形BEDF为平行四边形 【分析】（1）根据作一个角等于已知角即可得到结论； （2）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】（1）解：如图所示；∠ADF即为所求； （2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAF＝∠BCE， 在△ADF和△CBE中 ， ∴△ADF≌△CBE（ASA）， ∴DF＝BE，∠AFD＝∠CEB， ∵∠AFD+∠DFE＝180°，∠CEB+∠BEF＝180°， ∴∠DFE＝∠BEF（ 补角的性质）（填写推理依据） ∴DF∥BE， ∴四边形BEDF为平行四边形， 故答案为：AD∥BC，补角的性质，DF∥BE． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理和平行四边形的性质是解题的关键． 18．（10分）品历史扬华夏文明，鉴古今铸国运长盛，某校初二年级组织进行历史知识竞赛．比赛结束后分别从男生，女生中各随机抽取20名学生成绩进行整理分析（单位：分，满分：50分，成绩均为整数）． 抽取的男生成绩如下：43，44，44，44，45，45，45，47，48，48，49，49，49，50，50，50，50，50，50，50． 抽取的女生成绩用x表示，整理后分成五组（A：40≤x≤42；B：42＜x≤44；C：44＜x≤46；D：46＜x≤48；E：48＜x≤50）并绘制成如图所示扇形统计图，其中D组学生的成绩为：47，47，48，48，48，48． 抽取男生与女生成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 男女生成绩统计表 平均数 中位数 众数 男生 47.5 48.5 c 女生 47.5 b 49 （1）根据上述信息可得：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）根据以上数据，你认为男生的历史知识竞赛成绩更好还是女生的历史知识竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校初二年级有男生800人，女生600人，请估计该校初二年级历史知识竞赛在49分及以上的学生共有多少人． 【分析】（1）用100%减去其它组的百分比即可求出a的值，根据中位数和众数的定义即可得出b、c的值； （2）从中位数和众数两个方面进行分析，即可得出答案； （3）利用样本估计总体即可． 【解答】解：（1）∵a%＝100%﹣5%﹣5%﹣30%﹣45%＝15%， ∴a＝15， ∵女生的测试成绩20个数据按从小到大的顺序排列，第10、11个数分别为48，48， ∴女生的数据的中位数b＝＝48， 男生的众数c＝50； 故答案为：15，48，50； （2）根据以上数据，男生的历史知识竞赛成绩更好，理由如下： 理由：男生和女生的平均成绩一样，而男生的中位数、众数均高于女生，说明男生的历史知识竞赛成绩更好； （3）800×+600×45% ＝400+270 ＝670（人）， 答：估计该校初二年级历史知识竞赛在49分及以上的学生大约共有670人． 【点评】本题考查了扇形图，中位数，众数，掌握题意读懂统计图是解题的关键． 19．（10分）五一假期将至，某商店看准商机用2000元和2400元分别购进A，B两种水果．已知A种水果每箱的进价比B种水果每箱的进价少20元，且购进A种水果的箱数是B种水果箱数的． （1）求A，B两种水果每箱的进价分别为多少元； （2）商店开始出售这些水果，已知A种水果的售价为60元/箱，出售完40箱后，对剩下部分打a折进行销售；B种水果每箱售价比进价多（2a+6）元，两种水果均全部售出．若要使销售这批水果的总利润率不低于40%，求a的最小值． 【分析】（1）设A种水果每箱的进价是x元，则B种水果每箱的进价是（x+20）元，利用数量＝总价÷单价，结合用2000元购进A种水果的箱数是用2400元购进B种水果箱数的，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出A种水果每箱的进价，再将其代入（x+20）中，即可求出B种水果每箱的进价； （2）利用总利润＝每箱的销售利润×销售数量，结合销售这批水果的总利润率不低于40%，可列出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设A种水果每箱的进价是x元，则B种水果每箱的进价是（x+20）元， 根据题意得：＝×， 解得：x＝40， 经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意， ∴x+20＝40+20＝60（元）． 答：A种水果每箱的进价是40元，B种水果每箱的进价是60元； （2）根据题意得：（60﹣40）×40+（60×﹣40）×（﹣40）+（2a+6）×≥（2000+2400）×40%， 解得：a≥8， ∴a的最小值为8． 答：a的最小值为8． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 四、选择题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡上对应选项的代号涂黑。 20．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝5，点O为对角线BD上一动点，现将∠ABC和∠ADC进行折叠，顶点B，D恰好重合于点O处，EF和GH为折痕，在点O沿BD从点B向点D运动的过程中，下列有关阴影部分周长的说法正确的是（　　） A．先变大，后变小 B．先变小，后变大 C．当点O在BD中点处时，周长最大 D．保持不变 【分析】证明出四边形EOGA和FOHC都是平行四边形，四边形BEOF和DGOH都是菱形，△BEF和△OEF是全等的等边三角形，△DGH和△OGH是全等的等边三角形，可得到OE+OG＝5，OF+OH＝5，EF+GH＝5，从而得出阴影部分周长＝15，保持不变． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ADB＝∠CDB， ∵将∠ABC进行折叠，顶点B，D恰好重合于点O处，EF为折痕， ∴∠EOB＝∠ABD，EB＝EO， ∴∠EOB＝∠ADB， ∴EO∥AD， 同理OF∥CD，GO∥AB，OH∥BC， ∴四边形EOGA和FOHC都是平行四边形，四边形BEOF和DGOH都是菱形， ∴AE＝OG， ∴OE+OG＝BE+AE＝AB＝5， 同理OF+OH＝5， ∵∠ABC＝60°， ∴△BEF和△OEF是全等的等边三角形，△DGH和△OGH是全等的等边三角形， ∴EF＝OE，GH＝OG， ∴EF+GH＝OE+OG＝5， ∴阴影部分周长＝15，保持不变， 故选：D． 【点评】本题以翻折为背景考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，能灵活运用相关图形的判定和性质是解题的关键． （多选）21．（4分）若关于x的方程有正整数解，且关于y的不等式组有解且至少有两个整数解，则符合条件的整数a的值为（　　） A．0 B．1 C．3 D．5 【分析】解分式方程得到整数a的值，解不等式组得到a的取值范围，并取整数解即可． 【解答】解：解方程，得x＝， 由于分式方程有增根x＝2， 当x＝2时，＝2， 解得a＝2， 因此a≠2， 又∵分式方程有正整数解，即是正整数， ∴a+1＝1或a+1＝2或a+1＝3或a+1＝6， 即a可以为a＝0或a＝1或a＝5， 解不等式≤y+3得，y≥﹣1， 由于不等式组有解且至少有两个整数解， ∴2a＞0，即a＞0， 综上符合条件的整数a的值为1或5． 故选：BD． 【点评】本题主要考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式组，方程的整数解，注意分式方程有可能产生增根是解题的关键． 五、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分）请将每小题的答案直接填写在答题卷中对应的横线上。 22．（4分）已知a+b＝﹣2，ab＝﹣3，则＝　 　． 【分析】先利用提公因式法和完全平方公式对原式进行变形，即原式＝ab×（a+b）2，再将a+b＝﹣2，ab＝﹣3代入计算即可． 【解答】解：∵a+b＝﹣2，ab＝﹣3， ∴ ＝ab×（a2+2ab+b2） ＝ab×（a+b）2 ＝×（﹣3）×（﹣2）2 ＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 23．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，E为CD上一点，DE＝DB，连接BE，将△BCE沿BE所在直线翻折至△ABC所在的平面内得到△BC′E，连接AC'，若∠AC′B﹣∠EBC＝15°，BD＝3，则CE＝　 　． 【分析】作AF⊥EC'，设∠BCD＝∠BC'E＝x，由AC＝BC，CD⊥AB，DE＝DB＝3，得∠DBE＝∠DEB＝45°，AF＝DE＝3，得∠EBC＝45﹣x，由△BEC≌△BEC'，得∠EBC＝∠EBC'＝45﹣x，由∠AC′B﹣∠EBC＝15°，得∠AC′B＝∠EBC+15°＝60﹣x，得∠AC'E＝∠AC′B+∠BC'E＝60°，得C'F＝＝，即可得CE＝C'E＝EF+C'F＝3+． 【解答】解：作AF⊥EC'， 设∠BCD＝∠BC'E＝x， ∵AC＝BC，CD⊥AB，DE＝DB＝3， ∴∠DBE＝∠DEB＝45°，AF＝DE＝3， ∴∠EBC＝45﹣x， ∵△BEC≌△BEC'， ∴∠EBC＝∠EBC'＝45﹣x， ∵∠AC′B﹣∠EBC＝15°， ∴∠AC′B＝∠EBC+15°＝60﹣x， ∴∠AC'E＝∠AC′B+∠BC'E＝60°， ∴C'F＝＝， ∴CE＝C'E＝EF+C'F＝3+． 故答案为：3+． 【点评】本题主要考查了图形折叠，解题关键是全等三角形性质的应用． 24．（4分）对于一个四位正整数s，如果满足各数位上的数字各不相同，它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，称s为“相等数”，则最小的相等数是 　 　．令相等数s的十位数字与百位数字之差的2倍为T（s），若正整数a，b都是相等数，其中a＝1000n+10m+528，b＝10x+2y+4501（2≤m≤7，1≤n≤6，1≤x≤9，1≤y≤4，且m，n，x，y都是整数），当的值是一个整数的平方时，则满足条件的正整数a的最大值是 　 　． 【分析】第一问：要求最小的相等数，只需令千位数字为1，百位数字为0，则十位数字为3，个位数字为2，即为1032． 第二问：将a、b的代数式进行整理，分别找到这两个数的十位数字与百位数字，然后对进行整理化简，从而计算满足条件的正整数a的最大值． 【解答】解：要求最小的相等数，令千位数字为1，百位数字为0，则十位数字为3，个位数字为2，即为1032． a＝1000n+10m+528＝1000n+100×5+10（m+2）+8，则a的十位数字与百位数字分别是m+2、5，T（a）＝2（m+2﹣5）＝2（m﹣3）； b＝10x+2y+4501＝1000×4+100×5+10x+（1+2y），则b的十位数字与百位数字分别是x、5，T（b）＝2（x﹣5）； 根据相等数的定义，可得：n+8＝m+2+5，5+x＝4+1+2y，即m＝n+1，x＝2y； ＝＝， 根据m，n，x，y的取值范围，要求正整数a的最大值，可令n＝6，则m＝7， 再令x＝2，则＝＝1，满足题意要求； 因此，满足条件的正整数a的最大值是6598． 故答案为：1032；6598． 【点评】本题考查了因式分解的应用、列代数式的相关内容，关键在于对a、b的代数式进行整理，分别找到这两个数各数位上的数字． 六、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 25．（10分）阅读材料：为了解方程（x2）2﹣3x2+2＝0，我们可将x2看作一个整体，然后设x2＝t，则原方程可化为t2﹣3t+2＝0，经过计算，该方程的解为t1＝1，t2＝2，然后分别解方程x2＝1，x2＝2，得原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，，．我们通常把以上这种解决问题的方法叫做换元法，即把问题中的某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），它能将复杂的问题转化成简单的问题． 根据以上材料，解决下列问题： （1）方程x4﹣5x2+6＝0的解为：　 　； （2）解方程：（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0； （3）若实数m满足，求m的值． 【分析】（1）先设y＝x2，则原方程变形为y2﹣5y+6＝0，运用因式分解法解得y1＝2，y2＝3，再把y＝2和3分别代入y＝x2得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解． （2）先设y＝x2﹣x，则原方程变为：y2﹣4y﹣12＝0，运用因式分解法解得y1＝6，y2＝﹣2，再把y＝6和﹣2分别代入y＝x2﹣x得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解． （3）化为整式方程，再用因式分解将次，解出m的值后再检验即可． 【解答】解：（1）设y＝x2，则原方程变为：y2﹣5y+6＝0， ∴（y﹣3）（y﹣2）＝0， 解得：y1＝2，y2＝3， 当y＝2时，x2＝2， 解得x1＝，x2＝； 当y＝3时，x2＝3， 解得x3＝﹣，x4＝， ∴原方程的解为x1＝，x2＝，x3＝﹣，x4＝； 故答案为：x1＝，x2＝，x3＝﹣，x4＝； （2）设y＝x2﹣x，则原方程变为：y2﹣4y﹣12＝0， ∴（y﹣6）（y+2）＝0， 解得：y1＝6，y2＝﹣2， 当y＝6时，x2﹣x＝6， 解得x1＝3，x2＝﹣2； 当y＝﹣2时，x2﹣x＝﹣2，即x2﹣x+2＝0， ∴Δ＝1﹣4×2＜0，此方程无实数解； ∴原方程的解为x1＝3，x2＝2； （3）∵， ∴m4﹣4m3+7m2﹣8m+4＝0， ∴m4﹣4m3+4m2+3m2﹣8m+4＝0， ∴m2（m﹣2）2+（3m﹣2）（m﹣2）＝0 ∴（m﹣2）（m3﹣2m2+3m﹣2）＝0， ∴（m﹣2）（m3﹣2m2+2m+m﹣2）＝0， ∴（m﹣2）[m（m﹣1）2+2（m﹣1]）＝0， ∴（m﹣2）（m﹣1）（m2﹣m+2）＝0， ∴m﹣2＝0或m﹣1＝0或m2﹣m+2＝0， 解得m＝2或m＝1， 经检验，m＝2，m＝1都是原方程的解； ∴m的值为2或1． 【点评】本题考查解高次方程和分式方程，解题的关键是读懂题意，掌握换元法解方程． 26．（10分）在平面直角坐标系中，直线分别与y轴，x轴交于A，B两点，将线段AB绕点B顺时针旋转120°得到线段BC． （1）如图1，连接CO，求△BOC的面积； （2）如图2，点P为直线AB上一动点，过点P向x轴，y轴作垂线，垂足分别为D，E两点，连接CP，DE，求|CP﹣DE|的最大值，以及此时E点坐标； （3）在（2）的条件下，点F为直线CE上一点，若△ABF的其中一个内角等于30°，直接写出所有符合条件的点F的坐标． 【分析】（1）先求得点A、B的坐标，运用勾股定理求得AB＝2，取AB的中点F，连接OF，过点C作CG⊥x轴于G，证得△AOF是等边三角形，再证得△BCG≌△BAO（AAS），得出CG＝OA＝，运用三角形面积公式即可求得答案； （2）作点O关于直线AB的对称点O′，过点O′作O′K⊥y轴于K，连接OP、O′P、O′C、OO′，设OO′交AB于M，运用面积法可得OM＝＝＝，运用勾股定理可得OK＝＝＝，得出O′（，），再求得C（6，），运用两点间距离公式可得O′C＝＝，由于|CP﹣DE|＝|CP﹣O′P|≤O′C，可得当且仅当C、O′、P三点共线时，|CP﹣DE|的最大值为，再运用待定系数法可得直线O′C的解析式为y＝﹣x+，联立方程组求解即可得出此时E点坐标； （3）分三种情况：当∠BAF＝30°时，当∠ABF＝30°时，当∠AFB＝30°时，分别求得点F的坐标即可． 【解答】解：（1）在y＝﹣x+中，令x＝0，得y＝， ∴A（0，），OA＝， 令y＝0，得﹣x+＝0， 解得：x＝3， ∴B（3，0），OB＝3， ∴AB＝＝＝2， 如图1，取AB的中点F，连接OF，过点C作CG⊥x轴于G， 则OF＝AF＝BF＝AB＝，∠BGC＝∠BOA＝90°， ∴OA＝AF＝OF， ∴△AOF是等边三角形， ∴∠BAO＝60°， ∴∠ABO＝90°﹣∠BAO＝30°， 由旋转得：∠ABC＝120°，BC＝BA， ∴∠CBG＝180°﹣∠ABO﹣∠ABC＝30°， ∴∠CBG＝∠ABO， 在△BCG和△BAO中， ， ∴△BCG≌△BAO（AAS）， ∴CG＝OA＝， ∴S△BOC＝OB•CG＝×3×＝； （2）如图2，作点O关于直线AB的对称点O′，过点O′作O′K⊥y轴于K，连接OP、O′P、O′C、OO′，设OO′交AB于M， 则OM＝＝＝， ∴OO′＝2OM＝3， ∵∠O′OK＝90°﹣60°＝30°，∠OKO′＝90°， ∴O′K＝OO′＝， ∴OK＝＝＝， ∴O′（，）， 由（1）得：△BCG≌△BAO， ∴BG＝OB＝3，CG＝OA＝， ∴OG＝OB+BG＝3+3＝6， ∵C（6，）， ∴O′C＝＝， ∵PD⊥x轴，PE⊥y轴， ∴∠PDO＝∠PEO＝∠DOE＝90°， ∴四边形PDOE是矩形， ∴DE＝OP， ∵O、O′关于直线AB对称， ∴OP＝O′P， ∴DE＝O′P， ∴|CP﹣DE|＝|CP﹣O′P|≤O′C， 当且仅当C、O′、P三点共线时，|CP﹣DE|＝O′C， ∴|CP﹣DE|的最大值为， 设直线O′C的解析式为y＝kx+b， 则， 解得：， ∴直线O′C的解析式为y＝﹣x+， 联立得：， 解得：， ∴此时点P的坐标为（﹣3，2）， ∴此时E点坐标为（0，2）； （3）由（2）得C（6，），E（0，2）， 设直线CE的解析式为y＝k1x+b1， 则， 解得：， ∴直线CE的解析式为y＝﹣x+2， 当∠BAF＝30°时， ∴∠BAF＝∠ABO， ∴AF∥OB，即AF∥x轴， ∴直线AF的解析式为y＝， 当y＝时，＝﹣x+2， 解得：x＝6， ∴F1（6，）； 当∠ABF＝30°时，设BF交y轴于L， 则∠OBL＝∠ABO+∠ABF＝60°， ∴∠BLO＝30°， ∴OL＝3， ∴L（0，3）， 则直线BL的解析式为y＝﹣x+3， 联立得， 解得：， ∴F2（，）； 当∠AFB＝30°时，显然点F与点C重合时符合题意，即F1（6，）； 如图3，作△ABC的外接圆交CE于另一点F3，连接O″A、O″B、O″C、O″F3，则∠AFB＝∠ACB＝30°，O″F3＝O″C， ∴∠AO″B＝60°， ∵O″A＝O″B， ∴△O″AB是等边三角形， ∴∠ABO″＝60°，O″B＝AB＝2， ∴∠O″BO＝90°， ∴O″（3，2）， 设F3（m，﹣m+2）， ∴（m﹣3）2+（﹣m+2﹣2）2＝（3﹣6）2+（2﹣）2， 解得：m＝6（点C的坐标，舍去）或m＝﹣， 当m＝﹣时，﹣m+2＝﹣×（﹣）+2＝， ∴F3（﹣，）； 综上所述，所有符合条件的点F的坐标为（6，）或（，）或（﹣，）． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的图象交点，勾股定理，两点间距离公式，等边三角形的判定和性质，矩形的性质，轴对称性质，旋转变换的性质等，正确添加辅助线是解题关键． 27．（10分）如图，在▱ABCD中，AC为对角线，∠ACB＝45°，点E为AC上一点，连接BE． （1）如图1，若AB＝AE，∠BAC＝60°，AE＝6，求▱ABCD的面积； （2）如图2，过点A作AF⊥BE交BC于点F，垂足为点G，连接DF交AC于点H，若DF⊥AC，求证：； （3）如图3，若AK⊥BC于点K，M为AK中点，N为直线BC上一点，连接MN，将△KMN沿MN所在直线翻折到▱ABCD所在平面内得到△K′MN，连接CK'，再将线段CK′绕点C顺时针旋转90°得到线段CP，连接MP，点Q为直线BC上一点，连接MQ，PQ，若AK＝6，当MQ+PQ取得最小值时，直接写出△MPQ的面积． 【分析】（1）通过60°和45°特殊角构造直角三角形，进而求解即可； （2）要证，含有肯定和45°会有关系，而恰好∠ACB＝45°，所以过点E作ET⊥BC于点T，这样就推出，再通过构造BF的一半等于ET，然后利用全等即可证明； （3）这一题是典型的“瓜豆模型”由题易得点K'的运动轨迹是以M为圆心，3为半径的圆上，线段CK′绕点C顺时针旋转90°得到线段CP，所以构造全等，得到点P的运动轨迹也是圆上，从而得到MQ+PQ最小值时点Q的位置，进而求解即可． 【解答】（1）解：如图，过点B作BK⊥AC于点K， 在Rt△ABK中，∠AKB＝90°，∠BAK＝60°，AB＝AE＝6， ∴，BK＝AB＝3， 在Rt△BCK中，∠BKC＝90°，∠BCK＝45°， ∴∠KBC＝45°，， ∵S△ABC＝AC•BK＝， ∴； （2）证明：过点A作AS⊥BC于点S，过点E作ET⊥BC于点T， ∵DF⊥AC， ∴∠FHC＝∠AHD＝90°， 在Rt△CFH中，∠FHC＝90°，∠HCF＝45°， ∴∠HFC＝45°， ∴HF＝HC， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD， ∴∠HAD＝∠HCF＝45°，∠HDA＝∠HFC＝45°，HA＝HD， 在△HAF和△HDC中， ， ∴△HAF≌△HDC（SAS）， ∴AF＝DC， ∴AB＝AF， 设∠EBC＝α， ∵AF⊥BE， 在Rt△BFG中，∠BFG＝90°， ∴∠AFB＝90°﹣α， 在△ABF中，∠ABF＝∠AFB＝90°﹣α， ∴∠BAF＝2α， ∵∠AEG为△BCE的外角， ∴∠AEG＝45°+α， 在Rt△AEG中，∠AGE＝90°， ∴∠GAE＝45°﹣α， ∴∠BAE＝∠BAG+∠GAE＝45°+α， ∴∠BAE＝∠BEA，BA＝BE， ∵AB＝AF，AS⊥BC， ∴，BF＝2BS， 在△BAS和△EBT中， ， ∴△BAS≌△EBT（AAS）， ∴BS＝ET， 在Rt△CET中，∠CTE＝90°，∠ECT＝45°， ∴，， ∴； （3）如图，连接CM，过C作CO⊥CM，且CO＝CM，连接PO， ∵M是AK中点，AK＝6， ∴MK＝MK'＝3， ∵∠MCO＝∠K'CP＝90°， ∴∠MCK'＝∠OCP， ∵CM＝CO，CK'＝CP， ∴△MCK'≌△OCP（SAS）， ∴MK'＝OP＝3， ∴点P的轨迹是以O为圆心，以3为半径的圆上， 如简化示意图， 作M关于CK的对称点M'则MQ+PQ＝M'Q+PQ≥PM'， ∵点P的轨迹是在⊙O上， ∴当M'、P、O三点共线时M'P最小，此时MQ+PQ也最小． ∵AK＝6，∠ACK＝45°， ∴CK＝6， 过O作OG⊥KC交KC延长线于点G，连接AO， ∴∠MCK＝∠COG＝90°﹣∠OCG， ∵∠MKC＝∠G＝90°，CM＝CO， ∴△MCK≌△COG（AAS）， ∴OG＝KC＝6，CG＝MK＝3， ∵AK∥OG，AK＝OG，∠AKC＝90°， ∴四边形AKGO是矩形， ∴AO＝KG＝6+3＝9， ∵AM'＝AK+KM'＝9， ∴△AOM'是等腰直角三角形， ∴OM'＝AO＝9，∠M'＝45°， ∴∠KQM'＝∠CQO＝45°∠MQK， ∴∠MQP＝180°﹣∠MQK﹣∠CQO＝90°，且△KM'Q和△GQO都是等腰直角三角形， ∴M'Q＝MQ＝MK＝3，PQ＝M'O﹣M'Q﹣OP＝6﹣3， ∴S△MPQ＝MQ•PQ＝＝． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识和识别出点P的轨迹是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 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